第64講求概率統(tǒng)計的綜合問題

思維導(dǎo)圖

題型1：概率模塊內(nèi)知識交匯命題

4題型2:概率與統(tǒng)計、統(tǒng)計案例的交匯命題

求概率統(tǒng)計的綜合問題

題型3:概率與函數(shù)、數(shù)列等綜合問題

題型歸納

題型1概率模塊內(nèi)知識交匯命題

【例1-1】高考改革新方案，不分文理科，高考成績實行“3+3”的構(gòu)成模式，第一個“3”是語文、

數(shù)學(xué)、外語，每門滿分150分，第二個“3”由考生在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6個科目

中自主選擇其中3個科目參加等級性考試，每門滿分100分，高考錄取成績卷面總分滿分750分.為了調(diào)

查學(xué)生對物理、化學(xué)、生物的選考情況，將“某市某一屆學(xué)生在物理、化學(xué)、生物三個科目中至少選考一

科的學(xué)生”記作學(xué)生群體S,從學(xué)生群體S中隨機抽取了50名學(xué)生進行調(diào)查，他們選考物理，化學(xué)，生物

的科目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計如下表：

選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)123

人數(shù)52520

(1)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名，求他們選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量不相等的概率：

(2)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名，記乃表示這2名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)量之差的

絕對值，求隨機變量才的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)將頻率視為概率，現(xiàn)從學(xué)生群體S中隨機抽取4名學(xué)生，記其中恰好選考物理、化學(xué)、生物中的兩

科目的學(xué)生數(shù)記作匕求事件2”的概率.

【跟蹤訓(xùn)練1-1】2016年微信用戶數(shù)量統(tǒng)計顯示，微信注比用戶數(shù)量已經(jīng)突破9.27億.微信用戶平均

年齡只有26歲，97.7%的用戶在50歲以下，86.2%的用戶在18?36歲之間.為調(diào)查大學(xué)生這個微信用戶群

體中每人擁有微信群的數(shù)量，現(xiàn)右從北京大學(xué)生中隨機抽取10()位同學(xué)進行了抽樣調(diào)查，結(jié)果如下：

微信群數(shù)量頻數(shù)頻率

0至5個00

6至10個300.3

11至至個300.3

16至20個clC

20個以上5b

總計1001

(1)求a,b,c的值：

(2)若從100位同學(xué)中隨機抽取2人，求這2人中恰有1人微信群個數(shù)超過15個的概率；

(3)以這100個人的樣本數(shù)據(jù)估計北京市的總體數(shù)據(jù)且以頻率估計概率，若從全市大學(xué)生中隨機抽取3

人，記X表示抽到的是微信群個數(shù)超過15個的人數(shù)，求％的分布列和數(shù)學(xué)期望爪心.

【跟蹤訓(xùn)練1-2】為了預(yù)防某種流感擴散，某校醫(yī)務(wù)室采取枳極的處理方式，對感染者進行短暫隔離直

到康復(fù).假設(shè)某班級已知6位同學(xué)中有1位同學(xué)被感染，需要通過化驗血液來確定被感染的同學(xué)，血液化

驗結(jié)果呈陽性即被感染，呈陰性即未被感染.下面是兩種化驗方案.

方案甲：逐個化驗，直到能確定被感染的同學(xué)為止.

方案乙：先任取3個同學(xué)，將他們的血液混在一起化驗，若結(jié)果呈陽性則表明被感染同學(xué)為這3位中

的I位，后再逐個化驗，直到能確定被感染的同學(xué)為止；若結(jié)果呈陰性，則在另外3位同學(xué)中逐個檢測.

(1)求方案甲所需化驗次數(shù)等于方案乙所需化驗次數(shù)的概率；

(2)H表示方案甲所需化驗次數(shù)，f表示方案乙所需化驗次數(shù)，假設(shè)每次化驗的費用都相同，請從經(jīng)

濟角度考慮哪種化驗的方案最佳.

【名師指導(dǎo)】

高考常將求概率與等可能事件、互斥事件、相互獨立事件、超幾何分布、二項分布等交匯在一起進行

考查，因此在解答此類題時，準(zhǔn)確把題中所涉及的事件進行分解，明確所求問題所屬的事件類型是關(guān)鍵.特

別是要注意挖掘題目中的陷含條件.

題型2概率與統(tǒng)計、統(tǒng)計案例的交匯命題

【例2-1］市教育部門為研究高中學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時間的關(guān)系，對該市某校200名高中

學(xué)生的課外體育鍛煉平均每天鍛煉的時間進行了調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：

平均每天

鍛煉的時[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

間(分鐘)

總?cè)藬?shù)203644504010

將學(xué)生日均課外體育鍛煉時間在［40,60］內(nèi)的學(xué)生評價為“課外體育達標(biāo)”.

(1)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2X2列聯(lián)表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超

過0.01的前提下認為“課外體育達標(biāo)”與性別有關(guān)；

課外體育不達標(biāo)課外體育達標(biāo)總計

男

女20110

總計

(2)從上述課外體育不達標(biāo)的學(xué)生中，按性別用分層抽樣的方法抽取10名學(xué)牛.，再從這10名學(xué)生中隨

機抽取3人了解他們鍛煉時間偏少的原因，記所抽取的3人中男生的人數(shù)為隨機變量X求X的分布列和數(shù)

學(xué)期望；

（3）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率來估計全市的情況，現(xiàn)在從該市所有高中學(xué)生中抽取4名學(xué)生,

求其中恰好有2名學(xué)生課外體育達標(biāo)的概率.

參考公式：*=（a+以吉c）@+G，其中“="+”+"+"

參考數(shù)據(jù):

夕（尤力兒）0.100.050.0250.0100.0050.001

kn2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【跟蹤訓(xùn)練2-1】某公司為了提高利潤，從2012年到2018年每年都對生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進進行投資，投資

金額x（單位：萬元）與年利潤增長量y（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如表：

年份2012201320142015201620172018

投資金額力萬元4.55.05.56.06.57.07.5

年利潤增長量〃萬元6.07.07.48.18.99.611.1

（1）請用最小二乘法求出y關(guān)于*的回歸直線方程.如果2019年該公司計劃對生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進的投資

金額為8萬元，估計該公司在該年的年利潤增長量為多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

（2）現(xiàn)從2012年到2018年這7年中抽出3年進行調(diào)查，記4=年利潤增長量一投資金額，設(shè)這3年中

萬元的年份數(shù)為f,求隨機變量4的分布列與期望.

參考公式：b=---------=-----=---------------,a=y-bx.

加一“人一〃7

/-!

參考數(shù)據(jù)：Zx,y=359.6,￡^=259.

/=!/=!

【跟蹤訓(xùn)練2-2】成都市現(xiàn)在已是擁有1400多萬人口的城市，機動車保有量已達450多萬輛，成年人

中約40%擁有機動車駕駛證.為了解本市成年人的交通安全意識情況，某中學(xué)的同學(xué)利用國慶假期進行了一

次全市成年人安全知識抽樣調(diào)查.先根據(jù)是否擁有駕駛證，用分層抽樣的方法抽取了200名成年人，然后

對這200人進行問卷調(diào)查.這200人所得的分數(shù)都分布在［30,100］范圍內(nèi)，規(guī)定分數(shù)在80以上（含80）的為

“具有很強安全意識”，所得分數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示.

擁有駕駛證沒有駕駛證總計

具有很強安全意識

不具有很強安全意識58

總計200

⑴補全上面的2X2列聯(lián)表，并判斷能否有超過95%的把握認為“‘具有很強安全意識'與擁有駕駛證”

有關(guān)？

（2）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市成年人中隨鞏抽取4人，記“具有很強安全意識”的人

數(shù)為篇求才的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附表及公式：＞=/_|_人、/竺人上人,其中〃=a+Z?+c+。.

（a十〃）（。十力（a+a）

0.150.1()0.050.0250.0100.0050.001

Ab2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【名師指導(dǎo)】

~~概率與統(tǒng)計、統(tǒng)計案例交匯問題的考查離不開圖表（頻率分布直方圖、莖葉圖、折線圖、頻數(shù)分布表等），

解決此類問題重:在審圖表、明數(shù)據(jù)，能從所給圖表中正確提取解題所需要的信息是解決問題的關(guān)鍵，然后

根據(jù)信息?步步實現(xiàn)圖表數(shù)據(jù)與數(shù)學(xué)符號語言的轉(zhuǎn)化，建立數(shù)學(xué)模型解決問題.

題型3概率與函數(shù)、數(shù)列等綜合問題

【例37】為響應(yīng)綠色出行，某市在推出共享單車后，乂推出新能源分時租賃汽車.其中一款新能源分

時租賃汽車，每次租車收費的標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成：①根據(jù)行駛里程數(shù)按1元/公里計費；②行駛時間不超過

40分鐘時按0.12元/分計費，超過40分鐘時，超出部分按0.20元/分計費.已知張先生家離上班地點15

公里，每天租用該款汽車上、下班各一次.由于堵車、紅綠燈等因素，每次路上開車花費的時間乂單位：

分）是一個隨機變量.現(xiàn)統(tǒng)計了張先生50次路上開車花費的時間，在各時間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如下表所

示.

時間〃分(20,30](30,40](40,50](50,60]

頻數(shù)2182010

將頻率視為概率，每次路上開車花費的時間視為用車時間.

（1）寫出張先生一次租車費用y（單位：元）與用車時間。（單位：分）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若張先生一次開車時間不超過40分為“路段暢通”，設(shè)S表示3次租用新能源分時租賃汽車中“路

段暢通”的次數(shù)，求f的分布列和期望；

（3）若公司每月給1000元的交通補助，請估計張先生每月（按22天計算）的交通補助是否足夠讓張先

生上、下班租用新能源分時租賃汽車？并說明理由.（同一時段的時間用該區(qū)間的中點值代表）

【例3-2】為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗.試

驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施

以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗.當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4

只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲

藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得一1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的

白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得一1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得()分.甲、乙兩種藥的治愈率

分別記為。和萬，一輪試驗中甲藥的得分記為X

(1)求/的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，A(2=0,1,8)表示“甲藥的累計得分為，時，最終

認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則R=0,9=1,pi=ap$-\~\~bpi+cp2Ki=\,2,…,7),其中a=〃(￥=

—1),b=P{X=^),c=P(X=l).假設(shè)。=0.5,8=0.8.

①證明：{“+LR}(1=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

②求R,并根據(jù)。的值解釋這種試驗方案的合理性.

【跟蹤訓(xùn)練3-1】計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站.過去5()年的水文資料顯示，水

庫年入流量年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單位：億立方米)都在40以上.其中，不足80

的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段

的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的入流量相互獨立..

(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率！

(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量乃限制，并有如下

關(guān)系：

年入流量二40</8080W辰120?120

發(fā)電機最多

123

可運行臺數(shù)

若某臺發(fā)電機運行，則該臺發(fā)電機年利潤為5000萬元；著某臺發(fā)電機未運行，則該臺發(fā)電機年虧損

800萬元.欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺？

【跟蹤訓(xùn)練3-2】如圖是某小區(qū)2017年1月至2018年1月當(dāng)月在售二手房均價（單位：萬元/米?）的散

點圖.（圖中月份代碼1?13分別對應(yīng)2017年1月?2018年1月）

當(dāng)月在售二手房均價y

1.04

1.02

1.00

0.98

0.96

0.94

012345678910111213月份代月％

根據(jù)散點圖選擇尸=&+矩和y=c+Mnx兩個模型進行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程分別為

y=0.9369+0.02856和尸0.9554+0.03061nx,并得到一些統(tǒng)計量的值如下表所示.

y=0.9369+0.028尸0.9554+0.03061nx

蛻％—PM

/=>0.0005910.000164

卅一）2

y0.005050

⑴請利用相關(guān)指數(shù)始判斷哪個模型的擬合效果更好.

（2）某位購房者擬于2018年6月份購買這個小區(qū)勿（70W/7W160）平方米的二手房（此房為其家庭首套

房）.若購房時該小區(qū)所有住房的房產(chǎn)證均已滿2年但未滿5年.請你利用（1）中擬合效果更好的模型解決

以下問題.

①估算該購房者應(yīng)支付的購房金額；（購房金額=房款+稅費，房屋均價精確到0.0