第2章特殊三角形一、軸對稱圖形與圖形的軸對稱1.軸對稱圖形的定義：如果把一個(gè)圖形沿著一條直線折疊后，直線兩側(cè)的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形．這條直線叫做對稱軸.2.軸對稱是一個(gè)圖形的性質(zhì)，一個(gè)圖形的對稱軸是一條直線，不是線段或射線；3.軸對稱圖形至少有一條對稱軸，但是可以不止一條對稱軸，如圓的對稱軸有無數(shù)條，每條直徑所在的直線均是圓的對稱軸。4.軸對稱圖形的性質(zhì)：對稱軸垂直平分連結(jié)兩個(gè)對稱點(diǎn)的線段5.圖形的軸對稱定義：由一個(gè)圖形變?yōu)榱硪粋€(gè)圖形，并使這兩個(gè)圖形沿某一條直線折疊后能夠互相重合，這樣的圖形改變叫做圖形的軸對稱，這條直線叫做對稱軸.6.圖形的軸對稱性質(zhì)：成軸對稱的兩個(gè)圖形是全等圖形.圖形成軸對稱是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系.二、等腰三角形1．等腰三角形定義：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形。2．等邊三角形定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形。等邊三角形是特殊的等腰三角形；等腰三角形的對稱軸有1條或3條．3．等腰三角形的性質(zhì)定理：性質(zhì)定理1等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡稱等邊對等角。性質(zhì)定理2等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高線互相重合，簡稱等腰三角形三線合一．4.等邊三角形三個(gè)角都等于60°，三邊均存在“三線合一”．5.等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。簡稱等角對等邊.6.等腰三角形判定的其他方法：①定義法：有兩條邊長相等的三角形叫做等腰三角形；②“三線合一”的逆應(yīng)用：當(dāng)三角形一邊上的高線和這邊的中線重合時(shí)，可通過全等證邊相等得等腰三角形；當(dāng)三角形一內(nèi)角的平分線與這個(gè)角對邊的高線重合時(shí)，可通過全等證邊相等得等腰三角形；7.等邊三角形的判定定理①定義法：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形②有一個(gè)叫是60°的等腰三角形是等邊三角形③底邊與腰相等的等腰三角形是等邊三角形④有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形三、逆命題和逆定理1.互逆命題：如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題；如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題叫做它的逆命題。2.逆定理：如果一個(gè)定理的逆命題能被證明是真命題，那么就叫它是原定理的逆定理；這兩個(gè)定理叫做互逆定理。3.線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。四、直角三角形1．直角三角形的定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形2．直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形兩銳角互余（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（3）30°角所對的直角邊等于斜邊的一半3．直角三角形的判定定理：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形4.判定直角三角形的其他方法：（1）定義法；（2）一邊上的中線等于這邊長的一半的三角形可以證的是直角三角形；（3）勾股定理的逆定理；5.勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；如圖則有：在Rt△ABC中，a2+b2=c2.6.勾股定理的逆定理如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形；如圖：若a2+b2=c2，則有△ABC為直角三角形，∠C=90°7.在使用勾股定理的逆定理時(shí)，先確定數(shù)據(jù)符合a2+b2=c2，再得AC2+BC2=AB2，最后再寫△ABC為直角三角形8.直角三角形全等的判定方法——HL斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡寫為“斜邊、直角邊”或“HL”）9.使用HL證明兩個(gè)直角三角形全等的一般格式：例：如圖，已知直角△ABC與直角△DEF中，∠C=∠E=90°AC=DE，AB=DF，求證：Rt△ABC≌Rt△DEF證明：在Rt△ABC和Rt△DEF中∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）10.角平分線的性質(zhì)定理的逆定理：在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上.一、軸對稱圖形與圖形的軸對稱1.軸對稱圖形的性質(zhì)錯(cuò)誤：不能通過軸對稱圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化等量關(guān)系，比如通過找到對稱軸兩邊對應(yīng)的邊長來判斷邊長相等。注意：軸對稱圖形對稱軸兩邊對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)的圖形全等，因此對應(yīng)的圖形的面積和周長也相等。例1如圖，將△ABC沿BC翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，過點(diǎn)B作BD∥AC交A'C于點(diǎn)D，若∠A'BC=30°，【答案】130°/130度【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠BCD=∠CBD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵將△ABC沿BC翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'∴∠ABC=∠A∵AC∥BD，∴∠ACB=∠CBD，∴∠BCD=∠CBD，∵∠BDC=140°，∴∠CBD=∠BCD=1∵∠CBA∴∠A∴∠A∴∠A=∠A故答案為：130°．2.畫圖形的軸對稱圖錯(cuò)誤：在畫圖形的軸對稱圖時(shí)，不按照對稱軸的要求去畫。注意：畫已知圖形的軸對稱圖，要注意原圖形的位置，并確認(rèn)對稱軸的位置，才能畫出對應(yīng)點(diǎn)，形成對應(yīng)圖形。例2（2526七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A2,4，B3,3，(1)請畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A(2)請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A(3)求△ABC的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2【分析】本題考查作圖—軸對稱變換、坐標(biāo)與圖形、三角形面積等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．（1）作出點(diǎn)A,B,C關(guān)于x軸對稱的A1（2）作出點(diǎn)A,B,C關(guān)于y軸對稱的A2（3）利用割補(bǔ)法求解即可．【詳解】（1）解：如圖：△A（2）解：如上圖，△A（3）解：△ABC的面積：2×3-13.圖形的軸對稱的性質(zhì)錯(cuò)誤：已知條件明確了某點(diǎn)、某線關(guān)于對稱軸對稱的對應(yīng)點(diǎn)和線的，不能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行等量代換，獲得對稱軸另一側(cè)的有用條件。注意：圖形的軸對稱，對稱軸兩邊的圖形全等，因此對應(yīng)邊、角也相等；對稱軸是連結(jié)對應(yīng)點(diǎn)的線段的垂直平分線。例3如圖，已知∠BAC=45°，D為∠BAC內(nèi)一點(diǎn)，且AD=8，若點(diǎn)D關(guān)于AB,AC的對稱點(diǎn)分別記作點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EA、FA、EF，則△AEF【答案】32【分析】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)及三角形的面積，熟知軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出∠EAF=90°及EA=FA=DA，再結(jié)合三角形的面積公式即可解決問題．【詳解】解：如圖所示，∵點(diǎn)D關(guān)于AB,AC的對稱點(diǎn)分別記作點(diǎn)E，F(xiàn)，∴EA=FA=DA,∠EAB=∠DAB,∠FAC=∠DAC，又∵∠BAC=45°,AD=8，∴EA=FA=DA=8,∠EAF=2×45°=90°，∴△AEF的面積為12故答案為：32．4.“將軍飲馬”作圖錯(cuò)誤：作圖時(shí)沒有正確作已知點(diǎn)關(guān)于“河”的對稱點(diǎn)注意：“將軍飲馬”問題在作圖時(shí)，一定要正確作已知點(diǎn)A關(guān)于“河”的對稱點(diǎn)A’，正確步驟是作垂線并延長一倍。然后將該點(diǎn)與“河”對岸的另一個(gè)點(diǎn)B相連。例4（2425八年級(jí)上·廣東東莞·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都為1，網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)△ABC（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．(1)作出△ABC關(guān)于直線l對稱的△A1B1C1（要求A與(2)求△ABC的面積(3)在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB的和最?。ūＡ糇鲌D痕跡）【答案】(1)見解析(2)5(3)見解析【分析】本題考查作圖軸對稱變換，三角形的面積，軸對稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的性質(zhì)．（1）利用軸對稱變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C（2）把三角形的面積看成矩形的面積減去周圍的三個(gè)三角形面積即可；（3）連接AB1交直線l于點(diǎn)P，連接PB，則PB=PB1，故PA+PB=PA+PB【詳解】（1）解：如圖，△A（2）解：S△ABC（3）解：如圖，點(diǎn)P即為所求．二、等腰三角形1.等腰三角形兩腰相等相關(guān)的分類討論錯(cuò)誤：題目沒有明確等腰三角形哪兩邊是腰的，沒有進(jìn)行分類討論。注意：在題目未明確等腰三角形哪兩邊是腰時(shí)，要進(jìn)行任意兩邊可能相等的分類討論。尤其，在根據(jù)已知兩點(diǎn)，找第三點(diǎn)與其組成等腰三角形的，就更要有分類討論的意識(shí)。（在直線a上找一點(diǎn)P使得△ABP是等腰三角形；AB可能是腰，也可能是底）例5若等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長為．【答案】12【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系分情況討論是解題的關(guān)鍵．分腰長為2和腰長為5兩種情況，分別確定三邊，然后再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷，最后再求周長即可?！驹斀狻拷猓孩佼?dāng)?shù)妊切蔚难L為2時(shí)，底邊長為5，∵2+2<5，∴不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)?shù)妊切蔚难L為5時(shí)，底邊長為2，∵2+5=7>5，∴能構(gòu)成三角形；∴等腰三角形的周長5+5+2=12．綜上所述：等腰三角形的周長為12.故答案為：12．2.等腰三角形兩底角相等的運(yùn)用錯(cuò)誤：在已知等腰三角形的前提下，沒有將“兩底角相等”的已知條件運(yùn)用起來注意：在已知三角形是等腰三角形時(shí)，要第一時(shí)間將兩底角相等標(biāo)注在圖形中，作為重要的推論。例6如圖，△ABC的點(diǎn)A、C在直線l上，∠B=120°,?∠ACB=40°，若點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ABP成為等腰三角形時(shí)，則【答案】10°或80°或20°或140°【分析】分三種情形：AB=AP，PA=PB，BA=BP分別求解即可解決問題．【詳解】解：如圖，

在ΔABC中，∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-120°-40°=20°，①當(dāng)AB=AP時(shí)，∠ABP1=∠A②當(dāng)PA=PB時(shí)，∠ABP③當(dāng)BA=BP時(shí)，∠ABP綜上所述，滿足條件的∠ABP的值為10°或80°或20°或140°．3.等腰三角形兩角相等相關(guān)的分類討論錯(cuò)誤：和“腰相等”所犯的錯(cuò)誤一樣，忘記分類討論注意：在題目未明確等腰三角形哪兩邊是腰時(shí)，要進(jìn)行任意兩角可能相等的分類討論。例7等腰三角形一個(gè)外角為100°，則它的頂角為（

）A．40° B．80° C．100° D．80°或20°【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形內(nèi)角和定理，利用平角定義，分100°的角是底角的外角和頂角的外角兩種情況進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：①當(dāng)100°的角是底角的外角時(shí)，則底角度數(shù)為180°-100°=80°，則它的頂角為180°-80°-80°=20°；②當(dāng)100°的角是頂角的外角時(shí)，則頂角度數(shù)為180°-100°=80°；綜上，這個(gè)等腰三角形的頂角為20°或80°．故選：D．4.注意等邊三角形的三個(gè)角都是60°錯(cuò)誤：在已知等邊三角形的前提下，沒有將“三個(gè)角都是60°”的已知條件運(yùn)用起來注意：在已知三角形是等邊三角形時(shí)，要第一時(shí)間將三個(gè)內(nèi)角都是60°標(biāo)注在圖形中，作為重要的推論。例8如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC上，若∠1=∠2，∠DFE=80°，則∠EDF=度．【答案】40【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，先由等邊三角形的性質(zhì)得到∠B=60°，再由三角形外角的性質(zhì)證明∠DEF=∠B=60°，據(jù)此利用三角形內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∵∠DEC=∠B+∠1=∠2+∠DEF，∠1=∠2，∴∠DEF=∠B=60°，又∵∠DFE=80°，∴∠EDF=180°-∠DEF-∠DFE=40°，故答案為：40．5.“三線合一”在計(jì)算中的運(yùn)用錯(cuò)誤：在等腰三角形中，不能將底邊上的中線、高線和頂角的角平分線聯(lián)系成一條線段，典型的比如已知頂角的角平分線，則不能推出這條線段平分了底邊，并與底邊垂直。這樣的話，兩條線段的位置關(guān)系，以及底邊上的數(shù)量關(guān)系相關(guān)的已知條件就沒有了。注意：等腰三角形中，底邊上的中線、高線和頂角的角平分線要聯(lián)系到一起，已知其中任何一個(gè)條件，就要能推導(dǎo)出另外兩個(gè)條件，這在計(jì)算中非常重要。例9如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)兩動(dòng)點(diǎn)分別在線段AD、AB上運(yùn)動(dòng)，若∠BAC=40°，則當(dāng)BE+EF取得最小值時(shí)，∠BEF的度數(shù)為．【答案】40度或40°【分析】依據(jù)題意，連接CE，先證明△CDE≌△BDESAS，得到CE=BE，從而推出當(dāng)C、E、F三點(diǎn)共線且CF⊥AB時(shí)CE+EF最小，即此時(shí)BE+EF最小，過點(diǎn)C作CF'⊥AB于點(diǎn)F'，交AD于點(diǎn)E'，連接BE'，由三線合一定理得到∠BAD=12∠BAC=20°，則∠ABD=70°【詳解】解：如圖所示，連接CE，∵AB=AC，AD⊥BC，∴CD=BD，∠ADC=∠ADB=90°，又∵DE是公共邊，∴△CDE≌△BDESAS∴CE=BE，∴BE+EF=CE+EF，∴當(dāng)C、E、F三點(diǎn)共線且CF⊥AB時(shí)CE+EF最小，即此時(shí)BE+EF最小，過點(diǎn)C作CF'⊥AB于點(diǎn)F'，交AD于點(diǎn)∵∠BAC=40°，∴∠BAD=1∵AD⊥BC，∴∠ABD=70°，同理可得CE∵∠CF∴∠CBE∴∠BE∴當(dāng)BE+EF取得最小值時(shí)，∠BEF的度數(shù)為40°，故答案為：40°．6.“三線合一”在證明中的運(yùn)用錯(cuò)誤：與“5”類似，如果不能在三者之間作相互推到，就沒有辦法在證明中找到捷徑。注意：在有等腰三角形的作圖環(huán)境中，如果證明與角有關(guān)，要注意底邊上的中線或者高線也是頂角的角平分線；如果要證明垂直，就可能需要通過證明底邊上的中線，或者頂角的角平分線來證明這條線段與底邊垂直；如果是證明線段長的相互關(guān)系，那么可以通過證明頂角的角平分線，底邊上的高線來證明底邊被均分。已知：AB=AC已知：AB=AC點(diǎn)D是BC中點(diǎn)。結(jié)論：①AD⊥BC;②AD平分∠BAC已知：AB=ACAD⊥BC結(jié)論：①AD平分∠BAC;②點(diǎn)D是BC中點(diǎn)。已知：AB=ACAD平分∠BAC結(jié)論：①AD⊥BC;②點(diǎn)D是BC中點(diǎn)。7.用兩邊或兩角相等證明三角形是等腰三角形錯(cuò)誤：證明兩邊相等的方法不只有計(jì)算得到兩條邊的長，對其他方法證明兩邊長相等卻沒有掌握。注意：出了直接已知兩邊長相等，如果已知條件給的是線段長，可以通過計(jì)算得到兩邊長相等，如果給的是角度數(shù)的已知條件，則可以通過計(jì)算得到兩個(gè)角相等；如果給的條件是有關(guān)邊或者角的等量關(guān)系的，那么需要通過幾何證明解決問題，如通過線段或角的等量代換得到兩邊/兩角相等，如通過兩邊所在三角形全等得到對應(yīng)邊相等。例10如圖，在△ABC中，AM=CM，AD=CD，DM//BC，判斷△CMB的形狀，并說明理由．【答案】△CMB是等腰三角形，理由見解析【分析】由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得∠AMD=∠CMD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AMD=∠B，∠CMD=∠MCB，再根據(jù)等量代換可得∠B=∠MCB，根據(jù)等角對等邊可得MC=MB，進(jìn)而得到△CMB是等腰三角形．【詳解】在△AMC中，∵AM=CM，AD=CD，（已知），∴∠AMD=∠CMD（等腰三角形三線合一），∵DM∥BC（已知），∴∠AMD=∠B（兩直線平行，同位角相等），∠CMD=∠MCB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠B=∠MCB（等量代換），∴MC=MB（等角對等邊），即△CMB是等腰三角形．8.證明三角形是等邊三角形錯(cuò)誤：在證明一個(gè)三角形是等邊三角形時(shí)沒有調(diào)理，證明等邊三角形不能一蹴而就。注意：（1）一般情況下，要證明一個(gè)三角形是等邊三角形，可以通過先證明它是等腰三角形，然后再添加一個(gè)條件證明是等邊三角形，具體如下：①已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，且∠A=60°（或∠B=60°）；②已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，且AB=BC；（2）也可以直接通過三邊相等或者有兩個(gè)角是60°證明三角形是等邊三角形，這需要已知條件給出明確的較多的信息。例11如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是BP延長線上一點(diǎn)，∠ABP=∠ACD，BP=CD，求證：△APD是等邊三角形．【答案】見解析【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得AB=AC，∠BAC=60°，進(jìn)而依據(jù)“SAS”判定△ABP和△ACD全等得AP=AD，【詳解】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，在△ABP和△ACD中，AB=AC∠ABP=∠ACD∴△ABP≌△ACDSAS∴AP=AD，∴∠BAP+∠PAC=∠CAD+∠PAC，即∠BAC=∠PAD=60°，∴△APD是等邊三角形．9.確認(rèn)“如果”和“那么”來寫一個(gè)命題的逆命題錯(cuò)誤：規(guī)范的如果...那么...描述的命題能夠?qū)懩婷}，但簡短的如“對頂角相等”就不會(huì)組織語言注意：學(xué)會(huì)擴(kuò)句，從結(jié)論出發(fā)反過來描述，先確認(rèn)結(jié)論，在描述已知條件。如“對頂角相等”，結(jié)論是角相等，條件是對頂角，將其具體化就是“如果兩個(gè)角是對頂角，那么這兩個(gè)角相等”，其逆命題是“如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角”。例12說出下列命題的逆命題，并判斷其逆命題的真假．(1)兩個(gè)全等三角形的面積相等．(2)如果ab＞0，那么a＞【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】（1）其逆命題是如果兩個(gè)三角形的面積相等，那么這兩個(gè)三角形全等.顯然是假命題．（2）逆命題是如果a＞0，b＞本題考查了逆命題，命題真假的判斷，熟練掌握命題是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）逆命題：如果兩個(gè)三角形的面積相等，那么這兩個(gè)三角形全等．判斷：逆命題是假命題．（2）逆命題：如果a＞0，b＞判斷：逆命題是真命題．10.用“三線合一”證明三角形是等腰三角形錯(cuò)誤：在證明三角形是等腰三角形時(shí)忽視用三角形“三線合一”的性質(zhì)定理的逆定理證明。注意：當(dāng)已知三角形一邊邊上的中線、高線和對角的角平分線這三個(gè)條件中的兩個(gè)時(shí)，可以證明這個(gè)三角形是等腰三角形。已知：①AD⊥BC;②AD平分∠BAC已知：①AD⊥BC;②AD平分∠BAC結(jié)論：AB=AC，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)。已知：①AD平分∠BAC;②點(diǎn)D是BC中點(diǎn)。結(jié)論：AB=AC，AD⊥BC已知：①AD⊥BC;②點(diǎn)D是BC中點(diǎn)結(jié)論：AB=ACAD平分∠BAC。ABCDEP例13如圖所示，△ABC和△ADE其中一點(diǎn)重合，且AD正好經(jīng)過BC中點(diǎn)P，而點(diǎn)C也正好是邊DE的中點(diǎn)。已知∠BAD=∠ABCDEP（1）證明∠ABD是直角；（2）求∠CBD的度數(shù)?！敬鸢浮浚?）見解析（2）25°【分析】本題主要考查用“三線合一”的逆定理證明三角形是等腰三角形，同時(shí)考查了全等的證明和全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)。本題第（1）小題中，結(jié)合中點(diǎn)P和中點(diǎn)C，以及角平分線AP和AC可以分別證明△ABC和△ADE均為等腰三角形，通過等腰三角形腰相等的性質(zhì)可以得到△ABD≌△ACE，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABD=∠ACE=90°；第（2）小題中，要求∠CBD的度數(shù)，只要求出∠ABC的度數(shù)即可，在已知頂角∠BAC=25°+25°=50°的情況下，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)馬上可以求出∠ABC的度數(shù)，進(jìn)而求解?！驹斀狻浚?）證明：點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，所以PB=PC，因?yàn)椤螧AD=∠DAC所以△ABC是等腰三角形，所以AB=AC；同理△ADE也是等腰三角形,所以AD=AE，AC⊥DE，即∠ACE=90°.在△ABD與△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE所以△ABD≌△ACE（SAS）所以∠ABD=∠ACE=90°，∠ABD是直角。（2）等腰△ABC中，∠BAC=25°+25°=50°，所以∠ABC=（180°－50°）÷2=65°，所以∠CBD=90°65°=25°。三、直角三角形1.直角三角形相關(guān)的求角問題錯(cuò)誤：對直角三角形的性質(zhì)不熟悉，求角時(shí)不能使用性質(zhì)得到相關(guān)條件。注意：直角三角形的性質(zhì)中，兩銳角互余可以快速求出直角三角形內(nèi)角；斜邊中線定理則可以獲得兩個(gè)等腰三角形，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求角。例14等腰三角形一腰上的高與另一腰所夾的角為40°，則頂角的度數(shù)為（

）A．50° B．120° C．50°或120° D．50°或130°【答案】D【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．分這個(gè)三角形為銳角三角形和鈍角三角形，再利用三角形內(nèi)角和定理和可求得頂角的度數(shù)．【詳解】解：①當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)，如圖①，高與右邊腰成40°夾角，由三角形內(nèi)角和為180°可得，頂角為50°；②當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí)，如圖②，此時(shí)垂足落到三角形外面，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180°，由圖可以看出等腰三角形的頂角的補(bǔ)角為50°，所以三角形的頂角為130°，所以該等腰三角形的頂角為50°或130°，故選：D．例15（2425七年級(jí)下·河南南陽·期末）如圖，在△ABC中，∠B=90°，∠C=32°，以AC為斜邊作等腰直角三角形ADC，則∠BAD的度數(shù)為．【答案】13°或103°【分析】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠BAC，分△ADC與△ABC在斜邊AC的兩側(cè)、同側(cè)兩種情況計(jì)算，得到答案．掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵在△ABC中，∠B=90°，∠C=32°，∴∠BAC=90°-∠ACB=90°-32°=58°，∵△ADC為等腰直角三角形，∴∠ADC=90°，DA=DC，∴∠DAC=∠DCA=1當(dāng)△ADC與△ABC在斜邊AC的兩側(cè)時(shí)，∠DAC=45°，∠BAD=∠BAC+∠DAC=58°+45°=103°，當(dāng)△AD'C與△ABC在斜邊AC∠BAD綜上所述，∠BAD的度數(shù)為13°或103°．故答案為：13°或103°．2.斜邊中線定理在計(jì)算中的運(yùn)用錯(cuò)誤：斜邊中線定理為我們帶來很多等量關(guān)系，不能作出有關(guān)推論的，在求角問題和求邊問題中會(huì)導(dǎo)致條件不足。注意：斜邊中線定理說明：斜邊上的中線是斜邊的一半，那么斜邊上的中線將直角三角形分為兩個(gè)等腰三角形。如下圖所示，CD是Rt△ABC斜邊上的中線，那么CD=AD=BD=12AB，所以△DBC與△DAC都是等腰三角形，即有：∠B=∠BCD；∠A=∠ACD例16（2425八年級(jí)下·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB，分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AE平分∠BAC，∠B=30°，DE=2，則BC的長為．【答案】6【分析】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，得到AE=BE，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求出BE,CE的長，進(jìn)而求出BC的長即可．【詳解】解：∵DE垂直平分AB，∴BE=AE，∴∠BAE=∠B=30°，∴BE=AE=2DE=4，∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=30°，∴CE=1∴BC=BE+CE=6；故答案為：6．3.斜邊中線定理在證明中的運(yùn)用錯(cuò)誤：斜邊中線定理為我們帶來很多等量關(guān)系，不能作出有關(guān)推論的，在幾何證明過程中中會(huì)導(dǎo)致條件不足。注意：在“2”我們知道了，斜邊中線將直角三角形分成了兩個(gè)等腰三角形，同時(shí)對于特殊的直角三角形還有更多的結(jié)論：①如果直角三角形中有一個(gè)角是30°，那么30°所對的邊是斜邊的一半（如圖，只要證明△BCD是等邊三角形即可得證），即BC=1230°30°②如果直角三角形中有一個(gè)角是45°，那么直角三角形是等腰直角三角形，且斜邊中線將其分成了兩個(gè)全等的小等腰直角三角形，且該直角三角形直角邊與斜邊比為1：2.45°45°CBAD例17如圖，△ABC中，BE平分∠ABC，BE⊥AF于F，D為AB中點(diǎn)，請說明DF∥【答案】見解析【分析】根據(jù)在直角三角形中斜邊上的中線是斜邊的一半得，BD=DF，∠DFB=∠DBF，根據(jù)角的平分線的定義知∠FBC=∠FBD，則∠DFB=∠FBC，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得出結(jié)論．【詳解】解：∵BE⊥AF，∴∠AFB=90°∵點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，∴DF=BD=1∴∠DFB=∠DBF，∵BE平分∠ABC，∴∠FBC=∠FBD，∴∠DFB=∠FBC，∴DF∥例如圖，在△ABC中，AD垂直平分BC，垂足為D，過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，F(xiàn)D的延長線與AC邊的延長線交于點(diǎn)E，∠E=30°．(1)求證：△ABC是等邊三角形；(2)求證：BF=1【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)AD垂直平分BC得AB=AC，再根據(jù)EF⊥AB，∠E=30°得∠BAC，由此即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)AD垂直平分BC得出BD=CD=12BC【詳解】（1）證明：∵AD垂直平分BC，∴AB=AC，∵EF⊥AB，∠E=30°，∴∠BAC=90°-∠E=60°，∴△ABC為等邊三角形；（2）解：AE=6BF，理由如下：∵AD垂直平分BC，∴BD=CD=1∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60又∵∠BFD=90°，∴∠BDF=30°，∠EDC=30°，又∵∠E=30°，∴CE=CD，∴在直角△BDF中，BF=1∴AE=AC+CE=BC+CE=4BF+2BF=6BF，∴BF=14.用“勾股定理”時(shí)注意分類討論錯(cuò)誤：在使用“勾股定理”計(jì)算直角三角形的邊長時(shí)，沒有明確已知邊是直角邊還是斜邊，導(dǎo)致列式錯(cuò)誤，尤其的，如果沒有指明，不進(jìn)行討論。注意：使用勾股定理計(jì)算直角三角形的邊長時(shí)，一先確認(rèn)已知邊長和所求是直角邊還是斜邊，如果沒有明確則進(jìn)行分類討論；然后再結(jié)合勾股定理進(jìn)行計(jì)算。例18△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則BC=【答案】14或4【分析】本題考查了勾股定理在三角形中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是考慮高AD的位置（在三角形內(nèi)部或外部），分情況計(jì)算BC的長度．利用勾股定理分別在Rt△ABD和Rt△ACD中求出BD和DC的長度；分AD在△ABC內(nèi)部和外部兩種情況，計(jì)算BC的長度（內(nèi)部時(shí)BC=BD+DC,外部時(shí)【詳解】解：∵AD是△ABC的高，∴△ABD和△ACD均為直角三角形，∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ABD中，由勾股定理得：即BD2解得BD=9（負(fù)值舍去）．在Rt△ACD中，由勾股定理得：即DC2解得DC=5（負(fù)值舍去）．分兩種情況討論：①當(dāng)AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，BC=BD+DC=9+5=14;②當(dāng)AD在△ABC外部時(shí)，BC=BD-DC故答案為：14或4．5.用方程思想構(gòu)建“勾股定理”等量關(guān)系，并求解錯(cuò)誤：只會(huì)直接用勾股定理列計(jì)算式求線段長，不會(huì)通過設(shè)未知數(shù)列方程求線段長。注意：直接告知兩邊求直角三角形第三條邊長的，可以直接進(jìn)行計(jì)算；但如果只告知了一條邊長的，那么就需要再增加其他的已知條件才行，典型的比如告訴你另外兩條邊長的和，或者倍數(shù)關(guān)系，這時(shí)候只要設(shè)未知的其中一條邊為x，另一條邊就能用x表示，然后用勾股定理的等式列方程計(jì)算即可。這列題目最典型出現(xiàn)在折疊問題中。例19（2425八年級(jí)下·河南平頂山·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，D是邊AC的中點(diǎn)，E是邊BC上一點(diǎn)，連接BD、DE．將△CDE沿DE翻折，點(diǎn)C【答案】3【分析】本題考查勾股定理與折疊問題，勾股定理求出BD的長，折疊得到CD=DF，CE=EF，∠EFD=90°，設(shè)CE=x，在Rt△BFE【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=6，∴CD=1∴BD=B∵將△CDE沿DE翻折，點(diǎn)C落在BD上的點(diǎn)F處，∴CD=DF=3，∴BF=BD-DF=2，設(shè)CE=x，則EF=x，在Rt△BFE中，由勾股定理，得：4-x解得：x=3∴CE=3故答案為：326.用“勾股定理”證明三角形是直角三角形錯(cuò)誤：只知道用直角三角形的定義或簡單性質(zhì)證明三角形是直角三角形，不知道結(jié)合勾股定理證明三角形是直角三角形。注意：“勾股定理”的逆定理成立，即，如果三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2=c2，那么三角形是直角三角形，且c是斜邊，c所對的角是直角。例20如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1，A，B，C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為．【答案】45°/45度【分析】本題考查的是勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用，先計(jì)算AC=12+22【詳解】解：設(shè)小正方形邊長為1，連接AC，由勾股定理可得：AB2=12+∴AC2+B∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=45°．故答案為：45°例21如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°,AB=2,BC=CD=4,AD=6，連接AC．(1)判斷△ACD的形狀，并說明理由；(2)求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)直角三角形；理由見解析(2)4+4【分析】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是通過勾股定理求出AC的長度，再利用逆定理判斷△ACD的形狀，進(jìn)而計(jì)算四邊形的面積．（1）在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的長度；通過計(jì)算AC2+CD（2）將四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為△ABC和△ACD的面積之和，分別計(jì)算兩個(gè)三角形的面積后相加．【詳解】（1）△ACD是直角三角形．理由：∵∠B=90°,AB=2,BC=4，∴AC∴AC∴△ACD是直角三角形．（2）由（1）可知，AC=20∴S7.“HL”可以證明兩個(gè)直角三角形全等錯(cuò)誤：混淆SAS和HL證明兩個(gè)直角三角形全等的區(qū)別。注意：兩個(gè)直角三角形一條直角邊和斜邊分別對應(yīng)相等，則這兩個(gè)直角三角形全等，是“HL”證明兩個(gè)直角三角形全等，但不是所有的直角三角形的全等都是用“HL”為依據(jù)證明的，比如若已知直角三角形兩直角邊分別對應(yīng)相等，是根據(jù)“SAS”證明兩個(gè)直角三角形全等。例22如圖，在∠AOB的兩邊上，分別取OM=ON，再分別過點(diǎn)M、N作OA、OB的垂線，交點(diǎn)為P，畫射線OP，則OP平分∠AOB的依據(jù)是（A．SSS B．SAS C．ASA D．HL【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用以及基本作圖，利用判定方法“HL”證明Rt△OMP和Rt【詳解】解：∵PM⊥OA，∴∠OMP=∠ONP=90°，在Rt△OMP和RtOM=ONOP=OP∴Rt△OMP≌∴∠MOP=∠NOP，∴OP是∠AOB的平分線．故選：D．1．（2425八年級(jí)下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）如圖，∠B=∠E=90°,AB=DE，若要直接依據(jù)“HL”判定△ABC≌△DEF，則還需要補(bǔ)充的一個(gè)條件是（

）

A．BC=EF B．AC=DF C．∠A=∠D D．∠C=∠D【答案】B【分析】本題主要考查了全等三角形的判定．用“HL”判定△ABC≌【詳解】解：添加條件：AC=DF，∵∠B=∠E=90°,在Rt△ABC和RtAB=DEAC=DF∴Rt△ABC≌故選：B．2．（2425八年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）下列命題的逆命題不成立的是（

）A．兩條直線平行，同位角相等B．全等三角形的對應(yīng)角相等C．平行四邊形的對角線互相平分D．在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上【答案】B【分析】本題考查了命題與逆命題，真命題與假命題的判定，掌握平行線及平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線及平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)進(jìn)行判定即可求解．【詳解】解：A、“兩條直線平行，同位角相等”的逆命題為“同位角相等，兩條直線平行”，是真命題，不符合題意；B、“全等三角形的對應(yīng)角相等”的逆命題為“兩個(gè)三角形對應(yīng)角相等，則兩個(gè)三角形全等”，逆命題是假命題，符合題意；C、“平行四邊形的對角線互相平分”的逆命題為“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”，是真命題，不符合題意；D、“在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”的逆命題為“在角的內(nèi)部，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”，是真命題，不符合題意；故選：B．3．（2425九年級(jí)上·陜西西安·期末）如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°，CD平分∠ACB，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)AB=AC得△ABC為等腰三角形，進(jìn)而得∠B=∠ACB=72°，再根據(jù)角平分線定義得∠DCA=∠DCB=36°，則∠DCA=∠A=36°，進(jìn)而得△ACD為等腰三角形，再通過計(jì)算得出∠CDB=∠B=72°，則△CDB為等腰三角形，綜上所述即可得出答案．【詳解】解：∵AB=AC，∴△ABC為等腰三角形，∵∠A=36°，∴∠B=∠ACB=1∵CD平分∠ACB，∴∠DCA=∠DCB=36°，∴∠DCA=∠A=36°，∴△ACD為等腰三角形，∵∠CDB=∠A+∠DCA=36°+36°=72°，∴∠CDB=∠B=72°，∴△CDB為等腰三角形，綜上所述：圖中共有3個(gè)等腰三角形．故選：C．4．（2425八年級(jí)下·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長為1，以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交網(wǎng)格線于點(diǎn)D，ED=（A．5 B．6 C．2 D．2【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理，先連接AD，根據(jù)題意可知AD,AE，再根據(jù)勾股定理可得答案.【詳解】解：連接AD，根據(jù)題意可知AD=AB=3,AE=2，根據(jù)勾股定理，得DE=A故選：A.5．（2425八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=50°,△ABC≌△ADE,AB,CE相交于點(diǎn)F．當(dāng)AD∥CE時(shí)，則∠BAE的大小是（

）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，求出∠EAC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．由全等三角形的性質(zhì)可得∠DAE=∠BAC=50°，AE=AC，再由平行線的性質(zhì)得∠DAE=∠AEC=50°，然后由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得∠EAC的度數(shù)，即可求解．【詳解】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE=∠BAC=50°，AE=AC，∵AD∥CE，∴∠DAE=∠AEC=50°，∵AE=AC，∴∠AEC=∠ACE=50°，∴∠EAC=180°-50°-50°=80°，∴∠BAE=∠EAC-∠BAC=80°-50°=30°，故選：C．6．（1920八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在等邊三角形ABC中，D是AC邊上的中點(diǎn)，延長BC到點(diǎn)E，使CE=CD，則∠E的度數(shù)為（

）A．15° B．20° C．30° D．40°【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACB=60°，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)求出∠E=∠CDE，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式求解得到∠E的度數(shù)．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠BCD=∠E+∠CDE=2∠E=60°，∴∠E=30°，故選：C．7．（2425七年級(jí)下·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線l對稱，連接AA'，BB'，CC'，其中BB'分別交AC，A'C'于點(diǎn)D，D'，下列結(jié)論：①AA．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，熟知如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)對各結(jié)論進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：∵△ABC和△A'B∴AA'∥B∵△ABC和△A'B點(diǎn)D與點(diǎn)D'關(guān)于直線l∴∠ADB=∠A'D∵△ABC和△A'B∴線段AA'、∴直線l垂直平分AA'，故∵△ABC和△A'B∴線段AC、A'C'所在直線的交點(diǎn)一定在直線l∴正確的有①②③．故選：A．8．（2526八年級(jí)上·全國·單元測試）如圖，梯子AB斜靠在墻面上，AC⊥BC，AC=BC，當(dāng)梯子的頂端A沿AC方向下滑xm時(shí)，梯足B沿CB方向滑動(dòng)ym，則x與y的大小關(guān)系是（A．x=y B．x>y C．x<y D．不確定【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2．設(shè)AC=BC=am，利用梯子下滑過程中【詳解】解：設(shè)AC=BC=am由勾股定理得：AB∴a2化簡得：2ax-y∵x>0，y>0，∴x2∴2ax-y∵a>0，∴x-y>0，∴x>y．故選：B．9．（2425八年級(jí)下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠CAB=90°，∠C=36°，D為BC中點(diǎn)，則∠ADB的大小為．【答案】72°/72度【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，可得AD=DC，從而利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠C=∠CAD=36°，然后利用三角形的外角進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵Rt△CAB，∠CAB=90°，∠C=36°，D為∴AD=BD=CD，∴∠C=∠CAD=36°，∴∠ADB=36°+36°=72°，故答案為：72°．10．（2122七年級(jí)下·湖南婁底·期末）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，DF∥AC交BC于點(diǎn)F，若BC=a，AB=c，AC=b，則【答案】a【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD=∠EBD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ABD=∠EDB，等量代換得∠EBD=∠EDB，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得BE=DE，同理可得CF=DF，然后求出△DEF的周長，代入數(shù)據(jù)即可得解．【詳解】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB∴∠ABD=∠EBD，∠ACD=∠FCD∵DE∥AB，DF∴∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC∴∠EBD=∠EDB，∠FCD=∠FDC∴BE=DE，CF=DF∴△DEF的周長為：DE+EF+DF=BE+EF+CF=BC∵BC=a∴△DEF的周長為：a．故答案為：a．11．（2425七年級(jí)下·山東東營·階段練習(xí)）如圖，已知∠MON=30°，點(diǎn)A1，A2，A3，…在射線ON上，點(diǎn)B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，【答案】3×【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，圖形規(guī)律問題，掌握探究的方法再確定規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)∠MON=30°，△A1B1A2是等邊三角形，確定【詳解】解：∵∠MON=30°，△A1B1∴∠B1A1A同理可得，A2A3∴An∴△AnB故答案為：3×212．（2425八年級(jí)下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，等邊三角形ABC中，AB=16，BD⊥AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F分別是BC、DC上的動(dòng)點(diǎn)，沿EF所在直線折疊△CEF，使點(diǎn)C落在BD上的點(diǎn)C'處，當(dāng)△BEC【答案】323或【分析】設(shè)BE=x，則EC=EC'=16-x，當(dāng)∠BEC'=90°時(shí)，本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解方程，分母有理化，熟練掌握性質(zhì)和解方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵等邊三角形ABC中，AB=16，BD⊥AC于點(diǎn)∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°，BC=CA=AB=16，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得EC=EC設(shè)BE=x，則EC=EC當(dāng)∠BEC∴EC=E∴BE=∴x=3解得x=24-83當(dāng)∠BC∴EC=E∴x=216-x解得x=32綜上所述，當(dāng)△BEC'是直角三角形時(shí)，BE的值為32313．（2425七年級(jí)下·江蘇淮安·階段練習(xí)）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上．(1)在圖中畫出△A1B1C(2)在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PC最?。?3)△ABC的面積為__________．【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析(3)5【分析】本題考查作圖-軸對稱變換、軸對稱-最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可．（2）連接AC1，交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)（3）利用矩形減去三個(gè)三角形的面積即可求解．【詳解】（1）解：如圖，△A（2）解：如圖，連接AC1，交直線l于點(diǎn)P，連接此時(shí)PA+PC最小，則點(diǎn)P即為所求．（3）解：△ABC的面積為3×4-1故答案為：5．14．（2425八年級(jí)下·遼寧盤錦·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)，系在旗桿頂端B的繩子垂到地面時(shí)多出了3米，把繩子向外拉直，繩子的底端恰好接觸地面的點(diǎn)A處（如圖所示），測得繩子底端A與旗桿根部C之間的距離為9米．(1)求旗桿的高度BC；(2)珍珍在繩子底端又接上了長5米的繩子（接頭處忽略不計(jì)），把繩子拉直，若要拼接后繩子的底端恰好接觸地面的點(diǎn)D處，求珍珍應(yīng)從A處向東走多少米？【答案】(1)12米(2)7米【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問題．（1）設(shè)旗桿BC的高度為x米，則繩子AB的長為x+3米，根據(jù)勾股定理BC（2）先根據(jù)勾股定理求出CD，即可得解．【詳解】（1）解：設(shè)旗桿BC的高度為x米，則繩子AB的長為x+3米，由題意知：AC=9米，∠ACB=90°，在Rt△ABC∵BC∴x2解得：x=12，答：旗桿的高度12米；（2）解：由（1）知，AB=x+3=15米，則BD=15+5=20米，∴CD=B∴AD=CD-AC=7米，答：珍珍應(yīng)從A處向東走7米．15．（2425八年級(jí)下·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，已知∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，連接(1)求證：△OCD是等