山東全省聯(lián)考數(shù)學(xué)壓軸題解析與答案一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題（共2題，每題12分）第1題（12分）已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+bx+1在x=1處取得極值，且其圖像在點(2,f(2))處的切線與直線y=x平行。（1）求實數(shù)a，b的值；（2）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（3）若對于任意x?∈(0,3)，總存在x?∈(-1,1)，使得f(x?)+f(x?)≥4成立，求實數(shù)a的取值范圍。答案與解析（1）由f(x)在x=1處取得極值，得f'(1)=0，即3-2a+b=0①；由f(x)在x=2處的切線斜率為1，得f'(2)=1，即12-4a+b=1②。聯(lián)立①②解得a=2，b=-1。經(jīng)檢驗，a=2，b=-1時，f(x)在x=1處取得極大值。（2）f(x)=x3-2x2-x+1，f'(x)=3x2-4x-1=(3x+1)(x-1)。當(dāng)x∈(-∞,-1/3)或(1,+∞)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(-1/3,1)時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減。（3）由f(1)=-1，f(3)=1，得f(x?)∈[-1,+∞)。要使f(x?)+f(x?)≥4對任意x?∈(0,3)恒成立，需f(x?)min≥4-f(x?)max=3。當(dāng)x?∈(-1,1)時，f(x?)=x3-2x2-x+1，f'(x?)=3x2-4x-1。令f'(x?)=0得x?=-1/3或x?=1（舍）。當(dāng)x?∈(-1,-1/3)時，f'(x?)>0，f(x?)單調(diào)遞增；當(dāng)x?∈(-1/3,1)時，f'(x?)<0，f(x?)單調(diào)遞減。故f(x?)max=f(-1/3)=25/27<3，不滿足條件。當(dāng)a≥2時，f(x)在(0,3)上單調(diào)遞增，f(x?)max=f(3)=1<3，不滿足條件。當(dāng)a<2時，設(shè)f(x)在x?處取得極大值f(x?)，則x?∈(1,3)。需f(x?)≥3，即x?3-ax?2-x?+1≥3，整理得x?3-(a+1)x?2-x?-2≥0。令g(x)=x3-(a+1)x2-x-2，g'(x)=3x2-2(a+1)x-1。由g'(x?)=0得x?=(a+1±√(a2+6a))/3。當(dāng)x?∈(1,3)時，需g(x?)≥0，經(jīng)計算得a≤-4。第2題（12分）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=2f(x)+1，且f(0)=1。（1）求f(x)的解析式；（2）證明：對任意x?,x?∈R，x?<x?，都有f(x?)<f(x?)2成立；（3）若數(shù)列{a_n}滿足a?=1，a_n=f(n)-f(n-1)，求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n。答案與解析（1）f(x+1)-f(x)=2f(x)+1-f(x)=f(x)+1，f(x+2)-f(x+1)=f(x+1)+1=2f(x)+2，f(x+2)-f(x)=3f(x)+2。由f(1)=2f(0)+1=3，得f(2)=3f(1)+2=11。猜想f(x)=2^x-1，用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)x=0時，f(0)=1=2^0-1成立；②假設(shè)x=k時成立，即f(k)=2^k-1，則f(k+1)=2f(k)+1=2(2^k-1)+1=2^(k+1)-1，即x=k+1時成立。故f(x)=2^x-1。（2）設(shè)x?<x?，f(x?)2-f(x?)=(2^x?-1)2-(2^x?-1)2=(2^x?-2^x?)(2^x?+2^x?-1)。由x?<x?得2^x?>2^x?>0，且2^x?+2^x?-1>0，故f(x?)2-f(x?)>0，即f(x?)<f(x?)2。（3）a_n=f(n)-f(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)。S_n=1+2+2^2+...+2^(n-1)=2^n-1。二、解析幾何與數(shù)列綜合題（共1題，12分）第1題（12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，其右焦點F恰為拋物線y2=2px(p>0)的焦點。（1）求橢圓C的方程；（2）過點F的直線l與橢圓C交于A，B兩點，且|AF|=2|FB|，求直線l的方程；（3）若點P在橢圓C上運動，求|PF|+|PA|的最小值。答案與解析（1）由e=c/a=√2/2，得a=√2c；由F(c,0)為拋物線y2=2px的焦點，得p=2c。由b2=a2-c2，得b2=a2/2-c2=c2/2，即a=√2c，b=c/√2。取a=√2，b=1，則c=1，橢圓C的方程為x2/2+y2=1。（2）由|AF|=2|FB|，設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，則x?=2x?+1。聯(lián)立方程組：①x2/2+y2=1；②y=k(x-1)。消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0。由x?+x?=4k2/(1+2k2)，x?x?=(2k2-2)/(1+2k2)，代入x?=2x?+1解得k=±√3/3。故直線l的方程為y=±√3/3(x-1)。（3）設(shè)A(x?,y?)，P(x,y)，由橢圓對稱性，不妨設(shè)x?>0，y?>0。|PF|2=(x-1)2+y2=x2-2x+1+1-x2/2=3/2-2x+1=5/2-2x。|PA|2=(x-x?)2+(y-y?)2=x2-2xx?+x?2+y2-2yy?+y?2=3/2-2x-2xx?+x?2+y?2。|PF|+|PA|≥√(|PF|2+|PA|2