1/22026年1月遼寧省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)仿真模擬試卷02考試時間：90分鐘滿分：100分一、選擇題（本大題共12題，每小題3分，共計(jì)36分。每小題列出的四個選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的）1．已知z1+2i=i7A．2 B．1 C．－1 D．－2【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方，乘法運(yùn)算及實(shí)部的定義求解即可.【詳解】由題意得i7所以z=1+2所以復(fù)數(shù)z的實(shí)部為2.故選：A.2．已知集合A={x∣?1≤x<5},B=0,5，則A∩B=（

A．? B．0 C．0,5 D．{x∣?1≤x<5}【答案】B【分析】由交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)锳={x∣?1≤x<5},B=0,5則A∩B=0.故選：B.3．設(shè)a,b∈R，則“a>b”是“a>b”的（A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)可推斷a≥a>b【詳解】因?yàn)閍≥a，由a>b，根據(jù)傳遞性可知a因此“a>b”能推出“a>b不妨取a=?2,b=1，滿足a>b，但a>b所以“a>b”是“a>b故選：A4．已知函數(shù)fx=log2x，當(dāng)x∈A．0,1 B．1,2 C．2,4 D．4,16【答案】B【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)的值域【詳解】因函數(shù)fx=log故log22<log故fx的取值范圍是1,2故選：B.5．某校學(xué)生到校辦工廠制作球體教具.若該球的半徑為5?cm，則這個球的表面積為（

A．10πcm2 B．50πcm2 C．【答案】C【分析】利用球的表面積公式求解.【詳解】依題意，球的表面積為4π?5故選：C6．不等式12?xx?A．x13<x<C．xx<13 D．【答案】A【分析】直接解一元二次不等式即可求解.【詳解】不等式12?xx?13故選：A.7．已知角α的終邊過點(diǎn)P(?1,3)，則cosαA．12 B．?12 C．3【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的定義求解.【詳解】因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P(?1,3所以cosθ=故選：B8．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列選項(xiàng)是正確的是（

）A．若m⊥n,n//α，則m⊥α B．若mC．若m⊥β,n⊥β,n⊥α，則m⊥α D．若m⊥n,n⊥β,β⊥α，則m⊥α.【答案】C【分析】由線面的位置關(guān)系考慮所有可能情況判斷ABD，由直線垂直平面的性質(zhì)定理及判定推理判斷C.【詳解】對于ABD選項(xiàng)，滿足條件的直線m均可能與平面α平行、垂直、斜交或在平面α內(nèi)，故ABD錯誤；對于C選項(xiàng)，由m⊥β,n⊥β，可得m//n，又n⊥α，則故選：C9．函數(shù)fx=2x+2A．1,2 B．2,3 C．3,4 D．4,5【答案】D【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由f4【詳解】因?yàn)閥=2x,y=2所以函數(shù)fx=2x+2且f4=8+16?30=?6<0，所以函數(shù)fx=2x+2故選：D.10．函數(shù)fx=2A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為2π的奇函數(shù) D．最小正周期為2【答案】A【分析】先利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)fx【詳解】因?yàn)閒x=2所以T=2π2所以fx是最小正周期為π故選：A11．2023年杭州亞運(yùn)會的三個吉祥物分別是“琮琮”“蓮蓮”“宸宸”．“琮琮”代表世界遺產(chǎn)良渚古城遺址；“蓮蓮”代表世界遺產(chǎn)杭州西湖；“宸宸”代表世界遺產(chǎn)京杭大運(yùn)河．某中學(xué)學(xué)生會宣傳部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名負(fù)責(zé)吉祥物的宣傳工作，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（

）A．19 B．29 C．13【答案】D【分析】算出基本事件的總數(shù)、隨機(jī)事件中的基本事件的個數(shù)后可求概率.【詳解】設(shè)A為“2名學(xué)生來自不同年級”，則總的基本事件的個數(shù)為C4A中基本事件的個數(shù)為2×2=4，故PA故選：D.12．設(shè)函數(shù)fx=ln1+x?1A．13,1 C．?13,【答案】B【分析】先確定函數(shù)的定義域、奇偶性和單調(diào)性，應(yīng)用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解之即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx=lnf?x=ln當(dāng)x∈0,+∞時，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知由偶函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)fx在?所以fx<f2x?1進(jìn)而等價于x<2x?1，即所以3x2?4x+1>0，解之可得x<故選：B.二、填空題（本題共4小題，每小題3分，共計(jì)12分）13．已知向量a,b滿足a=2,b=1，a,【答案】21【分析】根據(jù)向量的模長公式直接代入求解即可.【詳解】2a故答案為：21.14．某服裝加工廠為了適應(yīng)市場需求，引進(jìn)某種新設(shè)備，以提高生產(chǎn)效率和降低生產(chǎn)成本．已知購買x臺設(shè)備的總成本為fx=1【答案】400【分析】由fx【詳解】每臺設(shè)備的平均成本fx當(dāng)且僅當(dāng)x200=800故答案為：400.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：均值不等式常用結(jié)論1、如果a>0，b>0，則a+b≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b推論：ab≤a+b222、如果a,b∈R，那么a2+推論：ab≤a2+3、21a15．214【答案】1【分析】根據(jù)指數(shù)冪和對數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算得到答案.【詳解】21故答案為：116．人們用分貝（dB）來劃分聲音的等級，聲音的等級d(x)（單位：dB）與聲音強(qiáng)度x（單位：Wm2）滿足d(x)=10?lgx10?12．一般兩人正常交談時，聲音的等級約為60?dB，燃放煙花爆竹時聲音的等級約為150?dB【答案】9【分析】根據(jù)給定函數(shù)模型，代入列式計(jì)算得解.【詳解】依題意，d(a)=10?lga10?12=60d(b)=10?lgb10?12=150所以lgb故答案為：9三、解答題（本題共5小題，共52分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17．（10分）已知向量a=(sinx,1)(1)當(dāng)x=π2時，求向量(2)若a∥b，求實(shí)數(shù)(3)求f(x)=a【答案】(1)(1,2)(2)x=kπ+(3)f(x)max【分析】（1）由特殊角三角函數(shù)的計(jì)算和平面向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果；（2）由向量平行的坐標(biāo)關(guān)系列式求解；（3）先根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式化簡函數(shù)，再根據(jù)二倍角公式化簡，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)可得最值.【詳解】（1）當(dāng)x=π2時，a=(則a+（2）若a∥b，則sinx×1?1×所以x=kπ+π（3）因?yàn)閍=(sinx,1)所以f(x)=a因?yàn)?1≤sin所以當(dāng)sin2x=1時，f(x)取得最大值，f當(dāng)sin2x=?1時，f(x)取得最小值，f18．（10分）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)求fx在區(qū)間0,【答案】(1)2(2)2【分析】（1）利用最小正周期公式求得；（2）令θ=x+π8，由x∈0,π8【詳解】（1）T=2故fx的最小正周期為2（2）令θ=x+π8，由θ∈π又因?yàn)楹瘮?shù)y=sinθ在所以fx19．（10分）在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，邊長為1，

(1)求D1(2)證明：D1【答案】(1)3(2)證明見解析【分析】（1）利用棱錐體積公式直接計(jì)算；（2）先證AC⊥平面BDD1，從而可得【詳解】（1）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)，DD1⊥所以高?=DDS△DOCVD（2）如圖，連接OB，BD

根據(jù)直棱柱的性質(zhì)，DD1⊥平面ABCD，AC?所以DD因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以AC⊥BD．因?yàn)锽D，DD1?平面BD所以AC⊥平面BDD又D1O?平面BDD20．（10分）近年來，我國超重和肥胖率呈快速上升趨勢，兒童和青少年的肥胖問題尤為突出.超重和肥胖與多種慢性疾病密切相關(guān)，嚴(yán)重威脅公共健康.青少年時期是培養(yǎng)健康飲食和運(yùn)動習(xí)慣的關(guān)鍵階段，早期干預(yù)能夠有效預(yù)防肥胖問題.今年“兩會”期間，國家衛(wèi)健委宣布從2025年起實(shí)施“體重管理年”三年計(jì)劃，旨在通過系統(tǒng)性措施改善青少年健康狀況，降低肥胖率.體重指數(shù)（BMI）=體重（kg）/身高m2，青少年的BMI理想范圍參考值為：男生（15-18歲）：17.5-23.5；女生（15-18歲）：17.5-23.0；某城市對1000名高中生的體重指數(shù)（BMI）進(jìn)行了調(diào)查，BMI的分組區(qū)間為14,16、16,18、18,20、20,22、22,24、24,26、26,28

(1)求頻率分布直方圖中x的值及高中生BMI的平均數(shù)及中位數(shù)；(2)在BMI為20,22、22,24、24,26的三組學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取10名學(xué)生，則BMI在22,24的學(xué)生中應(yīng)抽取多少名？(3)在（2）條件下，在BMI為22,24和24,26的兩組學(xué)生中任取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生來自同一組學(xué)生的概率.【答案】(1)x=0.075；平均數(shù)20.62；中位數(shù)20.4(2)3(3)2【分析】（1）由頻率分布直方圖面積和為1即可得到x，再由平均數(shù)以及中位數(shù)的計(jì)算公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）由分層抽樣的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（3）由古典概型的概率公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由頻率分布直方圖面積和為1可得0.01+0.025+0.1+0.125+x+0.05+0.115×2=1解得x=0.075，高中生BMI的平均數(shù)為15×0.02+17×0.2+19×0.23+21×0.25+23×0.15+25×0.1+27×0.05=20.62，因?yàn)榍叭M的頻率之和為0.02+0.2+0.23=0.45，所以中位數(shù)在20,22組，設(shè)中位數(shù)為20+t，則0.45+0.125×2×t2=0.5所以中位數(shù)為20+0.4=20.4.（2）20,22、22,24、24,26的頻率之比為0.25:0.15:0.1=5:3:2，共抽10名，則22,24的學(xué)生中應(yīng)抽取10×3（3）由（2）可知，22,24抽3人，設(shè)3人分別為A則24,26抽取10×210=2設(shè)事件C表示抽取的2名學(xué)生來自同一組學(xué)生，總情況數(shù)有AA22名學(xué)生來自同一組學(xué)生的情況由A1則PC21．（12分）已知函數(shù)fx=log(1)當(dāng)a=2時，①若f1=f?1②當(dāng)b=1時，用定義證明函數(shù)fx是R(2)若fx為偶函數(shù)，且12b+a>3【答案】(1)①b=1(2)