第十三章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明（含熱考模型）1.認(rèn)識三角形三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.概念示例圖示頂點(diǎn)三角形兩邊的公共點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn).點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C邊組成三角形的三條線段稱為三角形的三條邊.線段AB，線段BC，線段AC內(nèi)角在三角形中，每兩條邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角.∠A，∠B，∠C三角形的表示：用符號“△”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，字母的順序可以自由安排，即?ABC，?ACB等均為同一個(gè)三角形.2.三角形的分類1）三角形按邊分類：2）三角形按角分類：3.三角形的三邊關(guān)系:任意兩邊之差<第三邊<任意兩邊之和.（理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短）4.三角形的高、中線、角平分線三角形的高三角形的中線三角形的角平分線定義從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．圖示作法過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D．性質(zhì)∵AD是?ABC中BC邊的高∴∠ADB=∠ADC=90°∵AD是?ABC中BC邊的中線∴BD=CDS△ABD=S△ADC=S△ABC∵AD是?ABC中∠BAC的角平分線∴∠BAD=∠DAC=12∠5.三角形的內(nèi)角和定理定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°．表達(dá)形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°證明方法：圖示方法構(gòu)造平角構(gòu)造鄰補(bǔ)角構(gòu)造同旁內(nèi)角6.直角三角形的性質(zhì)與判定1）性質(zhì):直角三角形的兩個(gè)銳角互余.2）寫法:直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC.3）判定:①文字表述:有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.②幾何表述:在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形.7.三角形的外角三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.圖中的∠ACD為△ABC的一個(gè)外角.三角形的外角的性質(zhì)：1）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．三角形的外角和定理：三角形的外角和為360°．8.常見模型及結(jié)論A字模型8字模型飛鏢模型老鷹抓小雞模型點(diǎn)O為∠A內(nèi)部的一點(diǎn)∠1+∠2=180°+∠A∠A+∠B=∠C+∠D，AD+BC＞AB+CD∠BCD=∠A+∠B+∠D，AB+AD＞BC+CD∠1+∠2=∠A+∠O三角形翻折模型（內(nèi)折）三角形翻折模型（外折）2∠C=∠1+∠22∠C=∠2-∠1類型兩內(nèi)角平分線模型兩外角平分線模型一內(nèi)一外角平分線條件BD、DC分別平分∠ABC、∠ACBBD、DC分別平分∠EBC、∠BCFBE、EC分別平分∠ABC、∠ACD圖示結(jié)論∠D=90°+∠A∠D=90°-∠A∠E=∠A大招內(nèi)加外減，一內(nèi)一外不加不減.9.命題定義：判斷一件事情的語句，叫做命題.組成：命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．表達(dá)形式：可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論．10.真命題、假命題內(nèi)容舉例注意真命題如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題，叫做真命題?對頂角不相等（答案不唯一）說明一個(gè)命題是真命題，需從已知出發(fā),經(jīng)過一步步推理，最后得出正確結(jié)論假命題命題中題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立的命題，叫做假命題?相等的角是對頂角（答案不唯一）判定一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子(反例)，使它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論即可【注意】只要是對一件事情作出判斷的句子就是命題，與判斷的結(jié)果正確與否無關(guān)，命題一定是陳述句，但是陳述句不一定是命題，而祈使句和疑問句一定不是命題.如語句“對頂角相等”是一個(gè)命題，這里的事物是“對頂角”,對它的判斷是“相等”.又如語句“a的絕對值與b的絕對值”不是命題，這里沒有對事物進(jìn)行任何判斷.11.逆命題逆命題：把原命題的結(jié)論作為命題的題設(shè)，把原命題的題設(shè)作為命題的結(jié)論，所組成的命題叫做原命題的逆命題.互逆命題：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．如果把其中的一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題就叫做它的逆命題．序號易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)題注意事項(xiàng)1利用三角形的三邊關(guān)系時(shí)，忽略三角形構(gòu)成的條件1-3已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b2利用分類討論思想求等腰三角形邊/角4-61）已知等腰三角形兩邊長，但沒有明確腰，底分別是多少，需要進(jìn)行討論，所求得的結(jié)果還要滿足三角形的三邊關(guān)系.2）已知等腰三角形周長和一條邊的長，需分情況討論已知的邊長是腰還是底，所求得的結(jié)果還要滿足三角形的三邊關(guān)系.3）已知等腰三角形一個(gè)角求另外兩個(gè)角，需要進(jìn)行討論.3直角三角形問題中忽略直角的條件7-9直角三角形的兩個(gè)銳角互余.4與三角形的有關(guān)角度計(jì)算中，沒有充分利用內(nèi)角和和外角的性質(zhì)而出錯(cuò)10-121）三角形的內(nèi)角和為180°；2）直角三角形中兩銳角和為90°；3）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.1．有4根長度分別為，，，的木棒，從中任意取3根，則這根木棒恰好能首尾相接構(gòu)成三角形的周長是．【詳解】解：∵，，，，∴恰好能首尾相接構(gòu)成三角形的三根木棒長為：，，，或，，，∴這根木棒恰好能首尾相接構(gòu)成三角形的周長是或，故答案為：或．2．已知三角形的三邊分別為，則a的整數(shù)值可能是．（填一種即可）【詳解】解：根據(jù)題意得：，即，所以a的整數(shù)值可能是3，4，5，故答案為：3（答案不唯一）3．已知的三邊長分別為，，，化簡．【詳解】解：因?yàn)榈娜呴L分別為，，，所以．解得．∴，，∴．故答案為：．4．已知一個(gè)等腰三角形的一邊長為4．（1）若另一邊長為5，則該等腰三角形的周長是；（2）若另一邊長為2，則該等腰三角形的周長為；（3）若周長為9，則該等腰三角形的另兩邊長分別是．【詳解】解：（1）當(dāng)?shù)走厼?，腰為5時(shí)，此時(shí)三邊為，符合三邊關(guān)系，則周長為14；當(dāng)?shù)走厼?，腰為4時(shí)，此時(shí)三邊為，符合三邊關(guān)系，則周長為13；故答案為：14或13．（2）當(dāng)?shù)走厼?，腰為4時(shí)，此時(shí)三邊為，符合三邊關(guān)系，則周長為10；當(dāng)?shù)走厼?，腰為2時(shí)，此時(shí)三邊為，不符合三邊關(guān)系，舍去．故答案為：10．(3)若周長為9，底邊為4時(shí)，腰為，此時(shí)三邊為，符合三邊關(guān)系，∴等腰三角形的另兩邊長2.5和2.5；若周長為9，腰為4時(shí)，底邊為，此時(shí)三邊為，符合三邊關(guān)系，∴等腰三角形的另兩邊長4和1．故答案為：2.5，2.5或4，1．5．已知是等腰三角形．（1）如果它的兩條邊的長分別為和，那么它的周長是；（2）如果它的周長為，一條邊的長為，那么它的腰長是．【詳解】解：（1）∵等腰三角形的兩條邊長分別為，，當(dāng)腰長為，底邊長為時(shí)，等腰三角形的周長；當(dāng)腰長為，底邊長為時(shí)，，不能構(gòu)成三角形，∴等腰三角形的周長；故答案為：19；（2）解：當(dāng)長為的邊為底時(shí)，其它兩邊都為，三邊長是：，，，腰長是；當(dāng)長為的邊為腰時(shí)，其它兩邊為和，∵，所以不能構(gòu)成三角形．∴腰長是．故答案為：．6．等腰三角形中，，則的度數(shù)為．【詳解】解：等腰三角形中，，當(dāng)是頂角，則，∴；當(dāng)是頂角，則，∴；當(dāng)是頂角，則．綜上為或或．故答案為：或或7．已知是直角三角形，那么這個(gè)直角三角形三個(gè)內(nèi)角的比可以是（

）A． B． C． D．【詳解】解：選項(xiàng)A：，三個(gè)角相等，每個(gè)角為，均為銳角，無直角，不符合條件，排除．選項(xiàng)B：，總份數(shù)為，對應(yīng)角度分別為：，，存在90°角，且另兩角之和為，符合條件．選項(xiàng)C：，總份數(shù)為，對應(yīng)角度分別為：，，，均為銳角，無直角，排除．選項(xiàng)D：總份數(shù)為，對應(yīng)角度分別為：，，，均為銳角，無直角，排除．綜上，正確答案為B．故選：B．8．如圖是兩個(gè)直角三角形，則的度數(shù)是．【詳解】解：如圖：由題意得：在中，可求得，在中，可求得，則在四邊形中，，所以的度數(shù)為．故答案為．9．已知點(diǎn)E為中邊上一點(diǎn)，連接，，，當(dāng)為直角三角形時(shí)，則的度數(shù)是．【詳解】解：∵，，∴，當(dāng)時(shí)，為直角三角形,此時(shí)，當(dāng)時(shí)，為直角三角形,此時(shí)∵∴，故答案為：或．10．如圖，在中，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是和上一點(diǎn)，，，．若，則【詳解】解：在和中，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，故答案為：．11．如圖，和相交于點(diǎn)，，，，分別平分和，若，則．【詳解】解：如圖，，，又，，設(shè)，則，，，，分別平分和，，，，，，，解得：，，故答案為：．12．一個(gè)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則該等腰三角形的頂角度數(shù)為．【詳解】解：①如圖：當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，∵，，為高，即，，∴，②如圖：當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，∵，，為高，即，∴，綜上，等腰三角形的頂角的度數(shù)為或．故答案為：或．重難點(diǎn)01三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用1．（24-25八年級上·安徽合肥·期末）若a，b，c是三角形的三邊長，化簡．【答案】【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系解答即可．本題考查了絕對值的化簡，三角形三邊關(guān)系應(yīng)用，整式的加減，熟練掌握應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，b，c，是三角形的三邊長，，．原式．2．（24-25八年級上·安徽淮南·期末）先化簡，再求值：，其中與構(gòu)成的三邊，且為整數(shù)．【答案】，【分析】本題考查了分式的化簡求值和三角形三邊關(guān)系，正確化簡分式是解題關(guān)鍵．先化簡分式，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系以及分式有意義的條件找到即可．【詳解】解：原式．與2，3構(gòu)成的三邊，且為整數(shù)，，即．當(dāng)或時(shí)，原式?jīng)]有意義，故．當(dāng)時(shí)，原式．3．（23-24八年級上·安徽蕪湖·期中）已知是的三邊長．(1)若滿足，試判斷的形狀：(2)化簡：．【答案】(1)為等腰三角形或等邊三角形；理由見解析(2)【分析】此題考查因式分解的應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系以及絕對值非負(fù)性，解答本題的關(guān)鍵是利用三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，建立不等式解決問題．（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可得出或或，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）利用三角形的三邊關(guān)系得到，然后去絕對值符號后化簡即可．【詳解】（1）為等腰三角形或等邊三角形；理由如下：，或或，或或，為等腰三角形或等邊三角形；（2）是的三邊長，，原式．4．（24-25八年級上·安徽蚌埠·階段練習(xí)）已知，，分別為的三邊，且滿足，，求的取值范圍．【答案】【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系、解一元一次不等式組，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出一元一次不等式組，求解即可．【詳解】解：由題意可得：，解得：．5．（23-24八年級上·安徽合肥·單元測試）在中，．(1)求長度的取值范圍；(2)若的周長為偶數(shù)，求的周長，并判斷此時(shí)的形狀．【答案】(1)(2)的周長為16，是等腰三角形【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系，三角形的分類：（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)（1）中的范圍，結(jié)合的周長為偶數(shù)，得到，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵在中，∴，∴；（2）∵的周長為偶數(shù)，為奇數(shù)，∴的長為奇數(shù)，∵，∴，∴的周長為，是等腰三角形．重難點(diǎn)02利用三角形三邊關(guān)系比較線段大小6．（21-22八年級上·安徽六安·期中）在中，，是的角平分線，請比較與的大小，并說明理由．【答案】，證明見解析【分析】首先在上取點(diǎn)E，使，連接，易證得，即可得，然后由三角形三邊關(guān)系，即可求得答案．【詳解】解：．理由：在上取點(diǎn)E，使，連接，∴是的角平分線，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7．（20-21八年級上·安徽馬鞍山·期中）如圖，中，、分別在、上，，是中點(diǎn)，試比較與的大?。敬鸢浮俊痉治觥垦娱L至點(diǎn)，使，連接、，證明，即可得解；【詳解】解：延長至點(diǎn)，使，連接、，∵垂直平分，，∴為中點(diǎn)，，在與中，，，則，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．8．（23-24八年級上·全國·課堂例題）如圖所示，是的內(nèi)角平分線，是上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，試比較與的大小，并說明理由．

【答案】．理由見解析【分析】在上取一點(diǎn)，使，證明，推出，再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊證明即可．【詳解】解：．理由如下：如圖，在上取一點(diǎn)，使，連接．

是的內(nèi)角平分線，．在和中，，．．，．，．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2023八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)、在直線的同側(cè)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，交于點(diǎn)．

(1)與相等嗎？為什么？(2)在上再取一點(diǎn)，并連接與，比較與的大小，并說明理由．【答案】(1)相等，理由見解析(2)，理由見解析【分析】此題主要考查軸對稱最短路線問題，及三角形三邊的關(guān)系，掌握三角形的兩邊之和大于第三邊是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，，，．（2）如圖：連接，，，，．

10．（23-24八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，點(diǎn)是的外角的平分線上的一點(diǎn)，你能比較與的大小嗎？說說你的理由．【答案】．理由見解析【分析】如圖所示，在射線上取一點(diǎn)，使，連接，證明得到，再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系證明即可．【詳解】解：，理由如下：如圖所示，在射線上取一點(diǎn)，使，連接．平分，．又，，．在中，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形三邊的關(guān)系，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．重難點(diǎn)03畫三角形的高、中線、角平分線11．（24-25八年級上·安徽安慶·期中）在下面的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長為1，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．(1)畫出邊上的高和中線；(2)畫出邊上的高，并直接寫出的長（提示：的長等于5）．【答案】(1)見解析(2)見解析，【分析】此題考查了作三角形的高線和中線，等面積法求三角形高，（1）取格點(diǎn)D，連接即為邊上的高；取格點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)E，中線即為所求；（2）取格點(diǎn)G，連接交的延長線于點(diǎn)F，高即為所求，然后根據(jù)面積法求解即可．【詳解】（1）如圖所示，高和中線即為所求；（2）如圖所示，邊上的高即為所求；∵的長等于5∴∴∴．12．（24-25八年級上·安徽淮北·階段練習(xí)）在如圖所示的方格紙中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．(1)畫出邊上的中線，并標(biāo)出的位置；(2)畫出邊上的高線，并標(biāo)出的位置；(3)的面積是．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)4【分析】本題考查了三角形的中線、高線，三角形的面積，熟練掌握網(wǎng)格的特點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的中線的定義，結(jié)合網(wǎng)格的特點(diǎn)作圖即可；（2）根據(jù)三角形的高的定義，結(jié)合網(wǎng)格的特點(diǎn)作圖即可；（3）用長方形的面積減去四周小三角形的面積，計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖所示，線段即為所求；（2）如圖所示，線段即為所求；；（3）的面積是．13．（24-25八年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，已知．(1)畫中線．(2)畫的高及的高．(3)比較大?。篲__________．(填“”“”或“”)【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題主要考查了作垂線，三角形的中線，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握尺規(guī)作垂線的方法進(jìn)行作圖．（1）先找出的中點(diǎn)D，然后再連接即可；（2）根據(jù)尺規(guī)作垂線的方法，進(jìn)行作圖即可；（3）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形面積公式得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，即為所求作的中線；（2）解：如圖，、為所求作的高線．（3）解：∵為的中線，∴，∵為的高線，為的高線，∴，∴．重難點(diǎn)04利用等面積法求邊長14．（24-25八年級上·安徽淮北·期中）已知，是邊上的中線，且，若的邊上的高為2，的邊上的高為4，求的長．【答案】8【分析】本題考查了三角形的中線，以及等積法求線段的長，由中線的定義得，然后根據(jù)列式求解即可．【詳解】解：如圖，是邊上的中線，，，，即．15．（24-25八年級上·安徽滁州·期中）如圖，和是的兩條高線且相交于點(diǎn)O．(1)已知，求的度數(shù)；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，三角形的高的定義．（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出，即可求解；（2）利用等面積法得出，即可求解．【詳解】（1）解：∵和是的兩條高線，∴．∴．∴．∴．（2）解：由三角形的面積公式，得．∵，，∴．∴．16．（23-24七年級下·陜西漢中·期末）如圖，為的角平分線，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若，，，求的長．

【答案】【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到，分割法表示出，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：是的角平分線，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，，，．17．（23-24八年級上·浙江紹興·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中常常利用面積相等來證明其他的線段相等，這種方法被稱為“面積法”．已知等邊，點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到邊、邊的距離分別為、，的邊上的高為．回答以下問題：

(1)如圖（1），若點(diǎn)在三角形的邊上，、、存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明過程．(2)如圖（2），當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)，已知，求的值．(3)如圖（3），當(dāng)點(diǎn)在外，請直接寫出與、、的數(shù)量關(guān)系，不用證明．【答案】(1)，證明見解析(2)10(3)【分析】（1）連結(jié)，設(shè)，則，則，，，由得到，即可證明；（2）連結(jié)、、，則，，，，由得到，則；（3）連結(jié)、、，則，，，，由得到，則．【詳解】（1）解：，證明如下：連結(jié)，如圖（1）所示：

設(shè)，是等邊三角形，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，，，；（2）解：連結(jié)、、，如圖（2）所示：

設(shè)，是等邊三角形，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，，，，，，，的值為；（3）解：，理由如下：連結(jié)、、，如圖（3）所示：

設(shè)，是等邊三角形，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式、根據(jù)面積等式證明其他線段之間的相等關(guān)系、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線并且列出相應(yīng)的面積等式是解題的關(guān)鍵．重難點(diǎn)05利用三角形的中線求長度/面積18．（24-25八年級上·安徽六安·期中）在中，，．(1)若是偶數(shù)，求的長；(2)已知是的中線，若的周長為13，求的周長．【答案】(1)(2)的周長為21【分析】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系、三角形的中線的定義，掌握三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”得，根據(jù)是偶數(shù)得；（2）根據(jù)是的中線得，根據(jù)的周長為13和即可求解．【詳解】（1）解：由三角形的三邊關(guān)系可知：，即，是偶數(shù)，；（2）解：的周長為13，，，，是的中線，，，，的周長．19．（24-25八年級上·安徽安慶·期中）如圖，是的中線，是的中線．(1)求證：；(2)若，求的面積．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：由圖可知，是的一個(gè)外角，∴，∴，∵是的一個(gè)外角，∴，∴，∴；（2）解：∵是的中線，，∴，∵是的中線，∴．20．（24-25八年級上·安徽淮北·期末）如圖，直線：交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，直線：交x軸，y軸于C，D兩點(diǎn)，直線，相交于點(diǎn)E．(1)點(diǎn)E的坐標(biāo)為________；(2)直線，與x軸圍成的三角形面積為________；(3)過點(diǎn)E的直線把面積兩等分，求這條直線的表達(dá)式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)與二元一次方程組解的關(guān)系即可求得；（2）分別求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)求出長度，代入面積公式即可求得；（3）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，找到兩點(diǎn)的中點(diǎn)，待定系數(shù)法求出表達(dá)式即可；【詳解】（1）解：∵直線：和直線：相交于點(diǎn)．∴點(diǎn)坐標(biāo)為的解，解得：．∴．（2）解：把代入，得：和，∴，∵，∴直線，與軸圍成的三角形面積為：.（3）解：把分別代入，得：和，∴，∴的中點(diǎn)為，∵過點(diǎn)E的直線把面積兩等分，∴這條直線過E點(diǎn)以及的中點(diǎn)，設(shè)過E點(diǎn)且把面積兩等分的直線的解析式為把點(diǎn)代入得:，解得：，∴這條直線的解析式為.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)與二元一次方程組解的關(guān)系、圖象與坐標(biāo)軸圍成面積、三角形的中線、待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式等知識點(diǎn)，一次函數(shù)知識點(diǎn)的熟練運(yùn)用是解題關(guān)鍵.21．（24-25八年級上·安徽合肥·期中）如圖，在中，是角平分線，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)，重合），連接交于點(diǎn)．(1)若是中線，，，求與的周長差；(2)若是高，，求的度數(shù)．【答案】(1)與的周長差為1(2)【分析】（1）根據(jù)三角形周長計(jì)算公式可得到與的周長差為：，再由三角形中線的定義得到，據(jù)此代值計(jì)算即可；（2）根據(jù)角平分線的定義得到，由三角形高的定義得到，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）∵的周長為：，的周長為：，∴與的周長差為：，∵是的中線，∴，又∵，，∴，即與的周長差為1；（2）∵是的平分線，，∴，∵是的高，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中線和高，三角形的周長，三角形的內(nèi)角和，角平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟記三角形中線的定義，三角形高的定義是解題的關(guān)鍵．重難點(diǎn)06求網(wǎng)格中的三角形面積22．（24-25八年級上·安徽宿州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，是的邊上的一點(diǎn)，經(jīng)過平移后得到，，，的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，．點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為．(1)寫出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在圖中畫出；(3)的面積為_____．【答案】(1)，，(2)見解析(3)7【分析】此題主要考查了平移變換以及三角形面積求法．（1）直接利用P點(diǎn)平移變化規(guī)律得出答案；（2）直接利用各對應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；（3）利用所在長方形面積減去周圍三角形面積進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：∵平移后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，∴的對應(yīng)點(diǎn)為，的對應(yīng)點(diǎn)為，的對應(yīng)點(diǎn)為；（2）解：如圖所示：即為所求作的圖形；（3）解：．故答案為：7．23．（24-25八年級上·安徽滁州·期中）如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．(1)的面積為______；(2)過點(diǎn)A作的高線，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為______；(3)將先向右平移6個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到，畫出．【答案】(1)8(2)(3)見解析【分析】此題考查了平移的作圖、三角形的高、網(wǎng)格中求三角形的面積等知識．（1）利用正方形的面積減去兩個(gè)直角三角形的面積即可得到答案；（2）根據(jù)三角形高的畫法作圖，再寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)平移規(guī)律找到的對應(yīng)點(diǎn)，順次連接即可．【詳解】（1）解：的面積為；故答案為：8；（2）解：如圖，即為所求，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，（3）解：如圖，即為所求，．24．（24-25八年級上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．(1)畫出關(guān)于軸對稱的，C的面積是_________；(2)在（）的條件下，已知點(diǎn)，直線軸，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_________．【答案】(1)作圖見解析，(2)【分析】（）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可作出圖形，再根據(jù)割補(bǔ)法可求出的面積；（）由（）圖可得，根據(jù)直線軸可知點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，進(jìn)而可得，求出的值即可求解；本題考查了作軸對稱圖形，坐標(biāo)與圖形，掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，∴，故答案為：；（2）解：由圖可得，，∵直線軸，∴，∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．25．（2024八年級上·安徽·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．(1)求出的面積；(2)畫出關(guān)于軸的對稱圖形；(3)在軸上找一點(diǎn)，使點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之和最?。ūＡ糇鲌D痕跡）．【答案】(1)(2)畫圖見解析(3)作圖見解析【分析】（）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；（）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可；（）作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接，由軸對稱可得，即得到，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時(shí)點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之和最小，故點(diǎn)即為所求；本題考查了利用網(wǎng)格求三角形的面積，作軸對稱圖形，軸對稱最短線段問題，掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴；（2）解：如圖所示，即為所求；（3）解：如圖所示，點(diǎn)即為所求．重難點(diǎn)07三角形高、中線、角平分線綜合26．（23-24八年級上·山西長治·期中）如圖，，分別是的中線和高，是的角平分線

(1)若，求的度數(shù)．(2)若，求中線長的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形的外角先求解，可得，再結(jié)合高與三角形的內(nèi)角和定理可得答案；（2）延長至，使，再證明，可得，而，則，再結(jié)合中線的含義可得答案．【詳解】（1）解：，，，平分，，為高，，；（2）延長至，使，

∵是的中線，∴，∵，∴，∴，而，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中線，高，角平分線的含義，三角形的外角的性質(zhì)，內(nèi)角和定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，熟記基礎(chǔ)概念是解本題的關(guān)鍵．27．（22-23八年級上·安徽合肥·期中）如圖，分別是的高線、角平分線和中線．(1)有下列結(jié)論：①；②；③；④與互余．其中正確的是_______（填序號）．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)②③④(2)【分析】（1）依據(jù)分別是三角形的高線，角平分線及中線，即可得出，，，據(jù)此分別判斷各選項(xiàng)即可；（2）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，通過外角求出，再利用角的關(guān)系計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵分別是的高線，角平分線和中線，∴，故①錯(cuò)誤；∴，故②正確；∵，∴，故③正確；∴，與互余，故④正確；故答案為：②③④；（2）解：∵分別是的高線，角平分線和中線，∴，∴，∵，∴，∵是的角平分線，∴，在中．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的角平分線、高線、中線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．28．（21-22八年級上·安徽合肥·期末）如圖，AD、AE、AF分別是ABC的高線、角平分線和中線．(1)若，CF=4，求AD的長．(2)若∠C=70°，∠B=26°，求∠DAE的度數(shù)．【答案】(1)AD=5(2)∠DAE=22°．【分析】（1）根據(jù)角平分線和三角形的面積公式即可解答；（2）根據(jù)角平分線、三角形的高線結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解答．【詳解】（1）解：∵AF是△ABC的中線，CF=4，∴BC=2CF=8．∵S△ABC=×BC×AD=20，∴AD=5；（2）解：∵∠C=70°，∠B=26°．∴∠BAC=180°?∠B?∠C=180°?26°?70°=84°．∵AD，AE分別是△ABC的高線和角平分線．∴∠EAC=∠BAC=42°，∴∠DAC=90°?70°=20°，∴∠DAE=∠EAC?∠DAC=42°?20°=22°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的角平分線、中線、高線的定義，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記定理并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．29．（24-25八年級上·山西呂梁·階段練習(xí)）如圖，和分別是的高和角平分線，是邊的中線．(1)若的面積為6，則的面積為_________．(2)若，求的度數(shù)．(3)在（2）的條件下，若，求的度數(shù)．【答案】(1)12(2)(3)【分析】（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)即可解答；（2）根據(jù)題意得到，由，利用三角形內(nèi)角和定理即可解答；（3）利用三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，再利用三角形外角的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：的面積為6，是邊的中線，的面積為；（2）解：是的高，，，；（3）解：，，，是的角平分線，，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，三角形的中線，高，角平分線的性質(zhì)．熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．重難點(diǎn)08利用分類討論思想探討等腰三角形的邊/角30．（23-24八年級上·安徽馬鞍山·期中）已知等腰，解答以下問題：(1)若有一個(gè)內(nèi)角為，求這個(gè)等腰三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)；(2)若其周長為，一邊長是另一條邊的倍，求三角形的三條邊長．【答案】(1)或；(2)三角形的三邊長分別是．【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形的三邊關(guān)系等知識；（1）分為等腰三角形的頂角和底角兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理解答即可；（2）分若兩條邊長a和都是腰，一條是腰，另一條是底邊兩種情況，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系和三角形的周長列出方程，求解即可．【詳解】（1）當(dāng)為等腰三角形的頂角時(shí)，則底角為，所以這個(gè)等腰三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)為；當(dāng)為等腰三角形的底角時(shí)，則頂角為，所以這個(gè)等腰三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)為；綜上所述，這個(gè)等腰三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)為或；（2）解：設(shè)一邊長為，則另一邊為；若兩條邊長a和一條是腰，另一條是底邊，分兩種情況：若a是腰，則為底邊，則，解得，此時(shí)三角形的三邊長分別是，∵，故此時(shí)不能構(gòu)成三角形，舍去；若a是底邊，則為腰，則，解得，此時(shí)三角形的三邊長分別是，能構(gòu)成三角形，綜上，三角形的三邊長分別是．31．（21-22八年級上·安徽合肥·期中）已知等腰，解答以下問題：(1)若有一個(gè)內(nèi)角為，求這個(gè)等腰三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)；(2)若等腰三角形的周長為27，兩條邊長分別是a和，求三邊的長．【答案】(1)或(2)【分析】（1）分為等腰三角形的頂角和底角兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理解答即可；（2）分若兩條邊長a和都是腰，一條是腰，另一條是底邊兩種情況，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系和三角形的周長列出方程，求解即可．【詳解】（1）當(dāng)為等腰三角形的頂角時(shí)，則底角為，所以這個(gè)等腰三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)為；當(dāng)為等腰三角形的底角時(shí)，則頂角為，所以這個(gè)等腰三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)為；（2）若兩條邊長a和都是腰，則，解得，不符合題意，舍去；若兩條邊長a和一條是腰，另一條是底邊，分兩種情況：若a是腰，則為底邊，則，解得，此時(shí)三角形的三邊長分別是，∵，故此時(shí)不能構(gòu)成三角形，舍去；若a是底邊，則為腰，則，解得，此時(shí)三角形的三邊長分別是，能構(gòu)成三角形，綜上，三角形的三邊長分別是．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識，全面分類、熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32．（22-23八年級上·安徽六安·期末）一個(gè)等腰三角形的周長是，其中一邊長為，求另外兩邊的長【答案】另外兩邊的長為7cm、7cm或．【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，分別從若長的邊為底邊與若長的邊為腰去分析求解，即可求得答案．【詳解】∵一個(gè)等腰三角形的周長為，一邊長為，①若長的邊為底邊，則腰長為：，∵，∴能組成三角形；∴另兩邊的長為；②若長的邊為腰，則底邊長為：，∵，∴能組成三角形．∴另兩邊的長為．綜上所述，另外兩邊的長為7cm、7cm或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，三角形三邊關(guān)系，掌握等腰三角形的定義是解題的關(guān)鍵．33．（22-23八年級上·安徽·期末）在等腰中，，，，求m的值．【答案】9【分析】分兩種情況：當(dāng)時(shí)，得，因?yàn)?，故此三角形不存在；?dāng)時(shí)，得，求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，得，因?yàn)?，故此三角形不存在；?dāng)時(shí)，得，解得：，綜上，m的值為9．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的定義，一元一次方程的應(yīng)用，三角形三邊的關(guān)系，熟練掌握等腰三角形的定義，分類討論是解題的關(guān)鍵．34．（22-23八年級上·安徽滁州·期中）（1）已知等腰的周長是，且腰長比底邊長的2倍少4，求等腰的三邊的長；（2）已知，，是的三個(gè)內(nèi)角，且，，求三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).【答案】（1）；（2），，【分析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)，設(shè)出未知數(shù)，列方程組即可求解；(2)根據(jù)已知，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)等腰的腰長為x，底邊長為y，根據(jù)題意得，解得，∴等腰的三邊的長為；解：（2）∵，，∴，，∵，∴，解得，∴，，∴的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，，【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．重難點(diǎn)09與角平分線/平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題35．（20-21八年級上·安徽亳州·期中）如圖，在△ABC中，BE是AC邊上的高，DE∥BC，∠ADE=52°，∠C=68°，求∠ABE的度數(shù)．【答案】30°【分析】利用平行線的性質(zhì)定理可得∠ABC=∠ADE=52°，由三角形的內(nèi)角和定理可得∠EBC的度數(shù)，可得∠ABE．【詳解】解：∵DE∥BC，∠ADE=52°，∴∠ABC=∠ADE=52°，∵BE是AC邊上的高，∴∠BEC=90°，∵∠C=68°，∴∠EBC=90-∠C=22°，∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=52°-22°=30°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)定理和三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握定理是解答此題的關(guān)鍵．36．（22-23七年級下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，平分，交的平分線于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，的平分線與相交于點(diǎn)．(1)若，，則______，______；(2)若，當(dāng)?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時(shí)，、的度數(shù)是否發(fā)生變化？并說明理由；(3)若中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的三倍，請直接寫出所有符合條件的的度數(shù)______．【答案】(1)115，25(2)不會發(fā)生變化，理由見解析(3)或或或【分析】（1）由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）同理由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）設(shè)，則，再由不變，即可分類討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，④當(dāng)時(shí)，分別列出關(guān)于的等式，解出即可．【詳解】（1）解：，，．平分，．，，．平分，．；，．平分，平分，，．，，即，．故答案為：115，25；（2）解：不會發(fā)生變化，理由如下：，．，，．平分，平分，，．．，，，．當(dāng)?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時(shí)，、的度數(shù)不發(fā)生變化；（3）解：設(shè)，．，，，平分，平分，，，．．平分，平分，，，，，中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的三倍，①當(dāng)時(shí)，，解得：②當(dāng)時(shí)，，解得：③當(dāng)時(shí)，，解得：④當(dāng)時(shí)，，解得：綜上可知，或或或．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識．熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．37．（24-25八年級上·湖北荊州·期中）如圖，在中，，的角平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．(1)若，求的度數(shù)；(2)若是上的一點(diǎn)，且，求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可求出，根據(jù)角平分線的定義可得出，最后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）由角平分線的定義可得，結(jié)合平行線的性質(zhì)可證，即得出，即易證，得出．【詳解】（1）解：，，．平分，．，，；（2）證明：平分，，，，，，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握上述知識是解題關(guān)鍵．38．（24-25八年級上·天津·期中）如圖，在四邊形中，是的平分線，，垂足為點(diǎn)．(1)求證：平分；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．（1）利用平行線的性質(zhì)，角平分線的定義和等腰三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（2）利用角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理和（1）的結(jié)論解答即可．【詳解】（1）證明：∵，，是的平分線，，，．，平分；（2）解：是的平分線，，，．，．由（1）知：，∵，∴．重難點(diǎn)10與三角形有關(guān)的折疊問題39．（20-21八年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）現(xiàn)有一張紙片，點(diǎn)分別是邊上兩點(diǎn)，若沿直線折疊．(1)如果折成圖①的形狀，使點(diǎn)落在上，則與的數(shù)量關(guān)系是____．(2)如果折成圖②的形狀，猜想與的數(shù)量關(guān)系是______；(3)如果折成圖③的形狀，猜想和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由見解析【分析】本題主要考查折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)外角的關(guān)系，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．（1）由折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)，可得．（2）由折疊的性質(zhì)可得，再根據(jù)，代入數(shù)值化簡，即可得到．（3）根據(jù)，可得，再由，即可得到．【詳解】（1）解：如圖，，理由是：由折疊得：，∵，∴；故答案為：．（2）解：如圖，猜想：，理由是：由折疊得：，∵，∴，∴；故答案為：．（3）解：如圖，，理由是：∵，∴，∵，∴，∴．40．（23-24八年級上·安徽淮北·期末）如圖，在中，將沿直線折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，連接．(1)若的周長為26，，求的長．(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)16(2)【分析】本題主要考查折疊的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，結(jié)合線段之間得關(guān)系即可求得；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，由折疊的性質(zhì)得，利用角度和差關(guān)系即可求得答案．【詳解】（1）解：由折疊可知，．∵的周長為26，∴．∵，∴，即的長為16．（2）∵，，，∴．由折疊可知，．∵，∴．41．（23-24八年級上·安徽蚌埠·期中）在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將沿翻折后得到，邊交于點(diǎn)．若，（）．

(1)求的度數(shù)；(2)若中有兩個(gè)角相等，求的值．【答案】(1)(2)30【分析】（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余可求得，結(jié)合題意即可求解；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，求得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，求得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，分、、三種情況，列方程解答即可求解．【詳解】（1）解：∵在中，，∴，即，又∵，故，解得：．（2）∵，，則，∴，根據(jù)折疊可得：，，∴．，∴，①當(dāng)時(shí)，即，解得：，②當(dāng)時(shí)，即，解得，，∵，∴不合題意，故舍去，③當(dāng)，即，解得，，∵，∴不合題意舍去．綜上所述，，【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，三角形的外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．42．（2023八年級下·浙江·專題練習(xí)）(1)如圖1，設(shè)，則；(2)把三角形紙片頂角A沿折疊，點(diǎn)A落到點(diǎn)處，記為，為.①如圖2，，與的數(shù)量關(guān)系是；②如圖3，請你寫出，與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(3)如圖4，把一個(gè)三角形紙片的三個(gè)頂角分別向內(nèi)折疊之后，3個(gè)頂點(diǎn)不重合，那么圖中.【答案】(1)(2)①，②，理由見詳解(3)【分析】（1）表示出，，用三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）①由折疊可求得，，用三角形內(nèi)角和定理即可求解；②由①可求和，即可求解；（3）由（2）得：，可同理求出，，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：，，．故答案：．（2）解：①如圖2，由折疊得：，，，，，，．故答案：．②如圖3，，理由如下：設(shè)與交于，由①得：，，，，，，，，，．（3）解：由（2）得：，同理可得：，，．故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角與內(nèi)角關(guān)系，四邊形的內(nèi)角和，掌握相關(guān)的性質(zhì)及定理，正確進(jìn)行整體代換是解題的關(guān)鍵．43．（24-25八年級上·安徽合肥·期中）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊和上，連接，將沿著直線折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)重合，連接，，平分，平分．(1)若，求的度數(shù)：(2)若，，求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義等知識，熟練掌握疏導(dǎo)他對于空間解答本題的關(guān)鍵．（1）由三角形內(nèi)角和定理求出，由角平分線定義得，再由三角形內(nèi)角和定理可求出；（2）設(shè)，則，求出根據(jù)可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，，且又平分，平分，∴∴；（2）解：設(shè)，則，由折疊得，∴∴而∵∴∵，∴∴∴∴．重難點(diǎn)11與角平分線/平行線有關(guān)的三角形外角問題44．（24-25八年級上·河北保定·期中）在中，，平分，點(diǎn)在射線上，連接，點(diǎn)在的延長線上．(1)如圖，．①若，分別求和的度數(shù)；②若直線與的一條邊垂直，求的度數(shù)；(2)若平分，請直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)①，；②的度數(shù)為，或(2)的度數(shù)為．【分析】（1）①根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可以求出，根據(jù)角平分線的定義可以求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得；②若直線與△的一條邊垂直，則要分當(dāng)時(shí)、當(dāng)時(shí)、當(dāng)時(shí)三種情況分類討論；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義可知，再利用三角形外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和可以求出結(jié)果．【詳解】（1）解：①，，；平分，，，；②，，當(dāng)時(shí)，如下圖所示，；當(dāng)時(shí)，如圖，，；當(dāng)時(shí)，如圖，．綜上，當(dāng)直線與△的一條邊垂直時(shí)，的度數(shù)為，或；（2）解：，平分，，，即的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂直的定義，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)．45．（24-25八年級上·安徽安慶·期中）如圖，點(diǎn)D，F(xiàn)，H，E都在的邊上，，．(1)求證：；(2)若，求證：．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)；（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)證明，結(jié)合，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵(已知)∴，（同位角相等，兩直線平行）

∴，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵，（已知）∴，（等量代換）∴；（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）（2）證明∶由（1）得，∴，（兩直線平行，同位角相等），（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵，（已知）∴，（等量代換）∵，（已證）∴，（兩直線平行，同位角相等）∴，（等量代換）∵，∴．46．（24-25八年級上·安徽六安·階段練習(xí)）如圖，在中，是邊上的高，是的平分線，若，．(1)求和的度數(shù)；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使為直角三角形，若存在，求出的度數(shù)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，．(2)線段上存在一點(diǎn)，使為直角三角形，此時(shí)的度數(shù)為或．【分析】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及外角性質(zhì)，熟練掌握基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）通過角平分線先得到，，再通過三角形內(nèi)角和定理即可求出，進(jìn)而再通過三角形內(nèi)角和定理求出，進(jìn)而求得，再通過角的加減求出；（2）分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)與當(dāng)時(shí)，分別利用三角形內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵是的平分線，∴，，∴，∴，∵是邊上的高，∴，∴．∴．（2）解：①當(dāng)時(shí)，如圖：∵，∴；②當(dāng)時(shí)，如圖：∵，∴，∴∴線段上存在一點(diǎn)，使為直角三角形，此時(shí)的度數(shù)為或．47．（22-23七年級下·浙江金華·期末）如圖，點(diǎn)E在的延長線上，連接，作的角平分線分別交線段，于點(diǎn)F，點(diǎn)G，已知，．(1)試說明；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．（1）利用角平分線的性質(zhì)和角平分線的定義可得結(jié)論；（2）利用平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴．（2）解：由（1）知，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．重難點(diǎn)12三角形內(nèi)角與外角綜合問題48．（24-25八年級上·安徽合肥·期中）如圖，在中，B是邊上一點(diǎn)，，，，求和的度數(shù)．【答案】，【分析】根據(jù)，結(jié)合，，得到，繼而得到，根據(jù)，得到，結(jié)合解答即可．本題考查了三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角的和，熟練掌握三角形外角，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，得，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．49．（24-25八年級上·安徽宣城·期中）如圖，平分．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】本題主要考查了角平分線的定義、三角形的外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、一元一次方程的應(yīng)用等知識點(diǎn)，審清題意、靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵．（1）由角平分線的定義可得，再結(jié)合運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)即可解答；（2）設(shè)，則，易得、，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列方程求解即可．【詳解】（1）解：平分，，又∵，；（2）解：設(shè)，則，∵，∴，，在中，，，解得：．．50．（24-25八年級上·安徽合肥·期末）如圖，在中，，，點(diǎn)E在延長線上，平分交延長線于點(diǎn)D，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)；在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及已知條件求出的度數(shù)，然后求出的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴．51．（22-23八年級上·安徽滁州·階段練習(xí)）如圖，在中，平分交于點(diǎn)D，平分交于點(diǎn)．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識點(diǎn)．掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，三角形的內(nèi)角和是等相關(guān)知識是解決本題的關(guān)鍵．（1）先由角平分線性質(zhì)求出的度數(shù)，再根據(jù)外角與內(nèi)角的關(guān)系得，，間關(guān)系，最后代入計(jì)算得結(jié)論；（2）先由三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系求出的度數(shù)，再由角平分線性質(zhì)求出的度數(shù)，最后利用三角形內(nèi)角和定理得結(jié)論．【詳解】（1）解：平分，是的外角，，（2）解：平分平分，是的外角，，，，．重難點(diǎn)13與三角形有關(guān)的熱考模型52．（24-25八年級上·安徽淮北·期中）（1）問題引入：如圖①，在中，O是和的平分線的交點(diǎn)，若，則________；如圖②，，，，則________（用含的式子表示）（2）如圖③，，，，請猜想________（用含的式子表示），并說明理由．（3）類比研究：，分別是的外角，的n等分線，它們交于點(diǎn)O，，，，請猜想________．【答案】（1）；（2）（3）【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．（1）由三角形內(nèi)角和定理可求得，根據(jù)角平分線的定義可求得，在中利用三角形內(nèi)角和定理可求得；（2）方法同（1）；（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于列式整理即可得．【詳解】解：（1）∵，,∴，∵點(diǎn)O是和平分線的交點(diǎn)，∴，∵，∴；同法，在中，，故答案為：；；（2）理由如下：在中，；故答案為：；（3）類似（2），可得在中，；故答案為：．53．（24-25八年級上·安徽淮北·期中）計(jì)算：如圖1，已知，，求的度數(shù)．歸納：與分別為的兩個(gè)外角，與之間的數(shù)量關(guān)系為__________________，并給予證明．應(yīng)用：如圖2，在紙片中剪去，得到四邊形．若，則_______________．拓展：如圖3，在四邊形中，，分別平分外角，，設(shè)①試說明與的數(shù)量關(guān)系；②根據(jù)值的情況，請直接判斷的形狀（按角分類）．【答案】計(jì)算：；歸納：，證明見解析；應(yīng)用：；拓展：①；②當(dāng)時(shí)，為鈍角三角形；當(dāng)，為直角三角形；當(dāng)時(shí)，為銳角三角形；【分析】計(jì)算：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解即可．歸納：由，，，再進(jìn)一步求解即可．拓展：①利用角平分線的定義、三角形外角和內(nèi)角和定理求解即可．②分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別判定即可.【詳解】解：計(jì)算：∵，∴，∵，∴，∴，∴；歸納：；證明：，．，，，，∴，∴，∴；應(yīng)用：∵在紙片中剪去，得到四邊形．∴結(jié)合歸納可得：，∵，∴；拓展：①如圖，∵，分別平分外角，，∴，，∴，；②當(dāng)時(shí)，，，為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，，為直角三角形；當(dāng)時(shí)，，，由題意可得，，，都是銳角．為銳角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，三角形外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，三角形分類，四邊形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．54．（24-25八年級上·江西南昌·階段練習(xí)）【模型理解】（1）如圖1，和交于點(diǎn)O，求證：．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，，分別平分，，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是．也考查了角平分線的定義．（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（2）利用（1）中模型可得，再根據(jù)角平分線得到，，解答即可．【詳解】證明：（1）在中，，在中，，∵，∴；（2）同（1）中模型可得，在相交線中，有，在相交線中，有，∴，∵，分別平分，，∴，，∴．55．（24-25八年級上·山東青島·期末）【建立模型】如圖1，在內(nèi)部有一點(diǎn)，連接、，求證：；【嘗試應(yīng)用】如圖2，利用上面的結(jié)論，直接寫出五角星中，______度；【拓展創(chuàng)新】如圖3，將五角星截去一個(gè)角后多出一個(gè)角，求的度數(shù)．【提升思維】如圖4，將五角星的每個(gè)角都截去，則一共得到10個(gè)角，則這10個(gè)角的和的度數(shù)是______度．

【答案】建立模型：證明見解答過程；嘗試應(yīng)用：180；拓展創(chuàng)新：；提升思維：1080【分析】此題主要考查了多邊形內(nèi)角和，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，準(zhǔn)確識圖，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．建立模型：延長交于點(diǎn)，由三角形外角性質(zhì)得，由此即可得出結(jié)論；嘗試應(yīng)用：設(shè)與相交于點(diǎn)，由“建立模型”得，則，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得出答案；拓展創(chuàng)新：延長與的延長線相交于點(diǎn)，則，進(jìn)而得，由“嘗試應(yīng)用”得，則；提升思維：由“拓展創(chuàng)新”得：當(dāng)五角星去掉一個(gè)角后多出一個(gè)角時(shí)，此時(shí)所有角的和的度數(shù)比五角星的內(nèi)角和多出，據(jù)此規(guī)律即可得出答案．【詳解】建立模型：證明：延長交于點(diǎn)，如圖1所示：

由三角形外角性質(zhì)得：，；嘗試應(yīng)用：解：設(shè)與相交于點(diǎn)，如圖2所示：

由“建立模型”得：，，，在中，，，故答案為：180；拓展創(chuàng)新：解：延長與的延長線相交于點(diǎn)，如圖3所示：

，，在中，，，由“嘗試應(yīng)用”得：，；提升思維：解：由“拓展創(chuàng)新”得：當(dāng)五角星去掉一個(gè)角后多出一個(gè)角時(shí)，此時(shí)所有角的和的度數(shù)比五角星的內(nèi)角和多出，∴當(dāng)五角星去掉五個(gè)角后多出五個(gè)角，此時(shí)所有角的和的度數(shù)為：．故答案為：1080．56．（2024八年級上·全國·專題練習(xí)）閱讀材料，回答下列問題：【材料提出】“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個(gè)三角形構(gòu)成．【探索研究】探索一：如圖1，在八字型中，探索、、、之間的數(shù)量關(guān)系為___________；探索二：如圖2，若，，求的度數(shù)為___________；探索三：如圖3，、分別平分、，反向延長線交于點(diǎn)，則、、之間的數(shù)量關(guān)系為___________．【模型應(yīng)用】應(yīng)用一：如圖4，延長、，交于點(diǎn)，在四邊形中，設(shè)，，，四邊形的內(nèi)角與外角的角平分線，相交于點(diǎn)，則___________（用含有和的代數(shù)式表示），___________．（用含有和的代數(shù)式表示）應(yīng)用二：如圖5，在四邊形中，設(shè)，，，四邊形的內(nèi)角與外角的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)，___________．（用含有和的代數(shù)式表示）【拓展延伸】拓展一：如圖6，若設(shè)，，