2025年北京航空航天大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)試題解析大全考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共6小題，每小題6分，共36分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.已知集合$A=\{x\midx^2-3x+2\leq0\}$，$B=\{x\midx-a>0\}$，若$A\capB=\emptyset$，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）。A.$a\leq1$B.$1<a\leq2$C.$a\geq2$D.$a>2$2.函數(shù)$f(x)=\frac{\lnx}{x}$的單調(diào)遞減區(qū)間是（）。A.$(0,1)$B.$(1,+\infty)$C.$(0,e)$D.$(e,+\infty)$3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$S_5=25$，$S_10=70$，則$a_1+a_{10}$等于（）。A.15B.20C.25D.304.已知函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$，則$f(x)$的最小正周期是（）。A.$\pi$B.$2\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$4\pi$5.在$\triangleABC$中，角$A$、$B$、$C$的對(duì)邊分別為$a$、$b$、$c$，若$\cosA=\frac{1}{2}$，則$\frac{a^2+b^2-c^2}{4ab}$的值等于（）。A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{3}{4}$D.16.已知函數(shù)$f(x)=x^3-ax^2+bx$，且$f(1)=0$，$f'(1)=2$，則$a-2b$的值等于（）。A.-1B.0C.1D.2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。）7.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{x-1}$，則$f(x)$的定義域是________。8.若復(fù)數(shù)$z=1+i$，則$z^2$的實(shí)部等于________。9.在等比數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_2=6$，$a_4=54$，則$a_3$等于________。10.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$，則$f(x)$在區(qū)間$[-1,3]$上的最大值等于________。三、解答題（本大題共6小題，共64分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）11.(本小題滿分10分)已知函數(shù)$f(x)=x^3-ax^2+bx$，其中$a$、$b$為常數(shù)。(1)若$f(x)$在$x=1$處取得極值，求$a$、$b$的值；(2)在(1)的條件下，討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性。12.(本小題滿分12分)已知$\triangleABC$中，角$A$、$B$、$C$的對(duì)邊分別為$a$、$b$、$c$，且$\cosA=\frac{1}{2}$，$a=3$，$b=\sqrt{7}$。(1)求邊$c$的長(zhǎng)；(2)求$\sinB$的值。13.(本小題滿分12分)已知數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$S_n=n^2+an$。(1)求數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)$b_n=\frac{a_n}{2^n}$，求數(shù)列$\{b_n\}$的前$n$項(xiàng)和$T_n$。14.(本小題滿分12分)已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax^2$，其中$a$為常數(shù)。(1)求函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$；(2)討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性；(3)若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(0,1)$上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。15.(本小題滿分12分)在直角坐標(biāo)系$xOy$中，點(diǎn)$A$的坐標(biāo)為$(1,0)$，點(diǎn)$B$在曲線$y=\lnx$上運(yùn)動(dòng)。(1)求線段$AB$中點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)曲線$y=\lnx$在點(diǎn)$B$處的切線與$x$軸交于點(diǎn)$C$，求$\triangleABC$面積的最小值。16.(本小題滿分12分)已知函數(shù)$f(x)=\sinx-\cosx$。(1)求函數(shù)$f(x)$的最小正周期；(2)求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-\pi,\pi]$上的最大值和最小值；(3)若方程$f(x)=a$在區(qū)間$[-\pi,\pi]$上有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。試卷答案一、選擇題1.C2.D3.B4.A5.B6.C二、填空題7.$[1,+\infty)$8.09.1810.3三、解答題11.解：(1)$f'(x)=3x^2-2ax+b$。因?yàn)?f(x)$在$x=1$處取得極值，所以$f'(1)=0$，即$3-2a+b=0$。解得$b=2a-3$。故$a=2$，$b=1$。(2)由(1)得$f(x)=x^3-2x^2+x$，$f'(x)=3x^2-4x+1=(3x-1)(x-1)$。令$f'(x)=0$，得$x=\frac{1}{3}$，$x=1$。當(dāng)$x\in(-\infty,\frac{1}{3})$時(shí)，$f'(x)>0$，函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,\frac{1}{3})$上單調(diào)遞增；當(dāng)$x\in(\frac{1}{3},1)$時(shí)，$f'(x)<0$，函數(shù)$f(x)$在$(\frac{1}{3},1)$上單調(diào)遞減；當(dāng)$x\in(1,+\infty)$時(shí)，$f'(x)>0$，函數(shù)$f(x)$在$(1,+\infty)$上單調(diào)遞增。故函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,\frac{1}{3})$和$(1,+\infty)$上單調(diào)遞增，在$(\frac{1}{3},1)$上單調(diào)遞減。12.解：(1)由余弦定理，得$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$。代入已知條件，得$9=7+c^2-2\cdot\sqrt{7}\cdotc\cdot\frac{1}{2}$。整理得$c^2-7c-2=0$。解得$c=\frac{7+\sqrt{57}}{2}$（舍去負(fù)值）。(2)由正弦定理，得$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}$。代入已知條件，得$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{7}}{\sinB}$。解得$\sinB=\frac{\sqrt{21}}{6}$。13.解：(1)當(dāng)$n=1$時(shí)，$a_1=S_1=1+a$。當(dāng)$n\geq2$時(shí)，$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+an-[(n-1)^2+a(n-1)]=2n+a-1$。故數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=2n+a-1$。又因?yàn)?a_1=1+a$，所以$a_1=3+a-1$，解得$a=-1$。故$a_n=2n-2$。(2)$b_n=\frac{a_n}{2^n}=\frac{2n-2}{2^n}=\frac{n-1}{2^{n-1}}$。$T_n=b_1+b_2+\cdots+b_n=0+\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\cdots+\frac{n-1}{2^{n-1}}$。$\frac{1}{2}T_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{n-2}{2^{n-1}}+\frac{n-1}{2^n}$。兩式相減，得$\frac{1}{2}T_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{n-1}{2^n}=\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^{n-1}})}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n-1}{2^n}=1-\frac{n+1}{2^n}$。故$T_n=2-\frac{n+1}{2^{n-1}}$。14.解：(1)$f'(x)=e^x-2ax$。(2)令$f'(x)=0$，得$e^x=2ax$。若$a\leq0$，則當(dāng)$x>0$時(shí)，$f'(x)>0$，函數(shù)$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增；當(dāng)$x<0$時(shí)，$f'(x)<0$，函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,0)$上單調(diào)遞減。若$a>0$，則令$g(x)=e^x-2ax$，則$g'(x)=e^x-2a$。若$a\leq\frac{e}{2}$，則當(dāng)$x>0$時(shí)，$g'(x)\geq0$，函數(shù)$g(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，且$g(0)=1>0$，故$f'(x)>0$恒成立，函數(shù)$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增；當(dāng)$x<0$時(shí)，$f'(x)<0$，函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,0)$上單調(diào)遞減。若$a>\frac{e}{2}$，則$g'(x)=0$的解為$x=\ln2a$。當(dāng)$x\in(0,\ln2a)$時(shí)，$g'(x)<0$，函數(shù)$g(x)$在$(0,\ln2a)$上單調(diào)遞減；當(dāng)$x\in(\ln2a,+\infty)$時(shí)，$g'(x)>0$，函數(shù)$g(x)$在$(\ln2a,+\infty)$上單調(diào)遞增。又因?yàn)?g(0)=1>0$，$g(\ln2a)=e^{\ln2a}-2a\ln2a=2a(1-\ln2a)$。令$h(a)=2a(1-\ln2a)$，則$h'(a)=2-4\ln2a$。當(dāng)$a\in(\frac{e}{2},+\infty)$時(shí)，$h'(a)<0$，函數(shù)$h(a)$在$(\frac{e}{2},+\infty)$上單調(diào)遞減。又因?yàn)?h(a)<h(\frac{e}{2})=0$，故$g(\ln2a)<0$。因此，當(dāng)$a>\frac{e}{2}$時(shí)，函數(shù)$f(x)$在$(0,\ln2a)$上單調(diào)遞減，在$(\ln2a,+\infty)$上單調(diào)遞增。綜上所述，當(dāng)$a\leq\frac{e}{2}$時(shí)，函數(shù)$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，在$(-\infty,0)$上單調(diào)遞減；當(dāng)$a>\frac{e}{2}$時(shí)，函數(shù)$f(x)$在$(0,\ln2a)$上單調(diào)遞減，在$(\ln2a,+\infty)$上單調(diào)遞增。(3)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(0,1)$上存在零點(diǎn)，等價(jià)于$f(x)$在$(0,1)$上的最小值小于等于零。當(dāng)$a\leq\frac{e}{2}$時(shí)，函數(shù)$f(x)$在$(0,1)$上單調(diào)遞增，故$f(x)$的最小值為$f(0)=1>0$，不滿足題意。當(dāng)$a>\frac{e}{2}$時(shí)，函數(shù)$f(x)$在$(0,\ln2a)$上單調(diào)遞減，在$(\ln2a,1)$上單調(diào)遞增。若$\ln2a\leq0$，即$a\leq\frac{1}{2e}$，則函數(shù)$f(x)$在$(0,1)$上單調(diào)遞增，故$f(x)$的最小值為$f(0)=1>0$，不滿足題意。若$\ln2a>0$，即$a>\frac{1}{2e}$，則函數(shù)$f(x)$的最小值為$f(\ln2a)$。$f(\ln2a)=e^{\ln2a}-a(\ln2a)^2=2a-a(\ln2a)^2\leq0$，即$a\geq\frac{1}{(\ln2a)^2}$。令$\varphi(a)=\frac{1}{(\ln2a)^2}$，則$\varphi'(a)=\frac{2\ln2a-2}{4a(\ln2a)^3}=\frac{\ln2a-1}{2a(\ln2a)^3}$。當(dāng)$a\in(\frac{1}{2e},+\infty)$時(shí)，$\varphi'(a)>0$，函數(shù)$\varphi(a)$在$(\frac{1}{2e},+\infty)$上單調(diào)遞增。又因?yàn)?\varphi(\frac{1}{2})=4$，$\varphi(e^2)=\frac{1}{16}$，故當(dāng)$a\in(\frac{1}{2},e^2)$時(shí)，$a\geq\frac{1}{(\ln2a)^2}$恒成立。綜上所述，若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(0,1)$上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍為$(\frac{1}{2},e^2)$。15.解：(1)設(shè)點(diǎn)$B$的坐標(biāo)為$(x,\lnx)$，則線段$AB$中點(diǎn)$M$的坐標(biāo)為$(\frac{1+x}{2},\frac{\lnx}{2})$。消去$x$，得軌跡方程為$2y=\ln(\frac{1+x}{2})$。(2)$y=\lnx$的導(dǎo)數(shù)為$y'=\frac{1}{x}$。曲線$y=\lnx$在點(diǎn)$B$處的切線方程為$y-\lnx=\frac{1}{x}(x-x)$，即$y=\frac{1}{x}x-\frac{1}{x}x+\lnx=\frac{1}{x}x-\frac{1}{x}x+\lnx$。令$y=0$，得$x=1$，即點(diǎn)$C$的坐標(biāo)為$(1,0)$。$\triangleABC$的面積$S=\frac{1}{2}\cdot|OC|\cdot|y_B|=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\lnx=\frac{1}{2}\lnx$。點(diǎn)$B$在曲線$y=\lnx$上運(yùn)動(dòng)，故$x>0$。由(1)得$2y=\ln(\frac{1+x}{2})$，即$\lnx=2y$。$S=\frac{1}{2}\lnx=y$。要使$S$最小，只需$y$最小。$y=\ln(\frac{1+x}{2})=\lnx-\ln2$。$y'=\frac{1}{x}-0=\frac{1}{x}$。當(dāng)$x\in(0,+\infty)$時(shí)，$y'>0$，函數(shù)$y$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增。故當(dāng)$x\to0^+$時(shí)，$y\to-\infty$，即$y$無(wú)最小值。但$x>0$，故當(dāng)$x$足夠接近$0$時(shí)，$y$可以取足夠小的值，即$\triangleABC$面積的最小值可以為$0$。16.解：(1)$f(x)=\sinx-\cosx=\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4})$。故函數(shù)$f(x)$的最小正周期為$T=2\pi$。(2)當(dāng)$x\in