專題10.2排列與組合（舉一反三講義）【全國(guó)通用】TOC\o"13"\h\u【題型1排列數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算】 3【題型2組合數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算】 4【題型3全排列問題】 6【題型4元素（位置）有限制的排列問題】 7【題型5相鄰、不相鄰排列問題】 9【題型6組合計(jì)數(shù)問題】 11【題型7定序問題】 12【題型8分組分配問題】 14【題型9排列組合綜合】 161、排列與組合考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解排列、組合的概念(2)能利用排列組合解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題2023年新高考I卷：第13題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第3題，5分2023年全國(guó)乙卷（理數(shù)）：第7題，5分2023年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第9題，5分2024年新高考Ⅱ卷：第14題，5分2024年上海卷：第10題，5分2025年上海卷：第9題，5分從近幾年的高考情況來看，排列組合是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，每年高考都有考查，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，主要考查排列組合的基本方法，特殊元素、相鄰與不相鄰問題以及分組分配等內(nèi)容，難度不大；有時(shí)會(huì)與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、概率等知識(shí)結(jié)合考查，需要靈活求解，復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.知識(shí)點(diǎn)1排列與組合1．排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n,n,m∈N*）個(gè)元素并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列組合作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合2．排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,n,m∈N*)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示.(2)組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,n,m∈N*)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示.3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)(1)排列數(shù)公式(2)組合數(shù)公式①連乘表示：這里，n,m∈N*，并且m≤n.(3)組合數(shù)的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)2排列、組合的常見問題與解題策略1．排列應(yīng)用問題的分類與解法(1)有限制條件的排列問題：對(duì)于有限制條件的排列問題，分析問題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類過多的問題可以采用間接法.(2)相鄰問題：對(duì)相鄰問題采用捆綁法；相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，注意捆綁元素的內(nèi)部排列.(3)不相鄰問題：不相鄰問題采用插空法；先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中.(4)定序問題：定序問題有兩種求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有順序要求的排列；二是定序排他法：有順序要求部分只有一種排法，只要把剩下部分排列即可.(5)間接法：正面分類太多從反面入手.(6)多排問題直排法：元素分為多排的排列問題，可以看出一排問題，再分段研究.2．組合問題的分類與解法組合問題常有以下兩類題型變化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.3．分組分配問題(1)解題思路：先分組后分配，分組是組合問題，分配是排列問題.(2)分組方法：①完全均勻分組，分組后除以組數(shù)的階乘；②部分均勻分組，有m組元素個(gè)數(shù)相同，則分組后除以m!；③完全非均勻分組，只要分組即可.(3)分配方法：①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；②不同元素的分配問題，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，先分組后分配；③有限制條件的分配問題，采用分類求解.【方法技巧與總結(jié)】1．解決排列、組合問題的十種技巧(1)特殊元素優(yōu)先安排.(2)合理分類與準(zhǔn)確分步.(3)排列、組合混合問題要先選后排.(4)相鄰問題捆綁處理.(5)不相鄰問題插空處理.(6)定序問題倍縮法處理.(7)分排問題直排處理.(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部。(9)構(gòu)造模型.(10)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化.【題型1排列數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算】【例1】（2526高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）A52=（

A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【解題思路】根據(jù)排列數(shù)的運(yùn)算直接求解即可.【解答過程】根據(jù)排列數(shù)的運(yùn)算，A5故選：C.【變式11】（2526高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）n?1998n?1999?????n?2025A．An?199829 B．An?199828 C．【答案】A【解題思路】根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行判斷.【解答過程】n?1998n?1999?????n?2025故n?1998n?1999故選：A.【變式12】（2425高二下·廣東清遠(yuǎn)·期末）A53+A．8 B．13 C．63 D．66【答案】D【解題思路】根據(jù)排列數(shù)公式計(jì)算即可.【解答過程】A5故選：D.【變式13】（2425高二下·廣東揭陽·階段練習(xí)）滿足不等式An9AA．9 B．11 C．12 D．13【答案】A【解題思路】利用排列數(shù)公式可得出關(guān)于n的不等式，結(jié)合n的取值范圍可得出n的值.【解答過程】An9A由題意可得n≥9且n∈N*，故n=9或故選：A.【題型2組合數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算】【例2】（2025·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）化簡(jiǎn)式子：C30?A．C94 B．C93 C．【答案】C【解題思路】本題將復(fù)雜的組合問題轉(zhuǎn)化為“從裝有n個(gè)白球，k個(gè)黑球的袋子里，取出m個(gè)球的所有情況取法總數(shù)的和”模型，等價(jià)于“從裝有n+k球中取出m個(gè)球的不同取法數(shù)”,即可解決.【解答過程】Ck從裝有n個(gè)白球，k個(gè)黑球的袋子里，取出m個(gè)球的所有情況取法總數(shù)的和.又從裝有n+k球中取出m個(gè)球的不同取法數(shù)Cn+k所以Ck所以C故選：C.【變式21】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）C2901×2A．230?31930 B．231?32930【答案】B【解題思路】根據(jù)組合數(shù)公式可得C29【解答過程】∵C=29!k+2!∴C=1故選：B.【變式22】（2425高二上·河南南陽·期末）若C243n+8=C244n+2【答案】2【解題思路】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)果.【解答過程】由題意得，n∈Z且3n+8≤244n+2≤24，解得∵C243n+8=C24解得n=6（舍去）或n=2．故答案為：2.【變式23】（2024·上海寶山·一模）已知關(guān)于正整數(shù)x的方程C12x?1=【答案】1或3【解題思路】利用組合數(shù)的性質(zhì)得到方程，解方程，結(jié)合x的取值范圍即可求解.【解答過程】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，由C可知：x?1=5x?50≤x?1≤120≤5x?5≤12x∈即x=11≤x≤131≤x≤175x∈Z或所以該方程的解為：1或3.故答案為：1或3.【題型3全排列問題】【例3】（2425高二下·四川南充·期末）用1，3，5，7這4個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解題思路】根據(jù)全排列規(guī)則，計(jì)算結(jié)果即可.【解答過程】可知4個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是A4故選：B.【變式31】（2025·廣西河池·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.假設(shè)空間站要安排甲、乙、丙共3名航天員開展實(shí)驗(yàn)，每個(gè)艙安排一個(gè)人，則不同的安排方法一共有（

）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】D【解題思路】空間站的主體結(jié)構(gòu)包括3個(gè)艙，恰好3名宇航員，每個(gè)艙安排一個(gè)人，正好是全排列問題，求解即可.【解答過程】甲、乙、丙共3名航天員分別到天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙3個(gè)艙開展實(shí)驗(yàn)，每個(gè)艙安排一個(gè)人，不同的安排方法共有A3故選：D.【變式32】（2425高二下·江蘇泰州·期中）由1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】D【解題思路】將四個(gè)數(shù)字全排列即可.【解答過程】由1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有A4故選：D.【變式33】（2526高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）一個(gè)數(shù)陣有m行6列，第一行的六個(gè)數(shù)互不相同，其余行都由這六個(gè)數(shù)以不同的順序組成.如果要使任意兩行的順序都不相同，則m的最大值是（

）A．119 B．120 C．719 D．720【答案】D【解題思路】求六個(gè)互不相同的數(shù)的全排列即可.【解答過程】六個(gè)互不相同的數(shù)的全排列共有6!=720個(gè)，為使m行中的任意兩行都不重復(fù)，則需m≤720，故m的最大值為720.故選：D.【題型4元素（位置）有限制的排列問題】【例4】（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）某電影院一排有7個(gè)座位，中間有條過道，過道左側(cè)有4個(gè)座位，右側(cè)有3個(gè)座位，現(xiàn)有包含小明，小剛，小強(qiáng)在內(nèi)的7位同學(xué)購買了某一排的座位，其中小明想和小剛坐在一起，小強(qiáng)想坐在右側(cè)，則共有（

）種不同的排法．A．216 B．264 C．312 D．528【答案】D【解題思路】根據(jù)給定條件，按小明和小剛坐在左、右分類，再利用排列、組合計(jì)數(shù)問題列式求解.【解答過程】按照1－7的序號(hào)對(duì)座位進(jìn)行編號(hào)，左側(cè)編號(hào)1－4，右側(cè)編號(hào)5－7，若小明和小剛坐在左側(cè)，則安排情況為(1,2),(2,3),(3,4)，共3種排法，小明和小剛可互換位置，小強(qiáng)排在右側(cè)有3種排法，剩下的4人有A4因此小明和小剛坐在左側(cè)時(shí)共有C3若小明和小剛坐在右側(cè)，則安排情況為(5,6),(6,7)，共2種排法，小明和小剛可互換位置，小強(qiáng)只有一種排法，剩下的4人有A44=24所以不同的排法共有432+96=528種情況.故選：D.【變式41】（2025·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）因工作需要，某單位安排甲、乙、丙、丁4位領(lǐng)導(dǎo)在端午節(jié)3天假期值班，要求每天有兩人值班，且每人需要值班1天或2天，則不同的值班方案有（

）A．92種 B．90種 C．86種 D．76種【答案】B【解題思路】根據(jù)題意，先確定值班天數(shù)分配，然后分兩種情況討論，結(jié)合組合數(shù)以及兩類計(jì)數(shù)原理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【解答過程】總值班人次為3×2=6，每人需要值班1天或2天，因此唯一可能的分配是其中兩人各值班2天，另外兩人各值班1天，先從四人中選出值班兩天的兩人，有C4假設(shè)選出的兩人分別為甲乙，需要值班2天，另外兩人丙丁各值班1天，具體分兩種情況，若甲乙共同值班2天，選擇共同值班的2天，有C3剩余1天，由丙丁共同值班僅1種方式，總方式3×1=3；若甲乙共同值班1天，從3天中選1天，有C3然后甲從剩余的2天選擇1天值班，乙選擇剩下1天，有2×1=2種情況，然后丙丁分別在甲乙剩余值班天中各選擇1天，有2種方式，總方式3×2×2=12；一共有3+12=15種方式，則總方案數(shù)有6×15=90種.故選：B.【變式42】（2025·重慶九龍坡·三模）“”這一串?dāng)?shù)字被稱為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個(gè)數(shù)之一，當(dāng)與1至6中任意1個(gè)數(shù)字相乘時(shí)，乘積仍然由1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字組成.若從1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字中任選4個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5700的偶數(shù)個(gè)數(shù)是（

）A．66 B．75 C．78 D．90【答案】B【解題思路】按千位數(shù)分別是5，7，8進(jìn)行分類討論即可.【解答過程】若千位數(shù)字是5，則百位數(shù)字只能是7或8，故共有C3若千位數(shù)字是7，則共有C3若千位數(shù)字是8，則共有C2故符合條件的四位數(shù)共有15+36+24=75（個(gè)）．故選：B.【變式43】（2025·湖北·二模）甲、乙等5名志愿者參加2025年文化和旅游發(fā)展大會(huì)的A、B、C、D四項(xiàng)服務(wù)工作，要求每名志愿者只能參加1項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少安排1人，且甲不參加B項(xiàng)工作，乙必須參加D項(xiàng)工作，則不同的安排方法數(shù)有（

）A．36種 B．42種 C．54種 D．72種【答案】B【解題思路】按照B項(xiàng)工作安排的人數(shù)分為兩類，利用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.【解答過程】安排B項(xiàng)工作的人數(shù)分為兩類，第一類，B項(xiàng)工作僅安排1人，因?yàn)榧撞粎⒓覤項(xiàng)工作，乙必須參加D項(xiàng)工作，從甲、乙以外的3人中選一人參加B項(xiàng)工作有C3再安排A，C，D項(xiàng)工作，若D項(xiàng)工作安排兩人，則有A3若D項(xiàng)工作安排一人，則有C3所以B項(xiàng)工作僅安排1人共C3第二類，B項(xiàng)工作安排2人，有C3由分類加法計(jì)數(shù)原理，得共有36+6=42種方法.故選：B.【題型5相鄰、不相鄰排列問題】【例5】（2025·江蘇南通·二模）有3個(gè)男生和2個(gè)女生站成一排合影，則女生甲不在兩端且2個(gè)女生不相鄰的不同排法總數(shù)為（

）A．18 B．36 C．72 D．144【答案】B【解題思路】先排兩個(gè)女生，將排法分類再相加，剩下的3個(gè)男生為全排列，再根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的排法總數(shù).【解答過程】設(shè)5個(gè)位置依次為1,2,3,4,5，特殊元素優(yōu)先考慮，女生甲不在兩端，則只能在中間3個(gè)位置，兩女生不相鄰，則①甲在位置2，另一個(gè)女生只能4或5，2種選擇；②甲在位置3，另一個(gè)女生只能1或5，2種選擇；③甲在位置4，另一個(gè)女生只能1或2，2種選擇，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，兩個(gè)女生的排法共有2+2+2=6種，剩余3個(gè)男生為全排列A3根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同排法總數(shù)為6×6=36.故選：B.【變式51】（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）某班有A，B，C，D，E五名同學(xué)要排成一排進(jìn)行拍照，其中B同學(xué)不站在兩端，C，D兩名同學(xué)相鄰，則不同的排列方式種數(shù)為（

）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解題思路】將C，D捆綁，先排B同學(xué)，再將其余同學(xué)（CD看做一個(gè)整體）全排列.【解答過程】根據(jù)題意，因?yàn)镃，D兩名同學(xué)相鄰，所以有A2又因?yàn)锽同學(xué)不站在兩端，所以有A21種，其他同學(xué)（CD看做一個(gè)整體）進(jìn)行排列有所以不同的排列方式種數(shù)為A2故選：B.【變式52】（2025·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）某多功能體育場(chǎng)館決定承包舉辦馬術(shù)，擊劍，游泳，跑步四項(xiàng)比賽.應(yīng)主辦方要求，馬術(shù)比賽和跑步比賽不相鄰，游泳比賽不在第一場(chǎng)也不在最后一場(chǎng)，則不同的比賽方式共有（

）A．16種 B．12種 C．8種 D．6種【答案】C【解題思路】利用不相鄰問題插空，特殊元素法間接去求解即可.【解答過程】馬術(shù)比賽和跑步比賽不相鄰的情況為：A2馬術(shù)比賽和跑步比賽不相鄰且游泳比賽在第一或最后一場(chǎng)的情況為：2A故不同的比賽方式共有A2故選：C.【變式53】（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）畢業(yè)是青春的里程碑，更是奔赴星海的啟航．希望中學(xué)高三（8）班的九名身高互不相同的摯友想拍一張畢業(yè)照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小郅與小豪兩位好朋友在這九人中身高由高到低分別位居第1位與第4位，他們要求要站在同一行相鄰的位置，則不同的排列方式共有（

）種．A．200 B．300 C．400 D．600【答案】C【解題思路】先確定特殊元素的位置，再利用排列、組合安排其他人的位置，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【解答過程】不妨將這9名摯友的身高從矮到高排序?yàn)?，2，3，4，5，6，7，8，9，小郅同學(xué)最高，只能排在最后一行，小豪同學(xué)與之相鄰，將其看作一個(gè)整體，共有A2又由于小豪同學(xué)身高排第4，即從矮到高排第6，所以其前方只能站序號(hào)為1，2，3，4，5的同學(xué)，從中選兩名同學(xué)有C5剩下的位置中任選兩人站在小郅同學(xué)前面，剩余3人在最后一列按高矮順序站位即可，所以有C5故共有4×10×10=400種選法．故選：C.【題型6組合計(jì)數(shù)問題】【例6】（2025·陜西·模擬預(yù)測(cè)）某校學(xué)生會(huì)有男生8人，女生12人，現(xiàn)從男生中選出7人，從女生中選出11人參加志愿活動(dòng)，則不同的選法種數(shù)為（

）A．48 B．96 C．144 D．192【答案】B【解題思路】首先分別計(jì)算從男生中選7人的選法種數(shù)和從女生中選11人的選法種數(shù)，然后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，將這兩個(gè)結(jié)果相乘即可得到總的選法種數(shù).【解答過程】根據(jù)題意，從男生中選7人的選法種數(shù)為：C8從女生中選11人的選法種數(shù)為：C12所以總的選法種數(shù)為：12×8=96.故選：B.【變式61】（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）10名同學(xué)合影，站成了前排3人后排7人，現(xiàn)攝影師要從后排7人中抽2人調(diào)整到前排，其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（

）A．168 B．630 C．252 D．420【答案】D【解題思路】要從后排7人中抽2人調(diào)整到前排，因要保持其他人的相對(duì)順序不變，故可采用兩次插空法，即將其中1人先在前排3人的4個(gè)空中插入，再將另一人在前排已經(jīng)排好的4人的5個(gè)空中插入即可.【解答過程】從后排7人中選2人共有C7則可先從3人中的4個(gè)空擋插入1人，有C41種插法；余下的1人則要插入前排4人的5個(gè)空擋中，有則不同調(diào)整方法的種數(shù)是C7故選：D.【變式62】（2025·甘肅白銀·三模）花江大峽谷被譽(yù)為“地球的裂縫”，是貴州喀斯特地貌類型最為齊全的天然亞熱帶巖溶景觀博物館，自2022年1月花江峽谷大橋正式開工建設(shè)以來，貴州橋梁集團(tuán)等承建單位的建設(shè)者們不畏嚴(yán)寒酷暑，奮戰(zhàn)在花江大峽谷600多米的云山霧海里，為大橋早日建成攻堅(jiān)克難、不懈努力．某日，從張師傅、李師傅、王師傅等8名花江峽谷大橋建設(shè)工人中選取4人輪休，要求張師傅和李師傅不能同時(shí)輪休、且張師傅和王師傅必須同時(shí)輪休或在崗，若輪休的4人需要在四個(gè)不同時(shí)間返回待崗室進(jìn)行設(shè)備檢查，且每人只需返回一次，則不同的輪休方案有（

）A．360種 B．480種 C．600種 D．720種【答案】A【解題思路】首先分類，分張師傅在崗和張師傅輪休2類，再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，結(jié)合組合數(shù)和排列數(shù)公式，即可求解.【解答過程】若張師傅輪休，則王師傅一定也輪休，李師傅則在崗，則另外在崗3人有C5若張師傅在崗，則王師傅也在崗，則另外在崗2人有C6輪休的4人在四個(gè)不同時(shí)間返回待崗室進(jìn)行設(shè)備檢查，有A4所以不同的輪休方案有10+15×24=360故選：A.【變式63】（2025·江蘇鎮(zhèn)江·三模）2025年，省屬“三位一體”綜合評(píng)價(jià)招生政策進(jìn)行了調(diào)整，每位考生限報(bào)四所大學(xué).某考生從6所大學(xué)中選擇4所進(jìn)行報(bào)名，其中甲、乙兩所學(xué)校至多報(bào)一所，則該考生報(bào)名的可能情況種數(shù)是（

）A．12 B．9 C．6 D．15【答案】B【解題思路】根據(jù)給定條件，利用組合計(jì)數(shù)問題，結(jié)合排除法列式計(jì)算得解.【解答過程】從6所大學(xué)中任取4所，有C64種，其中甲乙兩所學(xué)校同時(shí)被取到，有所以該考生報(bào)名的可能情況種數(shù)是C6故選：B.【題型7定序問題】【例7】（2425高二下·重慶九龍坡·階段練習(xí)）重慶外國(guó)語學(xué)校第34屆外語節(jié)于2025年5月22日舉行，高二某班6名同學(xué)參加節(jié)目表演，表演完后老師為這6名同學(xué)合影留念.合影時(shí)4人先到2人后到，為節(jié)約時(shí)間，先到的4人排好隊(duì)，后來的2人加入并保持排好隊(duì)同學(xué)的相對(duì)順序不變，這兩名同學(xué)共有多少種加入方法（

）A．10 B．20 C．60 D．30【答案】D【解題思路】用倍縮法直接計(jì)算求解該定序問題即可.【解答過程】6人全排有A6所以先到的4人相對(duì)順序不變下兩名同學(xué)共有A6故選：D.【變式71】（2425高二下·陜西榆林·階段練習(xí)）高二（1）班5位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，又來了2位同學(xué)要加入，若保持原來5位同學(xué)的相對(duì)順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為（

）A．42 B．30 C．21 D．15【答案】A【解題思路】根據(jù)給定條件，利用定序法列式計(jì)算得解.【解答過程】7位同學(xué)排成一排照相，共有A77種排法，原來5位同學(xué)的排列方法有所以保持原來5位同學(xué)的相對(duì)順序不變的排法種數(shù)為A7故選：A.【變式72】（2425高二下·廣東揭陽·階段練習(xí)）某道菜的制作需要用到雞湯、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉共七種原料，烹飪時(shí)要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，則制作這道菜時(shí)不同的下鍋順序共有（

）A．12種 B．16種 C．24種 D．28種【答案】A【解題思路】將雞脯肉、（香菇、新筍、豆腐干）、果干、茄子凈肉四個(gè)元素進(jìn)行全排列，定序問題用倍縮法可得結(jié)果.【解答過程】因?yàn)殡u湯最后下鍋，所以將雞脯肉、（香菇、新筍、豆腐干）、果干、茄子凈肉四個(gè)元素進(jìn)行全排列.因?yàn)榻Y(jié)果包含兩種情況：茄子凈肉在雞脯肉前下鍋、茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，所以茄子凈肉在雞脯肉后下鍋的情況有A4故選：A.【變式73】（2425高二下·北京·期末）某4位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，又來了2位同學(xué)要加入，如果保持原來4位同學(xué)的相對(duì)順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為（

）A．10 B．20 C．24 D．30【答案】D【解題思路】利用排列中的定序問題的處理方法進(jìn)行處理.【解答過程】6位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，共有A6如果保持原來4位同學(xué)的相對(duì)順序不變，則有A6故選：D.【題型8分組分配問題】【例8】（2025·江西·二模）某校組織校運(yùn)會(huì)活動(dòng)，由甲?乙?丙三名志愿者負(fù)責(zé)A,B,C,D四個(gè)任務(wù)，每人至少負(fù)責(zé)一個(gè)任務(wù)，每個(gè)任務(wù)都有且僅有一人負(fù)責(zé)，且甲不負(fù)責(zé)A任務(wù)，則不同的任務(wù)分配方法種數(shù)為（

）A．12 B．18 C．24 D．30【答案】C【解題思路】對(duì)甲負(fù)責(zé)的任務(wù)數(shù)量進(jìn)行分類討論，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.【解答過程】若甲負(fù)責(zé)兩個(gè)任務(wù)，剩余兩個(gè)任務(wù)排給乙?丙兩人，此時(shí)有C3若甲只負(fù)責(zé)一個(gè)任務(wù)，則先在B?然后再將剩下3個(gè)任務(wù)分為兩組，分配給乙?丙兩人，有C3由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的分配方法種數(shù)為6+18=24種.故選：C.【變式81】（2025·湖南郴州·一模）“湘超”足球比賽正在如火如荼進(jìn)行中，某企業(yè)贊助一批足球訓(xùn)練設(shè)備給甲、乙、丙三個(gè)球隊(duì).這批設(shè)備分別為6個(gè)相同的跳箱和3箱相同的藥球.要求每隊(duì)至少有一個(gè)跳箱，且藥球不能全部分配給同一球隊(duì)，則不同的分配方案有（

）A．35種 B．70種 C．140種 D．210種【答案】B【解題思路】分兩步完成，先分跳箱、再分藥球，確定每一步的分法種數(shù)，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【解答過程】分以下兩步：（1）先分跳箱：6個(gè)相同的跳箱分給三個(gè)球隊(duì)，三個(gè)球隊(duì)分得的跳箱數(shù)量分別為1、2、3或2、2、2或4、1、1，所以，跳箱的分法種數(shù)為1+A（2）接下來分藥球：將3個(gè)藥球分給三個(gè)球隊(duì)，三個(gè)球隊(duì)分得的藥球數(shù)量分別為1、1、1或2、1、0，所以，藥球的分法種數(shù)為1+A由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的分法種數(shù)為10×7=70種.故選：B.【變式82】（2025·福建三明·三模）縣委組織部擬派六位大學(xué)生村官對(duì)五個(gè)貧困村進(jìn)行駐村幫扶，每位大學(xué)生村官只去一個(gè)貧困村，每個(gè)貧困村至少派一位大學(xué)生村官，其中甲、乙兩位大學(xué)生村官派遣至不同的貧困村，則不同的派遣方案共有（

）A．1440種 B．1680種 C．1800種 D．2400種【答案】B【解題思路】先考慮將六位大學(xué)生村官分派到五個(gè)貧困村的分法種數(shù)，然后考慮甲、乙兩位大學(xué)生村官分派在同一個(gè)貧困村的派遣方案種數(shù)，結(jié)合間接法可求得結(jié)果.【解答過程】先考慮將六位大學(xué)生村官分派到五個(gè)貧困村的分法種數(shù)，則五個(gè)貧困村分派的村官人數(shù)分別為2、1、1、1、1，不同的派遣方案種數(shù)為C6接下來考慮甲、乙兩位大學(xué)生村官分派在同一個(gè)貧困村，則不同的派遣方案種數(shù)為A5由間接法可知，甲、乙兩位大學(xué)生村官派遣至不同的貧困村，則不同的派遣方案共有1800?120=1680種.故選：B.【變式83】（2025·河南鄭州·三模）河南具有悠久的歷史和豐富的文化底蘊(yùn)，其美食也獨(dú)具特色．現(xiàn)有一名游客計(jì)劃在三天內(nèi)品嘗完以下六種河南特色美食：燴面、胡辣湯、灌湯包、道口燒雞、燜餅、黃河鯉魚．該游客每天從這六種美食中選擇1到3種進(jìn)行品嘗（每天必須選擇且不能重復(fù)選擇已品嘗過的美食）．若三天后恰好品嘗完所有美食，則不同的選法種數(shù)為（

）A．450 B．360 C．180 D．90【答案】A【解題思路】根據(jù)題意可知分配方式有1+2+3和2+2+2兩種情況，然后分別計(jì)算這兩種情況的選法種數(shù)，最后相加就是所求答案.【解答過程】①計(jì)算按照1+2+3分配的選法種數(shù).根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，按1+2+3分配的選法種數(shù)為：C6②按照2+2+2分配的選法種數(shù)為：C6最后將兩種選法種數(shù)相加得到總的選法種數(shù)為360+90=450種.故選：A.【題型9排列組合綜合】【例9】（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）將5個(gè)大小相同，顏色不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)盒子中，恰好有2個(gè)空盒的放法共有（

）A．1500種 B．1800種 C．2340種 D．2400種【答案】A【解題思路】先將5個(gè)小球分成三份有3，1，1，和1，2，2兩種情況，按照分步計(jì)數(shù)原理分別有C53C21【解答過程】依題意，可以先將5個(gè)大小相同，顏色不同的小球分成三份，有，3，1，1，和1，2，2兩種情況，于是恰好有2個(gè)空盒的放法有C5故選：A．【變式91】（2025·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）某市將要承辦“全國(guó)太極拳公開賽總決賽”，組委會(huì)將甲、乙、丙、丁、戊等五位志愿者分配到個(gè)人賽?對(duì)練賽和集體項(xiàng)目比賽等三個(gè)場(chǎng)館執(zhí)勤，若每個(gè)場(chǎng)館至少分到一人，且甲不能被分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，乙不能分配到對(duì)練賽場(chǎng)館，則不同分配方案的種數(shù)是（

）A．69 B．72 C．75 D．90【答案】A【解題思路】分甲單獨(dú)一人執(zhí)勤對(duì)練賽場(chǎng)館或集體項(xiàng)目場(chǎng)館，甲和另一個(gè)人一起執(zhí)勤對(duì)練賽場(chǎng)館或集體項(xiàng)目場(chǎng)館，甲和另兩人一起執(zhí)勤對(duì)練賽場(chǎng)館或集體項(xiàng)目場(chǎng)館，共六種情況求解即可.【解答過程】由題意，分以下六種情況：第一種情況，甲單獨(dú)一人執(zhí)勤對(duì)練賽場(chǎng)館，則剩下的四個(gè)人可以分成一個(gè)人和三個(gè)人兩組,或分成每組兩個(gè)人,所以共有C4第二種情況，甲單獨(dú)一人執(zhí)勤集體項(xiàng)目比賽場(chǎng)館，則乙只能分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，若只有乙一個(gè)人分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，剩下的三個(gè)人分配到對(duì)練賽場(chǎng)館，則有1種情況；若乙和另外一人分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，則有C3若乙和另外兩人分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，則有C3所以共有1+C第三種情況，甲和另外一人執(zhí)勤對(duì)練賽場(chǎng)館，則剩下的三個(gè)人分成一個(gè)人和兩個(gè)人兩組，分配到個(gè)人賽場(chǎng)館和集體項(xiàng)目比賽場(chǎng)館，所以共有C3第四種情況，甲和另外一人執(zhí)勤集體項(xiàng)目比賽場(chǎng)館，若甲和乙執(zhí)勤集體項(xiàng)目比賽場(chǎng)館，則有C3若甲和乙以外的一人執(zhí)勤集體項(xiàng)目比賽場(chǎng)館，則有C3共有C3第五種情況，甲和另外兩人執(zhí)勤對(duì)練賽場(chǎng)館，則剩下的三個(gè)人分成一個(gè)人和兩個(gè)人兩組，分配到個(gè)人賽場(chǎng)館和集體項(xiàng)目比賽場(chǎng)館，所以共有C3第六種情況，甲和另外兩人執(zhí)勤集體項(xiàng)目比賽場(chǎng)館，則乙只能分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，若只有乙一個(gè)人分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，剩下的兩個(gè)人分配到對(duì)練賽場(chǎng)館，則有C3若乙和另外一人分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，則有C3所以共有C3所以一共有14+7+18+15+6+9=69（種）不同的分配方案.故選：A.【變式92】（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）樹人中學(xué)的科學(xué)社團(tuán)設(shè)計(jì)了一塊如下圖所示的正反面內(nèi)容相同的雙面團(tuán)牌，給團(tuán)牌的正反兩面6個(gè)區(qū)域涂色，有3種不同顏色可選，要求同面有公共邊的區(qū)域不同色，同一區(qū)域的兩面也不同色，則不同的涂色方法的種數(shù)為（

）A．36 B．48 C．54 D．56【答案】C【解題思路】利用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合排列組合，計(jì)算求解.【解答過程】若只用2種不同的顏色，則正反面的上下區(qū)域同色，中間區(qū)域涂剩下的一種顏色即可，所以有C3若用3種不同的顏色，當(dāng)正反面都只用2種顏色時(shí)，有C3當(dāng)正面用2種顏色，反面用3種顏色時(shí)，則在正面未用的顏色不能涂在反面的中間，所以有C3同理，當(dāng)正面用3種顏色，反面用2種顏色時(shí)，也有C3當(dāng)正反兩面都用3種顏色時(shí)，有A3所以共有54種不同的涂色方法.故選：C.【變式93】（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知某校包含甲、乙、丙在內(nèi)的7名同學(xué)參加了某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，并包攬了前7名（排名無并列），若甲、乙、丙中的兩人占據(jù)前兩名，且丙不是最后兩名，則這7名同學(xué)獲獎(jiǎng)的名次情況共有（

）A．524種 B．564種 C．624種 D．664種【答案】C【解題思路】分兩種情況：甲、乙占據(jù)前兩名和丙在前兩名求解，然后再根據(jù)分類加法原理可求得結(jié)果.【解答過程】若甲、乙占據(jù)前兩名，則所有的情況有A2若丙在前兩名，則從甲、乙中選1人和丙排在前2名，故所有的情況有C2故共有144+480=624種．故選：C.一、單選題1．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）A63+A．65 B．160 C．165 D．210【答案】C【解題思路】根據(jù)排列數(shù)及組合數(shù)公式計(jì)算可得.【解答過程】A6故選：C.2．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知4位學(xué)生被分配到A、B、C三地學(xué)習(xí)，每地至少分配一位學(xué)生且每位學(xué)生只能去一個(gè)地方學(xué)習(xí)，則不同的分配方式有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種【答案】D【解題思路】根據(jù)題意先將4位學(xué)生分成三組，再分配到A、B、C三地學(xué)習(xí)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解．【解答過程】根據(jù)題意，先從4人中選2人組成一組，有C4然后將3組學(xué)生分配到A、B、C三地學(xué)習(xí)，有A3由分步計(jì)數(shù)原理知共有C4故選：D．3．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）將數(shù)字1，2，3，4，5，6填入如圖的6個(gè)方格中，每個(gè)方格填一個(gè)數(shù)字，每個(gè)方格中的數(shù)字均不相同，若每行中任意兩個(gè)相鄰數(shù)字之和為偶數(shù)，則不同的填法共有（

）

A．36種 B．48種 C．72種 D．108種【答案】C【解題思路】依題意可分兩種情況：①第一行為奇數(shù)，第二行為偶數(shù)，②第一行為偶數(shù)，第二行為奇數(shù)，進(jìn)而結(jié)合排列數(shù)公式即可求解．【解答過程】由每行中任意兩個(gè)相鄰數(shù)字之和為偶數(shù)，即一個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則另一個(gè)數(shù)需為奇數(shù)，或一個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則另一個(gè)數(shù)需為偶數(shù)，因?yàn)楣灿?個(gè)數(shù)字，其中3個(gè)奇數(shù)、3個(gè)偶數(shù)，所以分兩種情況：①第一行為奇數(shù)，第二行為偶數(shù)，②第一行為偶數(shù)，第二行為奇數(shù)，所以共有A3故選：C．4．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2025年1月7日9時(shí)5分，西藏自治區(qū)日喀則市定日縣發(fā)生6.8級(jí)地震．現(xiàn)從各省共抽派7支搶險(xiǎn)工作隊(duì)前往5個(gè)災(zāi)區(qū)縣救援，要求每個(gè)受災(zāi)縣至少有一個(gè)工作隊(duì)的方法種數(shù)共有（

）A．1800 B．16800 C．14280 D．25200【答案】B【解題思路】先分組后分配，分組分配上有3，1，1，1，1與2，2，1，1，1兩種方式，再結(jié)合排列組合數(shù)計(jì)算即可.【解答過程】分組分配上有3，1，1，1，1與2，2，1，1，1兩種方式．若是3，1，1，1，1，則有C7若是2，2，1，1，1，則有C7所以共有4200+12600=16800種.故選：B．5．（2025·遼寧大連·一模）某班有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生依次參加接力跑的4×100m接力比賽，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，則可能的安排排列順序有（

A．8種 B．14種 C．18種 D．24種【答案】B【解題思路】按照甲站在第二位和不站在第二位兩種情況討論，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理可得解.【解答過程】分甲站在第二位和不站在第二位兩種情況討論，①當(dāng)甲站在第二位時(shí)，余下三人可以全排列，此時(shí)共有1×A②當(dāng)甲不站在第二位時(shí)，甲有2個(gè)位置可選，此時(shí)乙也有2種情況可選，余下兩人可以全排列，則此時(shí)共有2×2×A綜上所述，一共有6+8=14種情況，故選：B.6．（2025·湖北武漢·三模）如圖，某社區(qū)為墻面A、B、C、D四塊區(qū)域宣傳標(biāo)語進(jìn)行涂色裝飾，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域（共邊）不能用同一顏色，若只有4種顏色可供使用，則恰好使用了3種顏色的涂法有（

）ABCDA．12種 B．24種 C．48種 D．144種【答案】C【解題思路】由題，三種顏色的涂法有兩種，即A與D同色或B與C同色，由計(jì)數(shù)原理列式求解.【解答過程】三種顏色的涂法有兩種，即A與D同色或B與C同色，所以恰好使用3種顏色的涂法有C4故選：C.7．（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）某急救小組有1名司機(jī)，2名醫(yī)生和3名護(hù)士，6人排成一排合影留念，要求2名醫(yī)生不相鄰，3名護(hù)士互不相鄰，則不同的排法種數(shù)為（

）A．36 B．48 C．72 D．120【答案】D【解題思路】先排1名司機(jī)，2名醫(yī)生，分為三類，再將護(hù)士插空，求出每種情況下的排法，相加得到答案.【解答過程】先排1名司機(jī)，2名醫(yī)生有：①醫(yī)生、司機(jī)、醫(yī)生；②司機(jī)、醫(yī)生、醫(yī)生；③醫(yī)生、醫(yī)生、司機(jī)，共三類.對(duì)于①，3名護(hù)士隨意插空有A43種排法，2名醫(yī)生交換位置有所以共有A4對(duì)于②，3名護(hù)士先選1人插入2名醫(yī)生之間有C3再在余下的3個(gè)空中插入余下的2名護(hù)士有A32名醫(yī)生交換位置有A22種排法，所以共有對(duì)于③，顯然和②有相同的排法數(shù).綜上，共有48+2×36=120種.故選：D.8．（2025·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）六安市旅游資源非常豐富，夏季到景點(diǎn)漂流是很多家庭的最佳避暑選擇.某家庭共6個(gè)人，包括4個(gè)大人，2個(gè)小孩，計(jì)劃去霍山漂流.景點(diǎn)現(xiàn)有3只不同的船只可供他們選擇使用，每船最多可乘3人，為了安全起見，小孩必須要大人陪同，則不同的乘船方式共有（

）種.A．348 B．288 C．360 D．60【答案】A【解題思路】討論6人乘坐3只船或乘坐2只船，根據(jù)這兩種情況，結(jié)合分組分配模型，即可列式求解.【解答過程】①若6人乘坐3只船：先將4個(gè)大人分成2,1,1三組有C42=6再將兩個(gè)小孩排到3只船有3×3?1=8種方法，所以共有6×6×8=288種方法.②若6人乘坐2只船：共有C63A故選：A.二、多選題9．（2025·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測(cè)）某班有10名同學(xué)，現(xiàn)在選出3名去參加歌唱比賽，則不同的選法種數(shù)為（

）A．C103 B．A107A3【答案】ACD【解題思路】對(duì)于AB，根據(jù)組合數(shù)問題和排列數(shù)定義直接計(jì)算即可判斷；對(duì)于CD，根據(jù)特定的同學(xué)入選與否進(jìn)行分類計(jì)數(shù)即可求解判斷．【解答過程】對(duì)于AB，從10名同學(xué)選出3名去參加歌唱比賽，則不同的選法種數(shù)為C10對(duì)于CD，從10名同學(xué)選出3名去參加歌唱比賽，根據(jù)甲同學(xué)入選與否可得不同的選法種數(shù)為C9從10名同學(xué)選出3名去參加歌唱比賽，根據(jù)甲乙兩名同學(xué)入選與否可得不同的選法種數(shù)為C8故CD正確.故選：ACD.10．（2025·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）若m，n為正整數(shù)且n>m>1，則（

）A．C83=C．mCnm【答案】AD【解題思路】根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)的計(jì)算公式和性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一計(jì)算即可判斷.【解答過程】對(duì)A：由組合數(shù)性質(zhì)：Cn對(duì)B：C7對(duì)C：mCnm對(duì)D：Anm+m故選：AD.11．（2025·福建泉州·二模）某學(xué)校高二年級(jí)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組中有男生5人，女生3人，則下列說法正確的是（

）A．從中選2人，1人做正組長(zhǎng)，1人做副組長(zhǎng)，共有56種不同的選法B．從中選2人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中男、女生各1人，共有12種不同的選法C．將這8名學(xué)生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320種D．8名學(xué)生排成一排，已知5名男生已排好，現(xiàn)將3名女生插入隊(duì)伍中，則共有356種排法【答案】AC【解題思路】利用排列計(jì)數(shù)原理可判斷A選項(xiàng)；利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可判斷B選項(xiàng)；利用捆綁法可判斷C選項(xiàng)；利用倍縮法可判斷D選項(xiàng).【解答過程】對(duì)于A選項(xiàng)，從8個(gè)人中選2人，1人做正組長(zhǎng)，1人做副組長(zhǎng)選法共有A8對(duì)于B選項(xiàng)，從8個(gè)人中選2人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中男、女生各1人選法共有A5對(duì)于C選項(xiàng)，將3個(gè)女生捆綁在一起，形成一個(gè)大“元素”，與5個(gè)男生一起排序，由捆綁法可知，不同的排法種數(shù)為A3對(duì)于D選項(xiàng)，8名學(xué)生排成一排，已知5名男生已排好，現(xiàn)將3名女生插入隊(duì)伍中，由倍縮法可知，不同的排法種數(shù)為A8故選：AC.三、填空題12．（2025·貴州·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開展“六藝”講座活動(dòng)，每“藝”安排一次講座，共開展六次．講座次序要求“射”和“御”必須相鄰，“禮”和“書”不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有種．【答案】144【解題思路】由題意，將“射”和“御”捆綁看作一個(gè)元素與“樂”和“數(shù)”進(jìn)行全排列，再將“禮”和“書”排到所得排列的空隙中，最后將“射”和“御”交換位置，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可求解.【解答過程】先將“射”和“御”“捆綁”視為一個(gè)元素，再與“樂”和“數(shù)”一起排列，有A3再將“禮”和“書”排到所得排列的空隙中（“射”和“御”中間不能排），有A4最后將“射”和“御”交換位置，有A2根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知“六藝”講座不同的次序共有A3故答案為：144.13．（2025·湖南永州·模擬預(yù)測(cè)）將6個(gè)不同的球分給3個(gè)不同的盒子（每個(gè)盒子至少有一個(gè)球），則不同的分配方法的種數(shù)為．【答案】540【解題思路】對(duì)每組的球的數(shù)量進(jìn)行分類討論，按照先分組再分配原則計(jì)算出每種情況下不同的分配方法種數(shù)，綜合可得結(jié)果.【解答過程】先給不同的6個(gè)球分成三組，不同的分組方式如下：第一種情況，一組1個(gè)、一組2個(gè)、一組3個(gè)，此為不平均分組，遵循先分組再分配原則，分配給不同的3個(gè)盒子，則不同的分配方法種數(shù)為C6第二種情況，一組1個(gè)、一組1個(gè)、一組4個(gè)，此為部分平均分組，遵循先分組再分配原則，分配給不同的3個(gè)盒子，則不同的分配方法種數(shù)為C6第三種情況，一組2個(gè)、一組2個(gè)、一組2個(gè)．此為平均分組，遵循先分組再分配原則，分配給不同的3個(gè)盒子，則不同的分配方法種數(shù)為C6綜上所述，不同的分配方法種數(shù)為360+90×2=540種.故答案為：540.14．（2025·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙等6名志愿者參加2025年文化和旅游發(fā)展大會(huì)的A、B、C三項(xiàng)服務(wù)工作，要求每名志愿者只能參加1項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少安排1人，甲不參加A項(xiàng)工作，且甲乙不參加同一項(xiàng)工作，則不同的安排方法數(shù)有種（用數(shù)字作答）.【答案】260【解題思路】先分組，得到甲、乙不參加同一項(xiàng)工作的分組情況，然后將不含甲志愿者的2組人中選1組安排到A工作，再安排其他2組志愿者即可.【解答過程】第一步，將6名志愿者分為4，1，1或3，2，1或2，2，2有C6其中甲、乙參加同一項(xiàng)工作共有C4所以甲、乙不參加同一項(xiàng)工作的分組情況有90?25=65種情況；第二步，從不含甲的2組中選1組安排到A工作，有C2第三步，將剩下的2組安排到B、C工作，有A2由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的安排方法數(shù)有65×2×2=260種.故答案為：260.四、解答題15．（2526高二上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）（1）求3C（2）解不等式A8【答案】（1）280；（2）x【解題思路】（1）根據(jù)排列數(shù)以及組合數(shù)公式計(jì)算，即得答案；（2）根據(jù)排列數(shù)公式，解不等式，即得答案.【解答過程】（1）3C（2）由A8x<6化簡(jiǎn)得x2?19x+84<0，解得又8≥xx?2≥0，所以2≤x≤8由①②及x∈N，得x=8即不等式的解集為xx=816．（2025·江蘇鹽城·三模）（1）計(jì)算：C3（2）利用0，1，2，4，5，7這六個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)有多少個(gè)？（3）甲乙丙丁戊五個(gè)同學(xué)，分配到三個(gè)城市參加活動(dòng)，每個(gè)城市至少去一人，共有多少種不同分配方法？【答案】（1）35；（2）48；（3）150【解題思路】（1）根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）分不選0和選0兩種情況，結(jié)合分類加法和分步乘法原理求解；（3）把5人按1，1，3或2，2，1分組，再把每一種分組方法安排到三個(gè)城市即可求解.【解答過程】（1）C3（2）不選0時(shí)，先從1，5，7中選一個(gè)數(shù)放在個(gè)位，然后剩下的4個(gè)數(shù)中選2個(gè)排在十位和百位，則有C3選0時(shí)，先把0放在十位，然后從1，5，7中選一個(gè)數(shù)放在個(gè)位，再從剩下的4個(gè)數(shù)中選1個(gè)放百位，則有C3所以共有36+12=48個(gè)奇數(shù)；（3）由題意，先把5人按1，1，3分組，有C5按2，2，1分組，有C52C再把每一種分組安排到三個(gè)城市，有A3所以不同分配方法種數(shù)是C517．（2526高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）為豐