第05講二項分布、超幾何分布及正態(tài)分布目錄01TOC\o"13"\h\u考情解碼?命題預(yù)警 2TOC\o"13"\h\u02體系構(gòu)建·思維可視 203核心突破·靶向攻堅 3知能解碼 3知識點1二項分布 3知識點2超幾何分布 3知識點3正態(tài)分布 4題型破譯 5題型1二項分布 5題型2超幾何分布 7題型3正態(tài)分布 904真題溯源·考向感知 1205課本典例·高考素材 13考情分析：北京卷中對常見概率分布的考查常融入概率統(tǒng)計解答題中，作為核心建模與計算環(huán)節(jié)，屬于“中檔區(qū)分題”。核心考查二項分布與超幾何分布的模型識別、概率計算、期望與方差，以及正態(tài)分布的對稱性、3σ原則及概率估計。試題強調(diào)對分布模型適用條件的深刻理解（如“有放回”與“無放回”抽樣的本質(zhì)區(qū)別），常以生活或科學(xué)實驗情境為載體。聚焦于準(zhǔn)確識別并區(qū)分二項分布與超幾何分布、正態(tài)分布下給定區(qū)間的概率求解與轉(zhuǎn)化，是解題的關(guān)鍵，也是主要的失分點。復(fù)習(xí)目標(biāo)：1.理解n次獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ?，掌握二項分布的定義、概率公式、期望與方差及其推導(dǎo)過程。2.理解超幾何分布模型，掌握其定義、概率公式及適用場景（無放回抽樣）。3.能準(zhǔn)確辨析實際問題中的條件，正確選擇應(yīng)用二項分布或超幾何分布模型進行計算。4.理解正態(tài)分布曲線的特點（對稱性、鐘形曲線），了解參數(shù)μ和σ的統(tǒng)計意義。5.掌握正態(tài)分布的3σ原則，能利用對稱性計算給定區(qū)間的概率，并進行簡單的概率估計。6.能綜合運用常見分布模型解決簡單的實際應(yīng)用問題，并給出合理的解釋。知識點1二項分布二項分布一般地，如果一次伯努利試驗中，出現(xiàn)“成功”的概率為p，記q=1?p，且n次獨立重復(fù)試驗中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X，則X的取值范圍是{0，1，…，k，…，n}，而且PX=k=，k=0,1,?,n，因此X01…k…nPCC…C…C注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二項展開式(q+p)n的展開式中對應(yīng)項的值，因此稱X服從參數(shù)為n，p的，記作且有E(X)=，D(X)=.注：①n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率與第k次才發(fā)生的概率計算公式分別是Pn(k)=C（3）二項分布的增減性與最大值記pk=P(x=k)，則當(dāng)k<(n+1)p時，pk>pk?1，pk遞增；當(dāng)k<(n+1)p時，pk<p(n+1)p非整數(shù)，則k取(n+1)p的整數(shù)部分時，pk自主檢測某籃球運動員投籃的命中率為0.2，現(xiàn)投了3次球．(1)求恰有2次命中的概率；(2)設(shè)命中的次數(shù)為X，求EX知識點2超幾何分布超幾何分布：若X～HN,M,n，則EX自主檢測一袋中裝有50個白球，45個黑球，5個紅球，現(xiàn)從中隨機抽取20個球，求取出的紅球個數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．知識點3正態(tài)分布（1）連續(xù)型隨機變量：隨機變量的取值充滿某個區(qū)間甚至整個實軸，但取一點的概率為，我們稱這類隨機變量為連續(xù)型隨機變量.（2）正態(tài)分布：函數(shù)f（x）＝1σ2πe?(x?μ)22o2，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù).我們稱f（x）為，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱，如圖所示.若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f（x），則稱隨機變量X服從若X～N（μ，σ2），則如圖所示，X取值不超過x的概率P（X≤x）為圖中區(qū)域A的面積，而P（a≤X≤b）為區(qū)域B的面積.（3）正態(tài)曲線的特點①曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱；②曲線在x＝μ處達到峰值；③當(dāng)|x|無限增大時，曲線無限接近.④在參數(shù)σ取固定值時，正態(tài)曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖1所示.

圖1⑤當(dāng)μ取定值時，正態(tài)曲線的形狀由σ確定.當(dāng)σ較小時，峰值高，曲線，表示隨機變量X的分布比較；當(dāng)σ較大時，峰值低，曲線，表示隨機變量X的分布比較，如圖2所示.

圖2（4）正態(tài)分布的均值、方差：若X～N（μ，σ2），則E（X）＝μ，D（X）＝σ2.（5）正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827；②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545；③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.9973.在實際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N（μ，σ2）的隨機變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計學(xué)中稱為3σ原則.（6）正態(tài)分布計算常用結(jié)論①P（X<a）＝1－P（X≥a）.②P（X<μ－a）＝P（X≥μ＋a）.③P（X<μ－b）＝1?P(μ?b≤X≤μ+b)2（b自主檢測1設(shè)隨機變量ξ～N(0,1)，若P(ξ≥1)=p，則P(?1<ξ<0)=．（用含有P(ξ≥1)=p的式子表示）自主檢測2已知某場考試考生人數(shù)為10000人，考試的成績服從正態(tài)分布N300,2500，若錄取分?jǐn)?shù)線為350分，則錄取人數(shù)約為．（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）(參考數(shù)據(jù)：若ξ服從正態(tài)分布Nμ,δ2題型1二項分布例11有一個翻牌游戲，規(guī)則如下：每一輪翻牌兩次，每次翻出花色牌的概率為12(1)若甲參與一輪翻牌游戲，求甲獲得一份精美禮品的概率；(2)若乙參與三輪翻牌游戲，設(shè)乙獲得的精美禮品數(shù)量為X，求X的分布列與期望.例12某罐中裝有除顏色外完全相同的4個紅球和3個綠球，每次隨機摸出1個球．(1)若每次都是不放回地摸球，連續(xù)摸兩次，求在第二次摸球時摸得紅球的條件下，第一次摸球時摸得紅球的概率；(2)若每次都是有放回地摸球，連續(xù)摸四次，摸得紅球記1分，摸得綠球記0分，設(shè)四次摸球總得分為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．例13某企業(yè)的生產(chǎn)設(shè)備控制系統(tǒng)由2k?1k∈N*個相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為p0<p<1，各元件之間相互獨立.當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于k個元件正常工作時，設(shè)備正常運行，否則設(shè)備停止運行，記設(shè)備正常運行的概率為Pk(1)若p=23，當(dāng)（i）求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）求P2(2)討論Pk與P【變式訓(xùn)練11】某電子零部件代加工工廠生產(chǎn)的零部件次品率為10%(1)從一批產(chǎn)品中隨機抽取4件，求抽到的零部件中正品數(shù)多于次品數(shù)的概率；(2)若從另一批產(chǎn)品中隨機抽取3件，記抽到的零部件的正品數(shù)與次品數(shù)差的絕對值為X，求X的分布列與期望.【變式訓(xùn)練12】甲、乙兩位同學(xué)參加答題活動，已知兩人各答3道試題，答對每道試題的概率均為13(1)記甲同學(xué)答對的試題數(shù)為X，求X的分布列與期望；(2)求甲同學(xué)答對的試題數(shù)比乙同學(xué)答對的試題數(shù)多的概率.【變式訓(xùn)練13】為增強學(xué)生的法制意識，打造平安校園，某市組織該市的全體高中學(xué)生開展“智慧法治，平安校園”的知識競賽，競賽成績經(jīng)統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖：用樣本估計總體，以頻率代替概率.現(xiàn)從該市的高中學(xué)生中隨機抽取n人，用X表示成績在80,90的人數(shù).(1)若n=3，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若n=20，求使得PX=k取得最大值時k題型2超幾何分布例21為大力弘揚中華民族尊老、敬老、愛老的傳統(tǒng)美德，某醫(yī)院從A，B兩個科室的志愿者中隨機抽調(diào)4人為某社區(qū)養(yǎng)老院的老人進行“免費健康體檢”活動，已知A，B兩個科室中的志愿者分布如下：

類別科室志愿者醫(yī)生護士A科室23B科室33(1)求抽到的4人中，恰好有2名醫(yī)生，且這2名醫(yī)生恰好來自同一科室的概率；(2)設(shè)X為選出的4人中醫(yī)生的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.例22甲、乙兩個箱子中，各裝有6個球，其中甲箱中有3個紅球和3個白球，乙箱中有m2≤m≤6個紅球，其余都是白球.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點數(shù)為1或2，則從甲箱中隨機摸出2個球；如果點數(shù)為3、4、5、6，則從乙箱中隨機摸出2個球.已知擲1次骰子后，摸出的球都是紅球的概率是1(1)求m的值；(2)若不擲骰子，直接從甲箱摸出2個球，記摸到紅球的個數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.例23某校為了解高三學(xué)生每天的作業(yè)完成時長，在該校高三學(xué)生中隨機選取了100人，對他們每天完成各科作業(yè)的總時長進行了調(diào)研，結(jié)果如下表所示：時長（小時）0,22,2.52.5,33,3.53.5,4人數(shù)（人）34334218用表格中的頻率估計概率，且每個學(xué)生完成各科作業(yè)時互不影響.(1)從該校高三學(xué)生中隨機選取1人，估計該生可以在3小時內(nèi)完成各科作業(yè)的概率；(2)從樣本“完成各科作業(yè)的總時長在2.5小時內(nèi)”的學(xué)生中隨機選取3人，其中共有X人可以在2小時內(nèi)完成各科作業(yè)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；(3)從該校高三學(xué)生（學(xué)生人數(shù)較多）中隨機選取3人，其中共有Y人可以在3小時內(nèi)完成各科作業(yè)，求Y的分布列和方差DY【變式訓(xùn)練21】為提高天津市的整體旅游服務(wù)質(zhì)量，市旅游局舉辦了天津市旅游知識競賽，參賽單位為本市內(nèi)各旅游協(xié)會，參賽選手為持證導(dǎo)游．現(xiàn)有來自甲旅游協(xié)會的導(dǎo)游5名，其中高級導(dǎo)游4名；乙旅游協(xié)會的導(dǎo)游5名，其中高級導(dǎo)游2名、從這10名導(dǎo)游中隨機選擇4人參加比賽．(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名高級導(dǎo)游，且這2名高級導(dǎo)游來自同一個旅游協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)ξ為選出的4人中高級導(dǎo)游的人數(shù)，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望【變式訓(xùn)練22】某校為了解高三學(xué)生每天的作業(yè)完成時長，在該校高三學(xué)生中隨機選取了100人，對他們每天完成各科作業(yè)的總時長進行了調(diào)研，結(jié)果如下表所示：時長（小時）0,22,2.52.5,33,3.53.5,4人數(shù)（人）34334218用表格中的頻率估計概率，且每個學(xué)生完成各科作業(yè)時互不影響.(1)從該校高三學(xué)生中隨機選取1人，估計該生可以在3小時內(nèi)完成各科作業(yè)的概率；(2)從樣本“完成各科作業(yè)的總時長在2.5小時內(nèi)”的學(xué)生中隨機選取3人，其中共有X人可以在2小時內(nèi)完成各科作業(yè)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)從該校高三學(xué)生（學(xué)生人數(shù)較多）中隨機選取3人，其中共有Y人可以在3小時內(nèi)完成各科作業(yè)，直接寫出EY【變式訓(xùn)練23】某企業(yè)使用新技術(shù)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，該產(chǎn)品在出廠前要經(jīng)歷生產(chǎn)和檢測兩道工序，生產(chǎn)工序的次品率為120(1)現(xiàn)有7件經(jīng)過生產(chǎn)工序但未經(jīng)檢測工序的產(chǎn)品，其中恰含2件次品，從這7件產(chǎn)品中隨機抽取3件，求這3件產(chǎn)品中的次品數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若智能自動檢測的準(zhǔn)確率為98%題型3正態(tài)分布例31若隨機變量X服從正態(tài)分布N1,σ2，且PX≥0.5=0.86A．0.24 B．0.36 C．0.5 D．0.86例32已知某企業(yè)加工某零件，根據(jù)長期檢測結(jié)果，得知該企業(yè)生產(chǎn)的零件的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布Nμ,(1)求這100件零件的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(2)用這100件零件的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x作為μ的估計值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值．若質(zhì)量指標(biāo)值在43,87內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)等品，根據(jù)正態(tài)分布Nμ,附：取30=5.5Pμ?σ≤X≤μ+σ=0.6827，Pμ?2σ≤X≤μ+2σ例33某個景點自從取消門票實行免費開放后，迅速成為網(wǎng)紅打卡點，不僅帶動了淡季的旅游，而且優(yōu)化了旅游產(chǎn)業(yè)的結(jié)構(gòu)．下表是該景點免費開放后前五個月的打卡人y數(shù)（萬人）與第x個月的數(shù)據(jù)：x12345y23.137.062.1111.6150.8(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)可用一元線性回歸模型刻畫變量y與變量x之間的線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程y=bx+a中的b=32.88，請計算相關(guān)系數(shù)r(2)為更好地改進服務(wù)，景點對每位游客進行了滿意度調(diào)查，已知評分X近似服從正態(tài)分布N86,9，評分低于m的游客約占15.865%，求m(3)為進一步了解游客性別與滿意度的關(guān)系，隨機抽查200名游客，得到如下列聯(lián)表，請?zhí)顚懴旅娴?×2列聯(lián)表，根據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，能否推斷游客是否滿意與性別有關(guān)？喜歡不喜歡總計男100女60總計110參考公式：相關(guān)系數(shù)：若|r|≥0.75，則認(rèn)為y與x有較強的線性相關(guān)性．r=回歸方程y=bχ2=n臨界值表：α0.0100.0050.001x6.6357.87910.828參考數(shù)據(jù)：i=15若X～Nμ,σ，則PP【變式訓(xùn)練31】某校舞蹈隊隊員的身高X（單位：cm）近似服從正態(tài)分布N(172,4)，則P(X≥168)≈（

）（附：若X~N(μ,σ2)，則P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.6827A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772【變式訓(xùn)練32】已知甲、乙兩批袋裝食鹽的質(zhì)量（單位：g）分別服從正態(tài)分布Nμ甲,σ甲A．μ甲>μ乙，σ甲C．μ甲<μ乙，σ甲【變式訓(xùn)練33】在雙碳戰(zhàn)略之下，新能源汽車發(fā)展成為乘用車市場轉(zhuǎn)型升級的重要方向，2024年我國新能源汽車銷量繼續(xù)走高．為了解新能源汽車車主對新能源汽車的滿意程度，某市某品牌的新能源汽車經(jīng)銷商從購買了該品牌新能源汽車的車主中隨機選取了100人進行問卷調(diào)查，并根據(jù)其滿意度評分X（單位：分，總分100分）制作了如下的頻數(shù)分布表：滿意度評分X40,5050,6060,7070,8080,9090,100頻數(shù)101520301510(1)計算滿意度評分X的樣本平均數(shù)x和樣本中位數(shù)；（每組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表）(2)根據(jù)頻數(shù)分布表可以認(rèn)為該市該品牌新能源汽車車主對新能源汽車的滿意度評分X近似地服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中μ近似為樣本平均數(shù)x,σ近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s，并求得(3)為提升新能源汽車的銷量，該品牌4S店針對購買該品牌新能源汽車的顧客設(shè)置了抽獎環(huán)節(jié)，抽獎規(guī)則如下：每人可參加2次抽獎，每次抽獎都從裝有3個紅球、3個白球（形狀、大小、質(zhì)地完全相同）的抽獎箱里一次性摸出3個球，若摸出3個紅球，則返還2000元現(xiàn)金；若摸出2個紅球，則返還1000元現(xiàn)金，其余情況不返還任何現(xiàn)金（兩次抽獎返現(xiàn)金額疊加）．已知小王參加了抽獎，記他獲得的返現(xiàn)金額為Y，求隨機變量Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X～Nμ,σ2【變式訓(xùn)練34】某企業(yè)的甲、乙兩條生產(chǎn)線都生產(chǎn)M型零件，一天中，甲、乙兩條生產(chǎn)線分別生產(chǎn)320件和1280件M型零件，為了解該企業(yè)M型零件的生產(chǎn)質(zhì)量，現(xiàn)利用分層隨機抽樣，從一天中生產(chǎn)的M型零件中隨機抽取40件，測量其尺寸（單位：mm），所得尺寸數(shù)據(jù)的統(tǒng)計結(jié)果如下表：平均尺寸標(biāo)準(zhǔn)差甲生產(chǎn)線p件M型零件806乙生產(chǎn)線q件M型零件704(1)求這40件M型零件尺寸的平均數(shù)x；(2)求這40件M型零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差s；(3)假設(shè)該企業(yè)一天中生產(chǎn)的M型零件尺寸服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中用樣本平均數(shù)x作為μ的估計值μ，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值σ.試估計：這一天生產(chǎn)的M參考數(shù)據(jù)：①n個數(shù)x1，x2，x3，…，xn的方差為s2=1ni=1nxi?1．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.現(xiàn)對100人進行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為111.設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設(shè)Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)2．（2020·北京·高考真題）某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設(shè)計了相應(yīng)的活動方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對活動方案是否支持，對學(xué)生進行簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨立．（Ⅰ）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計值記為p0，假設(shè)該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計值記為p1，試比較p0一、解答題1．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，用X表示所選3人中女生的人數(shù)．(1)求X的分布列；(2)求PX≤12．從6名男生和4名女生中隨機選出3名同學(xué)參加一項競技測試．(1)求選出的3名同學(xué)中至少有1名女生的概率；(2)設(shè)ξ表示選出的3名同學(xué)中男生的人數(shù)，求ξ的分布列．3．某金屬元件的抗拉強度服從正態(tài)分布，均值為10000kg/cm2，標(biāo)準(zhǔn)差是(1)求抗拉強度超過10150kg(2)如果要求所有元件的規(guī)格是9800～10200kg4．已知隨機變量ξ～N0,1，φ(1)φ?x(2)Pξ(3)Pξ(4)Pξ5．一個車間有3臺車床，它們各自獨立工作.設(shè)同時發(fā)生故障的車床數(shù)為X，在