第05講二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布目錄01TOC\o"13"\h\u考情解碼?命題預(yù)警 202體系構(gòu)建·思維可視 303核心突破·靶向攻堅(jiān) 4知能解碼 4知識(shí)點(diǎn)1二項(xiàng)分布 4知識(shí)點(diǎn)2超幾何分布 5知識(shí)點(diǎn)3正態(tài)分布 5題型破譯 6題型1n重伯努利試驗(yàn)的判斷 7題型2n重伯努利試驗(yàn)概率的求法 9題型3二項(xiàng)分布的均值與方差 12題型4利用超幾何分布的公式求概率 14題型5正態(tài)曲線的圖象的應(yīng)用 17題型6利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求概率 2004真題溯源·考向感知 2205課本典例·高考素材 28考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年（1）二項(xiàng)分布（2）超幾何分布（3）正態(tài)分布單選題多選題填空題解答題天津卷，第5題，5分考情分析：本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給實(shí)際問(wèn)題，求解概率問(wèn)題。設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分復(fù)習(xí)目標(biāo)：1.理解、掌握獨(dú)立重復(fù)的概念，能夠求解概率問(wèn)題2.能掌握離散型隨機(jī)變量和性質(zhì)3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助圖形，解決正態(tài)分布問(wèn)題4.會(huì)解運(yùn)用幾種分布求解概率

知識(shí)點(diǎn)1：二項(xiàng)分布1．n重伯努利試驗(yàn)的概念只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱(chēng)為n重伯努利試驗(yàn)．2．n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征(1)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．3．二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為：如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)．4．一般地，可以證明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．自主檢測(cè)已知某批礦物晶體中含有大量水分子，且經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)其中輕水分子、重水分子、超重水分子的比例為6：3：1.現(xiàn)利用儀器從一塊礦物晶體中分離出3個(gè)水分子，用頻率估計(jì)概率，則至少分離出2個(gè)輕水分子的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算，注意至少分離出2個(gè)輕水分子含有分離出2個(gè)輕水分子和分離出3個(gè)輕水分子兩種情況故至少分離出2個(gè)輕水分子的概率為．故選：D.知識(shí)點(diǎn)2：超幾何分布1．超幾何分布超幾何分布模型是一種不放回抽樣一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布．2．超幾何分布的期望E(X)＝eq\f(nM,N)＝np(p為N件產(chǎn)品的次品率)．自主檢測(cè)一個(gè)箱子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球，60個(gè)紅球，從中隨機(jī)的摸出20個(gè)，用表示采取放回摸球時(shí)摸到黃球的個(gè)數(shù)，用表示采取不放回摸球時(shí)摸到的黃球個(gè)數(shù)，，的概率分布圖如下所示，則下列結(jié)論正確的是（

）【答案】A【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布和超幾何分布的期望和方差的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】由題意可知服從二項(xiàng)分布，服從超幾何分布，因此它們的期望相同，故選：A知識(shí)點(diǎn)3：正態(tài)分布1．正態(tài)曲線正態(tài)曲線沿著橫軸方向水平移動(dòng)只能改變對(duì)稱(chēng)軸的位置，曲線的形狀沒(méi)有改變，所得的曲線依然是正態(tài)曲線函數(shù)f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)．顯然對(duì)于任意x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方．可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1．我們稱(chēng)f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱(chēng)它的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線．若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)，特別地，當(dāng)μ＝0，σ＝1時(shí)，稱(chēng)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．2．由X的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線還有以下特點(diǎn)(1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)；(2)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(3)當(dāng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近x軸．3．正態(tài)分布的期望與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2．4．正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱(chēng)為3σ原則.【答案】C故選：C.題型1n重伯努利試驗(yàn)的判斷例11在100件產(chǎn)品中有5件次品，采用放回的方式從中任意抽取10件，設(shè)表示這10件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則（

）【答案】B【分析】由二項(xiàng)分布的定義判斷.相當(dāng)于次獨(dú)立重復(fù)的伯努利實(shí)驗(yàn)，故選：B例12（2025·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布的是（

）A．將一枚硬幣連拋次，記正面向上的次數(shù)為B．某射手的射擊命中率為，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊次，記命中的次數(shù)為C．從男女共名學(xué)生干部中選出名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為D．盒中有個(gè)白球和個(gè)黑球，每次從中摸出個(gè)球且不放回，記第一次摸出黑球時(shí)摸取的次數(shù)為【答案】C【分析】根據(jù)超幾何分布的定義逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，將一枚硬幣連拋次，記正面向上的次數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，A不滿(mǎn)足；對(duì)于B選項(xiàng)，某射手的射擊命中率為，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊次，記命中的次數(shù)為，則服從兩點(diǎn)分布，B不滿(mǎn)足；對(duì)于C選項(xiàng)，從男女共名學(xué)生干部中選出名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為，則服從超幾何分布，C滿(mǎn)足；對(duì)于D選項(xiàng)，盒中有個(gè)白球和個(gè)黑球，每次從中摸出個(gè)球且不放回，記第一次摸出黑球時(shí)摸取的次數(shù)為，則不服從超幾何分布，D不滿(mǎn)足.故選：C.方法技巧n重伯努利試驗(yàn)的判斷依據(jù)(1)要看該試驗(yàn)是不是在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行．(2)每次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，互不影響．【變式訓(xùn)練11】一個(gè)n重伯努利試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成集合A，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）B．集合A內(nèi)的元素個(gè)數(shù)不確定D．該n重伯努利實(shí)驗(yàn)共做了n次互相獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)【答案】B【分析】根據(jù)n重伯努利試驗(yàn)的特征和二項(xiàng)分布的定義可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.對(duì)于B，一個(gè)n重伯努利試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成合A，所以集合A內(nèi)的元素個(gè)數(shù)為，所以B不正確；對(duì)于D，該n重伯努利實(shí)驗(yàn)共做了n次互相獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)，故D正確.故選：B.A．8 B． C． D．16【答案】D故選：D【變式訓(xùn)練13】（2025·天津·調(diào)研）下列事件：①運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”；②甲?乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”；③甲?乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲?乙都射中目標(biāo)”與“甲?乙都沒(méi)射中目標(biāo)”；④在相同的條件下，甲射擊10次5次擊中目標(biāo).其中是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨(dú)立事件，以及獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義可以判斷：①，甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”是一個(gè)實(shí)驗(yàn)的兩個(gè)結(jié)果，是互斥事件；②是相互獨(dú)立事件；③是互斥事件；④是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).【詳解】①和③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互獨(dú)立事件；④是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；所以只有④符合題意，故選：D.題型2n重伯努利試驗(yàn)概率的求法例21（2025·天津·聯(lián)考）2025年2月13日，《哪吒之魔童鬧海》在上映的第16天，票房成功突破百億，成為中國(guó)影史首部票房破百億（全球票房）的影片后，哪吒的故事愈發(fā)深入人心.在影片中的一場(chǎng)經(jīng)典戰(zhàn)斗里，哪吒身處一片無(wú)垠的海面與敖丙對(duì)抗.此時(shí)，每次揮動(dòng)混天綾，哪吒有的概率朝著敖丙方向前進(jìn)一步.有的概率向后退一步，且向前向后相互獨(dú)立.當(dāng)哪吒揮動(dòng)混天綾5次時(shí)，他位于比初始位置更靠近敖丙1步處的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A當(dāng)哪吒揮動(dòng)混天綾5次時(shí)，他位于比初始位置更靠近敖丙1步，即哪吒向前走了3步，向后退了2步，故選：A.例22設(shè)事件每次成功的概率為，現(xiàn)進(jìn)行3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，如果在事件至少成功1次的條件下，3次試驗(yàn)全部成功的概率為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)槭录看纬晒Φ母怕蕿?，故選：D.方法技巧n重伯努利試驗(yàn)概率求解的關(guān)注點(diǎn)(1)解此類(lèi)題常用到互斥事件概率加法公式，相互獨(dú)立事件概率乘法公式及對(duì)立事件的概率公式．(2)運(yùn)用n重伯努利試驗(yàn)的概率公式求概率時(shí)，首先判斷問(wèn)題中涉及的試驗(yàn)是否為n重伯努利試驗(yàn)，判斷時(shí)注意各次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的，并且每次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種(即要么發(fā)生，要么不發(fā)生)，在任何一次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率都相等，然后用相關(guān)公式求概率．【變式訓(xùn)練21】如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為．若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)經(jīng)過(guò)5次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位與點(diǎn)的距離不大于一個(gè)單位的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計(jì)算出質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)次移動(dòng)后與點(diǎn)的距離不大于一個(gè)單位時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置，得出質(zhì)點(diǎn)向右移動(dòng)和向左移動(dòng)的次數(shù)，即可求出質(zhì)點(diǎn)位與點(diǎn)的距離不大于一個(gè)單位的概率.∵為正整數(shù)，∴該質(zhì)點(diǎn)位與點(diǎn)的距離不大于一個(gè)單位的概率為：故選：C.111

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011A． B． C． D．0【答案】B故選：B.【答案】C【分析】利用給定的信息，求出，再利用概率公式計(jì)算即得.故選：C．題型3二項(xiàng)分布的均值與方差【答案】C故選：C．例32某班準(zhǔn)備從全班50人中選一人參加學(xué)?；顒?dòng)，投票結(jié)果甲乙丙三人票數(shù)并列第一，現(xiàn)決定抽簽的方式在甲乙丙中確定最終人選，抽簽規(guī)則如下，班主任擲骰子確定三人抽簽順序，拋擲一枚均勻的骰子，每個(gè)點(diǎn)數(shù)對(duì)應(yīng)一種抽簽順序，然后甲乙丙按照相應(yīng)順序依次從裝有大小形狀完全相同的兩白一紅三個(gè)小球的盒子里不放回的各自取一球，取到紅球即勝出，則甲勝出的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，抽簽順序有6種可能，分別為甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，各情況出現(xiàn)概率為，對(duì)于甲乙丙、甲丙乙兩種情況，此時(shí)甲勝出的概率為，故選：A方法技巧解決此類(lèi)問(wèn)題第一步是判斷隨機(jī)變量X服從什么分布，第二步代入相應(yīng)的公式求解．若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服從二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，列出不等式求出，再利用二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算得解.故選：A．A． B． C． D．【答案】A【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)及二項(xiàng)分布計(jì)算即可.故選：AA． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)選到深度貧困村數(shù)為，則隨機(jī)變量的可能取值有0、1、2、3，故選：B題型4利用超幾何分布的公式求概率A． B． C． D．【答案】D故選：DA． B． C． D．【答案】B故選：B.方法技巧解決超幾何分布問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問(wèn)題時(shí)可以直接利用公式求解，但不能機(jī)械地記憶．(2)超幾何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，從而求出X的分布列．A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】方法一：求出的可能取值和對(duì)應(yīng)的概率，利用期望公式進(jìn)行求解；方法二：服從超幾何分布，運(yùn)用超幾何分布的期望公式計(jì)算即可.【詳解】方法一：顯然的可能取值為0,1,2,3，故選：B.【答案】B【分析】根據(jù)超幾何分布和二項(xiàng)分布的定義判斷兩個(gè)試驗(yàn)，再根據(jù)不同的分布計(jì)算概率、期望和方差，判斷各個(gè)選項(xiàng)；【詳解】試驗(yàn)一：從袋子中逐個(gè)不放回地隨機(jī)摸出20個(gè)球是超幾何分布模型，試驗(yàn)二：從袋子中逐個(gè)有放回地隨機(jī)摸出20個(gè)球是二項(xiàng)分布模型；故選：B.【答案】C【分析】由題意分析可知服從二項(xiàng)分布，服從超幾何分布，由二項(xiàng)分布和超幾何分布的性質(zhì)依次分析各個(gè)選項(xiàng)，對(duì)于選項(xiàng)ABD，可通過(guò)特殊值賦值驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)其時(shí)錯(cuò)誤的.對(duì)于乙，從中一次性摸出n張卡牌，不放回，所以服從超幾何分布.故選：C.題型5正態(tài)曲線的圖象的應(yīng)用A． B．C． D．【答案】B故選：BA．0.7 B．0.35 C．0.85 D．0.5【答案】A故選：A方法技巧利用圖象求正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖象的兩個(gè)實(shí)質(zhì)性特點(diǎn)：一是對(duì)稱(chēng)軸為x＝μ，二是最大值為eq\f(1,σ\r(2π)).這兩點(diǎn)確定以后，相應(yīng)參數(shù)μ，σ便確定了，代入f(x)中便可求出相應(yīng)的解析式．【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)圖像直接判斷得出.第一個(gè)曲線的均值比第二和第三個(gè)的均值都小，且第二，第三兩個(gè)的均值相等，，越小圖像越瘦高，根據(jù)圖像知，第一個(gè)圖像的等于第二個(gè)圖像的，且第二個(gè)圖像的比第三個(gè)的要小，故選：C.B．該地水稻株高的方差為100C．隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小【答案】C【分析】根據(jù)密度曲線求得，然后對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.故選：C【答案】B【分析】結(jié)合正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)表示其均值大小，表示離散程度，利用圖象形狀即可判斷出結(jié)論.故選：B題型6利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求概率【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可得答案.故選：B.A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求出概率.故選：D方法技巧利用正態(tài)分布求概率的兩個(gè)方法(1)對(duì)稱(chēng)法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)的區(qū)間概率相等．如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在區(qū)間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率分別是0.6827，0.9545，0.9973求解．A． B． C． D．【答案】C故選：C．A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性結(jié)合隨機(jī)事件的關(guān)系運(yùn)算即可得答案.故選：B.A．0.2856 B．0.1428 C．0.1587 D．0.5【答案】A【分析】設(shè)殲－35A飛出“馬赫環(huán)”為事件A，飛行速度不低于1.2馬赫為事件，結(jié)合正態(tài)分布的概率計(jì)算，利用全概率及貝葉斯公式進(jìn)行求解．設(shè)殲－35A飛出“馬赫環(huán)”為事件A，飛行速度不低于1.2馬赫為事件，故選：A.1．（2021·天津·高考真題）甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語(yǔ)，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為和，且每次活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響，則一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為，3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為．【答案】【分析】根據(jù)甲猜對(duì)乙沒(méi)有猜對(duì)可求出一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率；在3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次分為甲獲勝2次和3次都獲勝求解.故答案為：；.2．（2010·天津·高考真題）某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響．（Ⅰ）假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率（Ⅱ）假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)．另外2次未擊中目標(biāo)的概率；（Ⅲ）假設(shè)這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分，記為射手射擊3次后的總的分?jǐn)?shù)，求的分布列．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）見(jiàn)解析=所以的分布列是:3．（2006·天津·高考真題）甲、乙兩臺(tái)機(jī)床相互沒(méi)有影響地生產(chǎn)某種產(chǎn)品，甲機(jī)床產(chǎn)品的正品率是0.9，乙機(jī)床產(chǎn)品的正品率是0.95．(1)從甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用數(shù)字作答）；(2)從甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用數(shù)字作答）．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)下事件的概率計(jì)算公式求解即可；（2）根據(jù)對(duì)立事件的概率計(jì)算公式，先求得都是次品的概率，再求解即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，從甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取3件，恰有2件為正品，則1件為次品，（2）因?yàn)榧滓覚C(jī)床生產(chǎn)產(chǎn)品相互獨(dú)立，4．（2019·天津·高考真題）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.（Ⅰ）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）【分析】(Ⅰ)由題意可知分布列為二項(xiàng)分布，結(jié)合二項(xiàng)分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二項(xiàng)分布的期望公式求解數(shù)學(xué)期望即可；(Ⅱ)由題意結(jié)合獨(dú)立事件概率公式計(jì)算可得滿(mǎn)足題意的概率值.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7:30之前到校的概率均為，所以，隨機(jī)變量的分布列為：0123從而由(Ⅰ)知：5．（2011·天津·高考真題）學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有個(gè)白球、個(gè)黑球；乙箱子里裝有個(gè)白球、個(gè)黑球.這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出個(gè)球，若摸出的白球不少于個(gè)，則獲獎(jiǎng).（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）（I）求在一次游戲中，（i）摸出個(gè)白球的概率；（ii）獲獎(jiǎng)的概率；【答案】（I）（i）；（ii）；（II）見(jiàn)解析即獲獎(jiǎng)的概率為：的分布列如下：【答案】【分析】先根據(jù)全概率公式計(jì)算求解空一，再求出概率根據(jù)二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算求解.【詳解】設(shè)小桐一周跑11圈為事件A，設(shè)第一次跑5圈為事件，設(shè)第二次跑5圈為事件，故答案為：；7．（2018·天津·高考真題）已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.【答案】（Ⅰ）從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案見(jiàn)解析；（ii）．【詳解】分析：（Ⅰ）由分層抽樣的概念可知應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取3人，2人，2人．（ii）由題意結(jié)合題意和互斥事件概率公式可得事件A發(fā)生的概率為．詳解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3．所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P（ii）設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A=B∪C，且B與C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A發(fā)生的概率為．8．（2016·天津·高考真題）邗江中學(xué)高二年級(jí)某班某小組共10人，利用寒假參加義工活動(dòng)，已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為2，4，4．現(xiàn)從這10人中選出2人作為該組代表參加座談會(huì)．（1）記“選出2人參加義工活動(dòng)的次數(shù)之和為4”為事件，求事件發(fā)生的概率；（2）設(shè)為選出2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）.（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2所以隨機(jī)變量的分布列為：9．（2025·天津·高考真題）下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）C．越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)D．越接近0，相關(guān)性越弱【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布以及相關(guān)系數(shù)的概念直接判斷即可.對(duì)于C和D，相關(guān)系數(shù)越接近0，相關(guān)性越弱，越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)，故C和D說(shuō)法正確.故選：B1．某人花2元錢(qián)買(mǎi)彩票，他抽中100元獎(jiǎng)的概率是0.1%，抽中10元獎(jiǎng)的概率是1%，抽中1元獎(jiǎng)的概率是20%，假設(shè)各種獎(jiǎng)不能同時(shí)抽中，試求：(1)此人收益的概率分布；(2)此人收益的期望值．【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)0.4【分析】（1）先求得收益為0的概率，列出分布列；（2）利用數(shù)學(xué)期望公式求解.所以收益的概率分布為：收益0110100p2．在只需回答“是”與“不是”的知識(shí)競(jìng)賽中，每個(gè)選手回答兩個(gè)不同的問(wèn)題，都回答失敗，輸1分，否則贏0.3分．用X表示甲的得分，如果甲隨機(jī)猜測(cè)“是”與“不是”，計(jì)算X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【分析】由題意可知甲答對(duì)和答錯(cuò)的概率均為，可取，，然后根據(jù)題意求出各自對(duì)應(yīng)的概率，從而可得其分布列和數(shù)學(xué)期望【詳解】因?yàn)榧纂S機(jī)猜測(cè)“是”與“不是”，所以甲答對(duì)和答錯(cuò)的概率均為，由題意可知可取，，所以的分布列為3．一個(gè)袋中有除顏色外其余完全相同的3個(gè)白球和4個(gè)紅球．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析(2)分布列見(jiàn)解析的分布列如下：01符合兩點(diǎn)分布，的分布列為：014．球車(chē)中裝有12個(gè)排球，其中9個(gè)是新的，3個(gè)是舊的．從球車(chē)中任取3個(gè)來(lái)用，用完后裝回球車(chē)中（新球用完后變?yōu)榕f球），此時(shí)球車(chē)中舊球的個(gè)數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，求的分布列．【答案】分布列見(jiàn)解析【分析】結(jié)合超幾何分布的分布列的求法求得的分布列.5．已知某種獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率為，為了保證中獎(jiǎng)概率大于，至少應(yīng)該購(gòu)買(mǎi)多少?gòu)埅?jiǎng)券？【答案】至少應(yīng)該購(gòu)買(mǎi)6張獎(jiǎng)券【分析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式列不等式求解即可.【詳解】設(shè)購(gòu)買(mǎi)張獎(jiǎng)券，則中獎(jiǎng)的概率為所以至少應(yīng)該購(gòu)買(mǎi)6張獎(jiǎng)券.6．10個(gè)零件中有3個(gè)次品，從中每次抽檢1個(gè)，驗(yàn)后放回，連續(xù)抽檢3次，求抽檢的3個(gè)零件中恰有2個(gè)是次品的概率．【答案】0.189【分析】方法一，考慮3次抽檢中恰有2個(gè)次品的事件共有3個(gè)情況，根據(jù)互斥事件的概率加法公式結(jié)合獨(dú)立事件的乘法公式即可求得答案；方法二，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式即可求得答案.（方法一）設(shè)B=“3次抽檢，恰好有2個(gè)次品”，=“第i次抽到次品”（i=1，2，3），則=“第i次抽到正品”（i=1，2，3）．這三個(gè)事件是互斥的，并且，，之間都是相互獨(dú)立的．（方法二）用X表示3次抽檢中抽到次品的次數(shù)，則X是一個(gè)隨機(jī)變量，每次抽檢抽到次品的概率為，故連續(xù)抽檢3次，抽檢的3個(gè)零件中恰有2個(gè)是次品的概率為7．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，求：(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率；(2)【分析】（1）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)“正面朝上”和“反面朝上”兩種結(jié)果且可能性相等，這是一個(gè)10重伯努利試驗(yàn)．根據(jù)正面朝上的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，即可求解.【分析】根據(jù)對(duì)立事件與獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算可得；至少有1人患有這種疾病的對(duì)立事件為都不患病，【答案】故答案為：.10．某家庭裝修公司和客戶(hù)洽談裝修協(xié)議時(shí)，洽談成功的概率是．設(shè)一天內(nèi)有9個(gè)客戶(hù)前來(lái)洽談裝修協(xié)議，用X表示這天洽談成功的客戶(hù)數(shù)，求洽談成功5個(gè)客戶(hù)的概率．11．一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作為樣本．用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)．(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過(guò)0.1的概率：【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析對(duì)于不放回摸球，各次試驗(yàn)的結(jié)果不獨(dú)立，X服從超幾何分布，X的分布列為：（2）利用統(tǒng)計(jì)軟件可以計(jì)算出兩個(gè)分布列具體的概率值（精確到0.0001），如下表所示．kk00.000040.00001110.070990.0637610.000490.00015120.035500.0266720.003090.00135130.014560.008