專題2.3冪函數(shù)與二次函數(shù)（舉一反三講義）【全國(guó)通用】TOC\o"13"\h\u【題型1冪函數(shù)的定義】 2【題型2比較冪值的大小】 3【題型3冪函數(shù)圖象的判斷及應(yīng)用】 3【題型4冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 5【題型5求二次函數(shù)的值域或最值】 5【題型6二次函數(shù)的圖象問題】 6【題型7二次函數(shù)的單調(diào)性問題】 7【題型8二次函數(shù)的恒成立問題】 81、冪函數(shù)與二次函數(shù)考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)了解冪函數(shù)的定義，掌握冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)(2)熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（單調(diào)性、對(duì)稱性與最值等）2020年江蘇卷：第7題，5分2024年天津卷：第2題，5分冪函數(shù)與二次函數(shù)是常見的重要函數(shù)，在歷年的高考中都占據(jù)著重要的地位，是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考形勢(shì)來看，冪函數(shù)較少單獨(dú)考查，常與指、對(duì)數(shù)函數(shù)結(jié)合考查，包括比較指對(duì)冪的大小、解不等式等考法，主要出現(xiàn)在選擇題、填空題中，難度較易；二次函數(shù)常與其他知識(shí)相結(jié)合，考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).知識(shí)點(diǎn)1冪函數(shù)的解題技巧1．冪函數(shù)的解析式2．冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1,+)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.3．比較冪值的大小在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.知識(shí)點(diǎn)2二次函數(shù)的解題技巧1．二次函數(shù)解析式的求法(1)一般式法：已知三點(diǎn)坐標(biāo)，選用一般式.(2)頂點(diǎn)式法：已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸或最大（?。┲?，選用頂點(diǎn)式.(3)零點(diǎn)式法：已知與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)，選用零點(diǎn)式.2．二次函數(shù)的圖象問題(1)研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開口”進(jìn)行分析，“三點(diǎn)”中有一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個(gè)點(diǎn)是圖象上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)；“一線”是指對(duì)稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向.(2)求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題，可借助二次函數(shù)的圖象特征，分析不等關(guān)系成立的條件.3．二次函數(shù)的單調(diào)性與最值閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸，結(jié)合圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解.4．二次函數(shù)的恒成立問題不等式恒成立求參數(shù)范圍，一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)，直接借助于函數(shù)圖象求最值.這兩個(gè)思路，最后都是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.【題型1冪函數(shù)的定義】【例1】（2526高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列函數(shù)中，屬于冪函數(shù)的是（

）A．y=(2x)2 B．y=x C．y=?【變式11】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列函數(shù)既是冪函數(shù)又是奇函數(shù)的是（）A．y=x3 B．y=x2 C．【變式12】（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）在函數(shù)y=x?2，y=2x2，y=(x+1)A．0 B．1C．2 D．3【變式13】（2425高一上·上?！て谥校┫铝泻瘮?shù)是冪函數(shù)且在(0,+∞)上是減函數(shù)的是（A．y=x2 B．y=x13 【題型2比較冪值的大小】【例2】（2425高一上·安徽安慶·階段練習(xí)）已知a=20.2，b=0.40.2，c=0.150.1，則a，A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．c>a>b D．b>c>a【變式21】（2425高一上·陜西咸陽(yáng)·期末）已知a、b∈0,1∪1,+∞且c>0，則“a>b>1”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式22】（2425高一上·安徽·期中）冪函數(shù)f(x)=(m2?m?1)xm2+2m?5在區(qū)間(0,+A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷【變式23】（2025·湖北孝感·模擬預(yù)測(cè)）已知f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)=2x?x2，當(dāng)x>2時(shí)，f(x)=x?3A．?f?26>fC．?f?26>f【題型3冪函數(shù)圖象的判斷及應(yīng)用】【例3】（2425高一上·浙江杭州·期末）如圖所示的冪函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式可能為（

）

A．y=1x3 B．y=x C．【變式31】（2425高一上·遼寧·期末）如圖，①②③④對(duì)應(yīng)四個(gè)冪函數(shù)的圖象，則①對(duì)應(yīng)的冪函數(shù)可以是（

）A．y=x?12 B．y=x2【變式32】（2425高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)y=xpq（p,q∈Z且p,q互質(zhì)）的圖象關(guān)于A．p，q均為奇數(shù)，且pB．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且pC．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且pD．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且p【變式33】（2425高一上·上海浦東新·期中）圖中C1、C2、C3分別為冪函數(shù)y=xα1，y=xα2，y=A．3，12，?1 B．3，?1，C．12，3，?1 D．12，?1【題型4冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例4】（2425高一下·安徽馬鞍山·開學(xué)考試）已知點(diǎn)3,33在冪函數(shù)fx的圖象上，則A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù) D．在x∈?【變式41】（2425高一上·廣東汕頭·期末）已知冪函數(shù)fx=m2?3m+1xm?1是R上的偶函數(shù)，且函數(shù)gA．?∞,3 B．7,+∞ C．3,7【變式42】（2425高一上·江蘇揚(yáng)州·期末）若冪函數(shù)fx的圖象經(jīng)過點(diǎn)4,18A．fx為偶函數(shù) B．方程fxC．fx在0,+∞上為增函數(shù) D．f【變式43】（2425高一下·湖北·階段練習(xí)）冪函數(shù)fx=m2?m?1A．m=2 B．m=2或m=?1C．fx是偶函數(shù) D．f【題型5求二次函數(shù)的值域或最值】【例5】（2025高二下·湖南郴州·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)y=?x2?4x+3A．7,+∞ B．7,+∞ C．?∞【變式51】（2025高一上·河北保定·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+mx+m2?m（m為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A．最大值5 B．最大值15C．最小值5 D．最小值15【變式52】（2425高一上·新疆·期中）已知函數(shù)f(x)=x2?4x+5在[m,n]上的值域是[1,10]，則n?mA．3 B．6 C．4 D．8【變式53】（2425高二上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=?x2+2bx，若f(f(x))的最大值與f(x)的最大值相等，則實(shí)數(shù)bA．b≤0 B．b≥1或b≤0 C．?1≤b≤0 D．b≥?1【題型6二次函數(shù)的圖象問題】【例6】（2425高一上·重慶·期中）已知函數(shù)fx=ax2+bx+cA． B． C． D．【變式61】（2425高一下·云南迪慶·期末）拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)A．a(chǎn)bc>0 B．b=2aC．3a+c<0 D．b【變式62】（2425高一上·福建福州·階段練習(xí)）不等式cx2+ax+b>0的解集為x?1<x<1A．

B．

C．

D．

【變式63】（2025·陜西漢中·三模）在特定條件下，籃球賽中進(jìn)攻球員投球后，籃球的運(yùn)行軌跡是開口向下的拋物線的一部分.“蓋帽”是一種常見的防守手段，防守隊(duì)員在籃球上升階段將球攔截即為“蓋帽”，而防守隊(duì)員在籃球下降階段將球攔截則屬“違規(guī)”.對(duì)于某次投籃而言，如果忽略其他因素的影響，籃球處于上升階段的水平距離越長(zhǎng)，則被“蓋帽”的可能性越大.收集幾次籃球比賽的數(shù)據(jù)之后，某球員投籃可以簡(jiǎn)化為下述數(shù)學(xué)模型：如圖所示，該球員的投籃出手點(diǎn)為P，籃框中心點(diǎn)為Q，他可以選擇讓籃球在運(yùn)行途中經(jīng)過A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)中的某一點(diǎn)并命中Q，忽略其他因素的影響，那么被“蓋帽”的可能性最小的線路是（

）A．P→A→Q B．P→B→Q C．P→C→Q D．P→D→Q【題型7二次函數(shù)的單調(diào)性問題】【例7】（2425高一上·海南·階段練習(xí)）若函數(shù)fx=x2+1+ax+2A．?∞,7 B．7,+∞ C．?7,+【變式71】（2425高二下·山東濰坊·期末）已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?5A．(?∞,?1] C．(?∞,2] 【變式72】（2425高一上·陜西寶雞·階段練習(xí)）“m<?17”是“函數(shù)fx=?3x2+2A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【變式73】（2425高三上·陜西渭南·階段練習(xí)）若二次函數(shù)fx=ax2+2a?1x+2A．15,+∞ B．0,15 【題型8二次函數(shù)的恒成立問題】【例8】（2425高一下·貴州·階段練習(xí)）對(duì)任意x∈?1,?1，不等式2x2A．?∞,?14 B．?∞【變式81】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)fx=ax2?2ax，命題“?x∈2,6，A．32,+∞ B．3,+∞ C．【變式82】（2025·上海黃浦·二模）設(shè)函數(shù)fx=?x2+ax+20,?4≤x≤0aA．1,+∞ B．C．516,1 【變式83】（2025·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，fx=x2?2x+2.

若fxA．?∞,2 B．?∞,1 C．一、單選題1．（2025·河南駐馬店·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)fx=m2+m?1A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或22．（2025·山東·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)全集U=R，集合A={yy=x2,x∈RA．A∪B B．(?UA)∩B C．A∩(3．（2025·江蘇鹽城·三模）“m=2”是“fx=mA．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要4．（2425高一上·北京·開學(xué)考試）已知二次函數(shù)y=mx2?2mx（m為常數(shù)），當(dāng)?1≤x≤2時(shí)，函數(shù)值y的最小值為?2A．?2 B．1 C．2或?23 5．（2425高一上·廣西欽州·階段練習(xí)）“m<?17”是“函數(shù)fx=?3x2+2A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．（2025·天津·二模）已知函數(shù)y=2ax3a<0A．偶函數(shù)，且在區(qū)間?∞,0上單調(diào)遞減 B．偶函數(shù)，且在區(qū)間C．奇函數(shù)，且在區(qū)間?∞,0上單調(diào)遞減 D．奇函數(shù)，且在區(qū)間7．（2025·江西·一模）若直線y=t(0<t<1)與冪函數(shù)y=x3，y=x，y=1x的圖象從左到右依次交于不同的三點(diǎn)A，B，CA．1t?t2 B．1t?8．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=xA．fx的圖象恒過點(diǎn)0,0 B．fx的圖象必與C．fx的最小值可能為?2 D．fx二、多選題9．（2425高一上·貴州·階段練習(xí)）現(xiàn)有4個(gè)冪函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)可能成立的是（

）A．p=3，m=2，q=12B．p=4，m=3，q=13C．p=2，m=3，q=?12D．p=12，m=1310．（2425高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）二次函數(shù)y=x2+2a?1x?3A．?12 C．?14 11．（2425高一上·廣東廣州·期末）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x=1，且與x軸交于點(diǎn)AA．a(chǎn)>0B．?m∈C．a(chǎn)x+c>0的解集為{x∣x<3}D．cx2三、填空題12．（2025·甘肅定西·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)fx=xa的定義域?yàn)镽，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在0,+∞上單調(diào)遞增，則α13．（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）命題p：存在m∈?1,1，使得函數(shù)fx=x2?2mx在區(qū)間a,+∞14．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=x2?6x+7在1,mm>1上的最大值為A，在m,2m?1上的最大值為B，若四、解答題15．（2025高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x(1)已知f(x)在3,+∞上單調(diào)遞增，求a(2)求f(x)在?1,2上的最小值．16．（2425高一下·廣東·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)fx=3(1)求fx(2)若不等式fa+1+f2a?317．（2425高三上·四川遂寧·階段練習(xí)）已