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九年級數(shù)學組的初中數(shù)學組卷

（掃描二維碼可杳看試題解析）

一.解答題（共17小題）

1.（2014?遼陽）如圖，在△ABC,AB=AC,以AB為直徑的。O分別交AC.BC于點D.E,點

F在AC的延長線上，且/CBF=ZCAB.

（1）求證：直線BF是。。的切線：

（2）若AB=5,sinNCBF=,求BC和BF的長.

B」

2.（2014?古林）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以O為圓心,OA為半徑的圓交AB

于點D,延長AO交。07點E,連接CD,CE,若CE是。。的切線，解答下列問題：

（I）求證:CD是。O的切線；

（2）若BC=3,CD=4,求平行四邊形OABC的面積.

B--------

3.（2014?天水）如圖，點D為。O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且NCDA=N

CBD.

（1）判斷直線CD和00的位置關(guān)系，并說明理由.

（2）過點B作。O的切線BE交直線CD于點E,若AC=2,00的半徑是3,求BE的長.

4.（2013?德州）如圖，已知。O的半徑為1,DE是。。的直徑，過點D作。O的切線AD,

C是AD的中點,AE交。0于B點，四邊形BCOE是平行四邊形.

（1）求AD的長；

（2）BC是。O的切線嗎？若是，給出證明：若不是，說明理由.

E

5.(2013?荷澤)如圖,BC是。O的直徑,A是。O上一點，過點C作。O的切線，交BA

的延長線于點D,取CD的中點E,AE的延長級與BC的延長線交于點P.

(1)求證:AP是。0的切線；

(2)OC=CP.AB=6,求CD的長.

6.(2013?聊城)如圖,AB是OO的直徑,AF是。O切線,CD是垂直于AB的弦，垂足為

E,過點C作DA的平行線與AF相交于點F,CD=,BE=2.求證：

(1)四邊形FADC是菱形；

(2)FC是。O的切線.

7.(2012?北京)已知：如圖,AB是。O的直徑,C是。O上一點,ODJ_BC于點D,過點C

作。。的切線，交OD的延長線于點E,連接BE.

(1)求證:BE與。0相切；

(2)連接AD并延長交BE于點F,若OB=9,sinNABC=,求BF的長.

8.(2012?濟寧)如圖,AB是。O的直徑,AC是弦,OD_LAC于點D.過點A作。O的切

線ARAP與OD的延長線交于點P,連接PC.BC.

(1)猜想：線段OD與BC有何數(shù)量和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(2)求證：PC是。O的切線.

12.(2012?黃岡)如圖，在AABC中，BA=BC,以AB為直徑作半圓。O,交AC于點D,過

點D作DE_LBC,垂足為點E.

(1)求證:DE為。O的切線；

(2)求證：BD2=AB?BE.

13.(2011?蕪湖)如圖，已知直線PA交。O于A.B西點,AE是。O的直徑，點C為。O

上一點，且AC平分NPAE,過C作CD_LPA,垂足為D.

(1)求證:CD為。O的切線；

(2)若DC+DA=6,00的直徑為10,求AB的長度.

14.(2011?涼山州)如圖，已知△ABC,以BC為直徑,O為圓心的半圓交AC于點F,點

E為的中點，連接BE交AC于點M,AD為AABC的角平分線，且AD_LBE,垂足為點H.

(1)求證:AB是半圓O的切線；

(2)若AB=3,BC=4,求BE的長.

15.(2011?樂山)如圖,D為。。上一點，點C在直徑BA的延長線上，fiZCDA=ZCBD.

(1)求證:CD是。O的切線；

(2)過點B作。O的切線交CD的延長線于點E,若BC=6,tanZCDA=,求BE的長.

D

B

O

16.(2011?廣安)如圖所示,P是。O外一點,PA是GO的切線,A是切點,B是。O上一

點，且PA=PB,連接AO、BO、AB,并延長B0與切線PA相交于點Q.

(1)求證:PB是。。的切線；

(2)求證：AQ-PQ=OQ?BQ；

(3)設/AOQ=a,若，0Q=15,求AB的長.

17.(2012?達州)如是以AB為直徑的。0上一點，過0作OE_LAC于點E,過點

A作。O的切線交OE的延長線于點F,連接CF并延長交BA的延長線于點P.

(1)求證:PC是。0的切線.

(2)若AF=1,OA=,求PC的長.

2015年04月19日九年級數(shù)學組的初中數(shù)學組卷

參考答案與試題解析

一.解答題（共17小題）

1.（2014?遼陽）如圖，在AABCAB=AC,以AB為直徑的。O分別交AC.BC于點D.E,點

F在AC的延長線上，且NCBF=ZCAB.

（1）求證：直線BF是。。的切線：

⑵若AB=5,sinNCBF=，求BC和BF的長.

考點：切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角

形.

專題：幾何綜合題.

分析：（1）連接AE,利用直徑所對■的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角

形兩銳角相等得到直角，從而證明NABF=90°.

（2）利用已知條件證得△AGCs/XABF,利用比例式求得線段的長即可.

（2）利用已知條件證得△AGCsAABF,利用比例式求得線段的長即可.

（2）利用已知條件證得△AGC-△ABF,利用比例式求得線段的長即可.

解答：（1）證明：連接AE,

???AB是00的直徑，

，NAEB=9（）0,

AZl+Z2=90o.

VAB=AC,

AZ1=ZCAB.

VZCBF=ZCAB.

z1=ZCBF

ZCBF+Z2=90°

即/ABF=9（）0

???AB是（DO的直徑，

???直線BF是。O的切線.

(2)解：過點C作CG_LAB于G

VsinZCBF=,Z1=ZCBF,

AsinZ1=,

???在RtZkAEB中,ZAEB=90°,AB=5,

ABE=AB*sinZl=,

VAB=AC,ZAEB=90a,

.\BC=2BE=2,

在RtZ^ABE中，由勾股定理得AE==2,

sinZ2===,cosZ2===,

在RtACBG中，可求得GC=4,GB=2,

，AG=3,

VGCZ/BE

/.△AGC^AABF,

.GCJG

"BF^AB

.R「=GC?AB=2U

'-AG"3

點評：本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，角的大小與線段長度的求法，要求學生

掌握常見的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡單的方法解題.

2.（2014?吉林）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以O為圓心,OA為半徑的圓交AB于

點D,延長AO交。O于點E,連接CD,CE,若CE是。。的切線，解答下列問題：

（1）求證:CD是。O的切線；

（2）若BC=3,CD=4,求平行四邊形OABC的面積.

考點：切線的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

專題：證明題.

分析：（1）連接OD,求出NEOC=NDOC根據(jù)SAS推出△EOC也△□（）（：,推出NODC二

NOEC=90°,根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出CE=CD=4,根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出OA=3,根據(jù)

平行四邊形的面積公式求出即可.

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出CE=CD=4,根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出0A=3,根據(jù)

平行四邊形的面積公式求出即可.

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出CE=CD=4,根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出0A=3,根據(jù)

平行四邊形的面積公式求出即可.

解答：(1)證明：連接0D,

VOD=OA,

AZODA=ZA,

???四邊形OABC是平行四邊形，

AOCZ/AB,

AZEOC=ZA,ZCOD=ZOD/\,

/.ZEOC=ZDOC.

在仆EOC和^DOC中

[OE=OD

ZE0C=ZD0C

loc=oc

AAEOC^ADOC(SAS),

AZODC=ZOEC=90<,,

即OD±DC,

ACD是OO的切線：

(2)解：:△EOC也△DOC.

ACE=CD=4,

???四邊形OABC是平行四邊形，

AOA=BC=3,

，平行四邊形OABC的面積S=OAXCE=3X4=12.

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，切線的判定，平行四邊形的性質(zhì)的應用，解此

題的關(guān)鍵是推出△EOCg△DOC.

3.(2014?天水)如圖，點D為。O上一點，點C在直徑BA的延長線上，KZCDA=ZCBD.

(1)判斷直線CD和。0的位置關(guān)系，并說明理由.

(2)過點B作。O的切線BE交直線CD于點E,若AC=2,OO的半徑是3,求BE的長.

E

考點：切線的判定與性質(zhì).

專題：幾何圖形問題.

分析：（I）連接OD,根據(jù)圓周角定理求出NDAB+NDBA=90°,求出NCDA+N

ADO=90°,根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）根據(jù)勾股定理求出DC,根據(jù)切線長定理求出DE=EB,根據(jù)勾股定理得出方程，

求出方程的解即可.

（2）根據(jù)勾股定理求出DC,根據(jù)切線長定理求出DE二EB,根據(jù)勾股定理得出方程,

求出方程的解即可.

（2）根據(jù)勾股定理求出DC,根據(jù)切線長定理求出DE二EB,根據(jù)勾股定理得出方程,

求出方程的解即可.

解答：解：（1）直線CD和。0的位置關(guān)系是相切，

理由是：連接0D,

〈AB是00的直徑，

AZADB=90°,

/.ZDAB+ZDBA=90°,

VZCDA=ZCBD,

/.ZDAB+ZCDA=90°,

V0D=0A,

AZDAB=ZADO,

.,.ZCDA+ZADO=90°,

即OD±CE,

???直線CD是。O的切線，

即直線CD和。O的位置關(guān)系是相切；

（2）VAC=2,。。的半徑是3,

AOC=2+3=5,OD=3,

在RtACDO中，由勾股定理得:CD=4,

VCE切0O于D,EB切。O于B,

ADE=EB,ZCBE=90°,

設DE=EB=x,

在RdCBE中，由勾股定理得:CE2=BE2+BC2,

則（4+x）2=x2+（5+3）2,

解得：x=6,

即BE=6.

點評：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，勾股定理，切線長定理，圓周角定理，等腰三角形的

性質(zhì)和判定的應用，題目比較典型，綜合性比較強，難度適中.

4.（2013?德州）如圖，已知。O的半徑為1,DE是。O的直徑，過點D作。O的切線AD,C

是AD的中點.AE交。O于B點，四邊形BCOE是平行四邊形.

（1）求AD的長；

（2）BC是。。的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由.

考點：切線的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；平行四邊形的性質(zhì).

專題：計算題.

分析：（1）連接BD,由ED為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到/DBE為直

角，由BCOE為平行四邊形，得到BC與OE平行，且BC=OE=1,在直角三角形ABD

中,C為AD的中點，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半求出AD的長即可：

（2）連接OB,由BC與OD平行,BC=OD,得到四邊形BCDO為平行四邊形，由AD

為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到OD垂直于AD,可得出四邊形BCDO為矩形，利用

矩形的性質(zhì)得到OB垂直于BC,即可得出BC為圓O的切線.

（2）連接OB,由BC與OD平行，BC=OD,得到四邊形BCDO為平行四邊形，由

AD為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到OD垂直于AD,可得出四邊形BCDO為矩形,

利用矩形的性質(zhì)得到OB垂直于BC,即可得出BC為圓O的切線.

（2）連接OB,由BC與OD平行，BC=OD,得到四邊形BCDO為平行四邊形，由

AD為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到OD垂直于AD,可得出四邊形BCDO為走形,

利用矩形的性質(zhì)得到OB垂直于BC,即可得出BC為圓O的切線.

解答：解：（1）連接BD,1DE是直徑DNDBE=90”,

???四邊形BCOE為平行四邊形，

:.BC/7OE,BC=OE=1,

在RtAABD中,C為AD的中點，

ABC=AD=1,

則AD=2：

（2）是，理由如下：

如圖，連接OB.,.?BC〃OD,BC=OD,

???四邊形BCDO為平行四邊形，

TAD為圓O的切線，

A0D1AD,

???四邊形BCDO為矩形，

AOB±BC,

則BC為圓0的切線.

點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，直角二角形斜邊上的中線性質(zhì)，以與平行四邊形的判

定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

5.（2013?荷澤）如圖，BC是。O的直徑,A是。。上一點，過點C作。O的切線，交BA的

延長線于點D,取CD的中點E,AE的延長線與BC的延長線交于點P.

（1）求證:AP是。O的切線；

（2）OC=CRAB=6,求CD的長.

D

考點：切線的判定與性質(zhì)；解直角三角形.

分析：（1）連接AO,AC（如圖）.欲證AP是（DO的切線，只需證明OAJ_AP即可；

（2）利用（1）中切線的性質(zhì)在RlZ\OAP中利用邊角關(guān)系求得NACO=60°.然后在

RtABAC.Rt^ACD中利用余弦三角函數(shù)的定義如AC=2,CD=4.

（2）利用（1）中切線的性質(zhì)在RtZ\OAP中利用邊角關(guān)系求得NACO=6（）。.然后在

RlZXBAC、Rt^ACD中利用余弦三角函數(shù)的定義如AC=2,CD=4.

（2）利用（1）中切線的性質(zhì)在RtZkOAP中利用邊角關(guān)系求得NACO=60°.然后在

RlZ\BAC.RtZ\ACD中利用余弦三角函數(shù)的定義知AC=2,CD=4.

（2）利用（1）中切線的性質(zhì)在RbOAP中利用邊角關(guān)系求得NACO=60。.然君在

R3BAC、ACD中利用余弦三角函數(shù)的定義如AC=2%,CD=4.

解答：（1）證明：連接AO,AC（如圖）.

?.?BC是。。的直徑，

AZBAC=ZCAD=90°.

??,E是CD的中點，

，CE=DE=AE.

AZECA=ZEAC.

VOA=OC,

.,.ZOAC=ZOCA,

???CD是。。的切線，

ACD±OC.

AZECA+ZOCA=90<>.

AZEAC+ZOAC=90°.

A0A1AP.

TA是。O上一點，

AP是OO的切線；

(2)解：由(1)知OA_LAP.

在Rlz^OAP中，???/OAP=90°,OC=CP=OA,即OP=2OA,

sinP==,

???NP=30°.

AZAOP=60°.

VOC=OA,

AZACO=60o.

在RtZ\BAC中，???/BAC=90°,AB=6,ZACO=60°,

AAC==2,

又??,在RtZXACD中，ZCAD=90°,ZACD=90°-ZACO=30°,

...CD===4.

點評：本題考杳了切線的判定與性質(zhì)、解直角三角形.注意，切線的定義的運用，解題的關(guān)

鍵是熟記特殊角的銳角三角函數(shù)值.

6.（2013?聊城）如圖,AB是。。的直徑,AF是。O切線,CD是垂直于AB的弦，垂足為E,

過點C作DA的平行線與AF相交于點F,CD=,BE=2.求證：

（1）四邊形FADC是菱形；

（2）FC是。O的切線.

A

考點：切線的判定與性質(zhì)；菱形的判定.

專題：壓軸題.

分析：(1)首先連接0C.由垂徑定理，可求得CE的長、又由勾股定理，可求得半徑0C的

長，然后由勾股定理求得AD的長，即可得AD=CD,易證得四邊形FADC是平行四邊

形，繼而證得四邊形FADC是菱形；

(2)首先連接OF,易證得△AFOgACFO,繼而可證得FC是。。的切線.

(2)首先連接OF,易證得△AFOq/\CTO,繼而可證得FC是0O的切線.

(2)首先連接OF,易證得^AFO合△CFO,繼而可證得FC是。0的切線.

解答：證明：(I)連接OC,

VAB是。O的直徑,CD_LAB,

.\CE=DE=CD=X4=2,

設OC=x,

VBE=2,

/.OE=x-2,

在RtAOCE中,OC2=OE2+CE2,

Ax2=(x-2)2+(2)2,

解得:x=4,

AOA=OC=4,OE=2,

AE=6,

在RtZXAED中,AD==4,

/.AD=CD,

???AF是。O切線，

AAFIAB,

VCD1AB,

；?AF〃CD,

???CF〃AD,

???四邊形FADC是平行四邊形，

VAD=CD.

???平行四邊形FADC是菱形；

(2)連接OF,AC,

???四邊形FADC是菱形，

AFA=FC,

，NFAGNFCA,

VAO=CO.

AZOAC=ZOCA,

，ZFAC+ZOAC=ZFCA+ZOCA,

即NOCF=NOAF=90°,

即OCJ_FC,

???點C在（DO上，

，F(xiàn)C是。O的切線.

點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理以與全等三

角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應

用.

7.(2012?北京)已知：如圖.AB是。O的直徑,C是。0上一點,OD_LBC于點D,過點C

作。。的切線，交OD的延長線于點E,連接BE.

(1)求證:BE與。O相切;

(2)連接AD并延長交BE于點F,若OB=9,sinNABC=,求BF的長.

考點：切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)：解直角三角形.

專題：幾何綜合題.

分析：(1)連接0C,先證明△OCEgZXOBE.得出EB_LOB,從而可證得結(jié)論.

(2)過點D作DH_LAB,根據(jù)sinNABC二，可求出OD=6,OH=4,HB=5,然后由△

ADHs/XAFB,利月相似三角形的性質(zhì)得出比例式即可解出BF的長.

(2)過點D作DH_LAB,根據(jù)sin/ABC=,可求出OD=6,OH=4,HB=5,然后

由△ADHsAAFB,利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式即可解出BF的長.

(2)過點D作DH_LAB,根據(jù)sin/ABC=Z可求MOD=6,OH=4,HB=5,然后由

3

△ADH-△AFB,利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式即可解出BF的長.

解答：證明：(1)連接OC,

VODXDC,

AZCOE=ZBOE,

在△OCE和AOBE中,

.??△OCE父△OBE,

.,.ZOBE=ZOCE=90°,即OB_LBE,

VOB是。O半徑，

JBE與。O相切.

(2)過點D作DH_LAB,連接AD并延長交BE于點F,

VZDOH=ZBOD,ZDHO=ZBDO=90°,

/.△ODH^AOBD.

.QD-QI-LDK

"OBODBD

又「sinNABC=,0B=9,

AOD=6,

易得/ABC=NODH,

.*.sinZODH=，即=,

AOHM,

ADH==2,

又「△ADHs/XAFB,

,二，二，

AFB=.

FB=3^/^.

13

點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握切

線的判定定理，在第二問的求解中，一定要注意相似三角形的性質(zhì)的運用.

8.（2012?濟寧）如圖,AB是。。的直徑,AC是弦,OD_LAC于點D,過點A作。O的切線

AP,AP與OD的延長線交于點P,連接PC.BC.

（1）猜想：線段OD與BC有何數(shù)量和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（2）求證：PC是。O的切線.

考點：切線的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理；圓周角定理.

分析：（1）根據(jù)垂徑定理可以得到D是AC的中點，則OD是4ABC的中位線，根據(jù)三角

形的中位線定理可以得到OD〃BC,CD=BC；

（2）連接OC,設OP與。O交于點E,可以證得;\OAPg△OCP,利用全等三角形的

對應角相等，以與切線的性質(zhì)定理可以得到：ZOCP=90°,R|JOCXPC,即可等證.

（2）連接OC,設OP與。O交于點E,可以證得aOAPg△OCP,利用全等三角形

的對應角相等，以與切線的性質(zhì)定理可以得到：ZOCP=90°,即OC_LPC,即可等

證.

（2）連接OC,設OP與。O交于點E,可以證得△OAPg/\OCP,利用全等三角形

的對應角相等，以與切線的性質(zhì)定理可以得到：ZOCP=90°,即OC1PC,即可等證.

（2）連接OC,設OP與OO交于點E,可以證得40A的△OCP,利用全等三角形

的對應角相等，以與切線的性質(zhì)定理可以得到：ZOCP=90°,即OC_LPC,即可等證.

解答：（1）猜想:OD〃BC,OD=BC.

證明：VOD1AC,

/.AD=DC

「AB是。。的直徑，

OA=OB...2分

???OD是△ABC的中位線，

???OD〃BC,OD=BC

（2）證明：連接OC,設OP與。O交于點E.

VOD1AC,OD經(jīng)過圓心O,

，，即NAOE二NCOE

在AOAP和aocp中，

???△OAP四△OCP,

/.zOCP=ZOAP

VPA是。O的切線，

/.ZOAP=90°.

/.ZOCP=90°,即OC_LPC

???PC是。。的切線.

點評：本題考查了切線的性質(zhì)定理以與判定定理，二角形的中位線定理，證明圓的切線的問

題常用的思路是根據(jù)切線的判定定理轉(zhuǎn)化成證明垂直的問題.

9.(2012?德陽)如圖，已知點C是以AB為直徑的。0上一點,CH_LAB于點H,過點B作

OO的切線交直線AC于點D,點E為CH的中點，連接AE并延長交BD于點F,直線CF

交AB的延長線于G.

(1)求證:AE?FD=AF?EC；

(2)求證：FC=FB：

(3)若FB=FE=2,求OO的半徑r的長.

考點：切線的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的判定；直角三角形斜邊上的中

線；勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì).

專題：證明題：幾何綜合題；壓軸題.

分析：(1)由BD是。O的切線得出NDBA=90°,推CH〃BD,證△AECsaAFD,得

出比例式即可；

(2)連接OC.BC,證△AECs/XAFD,AAHE^AABF,推出BF二DF,根據(jù)直角三角

形斜邊上中線性質(zhì)得出CF=DF=BF即可；

（3）求出EF=FC,求出NG=/FAG推出AF二FG求出AB=BG求出NFCB二NCAB

推出CG是。O切線，由切割線定理得出（2+FG）2=BGXAG=2BG2,在RtABFG中,

由勾股定理得出BG2=FG2-BF2,推出FG2-4FG-12=0,求出FG即可.

（3）求出EF=FC,求出NG=NFAG,推出AF=FG,求出AB=BG,求出NFCB=N

CAB推出CG是。0切線，由切割線定理得出（2+FG）2=BGXAG=2BG2,在口△

BFG中，由勾股定理得出BG2=FG2?BF2,推出FG2-4FG?12=0,求出FG即可.

（3）求出EF=FC,求出/G=ZFAG,推出AF=FG.求出AB=BG,求出/FCB=ZCAB

推出CG是OO切線，由切割線定理得出（2+FG）2=RGXAG=2BG2,在RtaBFG中，

由勾股定理得出BG2=FG2-BF2,推出FG2-4FG-12=0,求出FG即可.

解答：（1）證明：???BD是。。的切線，

/.ZDBA=90c,

VCH1AB,

???CH〃BD,

.,.△AEC^AAFD,

:,-,

?'?AE?FD=AF?EC.

（2）證明：連接OC,BC,

VCH//BD,

/.△AEC^AAFD,AAHE^AABF,

,=，

VCE=EH（E為CH中點），

Z.BF=DE

：AB為。O的直徑，

/.ZACB=ZDCB=90°,

VBF=DE

???CF=DF=BF（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），

即CF=BF.

（3）解：VBF=CF=DF（已證），EF=BF=2,

/.EF=FC,

???ZFCE=ZFEC,

VZAHE=ZCHG=90<>,

.,.ZFAH+ZAEH=90°,ZG+ZGCH=90°,

VZAEH=ZCEE

：?NG=NFAG

???AF=FQ

VFB1AG,

???AB=BG

：BF切。O于B,

AZFBC=ZCAB,

VOC=OA,CF=BF,

AZFCB=ZFBC,ZOCA=ZOAC,

AZFCB=ZCAB.

VZACB=90°,

.\ZACO+ZBCO=90o,

???NFCB+NBCO=90°,

即0C1CG,

???CG是。O切線，

???GBA是0O割線,AB=BG（已證），

FB=FE=2,

由切割線定理得：（2+FG）2=BGXAG=2BG2,

在R〔Z\BFG中，由勾股定理得：BG2;FG2-BF2,

AFG2-4FG-12=0,

解得：FG=6,FG=-2（舍去）,

由勾股定理得：

AB=BG==4,

的半徑是2.

點評：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定,

直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理等知識點的綜合運用，題目綜

合性比較強，有一定的難度.

10.（2012?黔南州）已知：如圖，點C在以AB為直徑的（DO上，點D在AB的延長線上，Z

BCD=ZA.

（1）求證:CD為。O的切線；

（2）過點C作CEJ_AB于E.若CE=2,cosD二，求AD的長.

考點：切線的判定與性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形.

分析：（1）先連接CO,根據(jù)AB是。O直徑，得出N1+NOCB=90°,再根據(jù)AO=CO,得

出N1=NA,最后根據(jù)N4二NA,證出OC_LCD,即可得出CD為。O的切線；

(2)根據(jù)OC_LCD,得出N3+ND=90°,再根據(jù)CE_LAB,得出N3+N2=90“，從而

得出cosZ2=cosD,再在40CD中根據(jù)余弦定理得出CO的值，最后根據(jù)00的半徑

為，即可得出AD的長.

(2)根據(jù)OC_LCD,得出/3+ND=90°,再根據(jù)CE_LAB,得出N3+N2=90°,從

而得出cos/2=cosD,再在40CD中根據(jù)余弦定理得出CO的值，最后根據(jù)。0的半

徑為，即可得出AD的長.

(2)根據(jù)OC_LCD,得出/3+/D=90。，再根據(jù)CE_LAB,得出/3+N2=90°,從而

得出cos/2=cosD,再在△OCD中根據(jù)余弦定理得出CO的值，最后根據(jù)0O的半徑

為也，即口J得出AD的長.

2

解答：證明：(1)連接CO,

,/AB是。。直徑

.*.Z1+ZOCB=90°,

VAO=CO.

AZ1=ZA.

?/Z4=ZA,

.*.Z4+ZOCB=90°.

即NOCD=90°.

AOC±CD.

又???oc是。O半徑，

???CD為。O的切線.

(2)???OCJLCD于C,

.*.Z3+ZD=90°.

??，CEJ_AB于E,

???N3+N2=90°.

/.Z2=ZD.

:.cosZ2=cosD,

在△OCD中，ZOCD=90°,

cosZ2=,

VcosD=,CE=2,

,(anD==.

ACO=,

???。0的半徑為.

/.OD===,

AD=.

點評：本題考杳了切線的判定與性質(zhì)，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓

心與這點(即為半徑)，再證垂直即可，同時考查了三角函數(shù)的知識.

11.(2012?廣安)如圖，在AABC中，NABC:NACB,以AC為直徑的。O分別交AB.BC

于點M、N,點P在AB的延長線上，KZCAB=2ZBCP.

(1)求證：直線CP是。0的切線.

(2)若BC=2,sinZBCP=,求點B到AC的距離.

(3)在第(2)的條件下.求4ACP的周長.

考點：切線的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直

角二角形.

專題：兒何綜合題；壓軸題.

分析：(1)根據(jù)NABC=/ACB且NCAB=2NBCP,在aABC中NABC+NBAC+N

BCA=180°,得至lj2NBCP+2NBCA=180°,從而得至lJNBCP+NBCA=90°,證得直

線CP是。。的切線.

(2)作BD_LAC于點D,得至ljBD〃PC,從而利用sin/BCP=sinNDBC二=二，求

得DC=2,再根據(jù)勾股定理求得點B到AC的距離為4.

(3)先求出AC的長度，然后利用BD//PC的比例線段關(guān)系求得CP的長度，再由勾

股定理求出AP的長度，從而求得4ACP的周長.

(3)先求出AC的長度，然后利用BD〃PC的比例線段關(guān)系求得CP的長度，再由勾

股定理求出AP的長度，從而求得4ACP的周長.

(3)先求出AC的長度，然后利用BDIIPC的比例線段關(guān)系求得CP的長度，再由勾

股定理求出AP的長度，從而求得AACP的周長.

解答：解：(1)VZABC=ZACBKZCAB=2ZBCR在aABC中，ZABC+ZBAC+Z

BCA=180°

.,.2ZBCP+2ZBCA=180°,

.?.ZBCP+ZBCA=90°,

又C點在直徑上，

???直線CP是。。的切線.

(2)如右圖，作BD_LAC于點D,

/PC±AC

/.BDIIPC

/.ZPCB=ZDBC

VBC=2,sinZBCP=,

sinZBCP=sinZDBC===,

解得:DC=2,

???由勾股定理得:BD=4,

???點B到AC的距離為4.

（3）如右圖，連接AN,

VAC為直徑，

/.ZANC=90°,

「■△ACN中,AC==5,

又CD=2,

AAD=AC-CD=5-2=3.

VBD^CP.

ACP=.

在RlZ\ACP中,AP==,

AC+CP+AP=5++=20,

.,.△ACP的周長為20.

點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)等知識，考查的知識點比較多，難度較大.

12.（2012?黃岡）如凰在AABC中，BA=BC,以AB為直徑作半圓。0,交AC于點D,過

點D作DE_LBC,垂足為點E.

（1）求證:DE為。。的切線；

（2）求證：BD2=AB-BE

考點：切線的判定與性質(zhì)；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì).

專題：證明題.

分析：（1）連接OD.BD,根據(jù)圓周角定理可得NADB=90。，繼而得出點D是AC中點，判

斷出0D是三角形ABC的中位線，利用中位線的性質(zhì)得出/ODE=90°,這樣可判斷

出結(jié)論.

（2）根據(jù)題意可判斷△BEDS/\BDC,從而可得BD2:BC?BE,將BC替換成AB即

可得出結(jié)論.

（2）根據(jù)題意可判斷△BEDs^BDC,從而可得BD2=BC?BE,將BC替換成AB即

可得出結(jié)論.

（2）根據(jù)題意可判斷^BED-△BDC,從而可得BD2:BC?BE,將BC替換成AB即

可得出結(jié)論.

解答：證明：（1）連接OD.BD,則NADB=90°（圓周角定理），

VBA=BC,

/.CD=AD（三線合一），

又,.,AO=OB,

???0D是4ABC的中位線，

A0D/7BC,

VZDEB=90°,

AZODE=90°,即OD_LDE,

故可得DE為OO的切線；

（2）VZEBD=ZDBC,ZDEB=ZCDB,

AABED^ABDC,

*

??二，

XVAB=BC,

故BD2=AB?BE.

點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)、三角形的中位線的判定與性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)，解

答本題的關(guān)鍵是得出點D是AC中點，求出NODE是直角，有一定難度.

13.（2011?蕪湖）如圖，已知直線PA交。O于A.B兩點,AE是。O的直徑，點C為GO上

一點，且AC平分NPAE,過C作CD_LPA,垂足為D.

（1）求證:CD為。O的切線；

（2）若DC+DA=6,。。的直徑為10,求AB的長度.

考點：切級的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；垂徑定理.

專題：幾何綜合題.

分析：(1)連接0C,根據(jù)題意可證得NCAD+NDCA=90°,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得N

DCO=90°,則CD為。0的切線；

(2)過。作OF_LAB,則NOCD=NCDA=NOFD=90°,得四邊形OCDF為矩形，設

AD=x,在RtAAOF中，由勾股定理得(5-x)2+(6-x)2=25,從而求得x的值，由

勾股定理得出AB的長.

(2)過O作OFJ_AB,則NOCD=NCDA=NOPD=90°,得四邊形OCDF為矩形，

設AD=x,在RtZkAOF中，由勾股定理得(5?x)2+(6-x)2=25,從而求得x的

值，由勾股定理得出AB的長.

(2)過0作OFJ_AB,則/OCD=ZCDA=ZOFD=90°,得四邊形OCDF為矩形，設

AD=x,在RSAOF中，由勾股定理得(5?x)2+(6-x)2=25,從而求得x的值，

由勾股定理得出AB的長.

解答：(1)證明：連接OC,

VOA=OC.

:.ZOCA=ZOAC,

VAC平分/PAE,

AZDAC=ZCAO,

AZDAC=ZOCA,

???PB〃OC,

VCD±PA,

ACDIOC,CO為0O半徑，

CD為OO的切線；

(2)解：過O作OF_LAB,垂足為F,

AZOCD=ZCDA=ZOFD=90°,

???四邊形DCOF為矩形，

.*.OC=FD,OF=CD.

VDC+DA=6,

設AD=x,則OF=CD=6-x,

???。0的直徑為10.

/.DF=OC=5,

AAF=5-x,

在RtZkAOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2.

即(5-x)2+(6-x)2=25,

化簡得x2?llx+18=0,

解得x1=2,x2=9.

VCD=6-x大于0,故x=9舍去,

/.x=2,

從而AD=2,AF=5-2=3,

VOF±AB,由垂徑定理知,F為AB的中點,

AAB=2AF=6.

點評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)以與垂徑定理，是基礎

知識要熟練掌握.

14.（2011?涼山州）如圖，己知△ABC,以BC為直徑,0為圓心的半圓交AC于點F,點E

為的中點，連接BE交AC于點M.AD為AABC的角平分線，且AD_LBE,垂足為點H.

（I）求證:AB是半圓O的切線；

（2）若AB=3,BC=4,求BE的長.

考點：切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì).

專題：兒何綜合題；壓軸題.

分析：（1）連接ECAD為AABC的角平分線，得Nl=/2,又AD_LBE,可證/3=N4,由

對頂角相等得/4=/5,即N3=N5,由E為的中點，得/6=/7,由BC為直徑得/

E=90°,即/5+N6=90",由AD〃CE可證N2=N6,從而有N3+N7=90°,證明結(jié)

論；

（2）在Rt^ABC中，由勾股定理可求AC=5,由/3=/4得AM=AB=3,則CM=AC

-AM=2,由（1）可證△CMEs/XBCE,利用相似比可得EB=2EC,在RtZXBCE中，根

據(jù)BE2+CE2=BC2,得BE2+（）2=42,可求BE.

（2）在RlZ\ABC口，由勾股定理可求AC=5,由N3=N4得AM=AB=3,則CM=AC

-AM=2,由（1）可證△CMEs/\BCE,利用相似比可得EB=2EC,在RtZ\BCE中，

根據(jù)BE2+CE2=BC2,得BE2+（）2=42,可求BE.

（2）在RQABC口，由勾股定理可求AC=5,由/3=/4得人\1二人8:3,則CM=AC

-AM=2,由（1）可證ACME-△BCE,利用相似比可得EB=2EC,在RsBCE中，

BE2+CE2=BC2,得BE?+（里）2=42,可求BE.

2

解答：（1）證明：連接EC,

???AD_LBE于H,Z1=Z2,

Z3=Z4（1分）

IN4=N5,

AZ4=Z5=Z3,（2分）

又???E為的中點，

???=,

???N6=/7,（3分），

???BC是直徑，

/.ZE=90°,

AZ5+Z6=90°,

又?.?NAHM=NE=90°,

?，AD〃CE,

/.Z2=Z6=Z1,

.?.Z3+Z7=90°,

又???BC是直徑，

???AB是半圓O的切線；（4分）

（2）解：?.?AB=3,BC=4,

由（1）知，ZABC=90°,

AC=7AB2+BC32+4^5（5分）

在△ABM中,AD1BM于H,AD平分NBAC,

AAM=AB=3,

/.CM=2（6分）

VZ6=Z7,NE為公共角，

AACME^ABCE,===,（7分）

AEB=2EC,在RtABCE中,BE2+CE2=BC2,

即BE2+（）2=42,

解得BE二.（8分）

點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理的

運用.關(guān)鍵是由已知條件推出相等角，構(gòu)造互余關(guān)系的先推出切線，利用相等先推出

相似三角形，由相似比得出邊長的關(guān)系，由勾股定理求解.

15.(2011?樂山)如圖,D為。O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且NCDA=NCBD.

(1)求證:CD是。O的切線；

(2)過點B作。O的切線交CD的延長線于點E,若BC=6,(anZCDA=,求BE的長.

考點：切線的判定與性質(zhì)；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì).

專題：幾何綜合題；壓軸題.

分析：(1)連OD,OE,根據(jù)圓周角定理得到NADO+N1=90°,而NCDA二/CBD,Z

CBD=Z1,于是NCDA+NADO=90°；

(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得至ljED=EB,OEJ_BD,則/ABD=/OEB,得至I]tanNCDA=tan

ZOEB==,易證RtZ\CDOsRt^CBE,得到===,求得CD,然后在巴△

CBE中，運用勾股定理可計算出BE的長.

(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得至I]ED=EB,OE_LBD,則NABD=NOEB,得至UtanNCDA=tan

ZOEB==,易證RtZXCDOsRdCBE,得到===,求得CD,然后在RlA

CBE中，運用勾股定理可計算出BE的長.

(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得到ED=EB,OE_LBD,則NABD=NOEB,得到

tanZCDA=tanZOEB=更=2易證RtACDO-RtACBE,得到里里求得

BE3CBBEBE3

CD,然后在RQCBE中，運用勾股定理可計算出BE的長.

解答：(1)證明：連OD,OE,如圖，

VAB為直徑，

AZADB=90°,即NADO+N1=90°,

XVZCDA=ZCBD.

而NCBD=N1,

AZ1=ZCDA,

.,.ZCDA+ZADO=90°,即NCDO=90°,

???CD是O