直線、平面垂直關系的判定與性質課前必備知識課標要求1.了解空間直線與直線、直線與平面垂直，平面與平面垂直的定義.2.掌握空間直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質定理，能正確運用判定與性質定理論證空間直線與平面、平面與平面垂直關系．知識梳理1．直線與平面垂直的判定(1)利用定義：如果一條直線和一個平面內的__任意一條直線__都垂直，那么該直線與這個平面互相垂直．(2)判定定理：如果一條直線與一個平面內的__兩條相交直線__垂直，那么該直線與平面垂直．用符號語言表示為：m?α，n?α，__m∩n＝P__，l⊥m，l⊥n?l⊥α.2．直線與平面垂直的性質(1)由直線和平面垂直的定義知：若一條直線垂直于平面α，則這條直線垂直于平面α內的__任意一條__直線．(2)性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線__平行__．用符號語言表示為：a⊥α，b⊥α?__a∥b__．3．兩平面垂直的判定(1)利用定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角為__90°__，就說這兩個平面互相垂直．(2)判定定理：如果一個平面過另一個平面的__垂線__，那么這兩個平面垂直．4．兩平面垂直的性質兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的__交線__，那么這條直線與另一個平面__垂直__．用符號語言表示為：若α⊥β，α∩β＝a，b⊥a，b?β，則__b⊥α__．常用結論1．若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．2．若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法)．3．垂直于同一條直線的兩個平面平行．4．一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則這一條直線與另一個平面也垂直．課前訓練1．設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是()A．若l⊥m，m?α，則l⊥αB．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥mD．若l∥α，m∥α，則l∥m解析：B對于A，l⊥m，m?α，則l，α還可能平行或l?α，A錯誤；對于B，l⊥α，l∥m，由線面垂直的性質可得m⊥α，B正確；對于C，l∥α，m?α，則l∥m或l與m異面，C錯誤；對于D，l∥α，m∥α，l與m可能平行、相交、異面，D錯誤．故選B.2．(多選)下列命題正確的是()A．如果一條直線和一個平面內的兩條直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面B．如果一條直線和一個平面內的無數條直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面C．如果一條直線和平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面D．如果一條直線和一個平面內的任意一條直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面解析：CDA中兩條直線一定要是兩相交直線，如果是兩平行直線，結論不成立，A不正確；B中的無數條直線如果是平行直線，結論不成立，B不正確；C為直線與平面垂直的判定定理，D可由直線與平面垂直的定義得到，故選CD.3．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內部解析：A由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1?平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.因為AC?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上．故選A.4．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列說法，其中正確的是()A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥βB．若m∥α，m⊥β，則α⊥βC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βD．若m⊥α，n?β，m⊥n，則α⊥β解析：B如圖，對于A，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1B1C1D1，平面ABCD分別為α，β，AB，BB1分別為直線m，n，顯然m∥α，n⊥β，m⊥n，而平面A1B1C1D1∥平面ABCD，A錯誤；對于B，由m∥α知存在過m的平面γ與α相交，令交線為c，則c∥m，而m⊥β，于是c⊥β，又c?α，則α⊥β，B正確；對于C，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1B1C1D1，平面ABCD分別為α，β，A1B1，BC分別為直線m，n，顯然m⊥n，m?α，n?β，而平面A1B1C1D1∥平面ABCD，C錯誤；對于D，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1B1C1D1，平面ABCD分別為α，β，BB1，AB分別為直線m，n，顯然m⊥α，n?β，m⊥n，而平面A1B1C1D1∥平面ABCD，D錯誤．故選B.5．(教材母題必修8.6.3練習T3)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，則以此三棱錐的棱為邊所構成的三角形中，直角三角形的個數為________．解析：4因為PA⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，即△PAB，△PAC為直角三角形．又AC⊥BC，AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PBC，△ABC也為直角三角形，即以此三棱錐的棱為邊所構成的三角形中，直角三角形有4個．

課堂核心考點考點1線面垂直的判定與性質【例1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，∠BAD＝90°，CD＝PD＝eq\r(2)，AB＝2PA＝4，E是PA的中點．(1)求證：DE⊥平面PAB.(2)求三棱錐E-PBC的體積．解析：(1)證明：因為PD⊥平面ABCD，AB，AD?平面ABCD，所以PD⊥AB，PD⊥AD.因為∠BAD＝90°，所以AB⊥AD.又因為AD∩PD＝D，AD，PD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD.因為DE?平面PAD，所以DE⊥AB.因為PD＝eq\r(2)，PA＝2，PD⊥AD，所以AD＝eq\r(PA2－PD2)＝eq\r(2)，所以AD＝PD，又E是PA的中點，所以DE⊥PA.又因為PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以DE⊥平面PAB.(2)因為AB∥DC，AB?平面PAB，DC?平面PAB，所以DC∥平面PAB.所以點C到平面PAB的距離等于點D到平面PAB的距離．因為DE⊥平面PAB，所以D到平面PAB的距離就是線段DE的長，也就是點C到平面PAB的距離等于線段DE的長，所以點C到平面PEB的距離等于線段DE的長．因為PD＝eq\r(2)，PA＝2，PD⊥AD，AD＝eq\r(2)，E是PA的中點，所以DE＝eq\f(1,2)PA＝1.因為AB⊥平面PAD，PA?平面PAD，所以AB⊥PA.因為PA＝2，AB＝4，所以S△PAB＝eq\f(1,2)×4×2＝4.因為E是PA的中點，所以S△PEB＝eq\f(1,2)S△PAB＝2，所以VE-PBC＝VC-PEB＝eq\f(1,3)S△PEB·DE＝eq\f(1,3)×2×1＝eq\f(2,3).(1)證明線面垂直的基本方法是利用判定定理，即證明一條直線與平面內的兩條相交直線垂直．(2)證明線線垂直時，要注意如下幾個方面：①注意特殊幾何體中的垂直關系的利用(如正方體、正棱柱、直棱柱等)．②要注意充分利用平面幾何的知識，挖掘題中隱含的垂直關系，如正方形、菱形的對角線垂直；等腰三角形底邊上的高、中線和頂角平分線垂直底邊；直徑所對的圓周角為90°等．③利用計算的方法證明垂直，如給出線段長度，計算滿足勾股定理、證明角等于90°等．④利用已知垂直關系證明線線垂直，其中要特別重視直線與平面垂直的性質和兩平面垂直的性質定理.變式探究1．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，且AB＝BC＝AA1＝2，D為線段BC上的動點．(1)證明：AB1⊥A1D.(2)判斷點D到平面AB1C1的距離是否為定值．若是定值，請求出該定值；若不是定值，請說明理由．解析：(1)證明：如圖，連接A1B，A1C.因為四邊形AA1B1B為正方形，所以AB1⊥A1B.又因為BC⊥AB，在直棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥BC，AB∩BB1＝B，所以BC⊥平面AA1B1B.因為AB1?平面AA1B1B，所以BC⊥AB1.又因為A1B∩BC＝B，所以AB1⊥平面A1BC，因為A1D?平面A1BC，所以AB1⊥A1D.(2)點D到平面ABC的距離為定值．因為BC∥B1C1，B1C1?平面AB1C1，所以BC∥平面AB1C1，所以點D到平面AB1C1的距離即為BC到平面AB1C1的距離，可轉化為點B到平面AB1C1的距離．記A1B∩AB1＝E，則BE⊥AB1.又BC⊥平面AA1B1B，BE?平面AA1B1B，所以BC⊥BE.因為BC∥B1C1，所以B1C1⊥BE，因為AB1∩B1C1＝B1，所以BE⊥平面AB1C1，所以BE為點D到平面AB1C1的距離．在等腰Rt△ABB1中，因為AB＝BB1＝2，所以AB1＝2eq\r(2)，所以BE＝eq\f(1,2)AB1＝eq\r(2).所以D到平面AB1C1的距離為定值，且定值為eq\r(2).考點2面面垂直的判定與性質【例2】如圖，已知三棱錐P-ABC，PA⊥平面ABC，△PAC是以PC為斜邊的等腰直角三角形，△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，F為PC上一點，E為PB上一點，且AE⊥PB.(1)現給出兩個條件：①EF⊥PC；②F為PC的中點．從中任意選一個條件為已知條件，求證：平面PBC⊥平面AEF.(2)若PC⊥平面AEF，直線AC與平面AEF所成角和直線AC與平面PAB所成角相等，且PA＝2，求三棱錐P-ABC的體積．解析：(1)選①EF⊥PC.證明：因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，AB，PA?平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又AE?平面PAB，所以BC⊥AE.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，PB，BC?平面PBC，所以AE⊥平面PBC.又PC?平面PBC，所以AE⊥PC.又EF⊥PC，EF∩AE＝E，EF，AE?平面AEF，所以PC⊥平面AEF.又PC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面AEF.選②F為PC的中點．證明：因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，AB，PA?平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又AE?平面PAB，所以BC⊥AE.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，PB，BC?平面PBC，所以AE⊥平面PBC.又PC?平面PBC，所以AE⊥PC.又F為等腰直角三角形PAC斜邊PC的中點，則AF⊥PC，AF∩AE＝E，AF，AE?平面AEF，所以PC⊥平面AEF.又PC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面AEF.(2)由PC⊥平面AEF，BC⊥平面PAB可知，∠CAF與∠CAB分別為AC與平面AEF及AC與平面PAB所成角，所以∠CAF＝∠CAB.又sin∠CAF＝eq\f(CF,AC)，sin∠CAB＝eq\f(CB,CA)，PA＝AC＝2，所以CB＝CF＝eq\r(2)，求得AB＝eq\r(2)，所以VP-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(2,3).(1)證明兩平面垂直的基本方法是利用平面與平面垂直的判定定理，即證其中一個平面經過另一個平面的垂線．(2)證明線線垂直時，要充分利用平面幾何中的垂直關系及利用計算進行證明的方法，同時要注意線面垂直、面面垂直的性質的應用．(3)空間垂直關系之間的轉化是立體幾何中證明垂直關系的常用思路，三種垂直關系的轉化可結合下面的框圖進行記憶．eq\x(線線垂直)eq\o(?,\s\up20(判定),\s\do20(性質))eq\x(線面垂直)eq\o(?,\s\up20(判定),\s\do20(性質))eq\x(面面垂直)變式探究2．(2025·四川成都期末)如圖，四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝2CD＝2AD＝2eq\r(2)，平面ABCD⊥平面PAC.(1)證明：PC⊥AB.(2)若PA＝PC＝eq\f(\r(5),2)AC，M是PA的中點，求三棱錐C-PBM的體積．解析：(1)證明：在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝2CD＝2AD＝2eq\r(2)，四邊形ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AC＝eq\r(CD2＋AD2)＝2，AB＝eq\r(CD2＋（BC－AD）2)＝2，于是AC2＋AB2＝8＝BC2，即AB⊥AC.又平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC＝AC，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAC.又PC?平面PAC，所以PC⊥AB.(2)如圖，取AC的中點E，連接PE.因為PA＝PC＝eq\f(\r(5),2)AC＝eq\r(5)，所以PE⊥AC，PE＝eq\r(PA2－AE2)＝2.又平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC＝AC，PE?平面PAC，所以PE⊥平面ABCD.由M是PA的中點，得點M到平面ABCD的距離d＝eq\f(1,2)PE＝1.又S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝2，顯然S△PBM＝S△ABM，所以三棱錐C-PBM的體積VC-PBM＝VC-ABM＝VM-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·d＝eq\f(2,3).考點3線面垂直、面面垂直的綜合應用【例3】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的菱形，其中∠DAB＝60°.側面△PAD為正三角形，且其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求證：AD⊥PB.(2)若E為BC邊的中點，則在棱PC上是否存在點F，使得平面DEF⊥平面ABCD？若存在，請指出并證明；若不存在，請說明理由．解析：(1)證明：設G為AD的中點，連接PG，BG，DB，如圖．因為△PAD為正三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，所以△ABD為正三角形，又G為AD的中點，所以BG⊥AD.又BG∩PG＝G，BG，PG?平面PGB，所以AD⊥平面PGB.因為PB?平面PGB，所以AD⊥PB.(2)當F為PC的中點時，使得平面DEF⊥平面ABCD.證明如下：在△PBC中，因為E，F分別為BC，PC的中點，所以EF∥PB.又EF?平面DEF，PB?平面DEF，所以PB∥平面DEF.同理，易證GB∥平面DEF.又PB?平面PGB，GB?平面PGB，PB∩GB＝B，所以平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.與探索性問題有關的解題策略(1)求條件探索性問題的主要途徑：①先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；②先通過