2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)章節(jié)小測(cè)（第八章）一、選擇題（每題5分，共60分）已知球的半徑為3，則該球的表面積為（）A.9πB.18πC.36πD.72π若圓柱的底面半徑為2，高為5，則其體積為（）A.10πB.20πC.30πD.40π圓錐的母線長為5，底面半徑為3，則其側(cè)面積為（）A.12πB.15πC.20πD.25π棱長為2的正方體的外接球體積為（）A.(\frac{4}{3}\pi)B.(\frac{8\sqrt{3}}{3}\pi)C.(4\sqrt{3}\pi)D.(\frac{32\sqrt{3}}{3}\pi)圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為4π的正方形，則該圓柱的體積為（）A.(4\pi^2)B.(8\pi^2)C.(16\pi^2)D.(32\pi^2)若圓錐的高為4，體積為12π，則其底面半徑為（）A.3B.4C.5D.6兩個(gè)球的體積之比為8:27，則它們的表面積之比為（）A.2:3B.4:9C.8:27D.16:81一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）（注：三視圖顯示為圓柱上方放置一個(gè)同底圓錐，圓柱高4cm，圓錐高3cm，底面直徑4cm）A.12πcm3B.16πcm3C.20πcm3D.24πcm3若球的表面積擴(kuò)大到原來的4倍，則其體積擴(kuò)大到原來的（）A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為(\sqrt{3})，則圓錐的體積為（）A.(\frac{\pi}{3})B.(\frac{\sqrt{3}\pi}{3})C.πD.(\sqrt{3}\pi)圓柱形容器的底面半徑為1，高為3，現(xiàn)將一個(gè)半徑為1的球放入容器中，再向容器內(nèi)注水，則至少需要注水的體積為（）A.3π-(\frac{4}{3}\pi)B.3π-(\frac{8}{3}\pi)C.πD.(\frac{5}{3}\pi)已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且長度分別為1、2、3，則其外接球的表面積為（）A.7πB.14πC.28πD.56π二、填空題（每題5分，共30分）半徑為R的球的內(nèi)接正方體的棱長為__________。圓錐的底面周長為6π，母線長為5，則其表面積為__________。若圓柱的表面積為6π，高為1，則底面半徑為__________。一個(gè)球的體積為(\frac{32}{3}\pi)，則該球的內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大值為__________。把一個(gè)半徑為2的半圓卷成一個(gè)圓錐，則該圓錐的體積為__________。棱長為a的正四面體的外接球體積為__________。三、解答題（共60分）（10分）已知球的半徑為5，求該球的表面積和體積。（12分）一個(gè)圓柱的底面半徑為3，高為4，求：（1）圓柱的側(cè)面積；（2）圓柱的表面積；（3）圓柱的體積。（12分）圓錐的底面半徑為2，高為4，求：（1）圓錐的母線長；（2）圓錐的側(cè)面積；（3）圓錐的體積。（14分）如圖，一個(gè)幾何體由一個(gè)圓柱和一個(gè)同底的圓錐組合而成，圓柱的高為5，圓錐的高為3，底面半徑為2。（1）求該幾何體的表面積；（2）求該幾何體的體積。（12分）一個(gè)球的表面積為16π，求：（1）球的半徑；（2）球的體積；（3）球的內(nèi)接正方體的體積。參考答案及解析一、選擇題C球的表面積公式(S=4\piR^2)，代入(R=3)得(S=4\pi×9=36\pi)。B圓柱體積公式(V=\pir^2h)，代入(r=2)，(h=5)得(V=\pi×4×5=20\pi)。B圓錐側(cè)面積公式(S=\pirl)，代入(r=3)，(l=5)得(S=\pi×3×5=15\pi)。C正方體對(duì)角線長為外接球直徑，即(2R=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3})，(R=\sqrt{3})，體積(V=\frac{4}{3}\piR^3=4\sqrt{3}\pi)。C圓柱側(cè)面展開圖邊長為底面周長和高，即(2\pir=4\pi)，(h=4\pi)，(r=2)，體積(V=\pir^2h=\pi×4×4\pi=16\pi^2)。A圓錐體積公式(V=\frac{1}{3}\pir^2h)，代入(V=12\pi)，(h=4)得(r=3)。B球的體積比為半徑比的立方，表面積比為半徑比的平方，由體積比8:27得半徑比2:3，表面積比4:9。C圓柱體積(\pi×2^2×4=16\pi)，圓錐體積(\frac{1}{3}\pi×2^2×3=4\pi)，總體積(16\pi+4\pi=20\pi)。C表面積擴(kuò)大4倍，半徑擴(kuò)大2倍，體積擴(kuò)大(2^3=8)倍。A軸截面為等邊三角形，面積(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\sqrt{3})，得(a=2)，圓錐底面半徑1，高(\sqrt{3})，體積(\frac{1}{3}\pi×1^2×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}\pi}{3})（注：原題選項(xiàng)B應(yīng)為正確答案，此處按題目選項(xiàng)修正）。D圓柱體積(\pi×1^2×3=3\pi)，球體積(\frac{4}{3}\pi×1^3=\frac{4}{3}\pi)，注水體積(3\pi-\frac{4}{3}\pi=\frac{5}{3}\pi)。B外接球直徑為(\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14})，表面積(4\pi(\frac{\sqrt{14}}{2})^2=14\pi)。二、填空題(\frac{2\sqrt{3}}{3}R)正方體對(duì)角線等于球直徑，設(shè)棱長為(a)，則(\sqrt{3}a=2R)，(a=\frac{2R}{\sqrt{3}})。24π底面半徑(r=3)，側(cè)面積(\pirl=15\pi)，底面積(9\pi)，表面積(15\pi+9\pi=24\pi)。1表面積(2\pir^2+2\pir×1=6\pi)，解得(r=1)。8π設(shè)圓柱底面半徑(r)，高(h)，則(r^2+(\frac{h}{2})^2=R^2)（球半徑(R=2)），側(cè)面積(2\pirh)，最大值為(8\pi)。(\frac{\sqrt{3}}{3}\pi)半圓半徑為圓錐母線長2，底面周長(\pi×2=2\pir)，(r=1)，高(\sqrt{3})，體積(\frac{1}{3}\pi×1^2×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}\pi}{3})。(\frac{\sqrt{6}}{8}\pia^3)正四面體高(\frac{\sqrt{6}}{3}a)，外接球半徑(\frac{3}{4})高，體積(\frac{4}{3}\pi(\frac{\sqrt{6}}{4}a)^3=\frac{\sqrt{6}}{8}\pia^3)。三、解答題解：表面積(S=4\piR^2=4\pi×5^2=100\pi)，體積(V=\frac{4}{3}\piR^3=\frac{4}{3}\pi×125=\frac{500}{3}\pi)。解：（1）側(cè)面積(2\pirh=2\pi×3×4=24\pi)；（2）表面積(2\pir^2+2\pirh=2\pi×9+24\pi=42\pi)；（3）體積(\pir^2h=\pi×9×4=36\pi)。解：（1）母線長(l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5})；（2）側(cè)面積(\pirl=\pi×2×2\sqrt{5}=4\sqrt{5}\pi)；（3）體積(\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{1}{3}\pi×4×4=\frac{16}{3}\pi)。解：（1）圓柱側(cè)面積(2\pi×2×5=20\pi)，圓錐側(cè)面積(\pi×2×\sqrt{2^2+3^2}=2\sqrt{13}\pi)，底面積(\pi×2^2=4\pi)，表面積(20\pi+2\sqrt{13}\pi+4\pi=24\pi+2\sqrt{13}\pi)；（2）圓柱體積(\pi×2^2×5=20\pi)，圓錐體積(\frac{1}{3}\pi×2^2×3=4\pi)，總體積(20\pi+4\pi=24\pi)。解：（1）表面積(4\piR^2=16\pi)，得(R=2)；（2）體積(\frac{4}{3}\pi×8=\frac{32}{3}\pi)；（3）內(nèi)接正方體棱長(a=\frac{2R}{\s