第14章

全等三角形

滬科版2024·八年級上冊14.2 三角形全等的判定(第5課時)

學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)123熟練掌握“斜邊、直角邊定理”，以及熟練地利用這個定理和一般三角形全等的判定方法判定兩個直角三角形全等.探索出全等三角形的條件“HL”，結(jié)合圖形能準(zhǔn)確表述三角形全等.學(xué)生能運用“HL”的方法進(jìn)行三角形全等的判定.知識回顧有一個角是直角的三角形叫做三角形，直角三角形；直角邊直角邊斜邊直角三角形中叫做直角邊,夾直角的兩邊叫做斜邊，直角相對的邊直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC；BCA新知導(dǎo)入

如圖：Rt△ABC與Rt△A′B′C′中，∠C與∠C′是直角，用我們已經(jīng)學(xué)過的知識，除了兩直角相等以外，你還能補(bǔ)充哪些條件就能使這兩個直角三角形全等？那么在判定兩個直角三角形全等時，有沒有特殊的方法呢？ABCA′B′C′①

SAS②

ASA④

SSS③

AAS直角三角形跟一般三角形比較，它有一個特殊性就是有一個角是直角

.新知探究已知：Rt△ABC，其中∠C為直角.求作：Rt△A′B′C′，使∠C′為直角，A′C′=AC，A′B′=AB.作法：1、作∠MC′N=∠C=90°；2、在射線C′N上截取

C′A′=CA；交C′M于點B′；3、以點A′為圓心，AB長為半徑畫弧,4、連接A′B′.則△A′B′C′就是所求作三角形.ABCA′B′C′MN新知探究已知：Rt△ABC，其中∠C為直角.求作：Rt△A′B′C′，使∠C′為直角，A′C′=AC，A′B′=AB.ABCA′B′C′M

將畫好的Rt△A′B′C′與Rt△ABC疊一疊，看看它們能否完全重合？由此你能得到什么結(jié)論？斜邊全等.和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形歸納總結(jié)判定兩個直角三角形全等的另一種方法是：

和

分別相等的兩個

三角形全等.直角定理：“HL”簡記為

或

.“斜邊、直角邊”(H表示斜邊、L表示直角邊）.斜邊一條直角邊ABCA′B′C′幾何語言：∴在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∵AB=A′B′

∴Rt△ABC≌

Rt△A′B′C′

（HL）AC=A′C′斜邊相等一條直角邊相等∵∠C=∠C′=90°，(hypotenuse、

leg)本定理將在15.4中給出證明歸納總結(jié)判定兩個三角形全等的方法總結(jié)：SAS

ASA

AAS

SSS判定一般三角形全等的方法：

SAS

ASA

AAS

HL

SSS

判定直角三角形全等的方法：注意：“HL”是僅適用于判定直角三角形全等的特殊方法.不能判斷兩個三角形全等的組合有2個：AAA，

SSA典例分析例1

已知：如圖，BD，CE分別是△ABC的高，BE=CD.求證：BD=CE.課本P106頁

例7ABCDE分析：BC=CB∠BEC=∠CDB=90°BE=CD

←

BD，CE分別是△ABC的高？←

公共邊(證明全等)Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）

(全等三角形的性質(zhì))BE=CE典例分析例1

已知：如圖，BD，CE分別是△ABC的高，BE=CD.求證：BD=CE.證明：∴

∠BEC=∠CDB=90°∴

在Rt△BEC和Rt△CDB中∵（已知）（公共邊）BE=CD，BC=CB，∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL)∴

BD＝CE(全等三角形對應(yīng)邊相等)(已知）課本P106頁

例7ABCDE∵BD，CE分別是△ABC的高，(垂直的定義）練習(xí)精講練習(xí)1

如圖，∠ACB=∠ADB=90°，要證明△ABC≌

△BAD，還需一個什么條件？把這些條件都寫出來，并填寫出判定它們?nèi)鹊睦碛?ADBC(1)AC=BD(3)∠CBA=∠DAB(2)BC=AD(4)∠CAB=∠DBA(HL)(HL)(AAS)(AAS)核心提醒：

公共邊是對應(yīng)邊.練習(xí)精講練習(xí)2

已知：如圖，AC⊥BD于點O，且OA=OC，AB=CD.

求證：AB∥DC課本P106練習(xí)

第1題DABCO分析：AB=CD∠AOB=∠COD=90°OA=OC

←

AC⊥BD(證明全等)Rt△AOB≌Rt△COD（HL）

(全等三角形的性質(zhì))∠A=∠C(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)AB∥DC練習(xí)精講練習(xí)2

已知：如圖，AC⊥BD于點O，且OA=OC，AB=CD.

求證：AB∥DC課本P106練習(xí)

第1題DABCO證明：∵AC⊥BD（已知）∴∠AOB=∠COD=90°∴

在Rt△AOB和Rt△COD中∵（已知）（已知）OA=OCAB=CD

∴Rt△AOB≌Rt△COD(HL)∴

∠B＝∠D(全等三角形對應(yīng)角相等)（垂直的定義）∴

AB∥DC(內(nèi)錯角相等，兩直線平行

)練習(xí)精講練習(xí)3

如圖，在△ABC中，高AD和高BE交于點H，添加一個條件，使得△BDH≌△ADC，并加以證明.課本P107練習(xí)

第3題ABDCEH分析：∠BDH=∠ADC=90°∠DAC=

←

高AD和高BE交于點H？90°–∠ACD∠DBH=(1)

AD=BD(2)

DH=DC(3)

BH=AC(AAS)(ASA)(AAS)練習(xí)精講練習(xí)3

如圖，在△ABC中，高AD和高BE交于點H，添加一個條件，使得△BDH≌△ADC，并加以證明.課本P107練習(xí)

第3題ABDCEH解：添加BD=AD，證明：∵高AD和高BE交于點H，∴∠BDH=∠ADC=90°，（垂直的定義）在R△BDH和△ADC中∵（已證）（已證）BD=AD∠BDH=∠ADC，∴△BDH≌△ADC(ASA)∵∠DBH=90°–∠ACD=∠DAC∴∠DBH=∠DAC，∠DBH=∠DAC，（已知）（等量代換）練習(xí)精講練習(xí)4

如圖，在△ABD中，BC⊥AD于點C，E為BC上一點，連接AE，AE=BD，EC=CD，延長AE交BD于點F.求證：AF⊥BD.BACDFE分析：EC=CD∠ACE=∠BCD=90°AE=BD

←

BC⊥AD(證明全等)Rt△ACE≌Rt△BCD（HL）

(全等三角形的性質(zhì))∠CAE=∠CBD(利用等式性質(zhì))∠CAE+∠CDB=∠CBD+∠CDB=90°(垂直定義)AF⊥BD練習(xí)精講練習(xí)4

如圖，在△ABD中，BC⊥AD于點C，E為BC上一點，連接AE，AE=BD，EC=CD，延長AE交BD于點F.求證：AF⊥BD.BACDFE證明：∵BC⊥AD∴∠ACE=∠BCD=90°（垂直的定義）在Rt△ACE和Rt△BCD中∵（已知）（已知）EC=CDAE=BD∴Rt△ACE≌Rt△BCD(HL)∴∠EAC=∠DBC(全等三角形對應(yīng)角相等)∵∠DBC+∠BDC=90°∴∠EAC+∠BDC=90°(等量代換

)(三角形的內(nèi)角和為180°)（直角三角形的兩銳角互余）∴∠AFD=90°∴AF⊥BD(垂直的定義)課堂小結(jié)

SAS

ASA

A