20252026學年高二上學期期中考點大串講一數(shù)學【解析】第一章空間向量與立體幾何夯基*必備基礎(chǔ)知識梳理一空間向量及其運算空間直角坐標系定義坐標原點點O坐標軸x軸、y軸、z軸坐標平面通過每兩個坐標軸的平面空間兩點間的距離公式、中點公式（1）距離公式（2）中點公式空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量單位向量長度(或模)為1的向量零向量長度(或模)為0的向量相等向量方向相同且模相等的向量共線向量定理對空間任意一點O，點P在直線AB上的充要條件是存在實數(shù)t，共面向量（1）定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量．證明三點共線和空間四點共面的方法比較三點(P，A，B)共線空間四點(M，P，A，B)共面（1）eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))且同過點P（1）eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))且同過點M（2）對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))（2）對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))對空間一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up7(→))（3）對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OM,\s\up7(→))＋yeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up7(→))空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量.注意：（1）空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成基底.（2）基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示.（3）不能作為基向量.空間向量的運算垂直問題向量的?？臻g向量線性運算的坐標表示線性運算坐標表示加法減法數(shù)乘數(shù)量積空間向量的平行與垂直的坐標表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)空間向量的長度與夾角模夾角公式提升*?？碱}型歸納題型一、空間向量的線性運算【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量運算計算即得.故選：C【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由空間向量的線性運算，即可得到結(jié)果.故選：A【答案】（1）（2），答案見解析【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算直接分別化簡.【詳解】解（2）如圖所示，連接，因為，，分別是，，的中點，【答案】B【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)向量的線性運算法則計算即得.故選：B.【例14】如圖所示，已知幾何體ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面體．【解析】【分析】（1）取AA1中點E，在D1C1上取一點F，使得D1F＝2FC1，連接EF，再根據(jù)向量的線性運算計算即可；（2）通過，，表示，根據(jù)對應關(guān)系求出α，β，γ的值即可．【詳解】解（1）取AA1的中點E，在D1C1上取一點F，使得D1F＝2FC1，連接EF，【方法歸納】用已知向量表示某一向量的三個關(guān)鍵點(1)要結(jié)合圖形，以圖形為指導是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義．(3)在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立．題型二：共線、共面向量定理的應用【例21】下列命題中正確的是（）【答案】ABC【解析】【分析】對于A，結(jié)合向量的線性運算，即可求解；對于B，結(jié)合空間點對稱的性質(zhì)，即可求解；對于C，結(jié)合空間向量的基本定理，即可求解；對于D，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運算法則，即可求解．【詳解】，，，是空間任意四點，故P，A，B，C四點共面，故C正確；故選：ABC．【例22】下列說法正確的是（） C．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面【答案】BCD對于C：根據(jù)空間向量基底的概念，空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面，可知C正確；故選：BCD.【答案】B【分析】根據(jù)四點共面的性質(zhì)進行判斷即可.故B選項正確，故選：BA． B． C． D．【答案】C【分析】利用空間向量共面基本定理的推論可求出的值.故選：C.題型三：空間向量數(shù)量積的應用【答案】【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積運算即可得到結(jié)果.故答案為：A.5 B. C.3 D.4【答案】D【解析】故選：D．【答案】AC【解析】故選：AC.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用空間向量的坐標運算來表示向量垂直與共線，即可求解參數(shù)，再用空間向量的坐標運算去求模即可.故選：．【答案】AB【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的坐標運算逐項計算判斷作答.故選：AB【答案】C【解析】故選：C.C．向量與夾角是D．向量與所成角的余弦值為【答案】CD【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的線性運算和數(shù)量積運算，對選項中的命題進行分析判斷，能求出結(jié)果.【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的定義，結(jié)合向量坐標運算求解作答.【解析】【方法歸納】空間向量數(shù)量積及其應用空間向量的數(shù)量積運算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計算；二是利用坐標運算．題型四：利用空間向量證明平行、垂直【例41】如圖，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq\r(5)，AA1＝eq\r(7)，BB1＝2eq\r(7)，點E和F分別為BC和A1C的中點．（1）求證：EF∥平面A1B1BA；（2）求證：平面AEA1⊥平面BCB1．【答案】（1）見解析；（2）見解析【證明】因為AB＝AC，E為BC的中點，所以AE⊥BC．因為AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，所以過E作平行于BB1的垂線為z軸，EC，EA所在直線分別為x軸，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．因為AB＝3，BE＝eq\r(5)，所以AE＝2，所以E(0,0,0)，C(eq\r(5)，0,0)，A(0,2,0)，B(－eq\r(5)，0,0)，B1(－eq\r(5)，0,2eq\r(7))，A1(0,2，eq\r(7))，則Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，1，\f(\r(7),2)))．(1)eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，1，\f(\r(7),2)))，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－eq\r(5)，－2,0)，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝(0,0，eq\r(7))．設(shè)平面AA1B1B的一個法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·eq\o(AA1,\s\up7(→))＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\r(5)x－2y＝0，,\r(7)z＝0，))取eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝\r(5)，,z＝0，))所以n＝(－2，eq\r(5)，0)．因為eq\o(EF,\s\up7(→))·n＝eq\f(\r(5),2)×(－2)＋1×eq\r(5)＋eq\f(\r(7),2)×0＝0，所以eq\o(EF,\s\up7(→))⊥n．又EF?平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA．(2)因為EC⊥平面AEA1，所以eq\o(EC,\s\up7(→))＝(eq\r(5)，0,0)為平面AEA1的一個法向量．又EA⊥平面BCB1，所以eq\o(EA,\s\up7(→))＝(0,2,0)為平面BCB1的一個法向量．因為eq\o(EC,\s\up7(→))·eq\o(EA,\s\up7(→))＝0，所以eq\o(EC,\s\up7(→))⊥eq\o(EA,\s\up7(→))，故平面AEA1⊥平面BCB1．【例42】如圖，在多面體ABC-A1B1C1中，四邊形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝eq\r(2)AB，B1C1∥BC且B1C1＝eq\f(1,2)BC，二面角A1-AB-C是直二面角．求證：(1)A1B1⊥平面AA1C；(2)AB1∥平面A1C1C．【答案】（1）見解析；（2）見解析【證明】：∵AB＝AC，BC＝eq\r(2)AB，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠CAB＝90°，故CA⊥AB，由二面角A1-AB-C是直二面角，四邊形A1ABB1為正方形，可得AA1⊥平面BAC．∴AB，AC，AA1兩兩互相垂直．以A為坐標原點，AC，AB，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．設(shè)AB＝2，則A(0,0,0)，B(0,2,0)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)，B1(0,2,2)．(1)eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝(0,2,0)，eq\o(A1A,\s\up7(→))＝(0,0，－2)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(2,0,0)，設(shè)平面AA1C的一個法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·eq\o(A1A,\s\up7(→))＝0，,n·eq\o(AC,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2z＝0，,2x＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,z＝0.))取y＝1，則n＝(0,1,0)．∴eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝2n，即eq\o(A1B1,\s\up7(→))∥n，∴A1B1⊥平面AA1C．(2)易知eq\o(AB1,\s\up7(→))＝(0,2,2)，eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝(1,1,0)，eq\o(A1C,\s\up7(→))＝(2,0，－2)，設(shè)平面A1C1C的一個法向量為m＝(x1，y1，z1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝0，,m·eq\o(A1C,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋y1＝0，,2x1－2z1＝0，))令x1＝1，則y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1,1)．∴eq\o(AB1,\s\up7(→))·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，∴eq\o(AB1,\s\up7(→))⊥m．又AB1?平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C．【方法歸納】向量法證明平行、垂直(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼?盡可能利用垂直條件，準確寫出相關(guān)點的坐標，進而用向量表示涉及到直線、平面的要素)．(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理．夯基*必備基礎(chǔ)知識梳理二空間向量的應用空間中直線與平面、平面與平面的平行位置關(guān)系向量表示圖形表示線線平行設(shè)u1，u2分別是不重合的直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.線面平行設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.面面平行設(shè)n1，n2分別是不重合的平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.空間中直線與平面、平面與平面的垂直位置關(guān)系向量表示圖形表示線線垂直設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.線面垂直設(shè)直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n,則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.面面垂直設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.空間兩點間的距離公式設(shè)A＝(x1，y1，z1)，B＝(x2，y2，z2)，則|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).點P到直線l的距離已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，則向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，點面距的求法(1)定義法：自點向平面作垂線，利用三角形知識求垂線段的長度；(2)等積法：利用體積相等求棱錐的高，如VP－ABC＝VA－PBC.(3)向量法：如圖，設(shè)AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則點B到平面α的距離d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).說明：線面距和面面距，轉(zhuǎn)化成點面距求解．兩條異面直線所成角的求法設(shè)a，b分別是兩條異面直線l1，l2的方向向量，則l1與l2所成的角θa與b的夾角β范圍eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))[0，π]求法cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)cosβ＝eq\f(a·b,|a||b|)直線與平面所成角的求法設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，a與n的夾角為β，則sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).平面與平面的夾角的求法如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角(人教A版教材中的定義)．若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).向量法求點到直線距離的步驟：(1)根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量.(2)在直線上任取一點M(可選擇特殊便于計算的點).計算點M與直線外的點N的方向向量.求點到平面的距離的常用方法(1)直接法：過P點作平面的垂線，垂足為Q，把PQ放在某個三角形中，解三角形求出PQ的長度就是點P到平面的距離.(2)轉(zhuǎn)化法：若點P所在的直線l平行于平面，則轉(zhuǎn)化為直線l上某一個點到平面的距離來求.(3)等體積法.[常用結(jié)論]最小角定理如圖，若OA為平面α的一條斜線，O為斜足，OB為OA在平面α內(nèi)的射影，OC為平面α內(nèi)的一條直線，其中θ為OA與OC所成的角，θ1為OA與OB所成的角，即線面角，θ2為OB與OC所成的角，那么cosθ＝cosθ1cosθ2．空間直角坐標系構(gòu)建策略①：利用共頂點的互相垂直的三條棱，構(gòu)建空間直角坐標系②：利用線面垂直關(guān)系，構(gòu)建空間直角坐標系③：利用面面垂直關(guān)系，構(gòu)建空間直角坐標系④：利用正棱錐的中心與高所在的直線，構(gòu)建空間直角坐標系⑤：利用底面正三角形，構(gòu)建空間直角坐標系⑥：利用底面正方形的中心，構(gòu)建空間直角坐標系坐標法處理距離問題提升*常考題型歸納題型一：利用空間向量證明平行和垂直問題【例11】已知，分別為直線l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），，分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），則下列說法中，正確的是（）【答案】ABCD【解析】【分析】根據(jù)方向向量的關(guān)系和法向量的關(guān)系可判斷線線關(guān)系和面面關(guān)系，即可得到答案．【詳解】解：若兩條直線不重合，則空間中直線與直線平行（或垂直）的充要條件是它們的方向向量平行（或垂直），故選項A，B正確；若兩個平面不重合，則空間中面面平行（或垂直）的充要條件是它們的法向量平行（或垂直），故選項C，D正確．故選：ABCD．【答案】題型二：異面直線所成角【答案】D【解析】【分析】以為坐標原點，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】以為坐標原點，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標系，故選：D.A. B. C. D.【答案】D【解析】因為點E是的中點，點F是的中點，所以異面直線和所成角的余弦值是．故選:D．（1）求的長；（2）求異面直線和夾角的余弦值.【解析】 A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的邊長為，故選：D.【解析】所以的軌跡是以為圓心半徑為的圓，建立如下圖所示的空間直角坐標系：設(shè)直線與直線的所成角為，題型三：直線與平面所成的角【答案】【分析】根據(jù)題意求出平面的法向量，利用線面角的向量公式即可求解.故答案為：【解析】【答案】C【解析】【詳解】如圖，以為原點，為軸，為軸，為