22.3實際問題與二次函數(shù)（第2課時）（導(dǎo)學(xué)案）（解析版）1.教學(xué)目標（2）使學(xué)生學(xué)會將實際問轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；學(xué)會從現(xiàn)實生活中抽象出二次函數(shù)的關(guān)系，并會用二次函數(shù)的最值求最大利潤問題。（3）通過自主探索和合作交流經(jīng)歷“實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題——利用二次函數(shù)知識解決問題——利用求解的結(jié)果解釋問題”的過程體會數(shù)學(xué)建模的思想，發(fā)展合情推理，體會到數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。重點：從實際問題中抽象出二次函數(shù)關(guān)系并運用二次函數(shù)的最大（小）值解決實際問題。難點：如何從實際問題中抽象出二次函數(shù)關(guān)系。第一環(huán)節(jié)自主學(xué)習溫故知新：【學(xué)法指導(dǎo)】自研課本P50頁內(nèi)容問題某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件：每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大?1.本問題我們要分為哪些情況來考慮?分為漲價和降價兩種情況。2.設(shè)每件商品漲價元，則每星期銷量減少多少件?實際賣出多少件?銷售額為多少元?買進商品需付多少元?（用含有的代數(shù)式表示）3.設(shè)每件商品漲價元，每星期售出商品的利潤為元,與的函數(shù)關(guān)系是什么?的取值范圍是什么?4.當取什么值時,值最大?也就是說，在漲價的情況下，漲價多少元，即定價多少元時,利潤最大，最大利潤是多少?5.在降價的情況下，設(shè)每件商品漲價元，每星期售出商品的利潤為元,與的函數(shù)關(guān)系是什么?的取值范圍是什么?6.當取什么值時,值最大?也就是說，在降價的情況下，降價多少元，即定價多少元時,利潤最大，最大利潤是多少?7.綜合漲價與降價兩種情況及現(xiàn)在的銷售狀況可知，定價多少元時，利潤最大？最大利潤是多少？65元;6250元.總結(jié)歸納：如何利用二次函數(shù)解決生活中的利潤問題？一般步驟：（1)分析變量，列出關(guān)系式；（2）確定自變量取值范圍；（3）確定所得的函數(shù)；（4)檢驗x的值是否在自變量取值范圍內(nèi)；(5）解決提出的實際問題.【自研自探】例1.某服裝店的銷售中發(fā)現(xiàn)：進貨價為每件50元．銷售價為每件90元的某品牌服裝平均每天可售出20件，現(xiàn)服裝店決定采取適當?shù)慕祪r措施，擴大銷售量，增加盈利．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件服裝降低1元，那么平均每天就可多售出2件．(1)求銷售價在每件90元的基礎(chǔ)上，每件降價多少元時，平均每天銷售這種服裝能盈利1200元，同時又要使顧客得到較多的實惠？(2)求降價多少元利潤最大？最大利潤是多少？【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系正確列出一元二次方程即可求解．（1）根據(jù)題意列出方程，即每件服裝的利潤乘以銷售量等于總盈利，再求解，把不符合題意的舍去；（2）根據(jù)題意列出一元二次方程，然后化成頂點式即可求解．依題意得：∵要顧客得到較多的實惠，則每件降價20元時，平均每天銷售這種服裝能盈利1200元，同時又使顧客得到較多的實惠．故每件降價15元時，取的最大利潤1250元．(2)已知該風景區(qū)有A，B兩個景點，售票處出示的三種購票方式如下表所示：購票方式甲乙丙可游玩景點ABA和B門票價格元/人元/人元/人（2）設(shè)丙種門票價格下降元，該風景區(qū)國慶節(jié)的門票總收入為萬元，，再列出與的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大值即可．本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大值是解題的關(guān)鍵．（2）設(shè)丙種門票價格下降元，該風景區(qū)國慶節(jié)的門票總收入為萬元，由題意，得第二環(huán)節(jié)合作探究1.討論本問題我們要分為哪些情況來考慮?設(shè)每件商品漲價元，則每星期銷量減少多少件?實際賣出多少件?銷售額為多少元?買進商品需付多少元?（用含有的代數(shù)式表示）2.討論設(shè)每件商品漲價元，每星期售出商品的利潤為元,與的函數(shù)關(guān)系是什么?的取值范圍是什么?當取什么值時,值最大?也就是說，在漲價的情況下，漲價多少元，即定價多少元時,利潤最大，最大利潤是多少?3.討論在降價的情況下，設(shè)每件商品漲價元，每星期售出商品的利潤為元,與的函數(shù)關(guān)系是什么?的取值范圍是什么?當取什么值時,值最大?也就是說，在降價的情況下，降價多少元，即定價多少元時,利潤最大，最大利潤是多少?4.討論綜合漲價與降價兩種情況及現(xiàn)在的銷售狀況可知，定價多少元時，利潤最大？最大利潤是多少？。(1)求蛋黃月餅、甜蜜月餅每袋的進價各是多少元？(2)當?shù)包S月餅銷售價為每袋70元時；每天可售出20袋，為了促銷，新世紀超市決定對蛋黃月餅進行降價銷售．經(jīng)市場調(diào)研，若每袋的銷售價每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當?shù)包S月餅每袋的銷售價為多少元時，每天售出蛋黃月餅所獲得的利潤為元．(3)在（2）的條件下，若蛋黃月餅每天銷售價為多少元時，每天售出蛋黃月餅所獲得的利潤最大．最大利潤是多少？【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．（1）設(shè)蛋黃月餅的進價是元袋，甜蜜月餅的進價是元袋，根據(jù)“第一次購進蛋黃月餅60袋和甜蜜月餅90袋，總費用為4800元；第二次購進蛋黃月餅40袋和甜安月餅80袋，總費用為3600元”，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)：利潤（每臺實際售價每臺進價）銷售量，列函數(shù)關(guān)系式，配方成二次函數(shù)的頂點式可得函數(shù)的最大值；．【詳解】（1）解：設(shè)蛋黃月餅的進價是元袋，甜蜜月餅的進價是元袋，答：蛋黃月餅的進價是50元袋，甜蜜月餅的進價是20元袋；答：當?shù)包S月餅每袋的銷售價為52元時，每天售出蛋黃月餅所獲得的利潤為220元．（3）設(shè)蛋黃月餅每袋的降價為元時，每天售出所獲得的利潤最大，利潤為元，當銷售價降低8元時，每天售出所獲得的利潤最大，最大利潤是480元，即售價62元時，每天售出所獲得的利潤最大，最大利潤是480元．1.某土特產(chǎn)專賣店銷售某種核桃，原來平均每天可銷售200千克，每千克可盈利8元，為減少庫存，經(jīng)市場調(diào)查，如果這種核桃每千克降價1元，則每天可多售出20千克．(1)設(shè)每千克核桃降價x元，平均每天盈利y元，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)若要銷售這種核桃平均每天盈利1440元，則每千克應(yīng)降價多少元？【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用和解一元二次方程，（1）根據(jù)“每天利潤=每天銷售質(zhì)量×每千克的利潤”，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；要銷售這種核桃平均每天盈利1440元，則每千克應(yīng)降價2元．(1)求日銷售量p（個）與時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式，(2)在這20天中，哪天的日銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少？（2）解：設(shè)日銷售利潤為元，在這20天中，第10日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是450元．2.（2025.四川）為弘揚達州地方文化，讓更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文創(chuàng)產(chǎn)品．已知某款巴小虎吉祥物的成本價是30元，當售價為40元時，每天可以售出60件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價每降價1元，每天可以多售出10件． （1）設(shè)該款巴小虎吉祥物降價x元，則每天售出的數(shù)量是______件； （2）為讓利于游客，該款巴小虎吉祥物應(yīng)該降價多少元，文旅公司每天的利潤是630元； （3）文旅公司每天售賣該款巴小虎吉祥物的利潤為W元，當售價為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？ （2）設(shè)該款巴小虎吉祥物降價x元，根據(jù)每件的利潤x銷售數(shù)量＝銷售利潤即可列出方程，解方程即可得解； （3）設(shè)該款巴小虎吉祥物降價x元，根據(jù)每件的利潤x銷售數(shù)量＝銷售利潤即可列出二次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）設(shè)該款巴小虎吉祥物降價x元，則每天售出的數(shù)量是(60＋10x)件，故答案為：(60＋10x)； （2）設(shè)該款巴小虎吉祥物降價x元，根據(jù)題意可得：(40－30－x)(60＋10x)＝630，整理可得：x2－4x＋3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，由于要讓利于游客，x＝1舍去，∴該款巴小虎吉祥物降價3元時文旅公司每天的利潤是630元； （3）設(shè)該款巴小虎吉祥物降價x元，則W＝(40－30－x)(60＋10x)＝(10－x)(60＋10x)＝－10x2＋40x＋600＝－10(x－2)2＋640，∵－10＜0，∴當x＝2時，W取最大值為640元，此時銷售價為38元，答：售價為38元時，每天的利潤最大，最大利潤是640元．3．(2025?內(nèi)江)2025年春節(jié)期間，我國國產(chǎn)動畫電影《哪吒之魔童鬧海》刷新了中國電影票房的新紀錄，商家推出A、B兩款“哪吒”文旅紀念品．已知購進A款200個，B款300個，需花費14000元；購進A款100個，B款200個，需花費8000元． （1）求A、B兩款“哪吒”紀念品每個進價分別為多少元？ （2）根據(jù)網(wǎng)上預(yù)約的情況，如果該商家計劃用不超過12000元的資金購進A、B兩款“哪吒”紀念品共400個，那么至少需要購進B款紀念品多少個？ （3）在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)每個A款紀念品售價60元時，可售出200個，售價每增加1元，銷售量將減少5個．設(shè)每個A款紀念品售價a(60≤a≤100)元，W表示該商家銷售A款紀念品的利潤(單位：元)，求W關(guān)于a的函數(shù)表達式，并求出W的最大值． （2）設(shè)需要購進B款紀念品m個，則需要購進A款紀念品(400－m)個，根據(jù)購買資金不超過12000元建立不等式求解即可； （3）根據(jù)題意可得每個A款紀念品的利潤為(a－40)元，銷售量為[200－5(a－60)]個，據(jù)此列出W關(guān)于a的二次函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出W的最大值即可．【解答】解：（1）設(shè)A款“哪吒”紀念品每個進價為x元，B款“哪吒”紀念品每個進價為y元，由題意得200x+解得x＝40y＝20答：A款“哪吒”紀念品每個進價為40元，B款“哪吒”紀念品每個進價為20元； （2）設(shè)需要購進B款紀念品m個，則需要購進A款紀念品(400－m)個，由題意得，40(400－m)＋20m≤12000，解得m≥200，∴m的最小值為200，答：至少需要購進B款紀念品200個； （3）由題意得，W＝(a－40)[200