1/22026年上海市普通高校春季高考數(shù)學(xué)仿真模擬卷02（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.已知集合，若全集，則.【提示】根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算求解即可；【答案】；【解析】因為，，所以，故答案為：【說明】本題考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算2.不等式解集為．【提示】將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解；【答案】【解析】不等式化為，解得，所以原不等式的解集為.故答案為：【說明】本題主要考查了分式不等式、解不含參數(shù)的一元二次不等式3.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則．【提示】利用復(fù)數(shù)乘法和除法法則計算出，由模長公式求出答案.【答案】【解析】，故.故答案為：【說明】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算、復(fù)數(shù)的乘方4.已知向量，若與互相垂直，則．【提示】利用向量垂直滿足數(shù)量積為0，代入坐標(biāo)，建立方程，計算即可求解.【答案】或【解析】因為，故，，若與互相垂直，則，即，解得或.故答案為：或.【說明】本題考查了利用向量垂直求參數(shù)、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算5.已知，則＝【提示】利用余弦二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系式，化簡整理，可得答案.【答案】【解析】.故選：A.【說明】本題考查了已知弦（切）求切（弦）、二倍角的余弦公式、正、余弦齊次式的計算、三角函數(shù)的化簡、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系6.已知二項式的展開式中第四項與第七項的二項式系數(shù)相等，則展開式中常數(shù)項為.【提示】依題意可得，，從而可求得，利用其通項公式即可求得展開式中的常數(shù)項；【答案】【解析】由題意可得，，解得，所以展開式的通項為，由得，，所以常數(shù)項為第七項．故答案為：【說明】本題考查了由項的系數(shù)確定參數(shù)、求指定項的系數(shù)7.數(shù)列共有5項，前三項成等差數(shù)列，且公差為，后三項成等比數(shù)列，且公比為.若第1項為1，第2項與第4項的和為18，第3項與第5項的和為35，則.【提示】根據(jù)等差、等比數(shù)列通項列出5項，結(jié)合題意列式求解即可.【答案】5【解析】由題意可知：數(shù)列的有5項為，因為，則，可得，整理可得，解得或（舍去），若，可得，即，所以.故答案為：5.【說明】本題考查了等比數(shù)列通項公式的基本量計算、等差數(shù)列通項公式的基本量計算8.關(guān)于的方程的解集為.【提示】先確定各個絕對值對應(yīng)的零點，利用零點分段法分類討論，分別求出方程的解，即可得解.【答案】【解析】易知方程中三個絕對值對應(yīng)的零點分別為：，，，則：①時，原方程可化為，解得，不符合題意，舍去；②時，原方程可化為，解得，符合題意；③時，原方程可化為，即恒成立，故，符合題意；④時，原方程可化為，解得，此時不符合題意，故舍去，綜上可知，原方程的解集為．故答案為：．【說明】本題考查了教材對與含絕對值方程與不等式的研究過程；9.已知圓錐的軸截面是等邊三角形，為底面弧的中點，為母線的中點，則異面直線和所成角的大小為【提示】如下圖所示，連接OP，OC，過點D作底面于H，連接CH，根據(jù)中位線定理得，所以（或其補(bǔ)角）就是異面直線和所成的角，設(shè)，解三角形可求得答案；【答案】；【解析】如下圖所示，連接OP，OC，過點D作底面于H，連接CH，因為為母線的中點，所以，所以（或其補(bǔ)角）就是異面直線和所成的角，設(shè)，則，所以，所以，又，所以滿足，所以，所以異面直線和所成角為，故答案為：.【說明】本題考查了求異面直線所成的角的方法；10.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，傾斜角為的直線與雙曲線【提示】利用雙曲線的性質(zhì)及余弦定理計算即可；【答案】【解析】因為傾斜角為的直線與雙曲線在第一象限交于點，可知直線的傾斜角大于雙曲線的一條漸近線的傾斜角，即，設(shè)，則，根據(jù)可知，在中，由余弦定理可知，即，則，故故答案為：【說明】本題考查了雙曲線定義的理解、余弦定理解三角形、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍；11.阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，則的長為.【提示】利用正弦定理將角化邊，即可求得點的軌跡方程，然后確定三角形面積的最大值和點的坐標(biāo)，最后求解的長度即可；【答案】【解析】因為，由正弦定理可得，即，因為，不妨令，，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點的坐標(biāo)為，點的軌跡方程滿足：，整理可得：，，即點的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓（除與軸兩交點外），當(dāng)點的坐標(biāo)或時三角形的面積最大，其最大值為，由勾股定理可得．故答案為：．【說明】本意考查了解析幾何中的軌跡問題——圓、正弦定理邊角互化的應(yīng)用；12.已知向量滿足：為單位向量，且和相互垂直，又對任意不等式恒成立，若，則的最小值為．【提示】根據(jù)向量垂直及數(shù)量積運(yùn)算律得，令，，，則，，結(jié)合不等式恒成立及對應(yīng)幾何意義得，進(jìn)而有，最后應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律得到關(guān)于的表達(dá)式求最值；【答案】【解析】由題設(shè)，又，則，令，，，則，，由，即恒成立，數(shù)形結(jié)合易知，所以，得，，其對稱軸為，所以，則.故答案為：；【說明】向量與幾何最值、垂直關(guān)系的向量表示、已知數(shù)量積求模、數(shù)量積的運(yùn)算律二、選擇題（本大題共4題,滿分18分,第13-14題每題4分,第15-16題每題5分)13.在正四棱臺中，，，且該正四棱臺的體積為28，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【提示】解法一：通過作輔助線構(gòu)造異面直線所成角，再利用四棱臺體積公式求出高，結(jié)合平面幾何知識和余弦定理求解.解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量，利用向量的夾角公式求解，再根據(jù)異面直線所成角的范圍得到結(jié)果.【答案】D【解析】方法1：過點作，交于點，則為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角.設(shè)該正四棱臺的高為，則，得.，故.過點作交于點，則，.連接，易得，在中，利用余弦定理可得，故異面直線與所成角的余弦值為.方法2：設(shè)該正四棱臺的高為，上底面與下底面的中心分別為，，連接，由題知，得.由正四棱臺的性質(zhì)知平面，以為坐標(biāo)原點，過點分別與平行的直線為軸，軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，所以，，，故異面直線與所成角的余弦值為.故選：D.【說明】本題考查了異面直線夾角的向量求法、求異面直線所成的角、臺體體積的有關(guān)計算；14.一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲出正面與反面的概率均等，將該硬幣連續(xù)拋擲三次，已知三次中至少有一次正面，則三次中恰好有兩次正面的概率為（

）A． B． C． D．【提示】利用條件概率中的縮小樣本空間的方法求解即可.【答案】B【解析】設(shè)事件“三次中至少有一次正面”，事件“三次中恰好有兩次正面”，依題意，正反反，反正反，反反正，正正反，正反正，反正正，正正正，正正反，正反正，反正正，則正正反，正反正，反正正，則三次中恰好有兩次正面的概率為.故選：B.【說明】計算條件概率、獨(dú)立事件的乘法公式15.已知函數(shù)，若，則是（

）A．奇函數(shù)，在上為嚴(yán)格減函數(shù)B．奇函數(shù)，在上為嚴(yán)格增函數(shù)C．偶函數(shù)，在上嚴(yán)格減，在上嚴(yán)格增D．偶函數(shù)，在上嚴(yán)格增，在上嚴(yán)格減【提示】由可知為奇函數(shù),利用奇偶函數(shù)的概念即可判斷設(shè)的奇偶性,從而得到答案；【答案】B【解析】為奇函數(shù),又是奇函數(shù),可排除C,D.又在上單調(diào)遞增.故選：B【說明】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性16．已知關(guān)于x的不等式在區(qū)間內(nèi)有k個整數(shù)解，則k的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【提示】由二倍角正弦公式有，討論、，結(jié)合正余弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式求解集，進(jìn)而確定整數(shù)解的個數(shù)；【答案】C【說明】由題設(shè)，顯然，當(dāng)，則，此時，當(dāng)，則，此時，所以，整數(shù)解有，共5個整數(shù)解.故選：C【說明】本題考查了解正弦不等式、解余弦不等式、二倍角的正弦公式；三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）17.（第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖，在三棱錐中，平面平面，O為的中點，是邊長為1的等邊三角形，點E在棱上，；（1）證明：；且當(dāng)時，求點E到直線的距離；（2）若二面角的大小為，求三棱錐的體積．【提示】（1）由平面平面，證得平面，進(jìn)而證得；取的中點，過作與交于點，可得，，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角公式求出，可得，點到直線的距離為，計算即可；（2）設(shè)，求出平面和平面的法向量，由二面角的大小為求出的值，進(jìn)而可求出三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；；（2）【解析】（1）因為，為的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；取的中點，因為為正三角形，所以，過作與交于點，則，所以，，兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，，，，又，所以，則，所以點到直線的距離為；（2）設(shè)，則，因為平面，故平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，又所以由，得，令，則，，故，因為二面角的大小為，所以，解得，所以，

又，所以，故三棱錐的體積．【說明】線面垂直證明線線垂直、點到直線距離的向量求法、已知面面角求其他量、錐體體積的有關(guān)計算18.（第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）若，且在中，角，，所對的邊分別為，，，，，，求的面積；【提示】（1）根據(jù)余弦的二倍角公式可化簡，即可利用整體法，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式化簡，代入可得，即可利用余弦定理求解，由面積公式求解即可；【答案】（1）；（2）；【解析】（1）當(dāng)時,,當(dāng)時,,則,故,因此（2）當(dāng)時,,故,即,由于,故,所以,即,由余弦定理可得,解得(負(fù)值舍去),故【說明】本題考查了二倍角的余弦公式、求cosx(型)函數(shù)的值域、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形；19.（第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分6分）某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績，將最近一段時間內(nèi)每日的汽車銷售情況進(jìn)行了統(tǒng)計，如圖所示.（1）求的值，并求該公司這段時間內(nèi)每日汽車銷售量的第60百分位數(shù)；（2）以頻率估計概率，若在這段時間內(nèi)隨機(jī)選擇4天，設(shè)每日汽車銷售量在內(nèi)的天數(shù)為，在恰有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購買一輛汽車可以進(jìn)行一次抽獎活動，規(guī)則如下：在三棱錐中，、均是邊長為2的正三角形，，現(xiàn)從寫有數(shù)字1~8的八個標(biāo)簽中隨機(jī)選擇兩個分別貼在、兩個頂點，記頂點、上的數(shù)字分別為和，若為側(cè)棱上一個動點，滿足，當(dāng)“二面角大于”即為中獎，求中獎的概率.【提示】（1）根據(jù)頻率之和為1可求的值，再根據(jù)百分位數(shù)的概念求第60百分位數(shù).（2）根據(jù)條件概率計算，求的分布列和期望.（3）根據(jù)二面角大于，求出可對應(yīng)的情況，再求中獎的概率.【答案】（1），175；（2）分布列見解析，；（3）；【解析】（1）由.因為：，，所以每日汽車銷售量的第60百分位數(shù)在，且為.（2）因為抽取的1天汽車銷售量不超過150輛的概率為，抽取的1天汽車銷售量在內(nèi)的概率為.所以：在恰有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下，抽取的1天汽車銷售量在內(nèi)的概率為.由題意，的值可以為：0，1，2，3.且，，，.所以的分布列為：0123所以.（3）如圖：取中點，鏈接，，，，.因為，都是邊長為2的等邊三角形，所以，，，平面，所以平面.平面，所以.所以為二面角DE平面角.在中，，所以.若，在中，由正弦定理：.此時：，.所以，要想中獎，須有.由是從寫有數(shù)字1~8的八個標(biāo)簽中隨機(jī)選擇的兩個，所以基本事件有個，滿足的基本事件有：，，，，，，，，共9個，所以中獎的概率為：.【說明】本題考查了計算條件概率、由二面角大小求線段長度或距離、補(bǔ)全頻率分布直方圖；關(guān)鍵：在第（2）問中，首先要根據(jù)條件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下，抽取的1天汽車銷售量在內(nèi)的概率”.20.（第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別為雙曲線Г：的左?右焦點，點D為線段的中點，直線MN過點且與雙曲線右支交于兩點，延長MD?ND，分別與雙曲線Г交于P?Q兩點；（1）已知點，求點D到直線MN的距離；（2）求證：；（3）若直線MN?PQ的斜率都存在，且依次設(shè)為k1?k2.試判斷是否為定值，如果是，請求出的值；如果不是，請說明理由；【提示】（1）求得點坐標(biāo)和直線的方程，由此求得到直線的距離.（2）對的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，由此證得結(jié)論成立.（3）設(shè)出直線的方程并代入雙曲線方程，求得的坐標(biāo)，由此計算是定值.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）是定值.【詳解】（1），所以，則，直線的方程為，即，所以到直線的距離為.（2）直線的斜率不存在時，，直線的斜率存在時，，，整理得.綜上所述，成立.（3）依題意可知直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為，代入雙曲線并化簡得：①，由于，則代入①并化簡得：，設(shè)，則，代入，得，即，所以，所以是定值.【說明】本題考查了雙曲線中的定值問題、斜率公式的應(yīng)用、求點到直線的距離、根據(jù)雙曲線方程求a、b、c21.（第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）新定義：已知函數(shù)，若的最小正周期為T，則稱是“P級半周期函數(shù)對”（1）試判斷：①：，

②：與是否為級半周期函數(shù)對；（2）若和定義域均為，求證：命題①：和是“0級半周期函數(shù)