八年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)及答案一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下列二次根式中，最簡二次根式是（）A.$\sqrt{8}$B.$\sqrt{\frac{1}{2}}$C.$\sqrt{12}$D.$\sqrt{15}$2.若式子$\sqrt{x1}$在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則$x$的取值范圍是（）A.$x\geq1$B.$x\gt1$C.$x\lt1$D.$x\leq1$3.下列計(jì)算正確的是（）A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$B.$2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$C.$\sqrt{(2)^2}=2$D.$\sqrt{8}\sqrt{2}=\sqrt{2}$4.直角三角形的兩條直角邊長分別為6和8，則斜邊長是（）A.10B.12C.14D.165.以下列各組數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）A.2，3，4B.3，4，6C.5，12，13D.6，7，86.平行四邊形的對(duì)角線一定具有的性質(zhì)是（）A.相等B.互相平分C.互相垂直D.互相垂直且相等7.菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A.對(duì)角線互相平分B.鄰角互補(bǔ)C.每條對(duì)角線平分一組對(duì)角D.對(duì)角相等8.如圖，在矩形$ABCD$中，對(duì)角線$AC$，$BD$相交于點(diǎn)$O$，$\angleAOB=60^{\circ}$，$AC=6$，則$AB$的長是（）A.3B.6C.$3\sqrt{3}$D.$6\sqrt{3}$9.已知四邊形$ABCD$是平行四邊形，對(duì)角線$AC$與$BD$相交于點(diǎn)$O$，下列結(jié)論中不正確的是（）A.當(dāng)$AB=BC$時(shí)，四邊形$ABCD$是菱形B.當(dāng)$AC\perpBD$時(shí)，四邊形$ABCD$是菱形C.當(dāng)$OA=OB$時(shí)，四邊形$ABCD$是矩形D.當(dāng)$\angleABD=\angleCBD$時(shí)，四邊形$ABCD$是矩形10.如圖，在正方形$ABCD$中，$E$是$BC$邊上的一點(diǎn)，$BE=4$，$EC=8$，將正方形邊$AB$沿$AE$折疊到$AF$，延長$EF$交$DC$于$G$，連接$AG$，現(xiàn)在有如下4個(gè)結(jié)論：①$\triangleABG\cong\triangleAFG$；②$GC=6$；③$\angleEAG=45^{\circ}$；④$S_{\triangleEFC}=14$。其中正確的結(jié)論有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)二、填空題（每小題3分，共18分）11.計(jì)算：$\sqrt{18}\sqrt{8}=$______。12.若$\sqrt{(x3)^2}=3x$，則$x$的取值范圍是______。13.已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為6和8，則斜邊上的高為______。14.菱形的兩條對(duì)角線長分別為6和8，則這個(gè)菱形的周長為______。15.如圖，在矩形$ABCD$中，$AB=3$，$BC=4$，點(diǎn)$E$是$BC$邊上一點(diǎn)，連接$AE$，把$\angleB$沿$AE$折疊，使點(diǎn)$B$落在點(diǎn)$B'$處，當(dāng)$\triangleCEB'$為直角三角形時(shí)，$BE$的長為______。16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形$OABC$是正方形，點(diǎn)$A$的坐標(biāo)是$(4,0)$，點(diǎn)$P$為邊$AB$上一點(diǎn)，$\angleCPB=60^{\circ}$，沿$CP$折疊正方形，折疊后，點(diǎn)$B$落在平面內(nèi)點(diǎn)$B'$處，則$B'$點(diǎn)的坐標(biāo)為______。三、解答題（共72分）17.（8分）計(jì)算：(1)$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}1)\sqrt{16}$；(2)$\sqrt{24}\div\sqrt{3}\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{12}+\sqrt{48}$。18.（8分）已知$x=\sqrt{3}+1$，$y=\sqrt{3}1$，求下列各式的值：(1)$x^2+2xy+y^2$；(2)$x^2y^2$。19.（8分）如圖，在四邊形$ABCD$中，$AB=3$，$BC=4$，$CD=12$，$AD=13$，$\angleB=90^{\circ}$，求四邊形$ABCD$的面積。20.（8分）如圖，在$\triangleABC$中，$D$是$BC$邊的中點(diǎn)，$E$，$F$分別在$AD$及其延長線上，$CE\parallelBF$，連接$BE$，$CF$。(1)求證：$\triangleBDF\cong\triangleCDE$；(2)若$AB=AC$，求證：四邊形$BFCE$是菱形。21.（10分）如圖，在矩形$ABCD$中，$AB=6$，$BC=8$，$E$是$BC$邊上一點(diǎn)，將$\triangleABE$沿$AE$折疊，使點(diǎn)$B$落在點(diǎn)$B'$處。(1)當(dāng)點(diǎn)$B'$落在對(duì)角線$AC$上時(shí)，求$BE$的長；(2)當(dāng)$\triangleCEB'$為直角三角形時(shí)，求$BE$的長。22.（10分）如圖，在正方形$ABCD$中，點(diǎn)$E$，$F$分別在邊$BC$，$CD$上，且$AE=EF=FA$。(1)求證：$\triangleABE\cong\triangleADF$；(2)求$\angleAEB$的度數(shù)。23.（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形$OABC$是平行四邊形，$A(4,0)$，$C(1,3)$，點(diǎn)$D$是$OA$的中點(diǎn)，點(diǎn)$P$在線段$BC$上由點(diǎn)$B$向點(diǎn)$C$運(yùn)動(dòng)。(1)求點(diǎn)$B$的坐標(biāo)；(2)當(dāng)四邊形$PODC$是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)$P$的坐標(biāo)。24.（10分）如圖，在$\triangleABC$中，$\angleBAC=90^{\circ}$，$AB=AC$，$D$為$BC$中點(diǎn)，$E$，$F$分別是$AB$，$AC$上的點(diǎn)，且$DE\perpDF$。(1)求證：$BE^2+CF^2=EF^2$；(2)若$BE=6$，$CF=8$，求$\triangleDEF$的面積。答案一、選擇題1.D解析：最簡二次根式需滿足被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，且被開方數(shù)不含分母。$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，只有$\sqrt{15}$是最簡二次根式。2.A解析：二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，所以$x1\geq0$，即$x\geq1$。3.D解析：$\sqrt{2}$與$\sqrt{3}$不是同類二次根式，不能合并，A錯(cuò)誤；$2$與$\sqrt{2}$不是同類二次根式，不能合并，B錯(cuò)誤；$\sqrt{(2)^2}=\sqrt{4}=2$，C錯(cuò)誤；$\sqrt{8}\sqrt{2}=2\sqrt{2}\sqrt{2}=\sqrt{2}$，D正確。4.A解析：根據(jù)勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$a$、$b$為直角邊，$c$為斜邊），可得斜邊長為$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$。5.C解析：根據(jù)勾股定理的逆定理，若$a^2+b^2=c^2$，則以$a$、$b$、$c$為邊的三角形是直角三角形。$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，所以能構(gòu)成直角三角形。6.B解析：平行四邊形的對(duì)角線互相平分，矩形的對(duì)角線相等，菱形的對(duì)角線互相垂直，正方形的對(duì)角線互相垂直且相等，所以平行四邊形對(duì)角線一定具有的性質(zhì)是互相平分。7.C解析：菱形是特殊的平行四邊形，平行四邊形的性質(zhì)菱形都有，而菱形的每條對(duì)角線平分一組對(duì)角，這是平行四邊形不具有的性質(zhì)。8.A解析：因?yàn)樗倪呅?ABCD$是矩形，所以$OA=OB$。又因?yàn)?\angleAOB=60^{\circ}$，所以$\triangleAOB$是等邊三角形，所以$AB=OA=\frac{1}{2}AC=3$。9.D解析：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，A正確；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，B正確；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，因?yàn)?OA=OB$，所以$AC=BD$，四邊形$ABCD$是矩形，C正確；當(dāng)$\angleABD=\angleCBD$時(shí)，只能說明$BD$平分$\angleABC$，不能得出四邊形$ABCD$是矩形，D錯(cuò)誤。10.C解析：①因?yàn)樗倪呅?ABCD$是正方形，所以$AB=AD$，$\angleB=\angleD=90^{\circ}$。由折疊可知$AB=AF$，$\angleB=\angleAFE=90^{\circ}$，所以$AF=AD$，$\angleAFG=\angleD=90^{\circ}$。又因?yàn)?AG=AG$，所以$\triangleABG\cong\triangleAFG$（HL），①正確。②設(shè)$GC=x$，則$DG=12x$，$FG=DG=12x$，$EF=BE=4$，$EC=8$。在$Rt\triangleEGC$中，根據(jù)勾股定理可得$EG^2=EC^2+GC^2$，即$(4+12x)^2=8^2+x^2$，解得$x=6$，所以$GC=6$，②正確。③因?yàn)?\triangleABG\cong\triangleAFG$，$\triangleABE\cong\triangleAFE$，所以$\angleBAG=\angleFAG$，$\angleBAE=\angleFAE$，所以$\angleEAG=\frac{1}{2}\angleBAD=45^{\circ}$，③正確。④$S_{\triangleEFC}=\frac{1}{2}\timesEC\timesGC=\frac{1}{2}\times8\times6=24\neq14$，④錯(cuò)誤。二、填空題11.$\sqrt{2}$解析：$\sqrt{18}\sqrt{8}=3\sqrt{2}2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。12.$x\leq3$解析：因?yàn)?\sqrt{(x3)^2}=\vertx3\vert$，又$\sqrt{(x3)^2}=3x=(x3)$，所以$\vertx3\vert=(x3)$，則$x3\leq0$，即$x\leq3$。13.$4.8$解析：先根據(jù)勾股定理求出斜邊為$\sqrt{6^2+8^2}=10$。設(shè)斜邊上的高為$h$，根據(jù)三角形面積公式可得$\frac{1}{2}\times6\times8=\frac{1}{2}\times10\timesh$，解得$h=4.8$。14.20解析：菱形的對(duì)角線互相垂直平分，所以兩條對(duì)角線的一半分別為3和4。根據(jù)勾股定理可得菱形的邊長為$\sqrt{3^2+4^2}=5$，則周長為$4\times5=20$。15.$\frac{3}{2}$或3解析：當(dāng)$\angleB'EC=90^{\circ}$時(shí)，由折疊可知$\angleAEB=\angleAEB'=45^{\circ}$，所以$\triangleABE$是等腰直角三角形，$BE=AB=3$。當(dāng)$\angleEB'C=90^{\circ}$時(shí)，設(shè)$BE=x$，則$B'E=x$，$EC=4x$，$AB'=AB=3$，$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，所以$B'C=53=2$。在$Rt\triangleEB'C$中，根據(jù)勾股定理可得$x^2+2^2=(4x)^2$，解得$x=\frac{3}{2}$。16.$(2,42\sqrt{3})$解析：因?yàn)樗倪呅?OABC$是正方形，$A(4,0)$，所以$B(4,4)$，$C(0,4)$。在$Rt\trianglePBC$中，$\angleCPB=60^{\circ}$，$BC=4$，則$PB=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，$PC=\frac{8\sqrt{3}}{3}$。過點(diǎn)$B'$作$B'D\perpy$軸于點(diǎn)$D$。因?yàn)?\angleBCP=30^{\circ}$，所以$\angleB'CD=30^{\circ}$，則$B'D=\frac{1}{2}B'C=\frac{1}{2}BC=2$，$CD=2\sqrt{3}$，所以$OD=42\sqrt{3}$，所以$B'$點(diǎn)的坐標(biāo)為$(2,42\sqrt{3})$。三、解答題17.(1)解：\[\begin{align}&(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}1)\sqrt{16}\\=&(\sqrt{3})^21^24\\=&314\\=&2\end{align}\](2)解：\[\begin{align}&\sqrt{24}\div\sqrt{3}\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{12}+\sqrt{48}\\=&\sqrt{24\div3}\sqrt{\frac{1}{2}\times12}+4\sqrt{3}\\=&\sqrt{8}\sqrt{6}+4\sqrt{3}\\=&2\sqrt{2}\sqrt{6}+4\sqrt{3}\end{align}\]18.(1)解：因?yàn)?x=\sqrt{3}+1$，$y=\sqrt{3}1$，所以$x+y=(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}1)=2\sqrt{3}$。則$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2=(2\sqrt{3})^2=12$。(2)解：因?yàn)?x=\sqrt{3}+1$，$y=\sqrt{3}1$，所以$x+y=2\sqrt{3}$，$xy=(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}1)=2$。則$x^2y^2=(x+y)(xy)=2\sqrt{3}\times2=4\sqrt{3}$。19.解：連接$AC$。因?yàn)?\angleB=90^{\circ}$，$AB=3$，$BC=4$，根據(jù)勾股定理可得$AC^2=AB^2+BC^2=3^2+4^2=25$，所以$AC=5$。在$\triangleACD$中，$AC=5$，$CD=12$，$AD=13$，因?yàn)?AC^2+CD^2=5^2+12^2=169=13^2=AD^2$，所以$\triangleACD$是直角三角形，且$\angleACD=90^{\circ}$。所以四邊形$ABCD$的面積為$S_{\triangleABC}+S_{\triangleACD}=\frac{1}{2}\timesAB\timesBC+\frac{1}{2}\timesAC\timesCD=\frac{1}{2}\times3\times4+\frac{1}{2}\times5\times12=6+30=36$。20.(1)證明：因?yàn)?CE\parallelBF$，所以$\angleFBD=\angleECD$。因?yàn)?D$是$BC$邊的中點(diǎn)，所以$BD=CD$。又因?yàn)?\angleBDF=\angleCDE$，所以$\triangleBDF\cong\triangleCDE$（ASA）。(2)證明：因?yàn)?\triangleBDF\cong\triangleCDE$，所以$BF=CE$。又因?yàn)?CE\parallelBF$，所以四邊形$BFCE$是平行四邊形。因?yàn)?AB=AC$，$D$是$BC$邊的中點(diǎn)，所以$AD\perpBC$，即$EF\perpBC$。所以平行四邊形$BFCE$是菱形。21.(1)解：在矩形$ABCD$中，$AB=6$，$BC=8$，根據(jù)勾股定理可得$AC=\sqrt{6^2+8^2}=10$。因?yàn)閷?\triangleABE$沿$AE$折疊，點(diǎn)$B$落在點(diǎn)$B'$處，所以$AB'=AB=6$，$BE=B'E$，$\angleAB'E=\angleB=90^{\circ}$。所以$B'C=ACAB'=106=4$。設(shè)$BE=x$，則$B'E=x$，$EC=8x$。在$Rt\triangleEB'C$中，根據(jù)勾股定理可得$x^2+4^2=(8x)^2$，\[\begin{align}x^2+16&=6416x+x^2\\16x&=48\\x&=3\end{align}\]所以$BE$的長為3。(2)解：當(dāng)$\triangleCEB'$為直角三角形時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)$\angleB'EC=90^{\circ}$時(shí)，由折疊可知$\angleAEB=\angleAEB'=45^{\circ}$，所以$\triangleABE$是等腰直角三角形，$BE=AB=6$。②當(dāng)$\angleEB'C=90^{\circ}$時(shí)，因?yàn)?\angleAB'E=90^{\circ}$，所以點(diǎn)$A$，$B'$，$C$共線，同(1)可得$BE=3$。綜上，$BE$的長為3或6。22.(1)證明：因?yàn)樗倪呅?ABCD$是正方形，所以$AB=AD$，$\angleB=\angleD=90^{\circ}$。又因?yàn)?AE=EF=FA$，所以$\triangleAEF$是等邊三角形，所以$\angleEAF=60^{\circ}$，$AE=AF$。在$Rt\triangleABE$和$Rt\triangleADF$中，$\begin{cases}AB=AD\\AE=AF\end{cases}$，所以$\triangleABE\cong\triangleADF$（HL）。(2)解：設(shè)$\angleBAE=x$，因?yàn)?\triangleABE\cong\triangleADF$，所以$\angleDAF=x$。因?yàn)?\angleEAF=60^{\circ}$，$\angleBAD=90^{\circ}$，所以$2x+60^{\circ}=90^{\circ}$，解得$x=15^{\circ}$。在$Rt\triangleABE$中，$\angleAEB=90^{\circ}\angleBAE=90^{\circ}15^{\circ}=75^{\circ}$。23.(1)解：因?yàn)樗倪呅?OABC$是平行四邊形，$A(4,0)$，$C(1,3)$，所以$BC\parallelOA$，$BC=OA=4$。因?yàn)辄c(diǎn)$C$的縱坐標(biāo)為3，所以點(diǎn)$B$的縱坐標(biāo)也為3。又因?yàn)辄c(diǎn)$C$的橫坐標(biāo)為1，所以點(diǎn)$B$的橫坐標(biāo)為$1+4=5$，所以點(diǎn)$B$的坐標(biāo)為$(5,3)$。(2)解：因?yàn)辄c(diǎn)$D$是$OA$的中點(diǎn)，$A(4,0)$，所以$D(2,0)$。因?yàn)樗倪呅?PODC$是平行四邊形，所以$PC\paral