22.3實際問題與二次函數(shù)（第3課時）（教學設計）1.教學內(nèi)容本課時是人教版九年級上冊教材第二十二章二次函數(shù),22.3實際問題與二次函數(shù)第3課時，內(nèi)容為用二次函數(shù)的最大值（或最小值）來解決實際應用問題拋物線型問題。內(nèi)容解析本節(jié)課是在上二節(jié)課學習了二次函數(shù)實際應用的基礎上，進一步研究二次函數(shù)在利潤問題中的實際應用，學生在學習了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎上，借助二次函數(shù)的最大（?。┲等ソ鉀Q實際中的拋物線型問題。二次函數(shù)是描述現(xiàn)實世界變量之間關系中重要的數(shù)學模型，其實際應用充分體現(xiàn)了新課標中的“三會”，反映了其一致性、階段性和整體性的特征。又為高中階段學習函數(shù)知識打下堅實的理論和方法基礎，起到承上啟下的作用，同時也是中考的熱點考點?；谝陨戏治?，確定本節(jié)課的教學重點為：用函數(shù)知識解決實際問題，感受數(shù)學建模思想。教學目標（2）使學生學會將實際問轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；學會從現(xiàn)實生活中抽象出二次函數(shù)的關系，并會用二次函數(shù)的最值解決拋物線型問題。（3）通過自主探索和合作交流經(jīng)歷“實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題——利用二次函數(shù)知識解決問題——利用求解的結(jié)果解釋問題”的過程體會數(shù)學建模的思想，發(fā)展合情推理，體會到數(shù)學來源于生活，又服務于生活。2.目標解析（1）二次函數(shù)是描述現(xiàn)實世界變量之間關系的重要模型，也是某些單變量最優(yōu)化的數(shù)學模型，本課時是利潤問題的探討。通過數(shù)學模型可抽象為二次函數(shù)的最值問題，由于學生對于這一轉(zhuǎn)化過程較難理解，因此教學時教師可通過分步設問的方式讓學生逐層深入、穩(wěn)步推出，讓學生自主建立數(shù)學模型。(2)在這個過程中教師可通過讓學生畫圖探討最值，在本課時的教學過程中，要讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模,使學生學會將實際問轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；學會從現(xiàn)實生活中抽象出二次函數(shù)的關系，并會用二次函數(shù)的最值解決拋物線型問題。(3)通過自主探索和合作交流經(jīng)歷“實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題——利用二次函數(shù)知識解決問題——利用求解的結(jié)果解釋問題”的過程體會數(shù)學建模的思想，發(fā)展合情推理，體會到數(shù)學來源于生活，又服務于生活。學生已經(jīng)掌握一元二次方程的應用、函數(shù)的基礎知識，能識別函數(shù)的增減性和最值，積累了研究函數(shù)性質(zhì)的方法及用函數(shù)觀點處理實際問題的初步經(jīng)驗。他們初步具備幾何直觀、應用意識、模型觀念等核心素養(yǎng)。有一定的應用意識，但還不能熟練地應用所學知識解決問題。本節(jié)課利用二次函數(shù)解決拋物線型問題，將進一步提高學生利用所學知識構(gòu)建數(shù)學模型和解決實際問題的能力?；谝陨戏治觯_定本節(jié)課的教學難點為：利用二次函數(shù)解決實際問題時應如何建立合適的坐標系從而使解題簡便。創(chuàng)設情景，引入新課生活中你一定見過各式各樣的拋物線形的物體吧？能不能利用二次函數(shù)的知識解決與之相關的問題呢？本節(jié)課我們就來探討這個問題.（設計意圖：生活中的實際問題引發(fā)學生思考，及如何運用數(shù)學知識解決實際問題，為后面的例題及能力提升做出鋪墊，為后面探索二次函數(shù)在利潤等問題上的應用做好鋪墊。）探索點1二次函數(shù)拋物線型問題中的應用問題如圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m.水面下降1m，水面寬度增加多少？追問1：圖中拋物線拱橋的頂點在哪？試著把它放在平面直角坐標系里面去，怎么放比較好？拋物線拱橋的頂點是拋物線的最高點，把拋物線放在平面直角坐標系中，所以必須建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?。追?：“當拱頂離水面2m時，水面寬4m”，這個信息有什么作用？求水面增加的寬度，實際上就是求水面與拋物線的交點的坐標等。追問3：快速準確地解決這個問題的關鍵是什么？求出函數(shù)解析式，進而求點的坐標；求函數(shù)解析式應該用待定系數(shù)法?！驹斀狻拷猓阂話佄锞€的頂點為原點，對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，追問4:還有其他建坐標系的方式嗎?(活動方法:指導學生建立不同的平面直角坐標系進行解答，學生獨立完成解題過程，小組內(nèi)交流比較：建立的平面直角坐標系是否相同，計算結(jié)果是否一致.)解法2：如下圖，設水面AB所在直線為x軸，經(jīng)過AB的中點O且與AB垂直的直線為y軸，如圖，還有其他的方法建立平面直角坐標系，根據(jù)題意找出題目中的點的坐標，從而求出拋物線可用圖象解決實際問題：(設計意圖：通過給學生提問的方引導學生思考，讓學生總結(jié)出用數(shù)學知識解決實際問題，建立函數(shù)模型，根據(jù)函數(shù)的圖象得出函數(shù)的類型，利用建立平面直角坐標系，將已知條件轉(zhuǎn)化成點的坐標，求出函數(shù)解析式，進而得出實際問題的解，讓學生掌握探究的方法，知道利用知識的本質(zhì)特征解決實際問題.)歸納總結(jié)：解決某些運動軌跡為拋物線形的實際問題時，一般分為以下四個步驟：（1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?；?）根據(jù)條件，把已知的線段長轉(zhuǎn)化為點的坐標；（3）恰當選用二次函數(shù)的表達式形式，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（4）利用拋物線解析式求出與問題相關的點的坐標，進而得到實際問題的解.典例分析例1.河上有一座橋孔為拋物線形的拱橋，水面寬為6米時，水面離橋孔頂部4米．如圖1，橋孔與水面交于A、B兩點，以點A為坐標原點，所在水平線為橫軸，過原點的鉛垂線為縱軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．(1)請求出此拋物線對應的二次函數(shù)表達式；【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的應用、二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是：（1）根據(jù)點A的坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征結(jié)合水高求出可通過船的最高高度（寬度固定）．（1）根據(jù)點A的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；∴暴雨后這艘船不能從這座拱橋下通過．【分析】本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是：以中點為原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，求出拋物線的函數(shù)解析式，再根據(jù)點，的縱坐標，求出對應的橫坐標，即可求出答案．【詳解】解：以中點為原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖，大門頂端距離地面4米．絲帶到大門頂端的距離為米，例3.鷹眼技術助力杭州亞運，提升球迷觀賽體驗．如圖分別為足球比賽中某一時刻的鷹眼系統(tǒng)預測畫面（如圖1）和截面示意圖（如圖2），攻球員位于點O，守門員位于點A，的延長線與球門線交于點B，且點A，B均在足球軌跡正下方，足球的飛行軌跡可看成拋物線．水平距離s與離地高度h的鷹眼數(shù)據(jù)如表：0912151821…05…(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)預測足球落地時，______m；(2)求h關于s的函數(shù)解析式；【分析】本題考查的是二次函數(shù)的實際應用，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，理解題意，明確函數(shù)圖象上點的橫坐標與縱坐標的含義是解本題的關鍵．（1）根據(jù)拋物線的對稱軸可直接得出結(jié)論；∴守門員不能成功防守．（設計意圖：強化二次函數(shù)解決生活中利潤問題.）1.一座拱橋的示意圖如圖2所示，當水面寬為16米時，橋洞頂部離水面4米．已知橋洞的拱橋是拋物線，請嘗試解決以下問題：(1)建立合適的平面直角坐標系，求該拋物線的表達式；(2)由于暴雨導致水位上漲了2米，求此時水面的寬度；(3)已知一艘貨船的高為米，寬為米，其截面如圖3所示．為保證這艘貨船可以安全通過拱橋，水面在正常水位的基礎上最多能上升多少米？（結(jié)果精確到）【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應用，建立合適的平面直角坐標系是解題的關鍵．（3）貨船安全通過拱橋，當水面寬與貨船寬相等時，水位上升的高度取最大值，結(jié)合函數(shù)解析式求解．【詳解】（1）解：如圖，為寬16米的水面，C為拱橋最高點，以的中點為平面直角坐標系的原點O，所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立平面直角坐標系如下：∴水面上升2米后的水面寬度為米，（3）解：如圖，這艘貨船安全通過拱橋時，水面最多可以上升到處，

∵貨船的高為米，寬為米，∴要使這艘貨船安全通過拱橋，水面在正常水位的基礎上最多能上升米．（設計意圖：強化利用二次函數(shù)解決利潤的最值問題。）

(1)求這個橋洞所在拋物線的解析式．(2)若水面再上升1米，求水面的寬度．（結(jié)果保留根號）2.閱讀思考，并解答下列問題：在2022年北京冬季奧林匹克運動會上，一個滑雪者從山坡滑下，為了得出滑行距離s（單位：）與滑行時間t（單位：）之間的關系式，測得一組數(shù)據(jù)(如下表)．滑行時間0123401448(1)為觀察s與t之間的關系，建立坐標系，以t為橫坐標，s為縱坐標．如圖，請描出表中數(shù)據(jù)對應的5個點，并用平滑的曲線連接它們；

(2)觀察圖象，可以看出這條曲線像是我們學過的哪種函數(shù)的圖象的一部分？請你推測滑行距離與滑行時間的關系，并用該函數(shù)模型來近似地表示s與t之間的關系；【詳解】（1）解：描點，連線，如圖所示：

（2）解：觀察函數(shù)圖象可知，s與t的關系可近似看成二次函數(shù)，

答：推測滑雪者滑行的時間是10秒．（設計意圖：學完新知識后及時進行課堂鞏固練習，不僅可以強化學生對新知的記憶，加深學生對新知的理解，還可以及時反饋學習情況，幫助學生查漏補缺，幫助教師及時調(diào)整教學策略）1．(2025?連云港)如圖，小亮同學擲鉛球時，鉛球沿拋物線y＝a(x－3)2＋2.5運行，其中x是鉛球離初始位置的水平距離，y是鉛球離地面的高度．若鉛球拋出時離地面的高度OA為1.6m，則鉛球擲出的水平距離OB為______m．【解答】解：由題意，OA＝1.6m，得A(0，1.6)，將A(0，1.6)代入y＝a(x－3)2＋2.5，得：1.6＝a(0－3)2＋2.5，解得：a＝?1∴y＝?1令y＝0，得?1解得：x1＝8，x2＝－2，∴OB為8m，故答案為：8．2．(2025?廣東)如圖，某跨海鋼箱梁懸索橋的主跨長1.7km，主塔高0.27km，主纜可視為拋物線，主纜垂度0.1785km，主纜最低處距離橋面0.0015km，橋面距離海平面約0.09km．請在示意圖中建立合適的平面直角坐標系，并求該拋物線的表達式．【解答】解：建立平面直角坐標系，如圖所示：則拋物線頂點坐標為(0，0.0015)，A(1.7即A(0.85，0.18)，設該拋物線的表達式為y＝ax2＋0.0015，將A(0.85，0.18)代入y＝ax2＋0.0015，得0.18＝0.852a＋0.0015，解得a＝21∴該拋物線的表達式為y＝213．(2025?陜西)某景區(qū)大門上半部分的截面示意圖如圖所示，頂部L1，左、右門洞L2，L3均呈拋物線型，水平橫梁AC＝16m，L1的最高點B到AC的距離BO＝4m，L2，L3關于BO所在直線對稱．MN，MP，NQ為框架，點M，N在L1上，點P，Q分別在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O為原點，以AC所在直線為x軸，以BO所在直線為y軸，建立平面直角坐標系． （1）求拋物線L1的函數(shù)表達式； （2）已知拋物線L3的函數(shù)表達式為y＝?316(x?4)2，【解答】解：（1）∵BO＝4m，∴拋物線L1的頂點B坐標為(0，4)，設拋物線L1的函數(shù)表達式為y＝a(x－0)2＋4，∵AC＝16m，結(jié)合二次函數(shù)的對稱性得A(－8，0)，C(8，0)，將C(8，0)代入y＝a(x－0)2＋4，得0＝64a＋4，則a＝?1∴y＝?1 （2）由（1）得拋物線L1的函數(shù)表達式y(tǒng)＝?1∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.NQ＝52m，且拋物線L3∴y＝y(tǒng)整理得x2－3(x－4)2＝24，解得x1＝x2＝6，∴MN＝2×6＝12(m)．4．(2025?新疆)天山勝利隧道預計于2025年建成通車，它將成為世界上最長的高速公路隧道，能大大提升區(qū)域交通效率，促進經(jīng)濟發(fā)展．如圖是隧道截面圖，其輪廓可近似看作是拋物線的一部分．若隧道底部寬12米，高8米，按照如圖所示的方式建立平面直角坐標系．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）該隧道設計為單向雙車道通行，車輛頂部在豎直方向上與隧道的空隙不少于0.5米，當兩輛車在隧道內(nèi)并排行駛時，需沿中心線兩側(cè)行駛，且兩車至少間隔2米(中心線寬度不計)．若寬3米，高3.5米的兩輛車并排行駛，能否安全通過？請說明理由． （2）先求出點A坐標，然后求出點A距離拋物線的距離，然后減去車輛的高度，得到的差值與0.5比較即可．【解答】解：（1）由題意得，頂點為(12設拋物線的解析式為：y＝a(x－6)2＋8(a≠0)，代入點(12，0)得a(12－6)2＋8＝0，解得：a＝?2∴拋物線解析式為y＝?2 （2）能安全通過，理由如下：如圖，由題意得：xA將x＝2代入y＝?2則y＝?2∵409∴能安全通過．解決某些運動軌跡為拋物線形的實際問題時，一般分為以下四個步驟：（1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?；?）根據(jù)條件，把已知的線段長轉(zhuǎn)化為點的坐標；（3）恰當選用二次函數(shù)的表達式形式，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；(4)利用拋物線解析式求出與問題相關的點的坐標，進而得到實際問題的解.設計意圖：對本課的知識進行總結(jié)，有利于學生對增強學習的主動性與連貫性.）必做題：習題22.3第6、7題3.小明跳起投籃，已知球在處出手時離地面高米，與籃圈中心的水平距離為米，當球出手后在處達到最大高度米，此時球運動的水平距離為米，設籃球運行的軌跡為如圖所示的拋物線．(1)求拋物線的解析