重難點(diǎn)培優(yōu)03條件概率與全概率公式目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）TOC\o"12"\h\u01知識(shí)重構(gòu)?重難梳理固根基 102題型精研?技巧通法提能力 3題型一事件的相互獨(dú)立性（★★） 3題型二條件概率（★★★） 9題型三全概率公式（★★★） 14題型四貝葉斯公式（★★★） 1803實(shí)戰(zhàn)檢測(cè)?分層突破驗(yàn)成效 23檢測(cè)Ⅰ組重難知識(shí)鞏固 23檢測(cè)Ⅱ組創(chuàng)新能力提升 321.條件概率1．條件概率的概念條件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之間“知二求一”的關(guān)系一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率．2．概率的乘法公式由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)P(B|A)．我們稱上式為概率的乘法公式．3．條件概率的性質(zhì)設(shè)P(A)>0，則(1)P(Ω|A)＝1；(2)如果B與C是兩個(gè)互斥事件，則P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；(3)設(shè)eq\o(B,\s\up6(－))和B互為對(duì)立事件，則P(eq\o(B,\s\up6(－))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A)))＝1－P(Beq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A)))．二、相互獨(dú)立與條件概率的關(guān)系1.相互獨(dú)立事件的概念及性質(zhì)（1）相互獨(dú)立事件的概念（2）概率的乘法公式（3）相互獨(dú)立事件的性質(zhì)如果事件，互相獨(dú)立，那么與，與，與也都相互獨(dú)立．（4）兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性的推廣2.事件的獨(dú)立性三、全概率公式在全概率的實(shí)際問(wèn)題中我們經(jīng)常會(huì)碰到一些較為復(fù)雜的概率計(jì)算，這時(shí)，我們可以用“化整為零”的思想將它們分解為一些較為容易的情況分別進(jìn)行考慮一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))P(Ai)P(Beq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(Ai）)).我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一．四、貝葉斯公式設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意事件B?Ω，P(B)>0，6.在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分別稱為先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率．題型一事件的相互獨(dú)立性【技巧通法·提分快招】1.判斷事件是否相互獨(dú)立的方法（2）由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響．2.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟（1）首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的．（2）求出每個(gè)事件的概率，再求積．注：使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公式的適用條件，即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的．1．（2025·天津河北·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，甲、乙能破譯的概率分別為、，則密碼被成功破譯的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式及對(duì)立事件的概率求法求概率.故選：A2．（2025·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．一組數(shù)據(jù)5、7、9、11、12、14、15、16、20、18的第80百分位數(shù)為17【答案】B【分析】由百分位數(shù)、正態(tài)分布、二項(xiàng)分布、獨(dú)立事件概率的概念逐項(xiàng)判斷；故選：B.3．（2025·天津南開(kāi)·二模）甲、乙兩個(gè)袋子中各有10個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中甲袋中有7個(gè)紅球，3個(gè)黃球，乙袋中有8個(gè)紅球，2個(gè)黃球．若從兩個(gè)袋子中各任取1個(gè)球，則都取到紅球的概率為；若從兩個(gè)袋子中各任取1個(gè)球，兩球顏色不同的條件下，乙袋中取出黃球的概率為．【答案】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算可得出都取到紅球的概率；根據(jù)條件概率公式計(jì)算可得兩球顏色不同的條件下，乙袋中取出黃球的概率.【詳解】設(shè)事件表示“從甲袋中取到紅球”，事件表示“從乙袋中取到紅球”，因?yàn)閺募?、乙兩袋中取球相互?dú)立，所以“都取到紅球”即與同時(shí)發(fā)生，設(shè)事件表示“兩球顏色不同”，事件表示“乙袋中取出黃球”.“兩球顏色不同且乙袋中取出黃球”即“甲紅乙黃”，故答案為：；.4．（2025·天津·一模）已知甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行比賽，根據(jù)二人以往比賽資料統(tǒng)計(jì)，在一局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且各局比賽互不影響.現(xiàn)在甲、乙二人準(zhǔn)備進(jìn)行三局比賽.則在三局比賽中甲勝前兩局、乙勝第三局的概率是，用表示三局比賽中甲獲勝的局?jǐn)?shù)，則的數(shù)學(xué)期望是.【答案】.【分析】（1）利用獨(dú)立事件概率公式，即可求解（2）根據(jù)題意求出的可能取值，分別求出每種取值的概率，列出分布列，進(jìn)而求解.則的分布列為：01235．（2025·天津河西·二模）已知甲袋中裝有個(gè)紅球，個(gè)白球；乙袋中裝有個(gè)紅球，個(gè)白球，兩個(gè)袋子均不透明，其中的小球除顏色外完全一致.現(xiàn)從兩袋中各隨機(jī)取出一個(gè)球，若兩個(gè)球同色，則將取出的兩個(gè)球全部放入甲袋中；若兩個(gè)球不同色，則將取出的兩個(gè)球全部放入乙袋中，每次取球互不影響.按上述方法操作一次，在甲袋中恰有個(gè)小球的條件下，當(dāng)時(shí)從甲袋中取出的是紅球的概率是；按上述方法重復(fù)操作兩次后，乙袋中恰有個(gè)小球的概率是.【答案】【詳解】記住事件甲袋中恰有個(gè)小球，事件從甲袋中取出的是紅球，根據(jù)題意，若乙袋中恰有個(gè)小球，則兩次操作后，取出的兩球是同色的，有種情況：故答案為：；.6．（2025·天津·二模）甲、乙、丙三人各自獨(dú)立地解同一道題，甲做對(duì)的概率是，三人都做對(duì)的概率是，三人都做錯(cuò)的概率是，則甲、乙、丙三人中恰有一人做對(duì)這道題的概率為.【答案】【分析】利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的乘法公式、對(duì)立事件概率公式及互斥事件至少一個(gè)發(fā)生的加法公式計(jì)算，即可求解.設(shè)甲、乙、丙三人中恰有一人做對(duì)這道題為事件，綜上，則甲、乙、丙三人中恰有一人做對(duì)這道題的概率為.故答案為：.7．（2025·天津河北·二模）第十五屆中國(guó)國(guó)際航空航天博覽會(huì)在2024年11月12日至17日在廣東珠海舉行.此次航展，觀眾累計(jì)參觀近60萬(wàn)人次，簽約金額超2800億人民幣.為慶祝這一盛會(huì)的成功舉行，珠海某商場(chǎng)決定在航展期間舉行“購(gòu)物抽獎(jiǎng)送航?！被顒?dòng)，獎(jiǎng)品為“隱形戰(zhàn)機(jī)殲20S”模型.抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：盒中裝有7個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)是紅球，4個(gè)是黃球.每位顧客均有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)從盒中隨機(jī)取出2球，若取出的球顏色不相同，則沒(méi)有中獎(jiǎng)，小球不再放回盒中，若取出的球顏色相同，則中獎(jiǎng)，并將小球放回盒中、某顧客兩次抽獎(jiǎng)都中獎(jiǎng)的概率為；該顧客第一次抽獎(jiǎng)沒(méi)有中獎(jiǎng)的條件下，第二次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為.【答案】/【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式和條件概率的計(jì)算公式求解.設(shè)顧客第一次抽獎(jiǎng)沒(méi)有中獎(jiǎng)為事件，第二次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)為事件，該顧客第一次抽獎(jiǎng)沒(méi)有中獎(jiǎng)的條件下，第二次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為.故答案為：，.【答案】【分析】應(yīng)用古典概率求法求從第1個(gè)盒子中取到白球的概率，再應(yīng)用獨(dú)立乘法公式和互斥事件加法求從第3個(gè)盒子中取到白球的概率.【詳解】由第1個(gè)盒子中有2個(gè)白球1個(gè)黑球，則從第1個(gè)盒子中取到白球的概率是，當(dāng)從第1個(gè)盒子中取到白球且概率為，則第2個(gè)盒子中有2個(gè)白球1個(gè)黑球，從第2個(gè)盒子抽到白球概率為，則第3個(gè)盒子中有2個(gè)白球1個(gè)黑球，故抽到白球概率為，從第2個(gè)盒子抽到黑球概率為，則第3個(gè)盒子中有1個(gè)白球2個(gè)黑球，故抽到白球概率為，從第2個(gè)盒子抽到白球概率為，則第3個(gè)盒子中有2個(gè)白球1個(gè)黑球，故抽到白球概率為，從第2個(gè)盒子抽到黑球概率為，則第3個(gè)盒子中有1個(gè)白球2個(gè)黑球，故抽到白球概率為，故答案為：；題型二條件概率【技巧通法·提分快招】1.判斷所求概率為條件概率的主要依據(jù)是題目中的“已知”“在…前提下(條件下)”等字眼．但已知事件的發(fā)生影響了所求事件的概率，也認(rèn)為是條件概率問(wèn)題．運(yùn)用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求條件概率的關(guān)鍵是求出P(A)和P(AB)，要注意結(jié)合題目的具體情況進(jìn)行分析．2.求條件概率的兩種方法1．（2025·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)口袋中裝有編號(hào)分別為1，2，3，4，5的五張卡片，這些卡片除編號(hào)不同外其他都相同，從口袋中有放回地摸卡片三次，每次摸一個(gè).則三次摸出卡片的數(shù)字有兩次不超過(guò)3的概率；在已知三次摸出卡片的數(shù)字有兩次不超過(guò)3的前提下，這三次中有一次摸出編號(hào)為2的卡片的概率.【答案】【分析】根據(jù)題意可知三次試驗(yàn)中恰好兩次成功的概率服從二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式即可求解①；求出事件A與事件AB包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)條件概率計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，單次摸到不超過(guò)3的概率為，超過(guò)3的概率為，記事件A=“三次摸出卡片的數(shù)字有兩次不超過(guò)3”記事件B=“三次中有一次摸出編號(hào)為2的卡片”，則事件AB為：有一次摸出編號(hào)為2，另外一次為1或3，第三次超過(guò)3，可由如下步驟實(shí)線事件AB，第一步：從三次摸出卡片中選出一次摸出編號(hào)2，共3種情況，第三步：從剩下的一次摸出卡片中選出超過(guò)3的編號(hào)，共2種情況，故答案為：，2．（2025·天津南開(kāi)·模擬預(yù)測(cè)）2044年，當(dāng)同學(xué)們重返母校參加140周年校慶時(shí)，驚喜地發(fā)現(xiàn)，南院正門外真的出現(xiàn)了一家“南德瑣艾奶茶店”，這里正出售6款飲品，分別為林林清風(fēng)、金曉惠蘭、明明如月、幽幽譚香、天天爆檸、雅韻冰釀．甲、乙兩位同學(xué)分別選購(gòu)3款不同飲品，則甲選購(gòu)的飲品中有“林林清風(fēng)”的概率為；在甲選購(gòu)了“林林清風(fēng)”這款飲品的條件下，甲、乙二人所選飲品中恰有1款相同的概率為．【答案】//【分析】利用組合數(shù)，結(jié)合古典概型，并結(jié)合條件概率的定義計(jì)算即可.甲選購(gòu)的飲品中包含“林林清風(fēng)”的方案：固定“林林清風(fēng)”被選中，條件：甲已選購(gòu)包含“林林清風(fēng)”的3款飲品（記作集合，其中必含“林林清風(fēng)”），要求甲、乙所選飲品集合的交集大小恰好為1（即恰有1款相同）；故答案為：；.3．（2025·天津·一模）某校為增強(qiáng)學(xué)生文化底蘊(yùn)，傳承天津傳統(tǒng)文化，開(kāi)設(shè)了軟筆書法、楊柳青年畫、泥人彩塑、剪紙、相聲五個(gè)特色社團(tuán)．假設(shè)甲、乙兩位同學(xué)從五個(gè)社團(tuán)中隨機(jī)選擇一個(gè)加入，則兩人都選擇軟筆書法社團(tuán)的概率為；每位同學(xué)只能加入一個(gè)社團(tuán)，那么在兩位同學(xué)至少有一人選擇楊柳青年畫社團(tuán)的條件下，兩人選擇不同社團(tuán)的概率為．【答案】【分析】?jī)晌煌瑢W(xué)選擇相互獨(dú)立，每位同學(xué)選擇軟筆書法社團(tuán)的概率相等，按照分步乘法公式求出結(jié)果，第二小空為條件概率，根據(jù)條件概率公式求解.設(shè)兩位同學(xué)至少有一人選擇楊柳青年畫社團(tuán)為事件,兩人選擇不同社團(tuán)為事件,事件分為只有一人參加楊柳青年畫社團(tuán)和兩人同時(shí)參加楊柳青年畫社團(tuán)兩種情況，故答案為：；.4．（2025·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）一紙箱中裝有4瓶未過(guò)期的飲料和2瓶過(guò)期飲料．若每次從中隨機(jī)取出1瓶，取出的飲料不再放回，則在第一次取到過(guò)期飲料的條件下，第二次取到未過(guò)期飲料的概率為；對(duì)這6瓶飲料依次進(jìn)行檢驗(yàn)，每次檢驗(yàn)后不再放回，直到區(qū)分出6瓶飲料的保質(zhì)期時(shí)終止檢驗(yàn)，記檢驗(yàn)的次數(shù)為，則隨機(jī)變量的期望為．【答案】【詳解】記事件A為“第一次取到過(guò)期飲料”，事件B為“第二次取到未過(guò)期飲料”，5．（2025·天津·二模）某班級(jí)在新年聯(lián)歡會(huì)上組織抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)箱里有5個(gè)紅色小球代表一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品券，3個(gè)白色小球代表二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品券，2個(gè)黑色小球代表謝謝參與券，抽獎(jiǎng)規(guī)則是不放回地依次抽取3個(gè)球.某同學(xué)參加這個(gè)活動(dòng)，則他在第一次抽到一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品券的條件下，第二次抽到二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品券的概率為；小強(qiáng)同學(xué)參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)（不放回地抽取3個(gè)球），則恰好抽到1個(gè)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品券的概率為.【答案】【分析】①利用條件概率公式計(jì)算即可；②利用古典概型概率公式即可求解.【詳解】①記第一次取到紅求為事件，第二次取到白球?yàn)槭录谟浶?qiáng)恰好抽到1個(gè)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品券為事件，故答案為：①；②.6．（2025·天津?yàn)I海新·三模）某校高三1班一學(xué)習(xí)小組有男生4人，女生2人，為提高學(xué)生對(duì)AI人工智能的認(rèn)識(shí)，現(xiàn)需從中抽取2人參加學(xué)校開(kāi)展的AI人工智能學(xué)習(xí)，恰有一名男生參加的概率為；在有女生參加AI人工智能學(xué)習(xí)的條件下，恰有一名女生參加AI人工智能學(xué)習(xí)的概率．【答案】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式及組合學(xué)公式，即可求解第一空，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，即可求解第二空.故恰有一名男生參加AI人工智能學(xué)習(xí)的概率為；故在至少有一名女生參加AI人工智能學(xué)習(xí)的條件下，恰有一名女生參加AI人工智能學(xué)習(xí)的概率為.故答案為：；.7．（2025·天津河北·二模）甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，采用3局2勝制．假設(shè)每局比賽中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，則甲以的比分獲勝的概率為；在甲獲勝的條件下，甲第一局獲勝的概率是．【答案】/【分析】應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式求甲以的比分獲勝的概率，先確定甲獲勝的概率，再求其中甲第一局獲勝的概率，最后由條件概率公式求甲獲勝的條件下，甲第一局獲勝的概率.【詳解】若甲以的比分獲勝，即一共3局，前兩局甲乙各勝一局，最后一局甲勝，事件表示“甲獲勝”，則前兩局甲獲勝，或前兩局甲乙各勝一局，最后一局甲勝，故答案為：，8．（2025·天津和平·二模）已知甲、乙兩個(gè)盒子中裝有不同顏色的卡片，卡片除顏色外其他均相同.甲盒中有5張紅色卡片和4張白色卡片，乙盒中有2張紅色卡片和4張白色卡片.若從甲盒中取出2張卡片，且2張卡片中有一張是紅色卡片的條件下，另一張是白色卡片的概率為；若從兩盒中隨機(jī)選擇一個(gè)盒子，然后從中取出一張卡片，則取到一張紅色卡片的概率為.【答案】【分析】設(shè)出事件，利用條件概率公式計(jì)算出概率，再利用全概率公式計(jì)算出從兩盒中隨機(jī)選擇一個(gè)盒子，然后從中取出一張卡片，取到一張紅色卡片的概率.【詳解】設(shè)從甲盒中取出2張卡片中有一張是紅色卡片為事件A，從甲盒中取出2張卡片中有一張是白色卡片為事件B，故從兩盒中隨機(jī)選擇一個(gè)盒子，然后從中取出一張卡片，則取到一張紅色卡片的概率為故答案為：，題型三全概率公式【技巧通法·提分快招】1．（2025·天津北辰·三模）某地教育部門聯(lián)合當(dāng)?shù)馗咝０l(fā)起公益助教贈(zèng)書行動(dòng).現(xiàn)安排卡車為鄉(xiāng)村小學(xué)運(yùn)送書籍，共裝有16個(gè)紙箱，其中6箱數(shù)學(xué)書?6箱語(yǔ)文書?4箱物理書.由于山路崎嶇，到達(dá)目的地時(shí)發(fā)現(xiàn)丟失一箱書籍，則丟失的一箱恰巧是物理書的概率為；若不知丟失哪一箱，則從剩下的15箱中任意打開(kāi)兩箱，結(jié)果發(fā)現(xiàn)都是數(shù)學(xué)書的概率為.【答案】/0.25/0.125【分析】利用古典概率公式求得丟失物理書的概率；利用全概率公式求得答案.記事件“丟失數(shù)學(xué)書”，事件“任取兩箱都是數(shù)學(xué)”，故答案為：；【詳解】分別記事件、、表示抽取的一個(gè)零件為甲、乙、丙生產(chǎn)的，記事件抽取的一個(gè)零件為次品，【答案】0.820.398【分析】依據(jù)題意，分析事件關(guān)系，利用全概率公式求解第一空，利用互斥事件與相互獨(dú)立事件求解第二空即可.故答案為：0.82；0.398.4．（2025·天津武清·一模）長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中大約有的學(xué)生，每天玩手機(jī)超過(guò)1小時(shí)，這些人近視率約為，其余學(xué)生的近視率約為，現(xiàn)從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率大約是.【答案】/【分析】由題意，根據(jù)條件概率公式和全概率公式求解即得.【詳解】設(shè)事件“學(xué)生玩手機(jī)超過(guò)小時(shí)”，事件“學(xué)生近視”，事件為的對(duì)立事件，故答案為：.5．（2024·天津北辰·三模）某單位為了提高員工身體素質(zhì)，開(kāi)展雙人投籃比寒，現(xiàn)甲、乙兩人為一組參加比賽，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下:若投中，則此人繼續(xù)投籃，若未投中，則換為對(duì)方投籃，無(wú)論之前投籃的情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為.第2次投籃的人是甲的概率為；已知在第2次投籃的人是乙的情況下，第1次投籃的人是甲的概率為.【答案】故答案為：；.6．（2024·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙三個(gè)人去做相互傳球訓(xùn)練，訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出．如果第一次由甲將球傳出，設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，則；．7．（2024·天津和平·二模）為銘記歷史、緬懷先烈，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義情懷，某學(xué)校開(kāi)展共青團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．在最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問(wèn)題，每個(gè)人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問(wèn)題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率為；若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問(wèn)題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，則這個(gè)問(wèn)題回答正確的概率為．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問(wèn)題，若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問(wèn)題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，故答案為：；．8．（2024·天津北辰·模擬預(yù)測(cè)）甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有5個(gè)大小相同的小球，其中甲箱中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙箱中有4個(gè)紅球、1個(gè)白球，從甲箱中隨機(jī)抽出2個(gè)球，在已知至少抽到一個(gè)紅球的條件下，則2個(gè)球都是紅球的概率為；擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)小于等于4，從甲箱子中隨機(jī)抽出1個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)大于等于5，從乙箱子中隨機(jī)抽出1個(gè)球，若抽到的是紅球，則它是來(lái)自乙箱的概率是.【答案】【分析】利用條件概率公式計(jì)算摸出的2個(gè)球是紅球的概率；利用全概率公式求紅球的概率.【詳解】記事件表示“至少抽到一個(gè)紅球”，事件表示“2個(gè)球都是紅球”，設(shè)事件表示“從乙箱中抽球”，則事件表示“從甲箱中抽球”，事件表示“抽到紅球”，則故答案為：①，②.題型四判斷線性相關(guān)的強(qiáng)弱【技巧通法·提分快招】1.利用貝葉斯公式求概率的步驟【分析】根據(jù)題意，由乘法公式即可求得該地區(qū)煙民沒(méi)有患肺癌且被檢測(cè)出陽(yáng)性的概率；再利用貝葉斯公式即可求得某煙民的檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，其患肺癌的概率.設(shè)事件表示檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，所以某煙民的檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性的概率為：所以某煙民的檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，其患肺癌的概率為2．（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）第三次人工智能浪潮滾滾而來(lái)，以ChatGPT發(fā)布為里程碑，開(kāi)辟了人機(jī)自然交流的新紀(jì)元．ChatGPT所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)并非都是遙不可及的高深理論，概率就被廣泛應(yīng)用于ChatGPT中，某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題進(jìn)行研究：甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有5個(gè)大小相同的小球，其中甲箱中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙箱中有4個(gè)紅球、1個(gè)白球，從甲箱中隨機(jī)抽出2個(gè)球，在已知抽到紅球的條件下，則2個(gè)球都是紅球的概率為；擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)小于等于4，從甲箱子中隨機(jī)抽出1個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)大于等于5，從乙箱子中隨機(jī)抽出1個(gè)球，若抽到的是紅球，則它是來(lái)自乙箱的概率是．【答案】/0.4【分析】利用條件概率公式求摸出的2個(gè)球是紅球的概率；利用全概率公式和貝葉斯公式求紅球來(lái)自乙箱的概率.【詳解】記事件表示“抽出的2個(gè)球中有紅球”，事件表示“兩個(gè)球都是紅球”，即從甲箱中隨機(jī)抽出2個(gè)球，在已知抽到紅球的條件下，則2個(gè)球都是紅球的概率為；設(shè)事件表示“從乙箱中抽球”，則事件表示“從甲箱中抽球”，事件表示“抽到紅球”，即若抽到的是紅球，則它是來(lái)自乙箱的概率是.故答案為：；3．（2025·天津南開(kāi)·模擬預(yù)測(cè)）某足球隊(duì)為評(píng)估球員的場(chǎng)上作用，對(duì)球員進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.球員甲在場(chǎng)上出任邊鋒、前衛(wèi)、中場(chǎng)三個(gè)位置，根據(jù)過(guò)往多場(chǎng)比賽，其出場(chǎng)率與出場(chǎng)時(shí)球隊(duì)的勝率如表所示.則甲出場(chǎng)比賽時(shí)，在球隊(duì)獲勝的條件下，甲擔(dān)當(dāng)前衛(wèi)的概率為.場(chǎng)上位置邊鋒前衛(wèi)中場(chǎng)出場(chǎng)率0.20.50.3球隊(duì)勝率0.50.60.8【答案】故答案為：.【答案】【分析】答題空一：根據(jù)題意設(shè)出事件，利用全概率公式即可求解；答題空二：利用空一結(jié)果，根據(jù)貝葉斯公式即可求解.【詳解】設(shè)事件表示產(chǎn)品能出廠上市，事件表示產(chǎn)品不需要調(diào)試，表示產(chǎn)品需要調(diào)試，由全概率公式可得：由貝葉斯公式可得：故答案為：；5．（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）同種規(guī)格的產(chǎn)品，甲組生產(chǎn)占40%，優(yōu)品率為10%；乙組生產(chǎn)占60%，優(yōu)品率為20%，將兩組生產(chǎn)的產(chǎn)品混合，從混合產(chǎn)品中任取1件．則取到這件產(chǎn)品是優(yōu)品的概率為；若取出一件產(chǎn)品是優(yōu)品的條件下，是甲組生產(chǎn)的產(chǎn)品的概率為．【答案】0.16【分析】根據(jù)貝葉斯公式和全概率公式求解即可.6．（2025·天津?yàn)I海新·聯(lián)考）有三個(gè)籠子，里面分別放有兩只雄兔一只雌兔、兩只雄兔兩只雌兔、以及三只雌兔.如果在從一個(gè)籠子里拿出一只雄兔之后，那么再?gòu)倪@個(gè)籠子里取出雄兔的概率為.【答案】【分析】由貝葉斯公式與全概率公式求解，故答案為：7．（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）書包中裝有大小相同的2本數(shù)學(xué)書和2本語(yǔ)文書，若每次從中隨機(jī)取出一本書且不放回，則在第二次取出的是數(shù)學(xué)書的條件下，第一次取出的是語(yǔ)文書的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件概率公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)事件：第一次取出的是語(yǔ)文書，事件：第二次取出的是數(shù)學(xué)書，故選：D8．（2025·天津·聯(lián)考）某人從甲地到乙地，乘火車、輪船、飛機(jī)的概率分別為0.2，0.4，0.4，乘火車遲到的概率為0.4，乘輪船遲到的概率為0.3，乘飛機(jī)遲到的概率為0.5，則這個(gè)人遲到的概率是；如果這個(gè)人遲到了，他乘船遲到的概率是．【答案】0.4/0.3/【分析】合理設(shè)出事件，利用全概率計(jì)算出這個(gè)人遲到的概率，用貝葉斯概率公式計(jì)算出如果這個(gè)人遲到了，他乘船遲到的概率.【詳解】設(shè)事件A表示“乘火車”，事件B表示“乘輪船”，事件C表示“乘飛機(jī)”，事件D表示“遲到”，如果這個(gè)人遲到了，由貝葉斯公式得到他乘船遲到的概率為：故答案為：0.4；0.3檢測(cè)Ⅰ組重難知識(shí)鞏固【答案】30事件共有種方案，以下考慮事件，即“甲和乙選擇的課程不同，丙和丁恰好有一人選擇的是九章算術(shù)”故答案為：30；.2．（2025·天津河?xùn)|·二模）哪吒系列手辦盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母、四大龍王共個(gè)人物手辦，小明隨機(jī)購(gòu)買個(gè)盲盒（個(gè)盲盒內(nèi)人物一定不同），求其中包含哪吒和至少一位龍王的概率；在包含哪吒且不包含敖丙的條件下，則恰有哪吒父母中的一位的概率為.【答案】【分析】利用組合，求出從個(gè)人物手辦中，隨機(jī)購(gòu)買個(gè)盲盒的買法和包含哪吒和至少一位龍王的買法，再利用古典概率公式，即可求解；利用條件概率公式，即可求解.記事件：隨機(jī)購(gòu)買個(gè)盲盒，含哪吒且不包含敖丙，事件：隨機(jī)購(gòu)買個(gè)盲盒，恰有哪吒父母中的一位，故答案為：；.【答案】【分析】第一問(wèn)可根據(jù)條件概率公式求解，第二問(wèn)可先確定隨機(jī)變量的取值，再求出每個(gè)取值的概率，最后根據(jù)期望公式計(jì)算期望.【詳解】設(shè)“第一次取到黑球”為事件，“第二次取到白球”為事件.隨機(jī)取出個(gè)球，取出的球中白球的個(gè)數(shù)可能取值為，，.故答案為：；.4．（2024·天津南開(kāi)·二模）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，每次結(jié)果要么正面向上，要么反面向上，且兩種結(jié)果等可能，則3次結(jié)果中有正面向上，也有反面向上的概率為；3次結(jié)果中最多一次正面向上的概率為.【答案】//【分析】借助概率的乘法公式計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)為所拋擲三枚硬幣正面向上的枚數(shù)，事件為3次結(jié)果中有正面向上，也有反面向上，事件為3次結(jié)果中最多一次正面向上，故答案為：；.5．（2024·天津河北·二模）學(xué)習(xí)小組為了研究手機(jī)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的影響，對(duì)本學(xué)校學(xué)生手機(jī)使用情況統(tǒng)計(jì)分析有以下結(jié)果：若學(xué)生前一天沒(méi)有玩手機(jī)，則接下來(lái)一天也不玩手機(jī)的概率為0.7，若學(xué)生前一天玩手機(jī)，接下來(lái)一天也玩手機(jī)的概率為0.8.已知一個(gè)學(xué)生第一天沒(méi)玩手機(jī)，根據(jù)這個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)果計(jì)算，那么他第二天玩手機(jī)的概率為，第三天不玩手機(jī)的概率為.【答案】0.30.55【分析】根據(jù)題意由對(duì)立事件概率公式得第二天玩手機(jī)的概率，再由全概率公式得第三天不玩手機(jī)概率即可.【詳解】由題意，學(xué)生前一天沒(méi)有玩手機(jī)，則接下來(lái)一天也不玩手機(jī)的概率為0.7，故答案為：；【答案】/【分析】分別求出事件，事件和事件同時(shí)發(fā)生的概率，再由條件概率的公式計(jì)算即可.【詳解】拋擲白、黑兩顆骰子，事件總數(shù)為，事件的基本事件數(shù)為，故答案為：，.7．（2024·天津?yàn)I海新·三模）隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展越來(lái)越好，外出旅游的人越來(lái)越多，現(xiàn)有兩位游客慕名來(lái)天津旅游，他們分別從天津之眼摩天輪、五大道風(fēng)景區(qū)、古文化街、意式風(fēng)情街、海河觀光游船、盤山風(fēng)景區(qū)，這6個(gè)隨機(jī)選擇1個(gè)景點(diǎn)游玩，兩位游客都選擇天津之眼摩天輪的概率為．這兩位游客中至少有一人選擇天津之眼摩天輪的條件下，他們選擇的景點(diǎn)不相同的概率．【答案】【詳解】設(shè)事件表示“兩位游客都選擇天津之眼摩天輪”，設(shè)事件表示“兩位游客中至少有一人選擇天津之眼摩天輪”，事件表示“他們選擇的景點(diǎn)不相同”，8．（2024·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩名同學(xué)在電腦上進(jìn)行答題測(cè)試，每套測(cè)試題可從題庫(kù)中隨機(jī)抽取.在一輪答題中，如果甲單獨(dú)答題，能夠通過(guò)測(cè)試的概率是，如果乙單獨(dú)答題，能夠通過(guò)測(cè)試的概率是.若甲單獨(dú)答題三輪，則甲恰有兩輪通過(guò)測(cè)試的概率為；若在甲，乙兩人中任選一人進(jìn)行測(cè)試，則通過(guò)測(cè)試的概率為.（結(jié)果均以既約分?jǐn)?shù)表示）【答案】【分析】借助概率乘法公式與全概率公式計(jì)算即可得.設(shè)“選中甲”為事件B，“選中乙”為事件C，“通過(guò)測(cè)試”為事件D，所以在甲，乙兩人中任選一人進(jìn)行測(cè)試，通過(guò)測(cè)試的概率為.故答案為：；.【答案】【分析】利用古典概率公式求出，利用條件概率公式求出即可.設(shè)事件表示“在第1,2次都摸到紅球”，事件表示“第3次摸到紅球”，故答案為：.【答案】【詳解】由題意可知：事件包含甲搶到并答對(duì)和乙搶到并答錯(cuò)兩種情況，故答案為：；.11．（2024·天津·二模）為緩解高三學(xué)習(xí)壓力，某高中校舉辦一對(duì)一石頭、剪刀、布猜拳比賽，比賽約定賽制如下：累計(jì)贏2局者勝，分出勝負(fù)即停止比賽；若猜拳4局仍未分出勝負(fù)，則比賽結(jié)束.在一局猜拳比賽中，已知每位同學(xué)贏?輸?平局的概率均為，每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.現(xiàn)甲、乙兩位同學(xué)對(duì)戰(zhàn)，則甲同學(xué)比賽三局獲勝的概率為；已知比賽進(jìn)行了四局的前提下，兩位選手未分出勝負(fù)的概率為.【答案】【分析】直接用古典概型方法即可求解第一空；使用條件概率定義，結(jié)合古典概型方法即可求解第二空.【詳解】若甲同學(xué)比賽三局獲勝，則有兩種可能：甲同學(xué)第一局和第三局獲勝，第二局未獲勝；或甲同學(xué)第二局和第三局獲勝，第一局未獲勝.而若比賽四局且未分出勝負(fù)，則甲、乙兩人各自都最多獲勝一局，從而兩人的獲勝數(shù)量總共有四種可能：都是零次，甲一次乙零次，甲零次乙一次，甲一次乙一次.它們對(duì)應(yīng)的具體局?jǐn)?shù)又分別有1，4，4，12種選取方式，據(jù)此可得故答案為：，.【答案】//【分析】根據(jù)古典概型結(jié)合對(duì)立事件的概率即可求出第一空，利用條件概率公式即可求出第二空.故答案為：；.13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某高中學(xué)校為了響應(yīng)上級(jí)的號(hào)召，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，決定每天減少一節(jié)學(xué)科類課程，增加一節(jié)活動(dòng)課，為此學(xué)校開(kāi)設(shè)了傳統(tǒng)武術(shù)、舞蹈、書法、小提琴4門選修課程，要求每位同學(xué)每學(xué)年至多選2門，從高一到高三3個(gè)學(xué)年將4門選修課程學(xué)完，則每位同學(xué)的不同選修方式有種，若已知某同學(xué)高一學(xué)年只選修了舞蹈與書法兩門課程，則這位同學(xué)高二學(xué)年結(jié)束后就修完所有選修課程的概率為．【答案】54/【分析】利用分組分配的方法，計(jì)算求值；利用樣本空間的方法，求條件概率.【詳解】由題意可得三個(gè)學(xué)年修完四門選修課程，每學(xué)年至多選2門，則每位同學(xué)每年所修課程數(shù)為1，1，2或0，2，2．若將“某同學(xué)高一學(xué)年只選修了舞蹈與書法兩門課程”記為事件A，將“高二學(xué)年結(jié)束后就修完所有選修課程”記為事件B．根據(jù)題意，滿足事件A的所有選課情況共4種情況，其中包含高二選修完或高三選修完其他2門，或是高二，高三各選1門，共4種情況，故答案為：54；14．（2024·天津·二模）兩個(gè)三口之家進(jìn)行游戲活動(dòng)，從6人中隨機(jī)選出2人，則這2人來(lái)自同一個(gè)家庭的概率為；若選出的2人來(lái)自同一個(gè)家庭，游戲成功的概率為0.6，若來(lái)自不同的家庭，游戲成功的概率為0.3，則游戲成功的概率為．【答案】/0.42/【分析】先計(jì)算從6人中選2人的所有種數(shù)，再計(jì)算同一家庭的種數(shù)，求概率即可；由全概率公式計(jì)算即可得第二空.故答案為：；15．（2024·天津·一模）甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有4個(gè)大小相同的小球，其中甲箱中有2個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙箱中有3個(gè)紅球、1個(gè)白球，從甲箱中隨機(jī)抽出2個(gè)球，在已知抽到白球的條件下，則2個(gè)球都是白球的概率為；擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)小于等于2，就從甲箱子中隨機(jī)抽出1個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)大于等于3，就從乙箱子中隨機(jī)抽出1個(gè)球，則抽到紅球的概率為.【答案】【分析】利用條件概率公式摸出的2個(gè)球是白球的概率；利用全概率公式求紅球的概率.【詳解】記事件表示“抽出的2個(gè)球中有白球”，事件表示“兩個(gè)都是白球”，即從甲箱中隨機(jī)抽出2個(gè)球，在已知抽到白球的條件下，則2個(gè)球都是白球的概率為；即抽到紅球的概率是.故答案為：；檢測(cè)Ⅱ組創(chuàng)新能力提升1．（2024·天津·一模）假設(shè)某市場(chǎng)供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品的合格率為85%，乙廠產(chǎn)品的合格率為80%，在該市場(chǎng)中購(gòu)買甲廠的兩個(gè)燈泡，則恰有一個(gè)是合格品的概率為；若在該市場(chǎng)中隨機(jī)購(gòu)買一個(gè)燈泡，則這個(gè)燈泡是合格品的概率為.【分析】借助獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式與全概率公式計(jì)算即可得.【詳解】在該市場(chǎng)中購(gòu)買甲廠的兩個(gè)燈泡，則恰有一個(gè)是合格品的概率為：在該市場(chǎng)中隨機(jī)購(gòu)買一個(gè)燈泡，則這個(gè)燈泡是合格品的概率為：2．（2024·天津南開(kāi)·一模）已知編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；2號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；3號(hào)盒子內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球，若第一次先從1號(hào)盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號(hào)的盒子中，第二次從該盒子中任取一個(gè)球，則在第一次抽到2號(hào)球的條件下，第二次抽到1號(hào)球的概率為，第二次抽到3號(hào)球的概率為【答案】/0.5記第二次抽到3號(hào)球?yàn)槭录缘诙纬榈?號(hào)球的概率為.故答案為：；.3．（2024