北師大版九年級下冊數(shù)學綜合復(fù)習試題含答案

第一章

三、解答題（共66分）

19.（8分）（1）計算:

2cos230°—sin30°+tan60°—2sin45°

解：原式=2X偶2_1

由-2X乎

=1+5+.

’92a—3、1

(2)先化簡，再求代數(shù)式(百一記二yj的值，其中a—2sin60°+lan

45°.

2(a-1)-2a+3

解：原式=~2—；?(a+l)

a—1

，

=2a—71(a+])=a^—17?

???a=2X#+1=巾+1.

?庫式一]-----也

.?原武一方+1-1-3-

I、歷

20.(8分)如圖，AD是AABC的中線，tanB=g,cosC=為-,AC=y/2.

求：

(1)BC的長；

(2)sinNADC的值.

A

BDC

解：(1)過點A作AELBC于點E,

??「啦

?cosC=2，

AZC=45°,

在RtAACE中,CE=AC*cosC=1,

.*.AE=CE=1,

在RtZiABE中，tanB=T,

AE1

即

"1S>T1SF=Ji,/.BE=3AE=3,

ABC=BE+CE=4.

(2)?；AD是aABC的口線，

ACD=|BC=2,???DE=CD-CE=1,

VAE1BC,DE=AE,

/.ZADC=45°,AsinZADC=^.

21.（8分）京杭大運河是世界文化遺產(chǎn).綜合實踐活動小組為了測出某段運河

的河寬（岸沿是平行的），如圖，在岸邊分別選定了點A,B和點C,D,先用

卷尺量出AB=180m,CD=60m,再用測角儀測得NCAB=30。，/DBA=

60°,求該段運河的河寬（即CH的長）.

解：過D作DEJLAB,可得四邊形CHED為矩形,

/.HE=CD=60m?

設(shè)CH=DE=xm,

在RtABDELp，ZDBA=60°，

.?.BE=Txm,

在RtZ\ACH中，ZBAC=30°,

.\AH=V3xm,由AH+HE+EB=AB=180m,

得至|J/x+60+坐x=180,

解得X=3M,g|]CH=3（h/3m,

答：該段運河的河寬為36/5m.

22.（8分）如圖，海中一小島上有一個觀測點A,某天上午9：（）（）觀測到某漁

船在觀測點A的西南方向上的B處跟蹤魚群由南向北勻速航行.當天上午9：

30觀測到該漁船在觀測點A的北偏西60。方向上的C處.若該漁船的速度為

每小時30海里，在此航行過程中，問該漁船從B處開始航行多少小時，離觀

測點A的距離最近？（計算結(jié)果用根號表示，不取近似值）

解：過點A作ADJ_BC,交BC于點D,則點D距觀測點A最近.

依題意有NBAD=45。，

ZACD=60°,

BC=30X0.5=15（海里）.

設(shè)AD=x海里.

AD(-

Vtan/ACD=^^=勺3,

???上升的高度為2米.

(2)由(1)可知,DH=2,ZG=30°,

???AH=4,；?GH=2小，AG=4+2小，

設(shè)BC=x,VZBAC=45°,ZG=30°,

AAC=x,CG=4§x,

VCG-AC=AG,???V5x-x=4+25,

解得x=5+3小.

答：大樹BC的高度為（5+35）米.

24.（12分）如圖，胡同左右兩側(cè)是豎直的墻，一架3啦米長的梯子斜靠在右

側(cè)墻壁上，測得梯子與地面的夾角為45。，此時梯子頂端B恰巧與墻壁頂端重

合.因梯子阻礙交通，故將梯子底端向右移動一段距離到達D處，此時測得

梯子AD與地面的夾角為60。，問：胡同左側(cè)的通道拓寬了多少米（結(jié)果保留

根號）?

l_iL

OC

解：在Rt^BCE中,

???BC=36，

ZBEC=90°,

ZBCE=45°,

ABE=CE

=BCcos45°

=3y/2X乎=3

在KtZXBDE中，DE=BEtan30°=小,

???CD=CE-DE=3-巾,

答：胡同左側(cè)的通道拓寬了（3-?。┟?

25.（12分）如圖①，窗框和窗扇用“滑塊錢鏈”連接，圖③是圖②中“滑塊

錢鏈”的平面示意圖，滑軌MN安裝在窗框上，托懸臂DE安裝在窗扇上，

交點A處裝有滑塊，滑塊可以左右滑動，支點B,C,D始終在一直線上，延

長DE交MN于點F.已知AC=DE=20cm,AE=CD=10cm,BD=40cm.

□

(1)窗扇完全打開，張角NCAB=85。,求此時窗扇與窗框的夾角NDFB的度數(shù);

(2)窗扇部分打開，張角NCAB=60。,求此時點A,B之間的距離(精確到0.1

cm).

(參考數(shù)據(jù)：A/3-1.732,^^2.449)

解：(l)?.?AC=DE=20cm,AE=CD=10cm,

???四邊形ACDE是平行四邊形，

.-.AC//DE,.\ZDFB=ZCAB,

VZCAB=85°,???NDFB=85。.

(2)作CGLAB于點G,

VAC=20,ZCGA=90°,ZCAB=60°,

.*.CG=l(h/3，AG=10,

VBD=40,CD=1(),

/.CB=30,

ABG=A/302-(10V3)2=10V6,

???AB=AG+BG=10+u10+10X2.449=34.49%34.5cm,

答：A,B之間的距離為34.5cm.

第二章

三、解答題(共66分)

19.(8分)如圖，二次函數(shù)y=(x+2>+m的圖象與y軸交于點C,點B在拋

物線上，且與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象

經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上的點A(—l,0)及點B.

(1)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的表達式；

(2)根據(jù)圖象，寫出滿足(x+2)2+m2kx+b的x的取值范圍.

\_J\

解：(1)由題易得二次函數(shù)表達式為y=x?+4x+3,

一次函數(shù)表達式為y=-x-1.

(2)由圖象可知，滿足(x+2)2+m2kx+b的x的取值范圍為

xW—4或X、一1.

20.(8分)如圖，拋物線的頂點為A(l,4),拋物線與y軸交于點B(0,3),與x

軸交于C,D兩點，點,P是x軸上的一個動點.

⑴求此拋物線的表達式；

(2)當PA+PB值最小時，求點P的坐標.

解：(1)拋物線的表達式為y=-x2+2x+3.

⑵作點B關(guān)于X軸的對稱點E(0,-3),連接AE交X軸于點P.

此時PA+PB值最小，最小值為AE的長.

設(shè)AE的解析式為y=kx+b,

k+b=4,[k=7,

則k2解得k」，y=7x-3.

[b=-3,[b=-3,

3

???當y=0時，x=7,

???點p的坐標為俘，0

21.(8分)如圖，一座拱橋的輪廓是拋物線型，拱高6m,在長度為8m的兩

支柱0C和AB之間，還安裝著三根支柱，相鄰兩支柱間的距離均為5m.

⑴建立如圖所示的直角坐標系，求拱橋拋物線的函數(shù)表達式；

(2)求支柱EF的長度；

⑶拱橋下面擬鋪設(shè)行車道，要保證高3m的汽車能夠通過(車頂與拱橋的距離

不小于().3m),行車道最寬可以鋪設(shè)多少米？

解：(1)根據(jù)題意，易得拋物線的函數(shù)表達式為y=-京x.

⑵由題意得點F的坐標為"?

/.EF=8—T=5m=3.5m.

（3）當y=3+0.3=3.3時，有

-^7X2+TX=3.3,化簡，得X2-20X+55=0,

解得xi=10—34,X2=10+34,

；?X2—X1=6#.

???行車道最寬可以鋪設(shè)米.

22.（8分）如圖，在矩形OABC中，OA=3,OC=2,F是AB上的一個動點

k

（不與重合），過點的反比例函數(shù)（）的圖象與邊交于點

FA,BFy=X[k>0BC

E.當k為何值時，^EFA的面積最大，最大面積是多少？

解：由題意知E,F兩點坐標分別為E住2）,F（3,1

ASAEFA=|AFBE=|x|k3-1k]

???在邊AB上,不與A,B重合，0<|<2,

解得0vkv6,??.當k=3時，S有最大值.

3

s最大值—W?

3

故當k=3時，AEFA的面積最大，最大面積是w.

23.(1()分)如圖，在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=ax2+bx十c與一次

函數(shù)y=(a+3)x2+(b-15)?x+c+18的圖象與x軸的交點分別是A,B,C.

⑴判斷圖中經(jīng)過點B,D,C的圖象是哪一個二次函數(shù)的圖象？試說明理由.

⑵設(shè)兩個函數(shù)的圖象都經(jīng)過點B,D,求點B,D的橫坐標.

解：(1)因為a+3>a,所以經(jīng)過B,D,C的圖象是

y=(a+3)x2+(b-15)x+c+18的圖象.

⑵解方程組

y=ax2+bx+c,

y=(a+3)x2+(b-15)x+c+18,

解得xi=2,X2=3,

???點B,D的橫坐標分別為2,3.

⑶若點D是過點B,D,C的函數(shù)圖象的頂點，縱坐標為一2,求這兩個函數(shù)

的表達式.

解：設(shè)右邊函數(shù)表達式為y=a(x-3)2-2,

把點B的坐標(2,0)代入,解得a=2,

即y=2x2-12x+16,

因此易得左邊拋物線的表達式為y=-X2+3X-2.

24.(12分)越來越多的青少年在觀看影片《征途》后，更加喜歡同名科幻小

說，該小說銷量也急劇上升.書店為滿足廣大顧客需求，訂購該科幻小說若

干本，每本進價為2()元.根據(jù)以往經(jīng)驗：當銷售單價是25元時，每天的銷

售量是250本；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少1()本.書店要求每

本書的利潤不低于10元且不高于18元.

⑴直接寫出書店銷售該科幻小說時每天的銷售量y(本)與銷售單價x(元)之間

的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；

(2)書店決定每銷售1本該科幻小說，就捐贈a(0<aW6)元給困難職工，每天

扣除捐贈后可獲得的最大利潤為1960元，求a的值.

解：(l)y=250-10(x-25)=-10x+500(30^x^38).

⑵設(shè)每天扣除捐贈后可獲得利潤w元，

貝!Jw=(x-20-a)(—10x+500)

=-10x2+(10a+700)x-500a-10000(30^x^38).

易知，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線

x=35+；a,且0vaW6,則35V35+；a<38,

???當x=35+；a時，w取得最大值.

111

+利+5叫=1960,

解得ai=2,a2=58(不合題意,舍去).

:.a=2.

25.(12分)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax?+bx—8與x軸交

于A,B兩點，與y軸交于點C,直線1經(jīng)過坐標原點O,與拋物線的一個交

點為D,與拋物線的對稱軸交于點E,連接CE,已知點A,D的坐標分別為(一

2,0),(6,-8).

(1)求拋物線的表達式，并分別求出點B和點E的坐標；

⑵試探究拋物線上是否存在點E使△FOE名AFCE.若存在，請直接寫出點F

的坐標；若不存在，請說明理由.

解：⑴拋物線的表達式為y=；X2-3X-8；

B（8,0）;E（3,-4）.

⑵拋物線上存在點F,使△FOEgZiFCE.

由題易得OE=CE=5,

VFO=FC,

???點F在OC的垂直平分線上，此時點F的縱坐標為-4,

I;x2—3x—8=-4,解得x=3i\/17，

???點F的坐標為（3-亞，-4）或（3+后,-4）.

第三章

三、解答題（共66分）

19.（8分）如圖，已知A,B,C,D是。0上的四點，延長DC,AB相交于

點E.連接BC,若BC=BE,求證：DA=DE.

證明：TA,B,C,D四點共圓,

/.ZA+ZBCD=180°.

又???NBCE+NBCD=180。，

AZA=ZBCE.

VBC=BE,

.*.ZBCE=ZE,.\ZA=ZE,

ADA=DE.

20.(8分)如圖,A,B,C是。O上三點，其中方"=2BC，過點B畫BD_LOC

于點D.

(1)求證：AB=2BD；

⑵若AB=25，CD=1,求圖中陰影部分的面積.

(1)證明：延長BD交OO于點E,

VBD±OC,

???BE=2BD,而=2BC,

;而=2BC,??.而,

???AB=BE,AAB=2BD.

(2)解：連接OB,設(shè)。。的半徑為r.

VAB=2^/3,CD=1.???BD=5,

在Rt^OBD中，r2=(r-l)2+(V3)2,解得r=2,

AZBOC=60°,

???陰影部分的面積"普絲-IX小xi=￥-乎.

21.(8分)如圖，己知PA,PB分別切。O于點A,B,E為劣弧AB上一點,

過E點的切線交PA于點C,交PB于點D.

(1)若PA=6,求4PCD的周長；

(2)若/P=5()。，求NDOC的度數(shù).

解：(1)連接OE.

VPA,PB與。O相切,

???PB=PA=6.

同理可得AC=CE,

BD=DE,

.-.△PCD的周長為

PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PC+PD+AC+BD=PA+PB=12.

(2)VPA,PB與。O相切，

AZOAP=ZOBP=90°.

又,.?NP=50。，

???ZAOB=360°-90°-90°-50°=130°.

VCD與。O相切于點E,AOE±CD.

OA=OE,

在Rt^AOC和RtZXEOC中，八八八八

oc=oc,

:.RtAAOC^RtAEOC(HL),

.*.ZAOC=ZCOE.

同理可得NDOE=NBOD,

AZCOD=ZCOE+ZDOE=1ZAOE+|ZBOE

ZAOB=1X130°=65°.

22.（8分）如圖，四邊形ABCD是正方形，以邊AB為直徑作。O,點E在BC

邊上，連接AE交。O于點F,連接BF并延長交CD于點G.

(1)求證：AABE^ABCG；

證明：???四邊形ABCD是正方形，AB為。。的直徑,

AZABE=ZBCG=ZAFB=90°,

AZBAE+ZABF=90°,ZABF+ZCBG=90°,

AZCBG=ZBAE.

(ZBAE=ZCBG,

在4ABE與4BCG中，＜AB=BC,

ZABE=ZBCG,

???AABE^ABCG(ASA).

(2)若NAEB=55。，OA=3,求證的長(結(jié)果保留n).

解：連接OF.

VZABE=90°,ZAEB=55°,

.?.ZBAE=90°-55°=35°,

AZBOF=2ZBAE=70°.

VOA=3,

70X7cX377c

???的長=

BF1806

23.（10分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的。O經(jīng)過點D,

E是。。上一點，且NAED=45。.

⑴判斷CD與。O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若。。的半徑為3,sinNADE=|,求AE的長.

解：（1）CD與。O相切.理由如下:

連接OD，則NAOD=2NAED=2X45°=90°.

??,四邊形ABCD是平行四邊形,

AAB//DC,/.ZCDO=ZAOD=90°,

/.OD±CD,.;CD與。O相切.

(2)連接BE,貝！JNADE=NABE.

???AB是。。的直徑，

/.ZAEB=90°,AB=2X3=6.

在RtAABE中，

AE5

VsinZ^ABE=sinNADE

AB6

AE=5.

24.（12分）已知A,B,C,D是。O上的四個點.

(1)如圖①，若NADC=NBCD=90。，AD=CD,求證：AC±BD；

（2汝口圖②，若AC_LBD,垂足為F,AB=2,DC=4,求。。的半徑.

?_?

⑴證明:VZADC=ZBCD=90°,

AAC,BD是。O的直徑,

.\ZDAB=ZABC=90°,

???四邊形ABCD是矩形.

VAD=CD,

???四邊形ABCD是正方形，

AAC±BD.

⑵解：如圖②，作直徑DE,連接CE,BE.

〈DE是直徑，

/.ZDCE=ZDBE=90°.

AEB±DB.

又?.?ACJ_BD,

ABE//AC,ZBDC+ZACD=90°.

VZECA+ZACD=90°,

AZECA=ZBDC,

，而=~BC.

.?."CE=^B.

.\CE=AB.

在RtA^ECD中，由勾股定理有：CE2+DC2=DE2,

即CE2+DC2=AB2+DC2=DE2=20,

ADE=2^/5,可得OD=V^,

故（DO的半徑為布.

25.（12分）如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。交BC于點D,

連接AD,過點D作DMLAC,垂足為M,AB,MD的延長線交于點N.

（1）求證：MN是。O的切線；

(2)求證：DN2=BN-(BN+AC)；

(3)若BC=6,cosC=1,求DN的長.

J

(1)證明：連接OD,

TAB為。。的直徑，

/.ZADB=90°,

AAD±BC,

yVA