立體幾何中有關(guān)異面直線夾角、線面角、二面角的計算問題專題立體幾何中有關(guān)異面直線夾角、線面角、二面角的計算問題專題體系搭建體系搭建（一）異面直線所成的角定義：已知，是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點作直線，我們把直線和所成的銳角（或直角）叫做異面直線，所成的角．(1)異面直線所成的角與點的位置無關(guān)．(2)如果兩條異面直線所成角是直角，則說這兩條異面直線互相垂直，記作．(3)異面直線所成角的范圍是．求異面直線所成角的步驟：（1）恰當選點，由平移構(gòu)造出一個交角；（2）證平行關(guān)系成立；（3）把角放入三角形或其它平面圖形中求出；（4）作結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角才是所求異面直線所成的角．（二）、直線與平面所成的角1．直線與平面所成角的定義一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線.過斜線上斜足外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內(nèi)的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.要點詮釋：(1)直線與平面平行，直線在平面上的射影是一條直線.(2)直線與平面垂直時射影是點.(3)斜線上任一點在平面內(nèi)的射影一定在斜線的射影上.2．直線與平面所成的角的范圍：直線和平面相交直線和平面相交不垂直時，0°＜＜90°垂直時，=90°直線和平面平行或直線在平面內(nèi)，=0°。．直線和平面所成角的范圍是0°≤≤90°．3．求斜線與平面所成角的一般步驟：(1)確定斜線與平面的交點即斜足；(2)經(jīng)過斜線上除斜足外任一點作平面的垂線，確定垂足，進而確定斜線在平面內(nèi)的射影；(3)解由垂線、斜線及其射影構(gòu)成的直角三角形，求出線面角．（三）、二面角1.二面角定義平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面.從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.表示方法：棱為、面分別為的二面角記作二面角.有時為了方便，也可在內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點，將這個二面角記作二面角.如果棱記作，那么這個二面角記作二面角或.2.二面角的平面角(1)二面角的平面角的定義：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則這兩條射線構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.(2)二面角的平面角的范圍：0°≤≤180°．當兩個半平面重合時，=0°；當兩個半平面相交時，0°＜＜180°；當兩個半平面合成一個平面時，=180°．二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.(3)二面角與平面角的對比角二面角圖形定義從半面內(nèi)一點出發(fā)的兩條射線（半直線）所組成的圖形從空間內(nèi)二直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形表示法由射線、點（頂點）、射線構(gòu)成，表示為∠AOB由半平面、線（棱）、半平面構(gòu)成，表示為二面角(4)二面角的平面角的確定方法方法1：（定義法）在二面角的棱上找一特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如右圖，在二面角的棱a上任取一點O，在平面內(nèi)過點O作OA⊥a，在平面內(nèi)過點O作BO⊥a，則∠AOB為二面角的平面角．方法2：（垂面法）過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．如下圖（左），已知二面角，過棱上一點O作一平面，使，且，。∴，，且⊥OA，⊥OB，∴∠AOB為二面角的平面角．方法3：（垂線法）過二面角的一個面內(nèi)一點作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角，此種方法通常用于求二面角的所有題目，具體步驟：一找，二證，三求．如上圖（右），已知二面角A-BC-D，求作其平面角．過點A作AE⊥平面BCD于E，過E在平面BCD中作EF⊥BC于F，連接AF．∵AE⊥平面BCD，BC平面BCD，∴AE⊥BC．又EF⊥BC，AE∩EF=E，∴BC⊥平面AEF，∴BC⊥AF由垂面法可知，∠AFE為二面角A-BC-D的平面角。例題分析例題分析考點1異面直線夾角問題【例1】．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝3，AB＝5，AA1＝4，則異面直線AC1與B1C所成角的余弦值為（）A． B． C． D．解：連接BC1，與B1C交于點O，則O為B1C的中點，取AB的中點D，連接CD、OD，∴OD∥AC1，OD＝AC1，∴∠COD或其補角為異面直線AC1與B1C所成角，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，且AC⊥BC，AC＝3，AB＝5，AA1＝4，∴OD＝AC1＝，OC＝B1C＝，CD＝AB＝，∴由余弦定理知，cos∠COD＝＝＝，∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值為．故選：D．變式訓(xùn)練【變1-1】．在如圖的正方體中，M、N分別為棱BC和棱CC1的中點，則異面直線A1D和MN所成的角為（）A．30° B．45° C．90° D．60°解：連結(jié)BC1、AD1，A1D⊥B1C，∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，∴BC1D1A是平行四邊形．∴平行四邊形BC1D1A中，BC1∥AD1，在△BC1C中MN是中位線得MN∥C1B，∴A1D⊥B1C，∴MN⊥A1D，得異面直線A1D和MN所成的角為90°，故選：C．【變1-2】．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱C1D1，A1D1的中點，則異面直線DE與AF所成角的余弦值是（）A． B． C． D．解：取A1B1的中點M，連接AM，EM，F(xiàn)M，則EM∥A1D1∥AD，EM＝A1D1＝AD，∴四邊形ADEM為平行四邊形，∴DE∥AM，∴∠FAM或其補角為異面直線DE與AF所成角，設(shè)正方體的棱長為2，在△AFM中，AF＝AM＝，F(xiàn)M＝，由余弦定理知，cos∠FAM＝＝＝．故選：A．【變1-3】．如圖，圓錐的軸截面ABC為等邊三角形，D為弧的中點，E為母線BC的中點，則異面直線AC和DE所成角的余弦值為（）A． B． C． D．解：設(shè)底面圓的圓心為O，半徑為R．連接EO，DO．因為O，E分別為BA，BC的中點，所以O(shè)E∥AC，OE＝R．因為D為弧AB中點，所以DO⊥AB，又平面ABC⊥平面ABD，所以DO⊥平面ABC．所以DO⊥OE，又OD＝R，所以△ODE為等腰直角三角形，所以∠ODE＝45°．因為OE∥AC，所以異面直線AC和DE所成角為∠ODE，故余弦值為．故選：C．考點2線面角計算問題【例2】．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．（1）求證：平面AEC⊥平面PDB；（2）當PD＝AB，且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大?。á瘢┳C明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB．（Ⅱ）解：設(shè)AC∩BD＝O，連接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO為AE與平面PDB所的角，∴O，E分別為DB、PB的中點，∴OE∥PD，，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，，∴∠AEO＝45°，即AE與平面PDB所成的角的大小為45°．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分別是A1B、B1C1的中點．（Ⅰ）求證：MN⊥平面A1BC；（Ⅱ）求直線BC1和平面A1BC所成角的大?。C明：（Ⅰ）由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，所以BC⊥平面ACC1A1．連接AC1，則BC⊥AC1．由已知，側(cè)面ACC1A1是矩形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC．因為側(cè)面ABB1A1是正方形，M是A1B的中點，連接AB1，則點M是AB1的中點．又點N是B1C1的中點，則MN是△AB1C1的中位線，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．（Ⅱ）因為AC1⊥平面A1BC，設(shè)AC1與A1C相交于點D，連接BD，則∠C1BD為直線BC1和平面A1BC所成角．設(shè)AC＝BC＝CC1＝a，則C1D＝a，BC1＝a．在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝，所以∠C1BD＝30°，故直線BC1和平面A1BC所成的角為30°．【變2-2】．已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面BB1C1C是邊長為2的菱形，∠B1BC＝60°，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，二面角A﹣B1B﹣C為30°．（1）求證：AC⊥平面BB1C1C；（2）求AB1與平面BB1C1C所成角的正切值．證明：（1）∵平面BB1C1C⊥平面ABC平面BB1C1C∩平面ABC＝BC又∵AC⊥BC，AC?平面ABC∴AC⊥平面BB1C1C（6分）（2）取BB1的中點D，AC⊥平面BB1C1C∴AC⊥BB1∴BB1⊥平面ADC∴AD⊥BB1∴∠CDA為二面角A﹣BB1﹣C的平面角∴∠CDA＝30°∵CD＝∴AC＝1（8分）連接B1C，則∠AB1C為AB1與平面BB1C1C所成的角（10分）在Rt△ACB1中tan∠AB1C＝（12分）【變2-3】．如圖，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D﹣ABC，如圖所示．（1）求證：BC⊥平面ACD；（2）求BD與平面ABC所成角θ的正弦值．解：（1）法一：由于AC＝BC＝2，從而AC2+BC2＝AB2故AC⊥BC，取AC中點O，連接DO，則DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，DO?平面ACD，從而DO⊥平面ABC，∴DO⊥BC，又DO∩AC＝O，∴BC⊥平面ACD法二：由于AC＝BC＝2，從而AC2+BC2＝AB2故AC⊥BC，∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，從而得BC⊥平面ACD（2）作DH⊥AC于H，連接HB，∵平面ADC⊥平面ABC，且DH?平面ACD，∴DH⊥平面ABC，∴∠DBH即為BD與平面ABC所成角θ∴sinθ＝sin∠DBH＝＝＝考點3二面角計算問題【例3】．已知Rt△ABC，斜邊BC?α，點A?α，AO⊥α，O為垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，則二面角A﹣BC﹣O的大小為60°．解：如圖所示，在平面α內(nèi)，過O作OD⊥BC，垂足為D，連結(jié)AD，設(shè)OC＝a，∵AO⊥α，BC?α，∴AO⊥BC．又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD，而AD?平面AOD，∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A﹣BC﹣O的平面角．由AO⊥α，OB?α，OC?α可知AO⊥OB，AO⊥OC，又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，∴設(shè)AO＝a，則AC＝a，AB＝2a，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴BC＝＝，∴AD＝＝＝．在Rt△AOD中，sin∠ADO＝＝＝，∴∠ADO＝60°，二面角A﹣BC﹣O的大小為：60°．故答案為：60°．變式訓(xùn)練【變3-1】．在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD為正方形，且CD+PD＝3．若四棱錐P﹣ABCD的每個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積的最小值為6π；當四棱錐P﹣ABCD的體積取得最大值時，二面角A﹣PC﹣D的正切值為．解：設(shè)CD＝x（0＜x＜3），則PD＝3﹣x，因為AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，所以AB⊥PD，又PD⊥AC，所以PD⊥平面ABCD，則四棱錐P﹣ABCD可補形為一個長方體，球O的球心為PB的中點，從而球心O的表面積為：＝3π[（x﹣1）2+2]≥6π．四棱錐的體積為V＝（0＜x＜3），則V′＝﹣x2+2x，當0＜x＜2時，V′＞0，當2＜x＜3時，V′＜0，所以Vmax＝V（2）此時AD＝CD＝2，PD＝1，過D作DH⊥PC于H，連接AH，則∠AHD為二面角A﹣PC﹣D的平面角．∵DH＝＝，∴tan∠AHD＝＝．故答案為：6π；．【變3-2】．若四棱錐P﹣ABCD的側(cè)面PAB內(nèi)有一動點Q，已知Q到底面ABCD的距離與Q到點P的距離之比為正常數(shù)k，且動點Q的軌跡是拋物線，則當二面角P﹣AB﹣C平面角的大小為30°時，k的值為．解：如圖，設(shè)二面角P﹣AB﹣C平面角為θ，點Q到底面ABCD的距離為|QH|，點Q到定直線AB得距離為d，則|QH|＝dsinθ，即d＝．∵點Q到底面ABCD的距離與到點P的距離之比為正常數(shù)k，∴＝k，則|PQ|＝，∵動點Q的軌跡是拋物線，∴|PQ|＝d，即＝．則sinθ＝k．∴二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值為cosθ＝＝＝cos30°＝．解得：k＝（k＞0）．故答案為：．【變3-3】．如圖，在四面體D﹣ABC中，AD＝BD＝AC＝BC＝5，AB＝DC＝6．若M為線段AB上的動點（不包含端點），則二面角D﹣MC﹣B的余弦值取值范圍是（）．解：取AB的中點O，連接OD，OC，由題意AD＝BD＝AC＝BC＝5，AB＝DC＝6．可知AB⊥平面CDO，圖形關(guān)于平面DCO對稱，M在O時，二面角D﹣MC﹣B的余弦值為0，當M在A時，做DE⊥平面ABC交CO與E，做EF⊥AC，交AC于F，則∠DFE就是二面角D﹣MC﹣B的平面角，cos∠DCA＝，cos∠ACO＝，則cos∠DCE＝，所以CE＝，EF＝＝，DF＝，cos∠DFE＝＝＝，二面角D﹣MC﹣B的余弦值小于，當M移動到B時，二面角最大，余弦值最小，大于﹣，二面角D﹣MC﹣B的余弦值取值范圍是：（）故答案為：（）【變3-4】．如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E是線段AB上的點，且EB＝1，則二面角C﹣DE﹣C1的正切值為．解：過點C作CF⊥DE于F，連結(jié)C1F，因為DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CF，所以C1F⊥DE，所以∠C1FC就是二面角C﹣DE﹣C1的平面角，在△C1FC中，∠C1CF＝90°，CF＝CDsin45．所以tan∠C1FC＝＝．故答案為：．【變3-5】．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，且AD＝CD＝CF＝1．（1）求證：EF⊥平面BCF；（2）求平面FAB與平面FCB夾角的余弦值．解：（1）證明：在梯形中ABCD，∵AB∥CD，AD＝CD＝BC，∴梯形為等腰梯形，∵∠BCD＝120°，∴∠DAB＝∠ABC＝60°，∠ADC＝120°，∴∠DAC＝∠ACD＝30°，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，∵EF∥AC，∴EF⊥BC，∵EF⊥CF，CF∩BC＝C，∴EF⊥平面BCF；（2）取BF中點G，連接CG、AG，如圖，∵BC＝FC，∴CG⊥BF，∵BC＝FC，∠ACF＝∠ACB＝90°，∴Rt△ACF≌Rt△ACB，∴AF＝AB，∴AG⊥BF，∴∠AGC為平面FAB與平面FCB夾角或其補角，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝，∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，F(xiàn)C⊥AC，F(xiàn)C?平面ACFE，∴FC⊥平面ABCD，∵BC?平面ABCD，∴FC⊥BC，∴在Rt△BCF中，BF＝，CG＝，∴在Rt△BCF中，AG＝＝＝，∴在△ACG中，根據(jù)余弦定理得cos∠AGC＝＝＝＝，∴平面FAB與平面FCB夾角的余弦值為．【變3-6】．如圖，圓柱OQ的上，下底面圓的圓心分別為Q，O，四邊形ABCD是圓柱QQ的軸截面，點P在圓柱OQ的下底面圓周上，G是DP的中點，圓柱OQ的底面圓的直徑AB＝4，母線AD＝AP＝2．（1）求證：AG⊥BD；（2）求銳二面角P﹣AG﹣B的平面角的余弦值．（1）證明：∵AD⊥平面APB，PB?平面APB，∴AD⊥PB，∵AB是圓O的直徑，∴AP⊥PB，又AD∩AP＝A，∴PB⊥平面PAD，∴PB⊥AG，∵AD＝AP，G是PD的中點，∴AG⊥PD，又PD∩PB＝P，∴AG⊥平面PBD，又BD?平面PBD，∴AG⊥BD．（2）解：由（1）可知AG⊥平面PBD，∴AG⊥PD，AG⊥BG，∴∠PGB為二面角P﹣AG﹣B的平面角，由PB⊥平面PAD可得PB⊥PD，在直角三角形PBG中，PB＝＝＝2，PG＝PD＝＝＝，∴BG＝＝＝，∴cos∠PGB＝＝＝．所以平面PAG與平面BAG的夾角的余弦值為．實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M為側(cè)面ABB1A1的中心，N為側(cè)面ACC1A1的中心，P為BC的中點，則直線MN與直線AP所成的角為（）A．0° B．45° C．60° D．90°解：如圖，∵M為側(cè)面ABB1A1的中心，N為側(cè)面ACC1A1的中心，∴MN∥BC，P為BC的中點，連接AP，則AP⊥BC．∴AP⊥MN，即直線MN與直線AP所成的角為90°．故選：D．2．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面ABCD為邊長為2的正方形，E為BC的中點，則異面直線BD與PE所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．解：取CD的中點F，連接EF，PF，∵E為BC的中點，∴EF∥BD，則∠PEF為異面直線BD與PE的所成角（或補角）．∵PA⊥底面ABCD，AE?底面ABCD，∴PA⊥AE，∵底面ABCD為邊長為2的正方形，E為BC的中點，∴AE＝，在Rt△PAE中，PA＝2，則PE＝3，同理可得PF＝3，又EF＝BD＝，∴cos∠PEF＝＝＝．故選：A．3．三棱錐P﹣ABC的六條棱長都相等，M是棱AB上一點，若直線PM與直線BC所成角的余弦值為，則＝（）A． B． C． D．解：設(shè)三棱錐P﹣ABC的六條棱長均為a，AM＝λAB，λ∈（0，1）．過點M作MN∥BC，交AC于點N，連接PN，則∠PMN即為直線PM與直線BC所成角．在△APM中，由余弦定理知，cos∠PAM＝，即cos60°＝，∴PM2＝（λ2﹣λ+1）a2＝PN2．在△PMN中，MN＝λBC＝λa，由余弦定理知，cos∠PMN＝，即＝，化簡得3λ2+λ﹣1＝0，解得λ＝（舍負）．∴＝＝．故選：D．4．如圖1，圓形紙片的圓心為O，半徑為6cm，該紙片上的正方形ABCD的中心為O．點E，F(xiàn)，G，H為圓O上的點，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分別是以AB，BC，CD，DA為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DA為折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F(xiàn)，G，H重合得到一個四棱錐P﹣ABCD（如圖2）．當四棱錐P﹣ABCD的側(cè)面積是底面積的2倍時，異面直線PB與CD所成角的余弦值為（）A． B． C． D．解：如圖，連接OE交AB于點I，設(shè)正方形ABCD的邊長為x．則OI＝，IE＝6﹣，由四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，可得4××（6﹣）＝2x2，解得x＝4．即AB＝4，BI＝2，EI＝4，所以BE＝AE＝2，所以在四棱錐P﹣ABCD中，PB＝PA＝2，因為AB∥CD，所以∠PBA即為異面直線PB與CD所成的角，所以cos∠PBA＝＝＝，即異面直線PB與CD所成角的余弦值為．故選：A．5．如圖，銳二面角α﹣l﹣β的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB．已知AB＝4，AC＝BD＝6，，則銳二面角α﹣l﹣β的平面角的余弦值是．解：過點B作BE∥AC，且BE＝AC，連接DE，CE，∵AC⊥AB，∴BE⊥AB，∵BD⊥AB，BD∩BE＝B，∴∠DBE為二面角α﹣l﹣β的平面角，且AB⊥平面DBE，∴AB⊥DE，則CE⊥DE，∵AB＝4，CD＝2，∴DE＝＝2，∴cos∠EBD＝＝．銳二面角α﹣l﹣β的平面角的余弦值是．故答案為：．6．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則二面角A﹣BC﹣D的余弦值是．解：取BC的中點E，OF⊥BC，可得∠AEO為二面角A﹣BC﹣D的平面角，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，∴A0＝，OE＝CD＝則AE＝＝，則cos∠AEO＝＝＝，故答案為：．7．已知二面角α﹣l﹣β的大小為120°，在半平面α內(nèi)，PA⊥l于A，在半平面β內(nèi)，QB⊥l于B，PA＝AB＝QB＝1，則直線PQ與AB所成角的大小為60°．解：過點P作PM∥AB，且PM＝AB＝1，連接BM，則四邊形ABMP為平行四邊形，所以BM∥AP，又AB⊥AP，所以BM⊥AB，因為BQ⊥AB，所以∠QBM為二面角α﹣l﹣β的平面角，即∠QBM＝120°，因為BM∩BQ＝B，BM、BQ?平面BMQ，所以AB⊥平面BMQ，所以AB⊥QM，因為AB∥PM，所以PM⊥QM，且∠QPM或其補角即為直線PQ與AB所成角，又QB＝BM＝1，所以QM＝，所以tan∠QPM＝＝＝，即∠QPM＝60°，所以直線PQ與AB所成角的大小為60°．故答案為：60°．8．如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2，則二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值為﹣．解：取BD的中點O，連接A1O，C1O，A1C1，∵長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2，∴A1D＝A1B＝C1D＝C1B＝＝2，BD＝A1C1＝＝4，∴A1O＝C1O＝＝2，由勾股定理可得A1O⊥BD，C1O⊥BD，∴∠A1OC1是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，∴cos∠A1OC1＝＝﹣，∴二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值為﹣．故答案為：﹣．9．已知三棱錐A﹣BCD的所有棱長都相等，若AB與平面α所成的角為，則平面ACD與平面α所成角的正弦值的取值范圍是[，]．解：∵三棱錐A﹣BCD的所有棱長都相等，∴三棱錐A﹣BCD為正四面體，如圖：設(shè)正四面體的棱長為2，取CD中點P，連接AP，BP，則∠BAP為AB與平面ADC所成角．AP＝BP＝，可得sin∠BAP＝，cos∠BAP＝．設(shè)∠BAP＝θ．當CD與α平行且AB在面ACD外時，平面ACD與平面α所成角的正弦值最小，為sin（﹣θ）＝sincosθ﹣cossinθ＝×﹣×＝；當CD與α平行且AB在面ACD內(nèi)時，平面ACD與平面α所成角的正弦值最大，為sin（+θ）＝sincosθ+cossinθ＝×+×＝；∴平面ACD與平面α所成角的正弦值的取值范圍是[，]．故答案為：[，]．10．棱長均相等的四面體A﹣BCD中，P為BC中點，Q為直線BD上一點，則平面APQ與平面ACD所成二面角的正弦值的取值范圍是．解：由題意把正四面體A﹣BCD放到正方體BK內(nèi)，則平面ACD與平面APQ所成角的正弦值等于平面ACD的法向量BK與平面APQ所成角的余弦值，問題等價于平面APQ繞AP轉(zhuǎn)動，當平面ACD與平面APQ所成角等于BK與AP夾角時，平面APQ與平面ACD所成二面角的正弦值取最小值，此時該正弦值為：；當平面APQ與BK平行時，所成角為0°，此時正弦值為1．∴平面APQ與平面ACD所成二面角的正弦值的取值范圍為[，1]．故答案為：[，1]．11．邊長為2的正方形ABCD的頂點均在表面積為28π的球O的球面上，O1為正方形ABCD的中心，△O1AB繞AB旋轉(zhuǎn)，其頂點O1接觸到球面時設(shè)為E，則二面角E﹣AB﹣D的大小為120°或60°．解：如圖，取AB中點H，連接O1H，EH，OH，則∠O1HE即為二面角E﹣AB﹣D的平面角．由已知得，，，OO1＝1，，OH＝2，∴∠O1HO＝30°．∵，，∴OH⊥EH，∠O1HE＝120°，同理當E在下方時∠O1HE＝60°．故答案為：120°或60°．12．如圖，已知二面角α﹣l﹣β的棱l上有A，B兩點，C∈α，AC⊥l，D∈β，BD⊥l，若AC＝AB＝BD＝2，，有以下結(jié)論：（1）直線AB與CD所成角的大小為45°；（2）二面角α﹣l﹣β的大小為60°；（3）三棱錐A﹣BCD的體積為；（4）直線CD與平面β所成角的正弦值為．則正確結(jié)論的序號為（1）（2）（4）．解：如圖，過B作BE∥AC，且BE＝AC，再過A作AF∥BD，且AF＝BD，連接CE，DE，CF，DF，∵l上有A，B兩點，C∈α，AC⊥l，D∈β，BD⊥l，∴易得三棱柱AFC﹣BDE為直三棱柱，又CE＝AB＝2，CD＝，CE⊥ED，∴ED＝2，△CED為等腰直角三角形，又BE＝AC＝2，BD＝2，∴△BDE為等邊三角形，∴三棱柱AFC﹣BDE為棱長都為2的正三棱柱，對（1），∵AB∥CE，∴直線AB與CD所成角即為∠DCE＝45°，∴（1）正確；對（2），∵二面角α﹣l﹣β即為二面角E﹣AB﹣D，又AB⊥平面DBE，∴∠DBE即為二面角E﹣AB﹣D的平面角，又∠DBE＝60°，∴（2）正確；對（3），∵VA﹣BCD＝VD﹣ABC＝VD﹣BCE＝VC﹣BDE＝＝，∴（3）錯誤；對（4），過C作CH⊥AF，垂足點為H，連接HD，又平面AFC⊥平面AFD，且平面AFC∩平面AFD＝AF，CH?平面AFC，∴CH⊥平面AFD，又平面AFD即為β平面，∴CD與平面β所成角為∠CDH，又CH為邊長為2的等邊三角形AFC的高線，∴CH＝，又CD＝，∴sin∠CDH＝，∴（4）正確．故答案為：（1）（2）（4）．13．如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB＝1，D1D＝．（1）求直線D1B與平面ABCD所成角的大?。唬?）求證：AC⊥平面BB1D1D．（1）解：∵D1D⊥平面ABCD，BD是D1B在底面ABCD上的射影，∴∠D1BD是直線D1B與平面ABCD所成的角，在直角三角形D1BD中，BD＝，D1D＝，則tan∠D1BD＝＝1，∴∠D1BD＝45°，即直線D1B與平面ABCD所成角的大小為45°；（2）證明：∵ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∵D1D⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC，又BD∩D1D＝D，∴AC⊥平面BB1D1D．14．如圖，在三棱錐D﹣ABC中，平面ADC⊥平面ABC，△ADC和△ABC都是等腰直角三角形，AD＝DC，AC＝BC．（Ⅰ）證明：AD⊥平面BCD；（Ⅱ）若棱AC的中點為M，求二面角B﹣DM﹣C的余弦值．（Ⅰ）證明：由已知可得，AD⊥DC，AC⊥BC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，∴BC⊥平面ADC，而AD?平面ADC，∴BC⊥AD，又DC∩BC＝C，∴AD⊥平面BCD；（Ⅱ）解：∵AD＝DC，M為棱AC的中點，∴DM⊥AC，∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，∴DM⊥平面ABC，而BM?平面ABC，∴DM⊥BM，可得∠BMC為二面角B﹣DM﹣C的平面角．在Rt△ACB中，AC⊥BC，MC＝，設(shè)MC＝m，則BC＝2m，可得BM＝，∴cos∠BMC＝，即二面角B﹣DM﹣C的余弦值為．15．如圖，PA⊥平面ABC，AB⊥BC．AD垂直于PB于D，AE垂直于PC于E．，AB＝BC＝1．（1）求證：PC⊥平面ADE；（2）求AB與平面ADE所成的角；解：（1）證明：因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，（2分）又AB⊥BC，PA∩AB＝A所以BC⊥平面PAB，又AD?平面PAB，則BC⊥AD，（4分）又AD⊥PB，PB∩BC＝B，所以AD