2025-2026學(xué)年上海市虹口區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）.1．（4分）計算：A．3 B． C． D．2．（4分）如圖，在△中，，，，那么的正弦值是A． B． C． D．3．（4分）在一張比例尺為的地圖上，量得、兩點的距離是10厘米，那么、兩點的實際距離是A．5米 B．50米 C．500米 D．5000米4．（4分）如果△△，△△，那么△與△也相似．這一事實的數(shù)學(xué)依據(jù)是A．等量代換 B．三角形具有穩(wěn)定性 C．三角形相似的傳遞性 D．相似三角形的預(yù)備定理5．（4分）一個木質(zhì)三角形框架模型的三邊長分別為5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根長為30厘米的木條為一邊，做一個與模型三角形相似的三角形，那么另兩條邊的木條長度不符合條件的是A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米6．（4分）如圖，點、分別在△邊、上，，，，則的值是A． B． C． D．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】7．（4分）已知，那么的值是．8．（4分）兩個相似三角形的對應(yīng)邊上的中線長之比是，那么這兩個三角形的相似比是．9．（4分）線段長為4，點是線段的一個黃金分割點，且，那么的長是．10．（4分）如圖，是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿處時，另一端處就會撬動石頭．已知動力臂米，阻力臂米，如果杠桿端被向上撬起米，那么此時要將杠桿的點向下壓的長度是米．11．（4分）如圖，在△中，點是△的重心，過點且平行于，分別交、于點、，那么的值是．12．（4分）如圖，在△中，是邊上的高，，，，那么的長是．13．（4分）如圖，在△中，點、分別在邊、上，且．如果，，用向量、表示向量．14．（4分）在等邊△中，是邊上的高，那么．15．（4分）如圖，是的角平分線，點是射線上一點，過點作，垂足為，點是射線上一點，，過點作，垂足為．如果，，那么的長是．16．（4分）如圖，已知正方形的頂點、在△的邊上，頂點、分別在邊、上．如果，△的面積是24，那么的長是．17．（4分）定義：如果一條直線把一個圖形的周長等分成兩個部分，稱這條直線為“絕美分割線”．如圖，在梯形中，，，，，，一條與平行的“絕美分割線”分別交邊、邊于點、，那么的長是．18．（4分）在平行四邊形中，是銳角，將沿直線翻折至射線，點、的對應(yīng)點分別是、，點在邊上，，聯(lián)結(jié)交于點，，則的值是．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）【將下列各題的解答過程，做在答題紙的相應(yīng)位置上】19．（10分）已知：，，求、、的值．20．（10分）如圖，直線、、分別交直線于點、、，交直線于點、、，且．已知，，．（1）求的長；（2）點是直線與的交點，如果，，求的長．21．（10分）如圖，在△中，，，垂足是．（1）如果，，求的長；（2）如果，，求的正切值．22．（10分）某學(xué)習(xí)小組對梯形的分割與圖形的組合展開研究．現(xiàn)有一張直角梯形紙片（如圖，，，．（1）有一張直角梯形紙片（如圖，，，，，．將這張紙片沿對角線剪開，并將剪出的△通過圖形的運動，使點、分別與點、重合，從而拼成一個△（如圖，請完成填空：的值是；的值是；（2）有一張直角梯形紙片（如圖，，，，，．請設(shè)計一種方法，用一條直線將梯形紙片分割成兩個部分，使得其中一個部分（記為圖形通過圖形的運動能與梯形紙片（圖拼成一個無重疊的直角三角形．要求：①在答題紙圖4的梯形紙片上畫出直線；②寫出直線的與梯形的邊的交點位置；（簡述語言示例：點是梯形的頂點，點是邊的一個四等分點）③直接寫出圖形與梯形的面積比．23．（12分）如圖，在平行四邊形中，對角線、交于點，點在邊上，點在線段上，，．（1）求證：△△；（2）聯(lián)結(jié)，求證：．24．（12分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點是原點，直線分別交軸、軸于點、，點在直線上，且．（1）求的長；（2）如圖2，已知點在線段上，過點作軸的垂線，交軸于點，交于點，聯(lián)結(jié)，．①如果直線的表達(dá)式為，求的值；②延長交軸于點，聯(lián)結(jié)，若在射線上有一點，使得以、、為頂點的三角形與△相似，求點的坐標(biāo)．25．（14分）如圖1，在△中，，是邊上的高，，點在邊上，，過點作，交邊于點，．（1）求的值；（2）如圖2，點在延長線上，聯(lián)結(jié)、，設(shè)．①延長交邊于點，如果，記△、△的周長分別為、，求的值；②如果，且，求的值．

參考答案一．選擇題（共6小題）題號123456答案DABCBA一、選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）.1．（4分）計算：A．3 B． C． D．解：．故選：．2．（4分）如圖，在△中，，，，那么的正弦值是A． B． C． D．解：在△中，，故選：．3．（4分）在一張比例尺為的地圖上，量得、兩點的距離是10厘米，那么、兩點的實際距離是A．5米 B．50米 C．500米 D．5000米解：、兩點的實際距離為：（厘米），5000厘米米，故選：．4．（4分）如果△△，△△，那么△與△也相似．這一事實的數(shù)學(xué)依據(jù)是A．等量代換 B．三角形具有穩(wěn)定性 C．三角形相似的傳遞性 D．相似三角形的預(yù)備定理解：若兩個三角形都與第三個三角形相似，那么這兩個三角形也相似．相似關(guān)系具有傳遞性．故選：．5．（4分）一個木質(zhì)三角形框架模型的三邊長分別為5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根長為30厘米的木條為一邊，做一個與模型三角形相似的三角形，那么另兩條邊的木條長度不符合條件的是A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米解：當(dāng)邊為與的木條為對應(yīng)邊時，比例系數(shù)，另兩條木條的長度分別為（厘米），（厘米）．故選項符合條件；當(dāng)邊為與的木條為對應(yīng)邊時，比例系數(shù)，另兩條木條的長度分別為（厘米），（厘米）．故選項符合條件；當(dāng)邊為與的木條為對應(yīng)邊時，比例系數(shù)，另兩條木條的長度分別為（厘米），（厘米）．故選項符合條件．故選：．6．（4分）如圖，點、分別在△邊、上，，，，則的值是A． B． C． D．解：，，，，，，，，，△△，，，，，或（不符合題意，舍去），，故選：．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】7．（4分）已知，那么的值是．解：，，，，故答案為：．8．（4分）兩個相似三角形的對應(yīng)邊上的中線長之比是，那么這兩個三角形的相似比是．解：兩個相似三角形的對應(yīng)邊上的中線長之比是，這兩個三角形的相似比為．故答案為：．9．（4分）線段長為4，點是線段的一個黃金分割點，且，那么的長是．解：點是線段的一個黃金分割點，且，，，，故答案為：．10．（4分）如圖，是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿處時，另一端處就會撬動石頭．已知動力臂米，阻力臂米，如果杠桿端被向上撬起米，那么此時要將杠桿的點向下壓的長度是1.2米．解：由題意得：，，，，△△，，，解得：，此時要將杠桿的點向下壓的長度是1.2米，故答案為：1.2．11．（4分）如圖，在△中，點是△的重心，過點且平行于，分別交、于點、，那么的值是．解：連接，連接，并延長交于點，在的延長線截取，連接，，連接，并延長交于點，如圖所示：，點是△的重心，，是△的中線，，，又，四邊形是平行四邊形，，即，，是△的中位線，，，，△△，，，△△，．故答案為：．12．（4分）如圖，在△中，是邊上的高，，，，那么的長是2．解：，，在△中，，，，，，故答案為：2．13．（4分）如圖，在△中，點、分別在邊、上，且．如果，，用向量、表示向量．解：，△△，．，．，，，，．故答案為：．14．（4分）在等邊△中，是邊上的高，那么．解：如圖，△為等邊三角形，，．設(shè)，則．．故答案為：．15．（4分）如圖，是的角平分線，點是射線上一點，過點作，垂足為，點是射線上一點，，過點作，垂足為．如果，，那么的長是．解：是的角平分線，．，，，△△，．，則令，，，解得，．故答案為：．16．（4分）如圖，已知正方形的頂點、在△的邊上，頂點、分別在邊、上．如果，△的面積是24，那么的長是．解：過點作于點，交于點，如圖所示：，，△的面積是24，，，四邊形是正方形，設(shè)，，根據(jù)平行線間的距離處處相等得：，，，△△，，，解得：，，即的長是．故答案為：．17．（4分）定義：如果一條直線把一個圖形的周長等分成兩個部分，稱這條直線為“絕美分割線”．如圖，在梯形中，，，，，，一條與平行的“絕美分割線”分別交邊、邊于點、，那么的長是．解：如圖，過點作交于點，交與點．，四邊形，都是平行四邊形，．，，△△，，，設(shè)，則，則有，．故答案為：．18．（4分）在平行四邊形中，是銳角，將沿直線翻折至射線，點、的對應(yīng)點分別是、，點在邊上，，聯(lián)結(jié)交于點，，則的值是．解：如圖，，設(shè)，，，四邊形是平行四邊形，，，△△，，設(shè)，，，，，△△，，，，沿直線翻折至，，，，，，在△中，，，，，，，故答案為：．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）【將下列各題的解答過程，做在答題紙的相應(yīng)位置上】19．（10分）已知：，，求、、的值．解：，，，，，解得，，，、、的值分別為4、6、8．20．（10分）如圖，直線、、分別交直線于點、、，交直線于點、、，且．已知，，．（1）求的長；（2）點是直線與的交點，如果，，求的長．解：（1）由題意可知，，，，，．，，．（2）由題意可知，，，，△△，，，，，，，，，，，即，，即的長為5．21．（10分）如圖，在△中，，，垂足是．（1）如果，，求的長；（2）如果，，求的正切值．解：（1）在△中，，，，，，；（2），，，，．22．（10分）某學(xué)習(xí)小組對梯形的分割與圖形的組合展開研究．現(xiàn)有一張直角梯形紙片（如圖，，，．（1）有一張直角梯形紙片（如圖，，，，，．將這張紙片沿對角線剪開，并將剪出的△通過圖形的運動，使點、分別與點、重合，從而拼成一個△（如圖，請完成填空：的值是；的值是；（2）有一張直角梯形紙片（如圖，，，，，．請設(shè)計一種方法，用一條直線將梯形紙片分割成兩個部分，使得其中一個部分（記為圖形通過圖形的運動能與梯形紙片（圖拼成一個無重疊的直角三角形．要求：①在答題紙圖4的梯形紙片上畫出直線；②寫出直線的與梯形的邊的交點位置；（簡述語言示例：點是梯形的頂點，點是邊的一個四等分點）③直接寫出圖形與梯形的面積比．解：（1），，，，，過點作于點，如圖，，，四邊形是矩形，，由圖3，圖2，可得，，，，，，，，，，；故答案為：；（2）如圖，在上截取，作直線，即直線，，，，，，，，，△△，△符合題意，如下圖，過點作交于點，過點作于點交于點，由（1）同理可得，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，同理可得四邊形，是矩形，，，，，，，，，即點是的一個三等分點，．23．（12分）如圖，在平行四邊形中，對角線、交于點，點在邊上，點在線段上，，．（1）求證：△△；（2）聯(lián)結(jié)，求證：．【解答】證明：（1），，，△△，，，，△△；（2）如圖，四邊形都是平行四邊形，，△△，，△△，，，，．24．（12分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點是原點，直線分別交軸、軸于點、，點在直線上，且．（1）求的長；（2）如圖2，已知點在線段上，過點作軸的垂線，交軸于點，交于點，聯(lián)結(jié)，．①如果直線的表達(dá)式為，求的值；②延長交軸于點，聯(lián)結(jié)，若在射線上有一點，使得以、、為頂點的三角形與△相似，求點的坐標(biāo)．解：（1）過作軸于點，則，，，，△△，，、，點在直線上，，，，，，在△中，；（2）①由（1）知，；，且，垂直平分，；②由題知，，垂直平分，，，，，當(dāng)點在線段上時，則△△，，即，解得；過作于點，，，即，，，；當(dāng)點在延長線上時，則此時△△，，即，解得，過作于點