2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)近似計(jì)算能力試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）利用微分近似計(jì)算√(1.02)的值，下列結(jié)果正確的是（）A.1.01B.1.005C.1.02D.1.0099解析：設(shè)f(x)=√x，取x?=1，Δx=0.02。根據(jù)微分近似公式f(x?+Δx)≈f(x?)+f'(x?)Δx，f'(x)=1/(2√x)，則f'(1)=1/2。代入得√(1.02)≈1+(1/2)×0.02=1.01，故選A。用二項(xiàng)式定理近似計(jì)算0.998?，要求誤差小于0.001，結(jié)果正確的是（）A.0.988B.0.989C.0.990D.0.992解析：0.998?=(1-0.002)?，根據(jù)二項(xiàng)式展開式，前兩項(xiàng)為1+6×(-0.002)=0.988，第三項(xiàng)為C(6,2)×(-0.002)2=15×0.000004=0.00006，其絕對值小于0.001，可忽略。故近似值為0.988，選A。利用泰勒公式計(jì)算sin(0.1)的近似值（展開到x3項(xiàng)），結(jié)果正確的是（）A.0.09983B.0.09967C.0.10017D.0.09950解析：sinx的泰勒展開式為x-x3/6+x?/120-...，取前兩項(xiàng)得0.1-(0.1)3/6≈0.1-0.0001667≈0.09983，選A。已知函數(shù)f(x)=e^x，利用全微分近似計(jì)算f(1.01,0.98)，其中f(x,y)=x2y+e^xy，正確結(jié)果是（）A.3.785B.3.802C.3.815D.3.791解析：取x?=1，y?=1，Δx=0.01，Δy=-0.02。f(1,1)=1×1+e1=1+e≈3.718。fx'=2xy+ye^xy，fy'=x2+xe^xy，fx'(1,1)=2+e≈4.718，fy'(1,1)=1+e≈3.718。全微分df=4.718×0.01+3.718×(-0.02)≈0.04718-0.07436≈-0.02718，故近似值為3.718-0.02718≈3.691（注：題目可能存在函數(shù)定義誤差，按給定函數(shù)計(jì)算結(jié)果與選項(xiàng)有偏差，此處修正函數(shù)為f(x,y)=x2+e^y，計(jì)算得f(1,1)=1+e≈3.718，fx'=2x=2，fy'=e^y=e，df=2×0.01+e×(-0.02)≈0.02-0.05436≈-0.03436，結(jié)果≈3.718-0.03436≈3.683，仍無匹配選項(xiàng)，建議檢查題目函數(shù)定義）。用二分法求方程x3-2x-5=0在區(qū)間[2,3]內(nèi)的近似解，精確到0.1，結(jié)果是（）A.2.1B.2.2C.2.3D.2.4解析：設(shè)f(x)=x3-2x-5，f(2)=8-4-5=-1，f(3)=27-6-5=16>0。f(2.2)=10.648-4.4-5=1.248>0，f(2.1)=9.261-4.2-5=0.061>0，f(2.05)=8.615-4.1-5=-0.485<0，故根在(2.05,2.1)，精確到0.1為2.1，選A。利用定積分近似計(jì)算∫?1e^(-x2)dx（用梯形法，n=4），結(jié)果正確的是（）A.0.742B.0.745C.0.748D.0.751解析：區(qū)間[0,1]分為4等分，h=0.25，x?=0,y?=1；x?=0.25,y?≈0.9394；x?=0.5,y?≈0.7788；x?=0.75,y?≈0.5918；x?=1,y?≈0.3679。梯形法公式：(h/2)[y?+2(y?+y?+y?)+y?]≈0.125[1+2(0.9394+0.7788+0.5918)+0.3679]≈0.125[1+2×2.31+0.3679]≈0.125[1+4.62+0.3679]≈0.125×5.9879≈0.748，選C。某城市2024年底人口為100萬，若年增長率為1.2%，利用指數(shù)函數(shù)近似計(jì)算2027年底人口數(shù)（單位：萬），結(jié)果是（）A.103.6B.103.7C.103.8D.103.9解析：人口增長模型P(t)=100e^(0.012t)，t=3，P(3)≈100(1+0.012×3+(0.012×3)2/2)=100(1+0.036+0.000648)=103.6648≈103.7，選B。利用正態(tài)分布近似計(jì)算某事件概率：已知X~N(μ,σ2)，P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544，若μ=100，σ=10，求P(85<X<115)，結(jié)果是（）A.0.8664B.0.8912C.0.9148D.0.9332解析：85=μ-1.5σ，115=μ+1.5σ，查正態(tài)分布表得Φ(1.5)=0.9332，Φ(-1.5)=0.0668，故P=0.9332-0.0668=0.8664，選A。用切線法求方程x-lnx=2在區(qū)間[2,3]內(nèi)的近似解（迭代一次），結(jié)果是（）A.2.1B.2.2C.2.3D.2.4解析：設(shè)f(x)=x-lnx-2，f(2)=2-0.693-2=-0.693<0，f(3)=3-1.0986-2=-0.0986≈0，f'(x)=1-1/x，f'(3)=2/3≈0.6667。切線法公式x?=x?-f(x?)/f'(x?)=3-(-0.0986)/0.6667≈3+0.1479≈3.1479（超出區(qū)間，改取x?=2.5，f(2.5)=2.5-0.9163-2=-0.4163，f'(2.5)=1-0.4=0.6，x?=2.5-(-0.4163)/0.6≈2.5+0.6938≈3.1938，仍需多次迭代，題目可能存在區(qū)間設(shè)置問題，正確區(qū)間應(yīng)為[3,4]，f(3)≈-0.0986，f(4)=4-1.386-2=0.614>0，x?=3-(-0.0986)/(2/3)=3+0.1479=3.1479，選D）。利用線性插值近似計(jì)算√(5.2)，已知√5≈2.236，√6≈2.449，結(jié)果是（）A.2.285B.2.291C.2.297D.2.303解析：線性插值公式f(x)≈f(x?)+(f(x?)-f(x?))(x-x?)/(x?-x?)，x?=5,x?=6,x=5.2，√5.2≈2.236+(2.449-2.236)(0.2)/1≈2.236+0.0426≈2.2786≈2.28，最接近A選項(xiàng)。二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）利用微分近似計(jì)算ln(1.005)的值為______（精確到0.0001）。解析：設(shè)f(x)=lnx，x?=1，Δx=0.005，f'(x)=1/x，f'(1)=1，ln(1.005)≈0+1×0.005=0.0050。用二項(xiàng)式定理計(jì)算(1.01)^5的近似值（保留三位小數(shù)）為______。解析：(1+0.01)^5≈1+5×0.01+10×(0.01)2+10×(0.01)^3=1+0.05+0.001+0.00001≈1.051。函數(shù)f(x)=x2在x=2處，當(dāng)Δx=0.1時，Δy-dy的值為______。解析：Δy=(2.1)^2-22=4.41-4=0.41，dy=f'(2)Δx=4×0.1=0.4，Δy-dy=0.01。用辛普森公式計(jì)算∫?^πsinxdx（n=2）的近似值為______（π≈3.1416）。解析：辛普森公式：(h/3)[y?+4y?+y?]，h=π/2，y?=0，y?=sin(π/2)=1，y?=0，故≈(π/6)(0+4×1+0)=2π/3≈2.0944。某物體做自由落體運(yùn)動，位移s=gt2/2（g=9.8m/s2），當(dāng)t=2.001s時，位移的近似值為______m（精確到0.001）。解析：t=2，Δt=0.001，s(2)=9.8×4/2=19.6m，ds=gtΔt=9.8×2×0.001=0.0196m，故s≈19.6+0.0196=19.6196≈19.620m。三、解答題（本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（14分）利用泰勒公式將函數(shù)f(x)=cosx在x=0處展開到x?項(xiàng)，并計(jì)算cos(0.2)的近似值，估計(jì)誤差。解析：cosx的泰勒展開式為1-x2/2!+x?/4!-x?/6!+...，展開到x?項(xiàng)為1-x2/2+x?/24。當(dāng)x=0.2時，cos(0.2)≈1-(0.04)/2+(0.0016)/24≈1-0.02+0.0000667≈0.9800667。誤差項(xiàng)為|R?(x)|=|x?/6!|=(0.2)^6/720≈6.4×10^-6/720≈8.88×10^-9，遠(yuǎn)小于0.0001。（14分）用二分法求方程2^x-4x=0在區(qū)間[0,1]內(nèi)的近似解，要求精確到0.01。解析：設(shè)f(x)=2^x-4x，f(0)=1>0，f(1)=2-4=-2<0。取中點(diǎn)x=0.5，f(0.5)=√2-2≈1.414-2=-0.586<0，故根在(0,0.5)；中點(diǎn)x=0.25，f(0.25)=2^0.25-1≈1.189-1=0.189>0，根在(0.25,0.5)；x=0.375，f(0.375)=2^0.375-1.5≈1.296-1.5=-0.204<0，根在(0.25,0.375)；x=0.3125，f(0.3125)≈2^0.3125-1.25≈1.231-1.25=-0.019<0；x=0.28125，f≈2^0.28125-1.125≈1.210-1.125=0.085>0；x=0.296875，f≈2^0.296875-1.1875≈1.220-1.1875=0.0325>0；x=0.3046875，f≈1.225-1.21875=0.00625>0；x=0.30859375，f≈1.227-1.234375≈-0.007375<0。故根在(0.3046875,0.30859375)，精確到0.01為0.31。（14分）某工廠生產(chǎn)的零件直徑服從正態(tài)分布N(50,0.04)mm，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100個，估計(jì)直徑在49.8mm到50.2mm之間的零件個數(shù)。解析：μ=50，σ=0.2，49.8=μ-σ，50.2=μ+σ，由正態(tài)分布性質(zhì)知P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826，故100×0.6826≈68個。（14分）利用全微分近似計(jì)算(1.02)^3+(1.97)^3的近似值。解析：設(shè)f(x,y)=x3+y3，取x?=1，y?=2，Δx=0.02，Δy=-0.03。f(1,2)=1+8=9，fx'=3x2=3，fy'=3y2=12，df=3×0.02+12×(-0.03)=0.06-0.36=-0.3，故近似值=9-0.3=8.7。（14分）用迭代法求方程x=e^(-x)的近似解，取初始值x?=0.5，迭代公式x???=e^(-x?)，計(jì)算到x?。解析：x?=0.5，x?=e^(-0.5)≈0.6065，x?=e^(-0.6065)≈e^-0.6≈0.5488，x?≈0.5488。四、應(yīng)用題（本大題共2小題，共30分）（15分）某銀行貸款年利率為5%，按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，若貸款10萬元，期限3年，估計(jì)到期應(yīng)還的本利和（精確到1元）。解析：連續(xù)復(fù)利公式A=Pe^(rt)，P=100000，r=0.05，t=3，A=100000e^(0.15)≈100000(1+0.15+0.152/2+0.153/6)=100000(1+0.15+0.01125+0.0005625)=100000×1.1618125=116181.25≈116181元。（15分）某物體的運(yùn)動方程為s(t)=t3-3t2+2t（m），求t=2.01s時的瞬時速度近似值。解析：v(t)=s'(t)=3t2-6t+2，v(2)=12-12+2=2m/s，dv=v'(t)Δt=(6t-6)Δt，t=2，Δt=0.01，dv=(12-6)×0.01=0.06m/s，故v≈2+0.06=2.06m/s。五、證明題（本大題共1小題，共20分）證明：當(dāng)|x|很小時，√(1+x)≈1+x/2-x2/8，并利用該近似式計(jì)算√(1.01)的值，與精確