2023年考研數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每小題4分，共20分）1.函數(shù)f(x)=ln(1+x)+arctan(x)在x=0處的泰勒展開式的前三項為________。2.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上可導(dǎo)，且f'(x)>0，若lim(x→+∞)f(x)/x=1，則lim(x→+∞)[f(x)-f(2x)]/(x^2)=________。3.設(shè)區(qū)域D由曲線y=x^2和y=√x圍成，則二重積分?_D(x+y^2)dA=________。4.設(shè)向量組α1=(1,0,1),α2=(1,a,0),α3=(0,1,-1)線性相關(guān)，則a=________。5.設(shè)A為3階矩陣，且|A|=2，A^*表示A的伴隨矩陣，則|3A^*|=________。二、選擇題（每小題5分，共25分）6.下列極限存在且有限的是：(A)lim(x→0)(sin(x)/x)^{1/x^2}(B)lim(x→0+)xln(x)(C)lim(x→∞)(x+sin(x))/x(D)lim(x→1)(x^2-1)/x-17.“對任意給定的ε>0，存在δ>0，當(dāng)0<|x-1|<δ時，有|f(x)-1|<ε”是函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù)的：(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件8.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0,f'(0)=1,f''(0)=-1，則lim(x→0)[f(x)-x-x^2/2]/x^3=________。（此題原為選擇題，此處按要求改為選擇題形式）(A)-1/2(B)0(C)1/2(D)19.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得________。（填空選擇題，要求選擇正確填法）(A)f(ξ)=(1/(b-a))∫_a^bf(t)dt(B)f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)(C)f(ξ)=(b+a)/(b-a)*(f(b)-f(a))(D)ξ=(a+b)/2是f(x)的駐點10.設(shè)A,B為n階矩陣，且AB=O，則下列結(jié)論正確的是：(A)若A可逆，則B=O(B)若B可逆，則A=O(C)A或B至少有一個是可逆的(D)A或B至少有一個是零矩陣三、解答題（共75分）11.(10分)計算不定積分∫x*arctan(x^2)dx。12.(10分)設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程xy^3+y^2=x^2+1確定，求曲線在點(1,1)處的切線方程。13.(10分)計算二重積分?_De^(-x^2)dA，其中D是由直線y=x,y=0和x=1圍成的區(qū)域。14.(10分)討論級數(shù)∑_{n=1}^∞(-1)^n*n*sin(1/n)的收斂性（絕對收斂、條件收斂或發(fā)散）。15.(15分)已知向量組α1=(1,1,1),α2=(1,1,0),α3=(1,0,0)和β=(1,a,b)。(1)設(shè)β能由α1,α2,α3線性表示，求a,b的值；(2)討論向量組α1,α2,α3與β是否線性相關(guān)。16.(10分)設(shè)A=[(1,2,0),(1,3,a),(0,0,2)]，求矩陣A的特征值和特征向量。17.(10分)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，Y=max(X,2)。求隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)F_Y(y)。試卷答案一、填空題（每小題4分，共20分）1.x+x^2/2-x^3/6+...2.1/43.11/304.05.108二、選擇題（每小題5分，共25分）6.(C)7.(C)8.(A)9.(A)10.(A)三、解答題（共75分）11.解：∫x*arctan(x^2)dx令u=x^2,dv=arctan(u)du則du=2xdx,v=∫arctan(u)du=u*arctan(u)-∫u/(1+u^2)du=u*arctan(u)-1/2*ln(1+u^2)+C原式=x*[x^2*arctan(x^2)-1/2*ln(1+x^4)]-∫[x^2*arctan(x^2)-1/2*ln(1+x^4)]dx=x^3*arctan(x^2)-x/2*ln(1+x^4)-∫x^3*arctan(x^2)dx+1/2*∫ln(1+x^4)dx再對∫x^3*arctan(x^2)dx令t=x^2,dt=2xdx=x^3*arctan(x^2)-x/2*ln(1+x^4)-1/2*∫t*arctan(t)dt+1/2*∫ln(1+t^2)dt=x^3*arctan(x^2)-x/2*ln(1+x^4)-1/4*[t^2*arctan(t)-∫t^2/(1+t^2)dt]+1/2*[t*ln(1+t^2)-∫2t/(1+t^2)dt]=x^3*arctan(x^2)-x/2*ln(1+x^4)-1/4*[t^2*arctan(t)-t+ln(1+t^2)]+1/2*[t*ln(1+t^2)-ln(1+t^2)]=x^3*arctan(x^2)-x/2*ln(1+x^4)-1/4*[x^4*arctan(x^2)-x+ln(1+x^4)]+1/2*[x^2*arctan(x^2)-ln(1+x^4)]=x^3*arctan(x^2)-x/2*ln(1+x^4)-1/4*x^4*arctan(x^2)+1/4*x-1/4*ln(1+x^4)+1/2*x^2*arctan(x^2)-1/2*ln(1+x^4)=(1/4*x^4+1/2*x^2)*arctan(x^2)-(3/4*x+3/2)*ln(1+x^4)+1/4*x+C（注：此積分過程較為繁瑣，也可考慮用分部積分法直接對原積分處理，令dv=arctan(x^2)dx,u=x）更簡潔方法：令t=x^2,dx=dt/(2√t)原式=∫x*arctan(x^2)dx=∫√t*arctan(t)*dt/(2√t)=1/2∫arctan(t)dt=1/2*[t*arctan(t)-∫t/(1+t^2)dt]=1/2*[t*arctan(t)-1/2*ln(1+t^2)+C]=1/2*[x^2*arctan(x^2)-1/2*ln(1+x^4)+C]=1/2*x^2*arctan(x^2)-1/4*ln(1+x^4)+C但題目要求前三項，需展開arctan(x^2)。=1/2*x^2*(x^2-x^4/3+...)-1/4*ln(1+x^4)+C=1/2*x^4-1/6*x^6+...-1/4*ln(1+x^4)+C=x^4/2-x^6/6-1/4*ln(1+x^4)+C（與參考答案1x+x^2/2-x^3/6+...可能存在表述差異或題目理解偏差，此處按標(biāo)準(zhǔn)解析過程給出主要步驟）12.解：對方程xy^3+y^2=x^2+1兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，使用隱函數(shù)求導(dǎo)法則：y^3+3xy^2*y'+2yy'=2x令x=1,y=1，代入上式：1^3+3*1*1^2*y'(1)+2*1*y'(1)=2*11+3y'(1)+2y'(1)=21+5y'(1)=25y'(1)=1y'(1)=1/5曲線在點(1,1)處的切線斜率為1/5。切線方程為：y-1=(1/5)(x-1)即5(y-1)=x-1x-5y+4=013.解：積分區(qū)域D由y=x,y=0和x=1圍成，在直角坐標(biāo)系下，D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x}。?_De^(-x^2)dA=∫[from0to1]∫[from0tox]e^(-x^2)dydx=∫[from0to1][e^(-x^2)*y]_[from0tox]dx=∫[from0to1]e^(-x^2)*xdx令u=x^2,du=2xdx=1/2∫[from0to1]e^(-u)du=1/2[e^(-u)]_[from0to1]=1/2[e^(-1)-e^0]=1/2(1/e-1)=(1-e)/2e14.解：考慮級數(shù)絕對值∑_{n=1}^∞|(-1)^n*n*sin(1/n)|=∑_{n=1}^∞n*|sin(1/n)|當(dāng)n→∞時，sin(1/n)≈1/n，所以n*|sin(1/n)|≈n*(1/n)=1。因此，級數(shù)∑n*|sin(1/n)|與級數(shù)∑1/n是等價無窮小比較。級數(shù)∑1/n是調(diào)和級數(shù)，發(fā)散。由比較審斂法可知，級數(shù)∑n*|sin(1/n)|發(fā)散。故原級數(shù)∑_{n=1}^∞(-1)^n*n*sin(1/n)不是絕對收斂的。再考慮原級數(shù)是否條件收斂。原級數(shù)是交錯級數(shù)，令a_n=n*sin(1/n)。因為sin(1/n)≈1/n，所以a_n≈1/n。級數(shù)∑(1/n)是調(diào)和級數(shù)，發(fā)散。由于a_n=n*sin(1/n)不趨于0，根據(jù)交錯級數(shù)審斂法，原級數(shù)發(fā)散。綜上，級數(shù)∑_{n=1}^∞(-1)^n*n*sin(1/n)發(fā)散。15.解：(1)設(shè)β=k1α1+k2α2+k3α3=(k1+k2+k3,k1+k2,k1)。則有方程組：k1+k2+k3=1k1+k2=ak1=b將k1=b代入第二個方程，得b+k2=a，即k2=a-b。將k1=b和k2=a-b代入第一個方程，得b+(a-b)+k3=1，即a+k3=1，所以k3=1-a。因此，a=k2+b=(a-b)+b=a，此條件總成立。b=k1=b，此條件總成立。所以，a,b的值為任意實數(shù)。（或者，將α1,α2,α3寫成矩陣形式A=[[1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]]，β寫成向量形式[1,a,b]^T。問題轉(zhuǎn)化為求解Ax=β。對增廣矩陣(A|β)進(jìn)行行變換：[[1,1,1,|1],[1,1,0,|a],[1,0,0,|b]]~[[1,1,1,|1],[0,0,-1,|a-1],[0,-1,-1,|b-1]]~[[1,1,1,|1],[0,1,1,|1-b],[0,0,1,|1-a]]~[[1,0,0,|a],[0,1,0,|b-a],[0,0,1,|1-a]]得x=[a,b-a,1-a]^T。即k1=a,k2=b-a,k3=1-a。所以a,b任意。）(2)由(1)知，向量組α1,α2,α3的秩r(A)=2<3。且β能由α1,α2,α3線性表示（實際上任意向量都能被滿秩為2的3維向量組線性表示）。因此，向量組α1,α2,α3與β線性相關(guān)。16.解：矩陣A的特征方程為|λE-A|=0：|λE-A|=|[(λ-1,-2,0),(-1,λ-3,-a),(0,0,λ-2)]|=(λ-1)|[(λ-3,-a),(0,λ-2)]|-(-2)|[(-1,-a),(0,λ-2)]|+0=(λ-1)*[(λ-3)(λ-2)-0]+2*[(-1)(λ-2)-0]=(λ-1)(λ^2-5λ+6)-2(λ-2)=(λ-1)(λ^2-5λ+6)-2λ+4=λ^3-6λ^2+11λ-6-2λ+4=λ^3-6λ^2+9λ-2=(λ-1)(λ^2-5λ+2)令(λ-1)(λ^2-5λ+2)=0，解得特征值λ1=1，λ2=(5+√(25-8))/2=5/2+√(17)/2，λ3=(5-√(25-8))/2=5/2-√(17)/2。對λ1=1，求特征向量：(E-A)x=0,即[(-1,-2,0),(-1,-2,-a),(0,0,-1)][x1,x2,x3]^T=[0,0,0]^T得方程組：-x1-2x2=0,-x1-2x2-ax3=0,-x3=0。由-x3=0得x3=0。由-x1-2x2=0得x1=-2x2。令x2=t(t為任意非零常數(shù))，則x1=-2t，x3=0。特征向量形式為k1[x1,x2,x3]^T=k1[-2t,t,0]^T=t[-2,1,0]^T。所以對應(yīng)于特征值λ1=1的特征向量為k1[-2,1,0]^T(k1≠0)。對λ2=5/2+√(17)/2，求特征向量：((5/2+√(17)/2)E-A)x=0[[(3/2+√(17)/2),-2,0],[-1,(1/2-√(17)/2),-a],[0,0,(3/2-√(17)/2)]][x1,x2,x3]^T=[0,0,0]^T解此齊次線性方程組，可得對應(yīng)特征值λ2的特征向量。對λ3=5/2-√(17)/2，求特征向量：