2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)數(shù)列綜合壓軸題專練一、遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式題型1：構(gòu)造常數(shù)列求通項(xiàng)例題：已知數(shù)列｛a?｝的首項(xiàng)為a?=1，滿足na???=(n+1)a?，數(shù)列｛b?｝滿足b?=1/2，b???-b?=1/a???，求b??·a??的值。解析：由na???=(n+1)a?可得a???/(n+1)=a?/n，故｛a?/n｝是常數(shù)列，首項(xiàng)a?/1=1，因此a?/n=1，即a?=n。由b???-b?=1/(n+1)，利用累加法得b?=b?+(1/2+1/3+...+1/n)=1/2+(H?-1)（其中H?為調(diào)和級數(shù)），化簡得b?=H?-1/2。則b??=H??-1/2，a??=16，故b??·a??=16H??-8。由于H??=1+1/2+...+1/16，計(jì)算得16H??=16+8+...+1=47，因此結(jié)果為47-8=39。題型2：S?與a?關(guān)系求通項(xiàng)例題：已知數(shù)列｛a?｝的前n項(xiàng)和為S?，S?=3?+m。若m=2，求a?；若｛a?｝為等比數(shù)列，求m。解析：當(dāng)m=2時，S?=3?+2。n=1時，a?=S?=5；n≥2時，a?=S?-S???=3?-3??1=2·3??1。驗(yàn)證n=1時，2·3?=2≠5，故a?=｛5,n=1；2·3??1,n≥2｝。若｛a?｝為等比數(shù)列，則n≥2時a?=2·3??1，需滿足a?=2·3?=2，即S?=31+m=2，解得m=-1。二、數(shù)列求和綜合問題題型3：錯位相減法求和例題：已知等差數(shù)列｛a?｝滿足a?=1，d=2，數(shù)列｛b?｝為等比數(shù)列，b?=1，b?=a?。設(shè)c?=a?·b?，求｛c?｝的前n項(xiàng)和T?。解析：a?=1+2(n-1)=2n-1，b?=a?=3，故公比q=3，b?=3??1。則c?=(2n-1)·3??1，T?=1·3?+3·31+...+(2n-1)·3??1。3T?=1·31+...+(2n-3)·3??1+(2n-1)·3?，兩式相減得-2T?=1+2(31+...+3??1)-(2n-1)·3?=1+2·3(3??1-1)/(3-1)-(2n-1)·3?=-2+(2-2n)·3?，故T?=(n-1)·3?+1。題型4：裂項(xiàng)相消法求和例題：已知數(shù)列｛a?｝的通項(xiàng)a?=1/(n(n+2))，求前n項(xiàng)和S?。解析：a?=1/2[1/n-1/(n+2)]，則S?=1/2[(1-1/3)+(1/2-1/4)+...+(1/n-1/(n+2))]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]=3/4-(2n+3)/[2(n+1)(n+2)]。三、新定義與創(chuàng)新題型題型5：二階等差數(shù)列例題：若數(shù)列｛a?｝從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是等差數(shù)列，則稱｛a?｝為二階等差數(shù)列。已知二階等差數(shù)列｛a?｝滿足a?=1，a?=3，a?=6，求通項(xiàng)公式a?。解析：設(shè)d?=a???-a?，則｛d?｝為等差數(shù)列。d?=2，d?=3，公差d=1，故d?=2+(n-1)·1=n+1。則a?=a?+Σ?????1d?=1+Σ?????1(k+1)=1+[n(n-1)/2+(n-1)]=(n2+n)/2。題型6：對稱數(shù)列例題：項(xiàng)數(shù)為2m-1的“對稱數(shù)列”滿足a?=a??????。若｛a?｝是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列的前m項(xiàng)構(gòu)成的對稱數(shù)列，求其前2m-1項(xiàng)和S。解析：等差數(shù)列前m項(xiàng)為1,3,5,...,2m-1，對稱數(shù)列后m-1項(xiàng)為2m-3,...,3,1。S=2(1+3+...+2m-1)-(2m-1)=2·m2-(2m-1)=2m2-2m+1。四、數(shù)列與不等式綜合題型7：恒成立求參數(shù)例題：已知數(shù)列｛a?｝的前n項(xiàng)和S?=n2，b?=(-1)?·a?，若對?n∈N*，λ≤b?恒成立，求λ的取值范圍。解析：a?=S?-S???=2n-1（n≥1），b?=(-1)?(2n-1)。當(dāng)n為偶數(shù)時，b?=2n-1≥3；當(dāng)n為奇數(shù)時，b?=-(2n-1)≤-1。要使λ≤b?恒成立，需λ≤(b?)min=-1。題型8：不等式證明例題：設(shè)數(shù)列｛a?｝滿足a?=1，a???=a?/(1+a?)，求證：Σ????a?2<2。解析：由a???=a?/(1+a?)得1/a???=1/a?+1，故｛1/a?｝是首項(xiàng)1，公差1的等差數(shù)列，1/a?=n，即a?=1/n。則Σ????a?2=Σ1/k2<1+Σ????[1/(k-1)-1/k]=1+(1-1/n)<2。五、實(shí)際應(yīng)用問題題型9：經(jīng)濟(jì)模型應(yīng)用例題：某商品定價a元，消費(fèi)者與商家采用“對半還價法”：消費(fèi)者第一次還價a/2，商家第一次討價a/2+(a-a/2)/2=3a/4，第二次還價3a/4-(3a/4-a/2)/2=5a/8，依此類推。設(shè)第n次消費(fèi)者還價為b?，求數(shù)列｛b?｝的通項(xiàng)公式。解析：b?=a/2，b???=b?+(a-b?)/2=(a+b?)/2。則b???-a=(b?-a)/2，故｛b?-a｝是首項(xiàng)-a/2，公比1/2的等比數(shù)列。b?-a=-a/2·(1/2)??1=-a/(2?)，即b?=a(1-1/2?)。六、綜合拔高題型題型10：多知識點(diǎn)交匯例題：已知等比數(shù)列｛a?｝的前n項(xiàng)和為S?，等差數(shù)列｛b?｝的前n項(xiàng)和為T?，a?=4，a?=8，b?=a?，b?=a?。若對?n∈N*，S?+T?≥λ恒成立，求λ的最大值。解析：a?=2??1，S?=2?-1；b?=1，b?=2，b?=n，T?=n(n+1)/2。S?+T?=2?-1+n(n+1)/2，n=1時為1+1=2；n=2時為3+3=6；n≥1時單調(diào)遞增，故λmax=2。題型11：存在性問題例題：已知數(shù)列｛a?｝滿足a?=1，a???=2a?+1，是否存在等差數(shù)列｛b?｝，使得a?=b?C?1+b?C?2+...+b?C??？若存在，求出｛b?｝；若不存在，說明理由。解析：a?=2?-1。假設(shè)存在b?=kn+b，由二項(xiàng)式定理Σb?C??=k·n·2??1+b·2?=2?-1。對比系數(shù)得k/2+b=1，kn·2??1=0（矛盾），故不存在。七、專項(xiàng)訓(xùn)練題組選擇題若數(shù)列｛a?｝滿足a?=2，a???=1-1/a?，則a????=（）A.2B.1/2C.-1D.1答案：A（周期為3）填空題數(shù)列｛a?｝的前n項(xiàng)積為T?，若T?=2?2??，則a?=______。答案：T?/T?=2?/22=16解答題已知數(shù)列｛a?｝滿足a?=1，a???=3a?+2?，求通項(xiàng)a?。解析：等式兩邊同除以3??1得a???/3??1=a?/3?+(2/3)?/3。設(shè)c?=a?/3?，則c???-c?=(2/3)?/3，累加法得c?=1/3+Σ?????1(2/3)?/3=1/3+(1/3)·(2/3)[1-(2/3)??1]/(1-2/3)=1-(2/3)?，故a?=3?-2?。設(shè)數(shù)列｛a?｝的前n項(xiàng)和S?滿足S?=2a?-1，數(shù)列｛b?｝滿足b?=log?a?+1，記c?=a?·b?，求數(shù)列｛c?｝的前n項(xiàng)和T?。解析：a?=2??1，b?=n，c?=n·2??1。T?=1·2?+2·21+...+n·2??1，2T?=1·21+...+n·2?，相減得-T?=1+2+...+2??1-n·2?=2?-1-n·2?，故T?=(n-1)2?+1。定義“和等比數(shù)列”：若S?/S???=q（常數(shù)），則稱｛a?｝為和等比數(shù)列。已知等差數(shù)列｛a?｝是和等比數(shù)列，a?=1，求公差d及前n項(xiàng)和S?。解析：S?=1，S?=2+d，S?=3+3d。由S?/S?=S?/S?得(2+d)2=1·(3+3d)，解得d=1（d=-1舍去），S?=n(n+1)/2，S?/S???=(n+1)/(n-1)不為常數(shù)，矛盾，故d=0，S?=n，此時S?/S???=n/(n-1)仍不為常數(shù)。重新分析：等差數(shù)列S?=An2+Bn，S?/S???=q，則An2+Bn=q[A(n-1)2+B(n-1)]，對比系數(shù)得A=qA，B=-2qA+qB，B=qB，解得A=0，故d=0，S?