橢圓的簡單幾何性質知識點1：橢圓幾何性質匯總圖形標準方程x2a2y2a2范圍--頂點A1-a,B1AB軸長短軸長=2b，長軸長=2a焦點F1-c,F焦距F對稱性關于x離心率e知識點2：橢圓的通徑過橢圓的焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦稱為橢圓的通徑。在橢圓x2a2+y2b2=1(a∴通徑長為∣y說明：無論焦點在x軸上還是在y軸上，橢圓的通徑長均為2b知識點3：焦半徑公式焦半徑定義：橢圓上一動點與焦點的距離稱為焦半徑。焦半徑公式：已知點P在橢圓上，且Px0當焦點在x軸上時，∣當焦點在y軸上時，∣焦半徑的最值：當點P在長軸頂點時，焦半徑取得最大值a+c（稱為“遠日”點）或最小值ac（稱為“近日”點）。知識點4：橢圓的第二定義平面內，若動點M與定點F(c,0)的距離與它到定直線l:x=a2c的距離的比是常數(shù)題型練習題型一：求橢圓的焦點、焦距、頂點1．（2526高二上·內蒙古通遼·階段練習）已知橢圓x23+A．±2,0 B．0,±2 C．±2,02．（2526高二上·重慶·階段練習）橢圓C：x216+y225=1的兩個焦點為FA．8 B．10 C．14 D．163．（2425高二上·天津北辰·期中）已知橢圓x2m+4．（2324高二上·天津河西·期中）已知橢圓x2m+5．（2324高二上·天津·期末）已知橢圓x2m2+5+y26．（2324高二上·天津和平·期中）橢圓x216+y24=1上的點到焦點的距離最大值為7．（2324高二上·天津·期中）橢圓C：x2m2+1+y2m2=1（m>0）的焦點為F8．（2425高二上·天津濱海新·期中）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓x216+y29．（2425高二下·云南昆明·階段練習）已知橢圓C的方程為9x(1)求橢圓C的焦點坐標；(2)求橢圓C的長軸長、短軸長、焦距、離心率．10．（2526高二上·重慶沙坪壩·階段練習）設橢圓x225+y29=1的左右兩個焦點分別為F(1)求橢圓的長軸長、短軸長、焦點坐標、離心率；(2)求△F題型二：利用橢圓幾何性質求標準方程1．（2324高二上·湖北武漢·期中）已知橢圓C:x24+y2k+1=1A．2 B．2或7 C．2或133 D．7或2．（2324高二上·廣東廣州·期中）已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為12，且它的長軸長等于圓C:x2A．x24C．x243．（2425高二上·天津·期中）焦點在y軸上，短軸長為8，離心率為35的橢圓的標準方程是4．（2223高二上·廣東江門·期中）已知橢圓焦點在x軸，它與橢圓x24+y25．（2425高二上·江蘇徐州·階段練習）與橢圓y24+x26．（2324高二上·福建泉州·期中）若橢圓C過點(3,2)且與橢圓x28+y2題型三：利用橢圓離心率的值或取值范圍1．（2425高二上·天津·期末）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B，點P在橢圓上（異于A,B)，設直線AP的斜率為kA．0,22 B．22,12．（2425高二上·浙江臺州·期中）橢圓x2a2+y2b2=1A．12 B．24 C．23．（2425高二上·天津·階段練習）橢圓2x2+A．12 B．22 C．4．（2425高二上·天津·期末）已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點為F-c,0，上頂點為A，在以點F為圓心，A．55,1 B．0,5．（2425高二上·全國·課后作業(yè)）設橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M，N在C上（M位于第一象限），且點MA．154 B．157 C．26．（2425高二上·天津·期中）已知F1?F2為橢圓x2a2+y2bA．23 B．34 C．47．（2425高二上·浙江嘉興·期中）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，過F2的直線l與橢圓CA．15 B．55 C．108．（2425高二上·天津南開·期中）已知平行四邊形ABCD內接于橢圓Ω:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A．55,33B．2559．（2324高三下·云南昆明·階段練習）設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點，過F2A．32 B．22 C．510．（2324高二上·天津和平·期末）橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的兩個焦點為F1A．0,22 B．0,2211．（2425高二上·天津·階段練習）若F1、F2是橢圓C：x29+y225=1的兩個焦點，過F1的直線l與橢圓C交于A、B兩點，O為坐標原點，則下列說法中正確的是.①橢圓C的離心率為45；②存在點A12．（2425高三上·湖南·階段練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點分別為F1,13．（2425高二上·黑龍江佳木斯·階段練習）已知P是橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，PF1?題型四直線和橢圓的位置關系1．（2324高二上·天津·期末）已知橢圓C：x2a2+y2b(1)求橢圓C的方程；(2)直線AP與橢圓C交于點P（異于頂點）與y軸交于點M，點F為橢圓的右焦點，O為坐標原點，MF⊥OP，求直線AP的方程.2．（2425高二上·吉林·期中）已知橢圓C:x2a(1)求橢圓C的方程；(2)直線l與橢圓C相交于A,B兩點，若線段AB的中點坐標為-4,1，求直線l的方程.3．（2425高二上·天津·階段練習）已知橢圓M的與橢圓N:x29+y(1)求M的標準方程；(2)設直線y=x+2與M交于A，B兩點(A在x軸上方)，O為原點，求OA?4．（2425高二上·天津紅橋·階段練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率是32(1)求橢圓C的標準方程；(2)若線段AB的中點的橫坐標為-12，求直線5．（2526高二上·天津·階段練習）已知橢圓x2a2+y(1)求橢圓的方程；(2)過點H(0,1)且傾角為45°的直線l與橢圓交于A、B兩點，求△ABN的面積．6．（2425高二上·天津·階段練習）設橢圓C：x2a2+y(1)求橢圓C的方程；(2)直線y=x+m與橢圓交于M，N兩點，當OM⊥ON時，求m的值.（O為坐標原點）7．（2425高二上·天津河東·階段練習）已知橢圓C：x2a2+y2b(1)求橢圓C的標準方程；(2)若過點B(0,35)的直線與橢圓交于M，N兩點(點M，N與點A參考答案題型一答案1．C2．D3．424．25或46．4+23x-322+y9．(1)±710．(1)橢圓的長軸長為2a=10；短軸長為2b=6；焦點坐標為F1-4,0，F(xiàn)2(2)9題型二答案1．C2．A3．y225+x216=14．題型三答案1．A2．C3．B4．A5．C6．C7．C8．A9．B10．C11．①②③④12．2313．題型四答案1．(1)x(2)y=±【詳解】（1）由題意可得e=ca=所以橢圓方程為x2（2）由題意可得直線AP的斜率存在，故設直線AP的方程為y=kx+2，Mx2所以-2xP=故P-8k2所以MF=所以MF?所以k2=3故直線AP的方程為y=±32．(1)x(2)x-y+5=0【詳解】（1）由題意可知a=4則b2=a2-（2）由題意直線l的斜率存在，如圖，設Ax1兩式相減得x12-因為線段AB的中點坐標為-4,1，所以x1所以直線l的斜率k=y故直線l的方程為y-1=x+4，即x-y+5=0.3．(1)x(2)-【詳解】（1）因為橢圓N:x所以c=9-5設橢圓M的標準方程為x2因為橢圓M過點0,2，所以c=24b2則橢圓M的標準方程為x2（2）聯(lián)立y=x+2x28+y解得x1=0，所以A0,2，B則OA?4．(1)x2(2)k=12【詳解】（1）解：因為橢圓C的一個頂點為(2,0)，離心率是3所以a=2e=ca又因為b=a所以橢圓的方程為x2（2）解：由題意可得x1兩式相減，得14所以14又因為線段AB的中點的橫坐標為-所以x1且中點的縱坐標為k(-1所以y1所以-1所以y又因為k=y所以k=1所以k2又因為k>0，所以k=1所以直線l:y=1由y=12(x+1)所以x1所以AB=【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線交相，涉及中點坐標時，經(jīng)常采用點差法求解更簡單些.5．(1)x(2)10【詳解】（1）因為點N(2,0)是橢圓的右頂點，所以a=2.又ca=2又b2+所以橢圓的方程為x2（2）由題意得直線l的方程為：y=x+1，設Ax1聯(lián)立y=x+1x24+y∴x∴AB=1+∵N2，0到直線l:x-y+1=0∴S6．(1)x(2)m=±【詳解】（1）由題意可知，ca=121a2所以橢圓C的方程為x2（2）聯(lián)