2025-2026學(xué)年上海市六校（復(fù)旦復(fù)興、控江、市西、松江二中、奉賢、金山）聯(lián)考高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題：本題共12小題，共54分.1.函數(shù)的零點(diǎn)為___________；2.設(shè)平面向量，若不能組成平面上的一個(gè)基底，則___________；3.已知一組數(shù)據(jù)：的平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為________.4.設(shè)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限，則x的取值集合為___________；5.若，，，則的最小值為________．6.若滿足，則曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為__________.7.設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則直線的斜率為___________．8.若，則集合B的子集的個(gè)數(shù)為______；9.在中，是邊的中點(diǎn).若，，，則______________．10.已知，是空間單位向量，，若空間向量滿足，且對(duì)于任意，___________；11.設(shè)，的最小值為___________；12.已知A，B兩點(diǎn)在曲線上，C，D兩點(diǎn)在曲線上，給出下列四個(gè)結(jié)論：①的最小值為；②當(dāng)與坐標(biāo)軸平行時(shí)，最小值為2；③當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，設(shè)正方形面積為S，則；④當(dāng)直線均為曲線和公切線時(shí)，線段的中點(diǎn)在軸上．其中所有正確結(jié)論序號(hào)是______．二、單選題：本題共4小題，共18分.1.“”是“”的（）A.必要而不充分條件 B.充分而不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京冬奧會(huì)的標(biāo)志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計(jì)，但整個(gè)系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到了真正的智慧場館、綠色場館，并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng)，已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時(shí)間（小時(shí)）的關(guān)系為（為最初污染物數(shù)量，且）.如果前4個(gè)小時(shí)消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（）A.3.8小時(shí) B.4小時(shí) C.4.4小時(shí) D.5小時(shí)3.設(shè)，．若對(duì)任意，均存在，使得函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)，則的取值可能是（）．A. B. C. D.4.已知，，，C在函數(shù)，圖像上，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A.存在，使得的點(diǎn)C有且只有一個(gè)B.任意，使得的點(diǎn)C至少一個(gè)C.存在，使得的點(diǎn)C有且僅有兩個(gè)D.任意，使得的點(diǎn)C最多兩個(gè)三、解答題：本題共5小題，共78分.17.已知等比數(shù)列滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.某市環(huán)保部門為了監(jiān)測某條河流的水質(zhì)情況，連續(xù)30天測量了河流的PH值，整理數(shù)據(jù)后，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值，并估計(jì)這30天河流PH值的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）若PH值低于6.5的稱為“酸性超標(biāo)日”，其中PH值在的稱為“輕度超標(biāo)日”，PH值在的稱為“重度超標(biāo)日”.環(huán)保部門決定采用分層抽樣的方法從“酸性超標(biāo)日”中抽取3天，并從這3天中隨機(jī)選擇2天進(jìn)行水質(zhì)復(fù)檢，求這2天都是“輕度超標(biāo)日”的概率.19.如圖所示的幾何體是一個(gè)半圓柱，點(diǎn)P是半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B，C不重合），E為弧的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）若平面與平面所成的銳二面角的平面角為，求此時(shí)點(diǎn)D到平面的距離.20.已知曲線，第一象限內(nèi)點(diǎn)在曲線上.、，連接并延長與曲線交于點(diǎn)，.以為圓心，為半徑的圓與線段交于點(diǎn)，記，的面積分別為，.（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求證；（3）求的最小值.21.給定函數(shù)，若過點(diǎn)恰能作曲線的條切線，則稱是的“秩點(diǎn)”，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的“秩數(shù)”.（1）若是函數(shù)的“秩點(diǎn)”，求其“秩數(shù)”；（2）證明：是函數(shù)的“0秩點(diǎn)”；（3）記使函數(shù)“1秩數(shù)”小于0的“1秩點(diǎn)”構(gòu)成的集合為.證明：對(duì)，，且，有.2025-2026學(xué)年上海市六校（復(fù)旦復(fù)興、控江、市西、松江二中、奉賢、金山）聯(lián)考高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.“”是“”的（）A.必要而不充分條件 B.充分而不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，即，得不出，如，所以“”不是“”的充分條件；若，則，可得，即，所以“”是“”的必要條件；所以“”是“”的必要而不充分條件，故選：A．2.國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京冬奧會(huì)的標(biāo)志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計(jì)，但整個(gè)系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到了真正的智慧場館、綠色場館，并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng)，已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時(shí)間（小時(shí)）的關(guān)系為（為最初污染物數(shù)量，且）.如果前4個(gè)小時(shí)消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（）A.3.8小時(shí) B.4小時(shí) C.4.4小時(shí) D.5小時(shí)【答案】B【解析】【分析】由題意可得，再令，解出可得，即可得解.【詳解】由題意可知，即有，令，則有，解得，，故還需要4小時(shí)才能消除至最初的.故選：B.3.設(shè)，．若對(duì)任意，均存在，使得函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)，則的取值可能是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用兩個(gè)函數(shù)總存在一個(gè)是單調(diào)的函數(shù)，而的單調(diào)性是已知的，我們就對(duì)任意可能包含在時(shí)，會(huì)導(dǎo)致不單調(diào)，此時(shí)則需要必須單調(diào)，從而去驗(yàn)證在區(qū)間的單調(diào)性，從而問題可得解.【詳解】由于這兩個(gè)函數(shù)都是周期為的函數(shù)，則下面只考慮在區(qū)間上進(jìn)行分析研究，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而題意要求對(duì)任意，均存在，使得函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)，所以只需要在區(qū)間是單調(diào)函數(shù)即可，根據(jù)選項(xiàng)可知只需要滿足時(shí)取值，故，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，若滿足，解得，若滿足，解得，若滿足，無解，故必滿足題意，而，則ABC錯(cuò)誤；故選：D．4.已知，，，C在函數(shù)，圖像上，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A.存在，使得的點(diǎn)C有且只有一個(gè)B.任意，使得的點(diǎn)C至少一個(gè)C.存在，使得的點(diǎn)C有且僅有兩個(gè)D.任意，使得的點(diǎn)C最多兩個(gè)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，函數(shù)為雙曲線的一部分（如圖），求出直線，再求出與函數(shù)，圖象相切的直線，過點(diǎn)與直線平行的直線為，分別求出特殊情況下的值，即可判斷.【詳解】根據(jù)題意，，，則，，函數(shù)為雙曲線的一部分（如圖），因?yàn)殡p曲線的漸近線為，所以直線與函數(shù)圖象交于一點(diǎn)，設(shè)直線與函數(shù)，圖象相切，聯(lián)立方程組，得，令，得，由圖可知，，此時(shí)直線與間的距離為，又，當(dāng)點(diǎn)C為切點(diǎn)時(shí)，，又過點(diǎn)與直線平行的直線為，其與直線的距離為，所以當(dāng)點(diǎn)C為或時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，使得的點(diǎn)C有且只有一個(gè)，A正確；由于函數(shù)，圖象向右向上無限延伸，所以點(diǎn)C到直線的距離可以無限大，從而任意，使得的點(diǎn)C至少一個(gè)，B正確；當(dāng)，或時(shí)，使得的點(diǎn)C有且僅有兩個(gè)，C正確；而當(dāng)時(shí)，使得的點(diǎn)C有三個(gè)，故D錯(cuò)誤.故選：D二、填空題：本題共12小題，共54分.5.函數(shù)的零點(diǎn)為___________；【答案】【解析】【分析】求解出的解，結(jié)合定義域可知結(jié)果.【詳解】令，解得，，又因?yàn)椋?，所以的零點(diǎn)為，故答案為：.6.設(shè)平面向量，若不能組成平面上的一個(gè)基底，則___________；【答案】2【解析】【分析】由向量不能組成基底得向量共線，進(jìn)而可得.【詳解】因?yàn)椴荒芙M成平面上的一個(gè)基底，所以，得，解得.故答案為：2.7.已知一組數(shù)據(jù)：的平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為________.【答案】【解析】【分析】由平均數(shù)的定義算出，再由百分位數(shù)的定義即可求解.【詳解】依題意，，解得，將數(shù)據(jù)從小到大排列可得：，又，則分位數(shù)為.故答案為：.8.設(shè)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限，則x的取值集合為___________；【答案】.【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的幾何意義得出不等關(guān)系，再應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限，則，所以則x的取值集合為；故答案為：.9.若，，，則的最小值為________．【答案】32【解析】【分析】根據(jù)基本不等式“1”的妙用求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，由基本不等式可得，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為32．故答案為：3210.若滿足，則曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為__________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義與導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.【詳解】，設(shè)其傾斜角為，則有，又，故.故答案為：.11.設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則直線的斜率為___________．【答案】【解析】【分析】利用點(diǎn)差法求解即可．【詳解】設(shè)，，則，，所以，也即，因?yàn)?，的中點(diǎn)為，所以，，所以，所以，所以直線的斜率為，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意．故答案為：12.若，則集合B的子集的個(gè)數(shù)為___________；【答案】【解析】【分析】先求出集合，再根據(jù)子集個(gè)數(shù)公式計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則集合B的子集為，所以子集的個(gè)數(shù)為；故答案為：.13.在中，是邊的中點(diǎn).若，，，則______________．【答案】##【解析】【分析】利用余弦定理計(jì)算，再利用做基底計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，由題意得，因?yàn)?，，，所以由余弦定理，線段AB與AC的夾角余弦值為：，所以，又D是BC中點(diǎn)，所以，所以.故答案為：.14.已知，是空間單位向量，，若空間向量滿足，且對(duì)于任意，___________；【答案】【解析】【分析】問題等價(jià)于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值，通過平方的方法，結(jié)合最值的知識(shí)求得正確答案.【詳解】，又，所以，對(duì)于任意成立，等價(jià)于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值，則，解得.故答案為：.15.設(shè)，的最小值為___________；【答案】【解析】【分析】應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合三角形旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化邊長，最后結(jié)合距離和得出最小值即可.【詳解】設(shè)，設(shè)，把以為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，得出，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)取最小值則的最小值為.故答案為：.16.已知A，B兩點(diǎn)在曲線上，C，D兩點(diǎn)在曲線上，給出下列四個(gè)結(jié)論：①的最小值為；②當(dāng)與坐標(biāo)軸平行時(shí)，最小值為2；③當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，設(shè)正方形面積為S，則；④當(dāng)直線均為曲線和公切線時(shí)，線段的中點(diǎn)在軸上．其中所有正確結(jié)論序號(hào)是______．【答案】①③④【解析】【分析】①結(jié)合圖形，結(jié)合相切狀態(tài)求解最小值；②由，構(gòu)造函數(shù)求解最小值，再證明最小值大于；③先證明若四邊形為正方形，則，可知與，與關(guān)于直線對(duì)稱；結(jié)合對(duì)稱性分析存在正方形滿足題意，進(jìn)而利用坐標(biāo)表達(dá)面積，結(jié)合關(guān)系式利用單調(diào)性求解范圍；④設(shè)切點(diǎn)，，利用函數(shù)的對(duì)稱性、導(dǎo)數(shù)求切線方程，借助切線斜率建立等量關(guān)系證明即可.【詳解】對(duì)于①：因?yàn)榕c互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以的最小值就是點(diǎn)到直線的最小距離的2倍.對(duì)求導(dǎo)得，令，解得.此時(shí)，即曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，切線方程為，即.切點(diǎn)到直線的距離為，即點(diǎn)到直線的最小距離為，所以的最小值為，故①正確；對(duì)于②：當(dāng)與坐標(biāo)軸平行時(shí)，若與軸平行，此時(shí)，則.令，對(duì)其求導(dǎo)得，在上單調(diào)遞增，且，所以存在，使得，即.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即；若與軸平行，則可設(shè)，（）則，同理可證.綜上可知，當(dāng)與坐標(biāo)軸平行時(shí)，最小值不為2，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于對(duì)稱.如圖，設(shè)（），則，因?yàn)榭捎赡鏁r(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，故，又，可得，且，，故，且，設(shè)，設(shè)，由，則有；又，聯(lián)立可得（），由，可解得，則由可得，，若，則，所以，可得，則，這與矛盾；若，則，所以，可得，則，這與矛盾；故，即，從而.所以與直線平行，由此可知與，與關(guān)于直線對(duì)稱；則可設(shè)（），所以；；則，可得，所以，所以有，即.令，（）再令，則，故在上單調(diào)遞增，則，所以即.則，所以，故在上單調(diào)遞減，由，且，故在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，即方程有唯一解，故僅存在一個(gè)這樣的正方形.且，，且在為單調(diào)增函數(shù)，故，故，故③正確；對(duì)于④：如圖，由圖象可知，兩函數(shù)恰有兩條公切線，且兩公切線也關(guān)于對(duì)稱.設(shè)兩公切線分別與相切的切點(diǎn)為，.則點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)即為公切線與相切的切點(diǎn)，由，則公切線的斜率，所以，可得，故線段的中點(diǎn)在軸上，故④正確.故答案為：①③④.三、解答題：本題共5小題，共78分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.（2）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列滿足，則，兩式相除可得，解得.所以的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】.所以18.某市環(huán)保部門為了監(jiān)測某條河流的水質(zhì)情況，連續(xù)30天測量了河流的PH值，整理數(shù)據(jù)后，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值，并估計(jì)這30天河流PH值的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）若PH值低于6.5的稱為“酸性超標(biāo)日”，其中PH值在的稱為“輕度超標(biāo)日”，PH值在的稱為“重度超標(biāo)日”.環(huán)保部門決定采用分層抽樣的方法從“酸性超標(biāo)日”中抽取3天，并從這3天中隨機(jī)選擇2天進(jìn)行水質(zhì)復(fù)檢，求這2天都是“輕度超標(biāo)日”的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中概率之和等于1，可求出，平均數(shù)可利用同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值和頻率的乘積之和求解;（2）求出樣本空間，再結(jié)合古典概型計(jì)算公式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所?平均值：【小問2詳解】抽取的3天中，“輕度超標(biāo)日”有2天，記為a，b，“重度超標(biāo)日”有1天，記為A，樣本空間，設(shè)事件B為這2天都是“輕度超標(biāo)日”，則.因?yàn)槌橹袠颖究臻g中每一個(gè)樣本點(diǎn)的可能性都相等，所以這是一個(gè)古典概型.所以.19.如圖所示的幾何體是一個(gè)半圓柱，點(diǎn)P是半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B，C不重合），E為弧的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）若平面與平面所成的銳二面角的平面角為，求此時(shí)點(diǎn)D到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理證得，根據(jù)線面垂直的判定證明平面，從而利用線面垂直的性質(zhì)定理得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)銳二面角大小結(jié)合數(shù)量積夾角公式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入點(diǎn)到平面距離的向量公式直接求解.【小問1詳解】連接BP，在半圓柱中，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)锽C是直徑，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以.【小問2詳解】依題意可知，以線段BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，連接OP，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，則，令，則，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，，所以，令，則，所以，因?yàn)槠矫鍼CA與平面所成的銳二面角的平面角為，所以，令，則，平方化簡得，即，又由，可解得或（舍去），所以，所以平面PCA的一個(gè)法向量，且，所以點(diǎn)D到平面PCA的距離.20.已知曲線，第一象限內(nèi)點(diǎn)在曲線上.、，連接并延長與曲線交于點(diǎn)，.以為圓心，為半徑的圓與線段交于點(diǎn)，記，的面積分別為，.（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求證；（3）求的最小值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）.【解析】分析】（1）設(shè)，，，與聯(lián)立求出和韋達(dá)定理，根據(jù)求出即可求解；（2）求出即可證明；（3）由（1）求出，考慮和兩種情況，根據(jù)求出，求出，根據(jù)（2）求出，根據(jù)結(jié)合基本不等式即可求解.【小問1詳解】設(shè)，，，與聯(lián)立可得，，，，，因?yàn)?，所以，由可得，故因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以，解得，由得；【小?詳解】由題意得，，故，，，則，即；【小問3詳解】由（1）得，，故，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，，，故，，，故，所以⊥，，則，由對(duì)稱性可知，則，當(dāng)時(shí)，，，由得，將其代入中得，顯然，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，，，因?yàn)椋渲?，由?）知，又，故，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，由于，故.21.給定函數(shù)，若過點(diǎn)恰能作曲線的條切線，則稱是的“秩點(diǎn)”，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的“秩數(shù)”.（1）若是函數(shù)的“秩點(diǎn)”，求其“秩數(shù)”；（2）證明：是函數(shù)的“0秩點(diǎn)”；（3）記使函數(shù)的“1秩