專題14.3全等三角形的綜合典例分析典例分析【典例1】【初步探索】（1）如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE.連接AG，先證明△ABE≌△【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是【拓展延伸】（3）已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足【思路點(diǎn)撥】（1）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，可判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE（2）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE（3）在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根據(jù)∠【解題過(guò)程】解：（1）∠BAE如圖1，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接在△ABE和△AB=∴△ABE≌△∴∠BAE=∠DAG∵EF=BE∴EF在△AEF和△AE=∴△AEF≌△∴∠故答案為：∠BAE（2）上述結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接∵∠B+∠ADF∴∠B在△ABE和△AB=∴△ABE≌△∴∠BAE=∠DAG在△AEF和△AE=∴△AEF≌△∴∠EAF（3）如圖3，在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接∵∠ABC+∠ADC∴∠ADC在△ABE和△AB=∴△ABE≌△∴AG=AE∵EF=BE在△AEF和△AE=∴△AEF≌△∴∠FAE∵∠FAE∴2∠FAE∴2∠FAE即2∠FAE∴∠∵∠ABC+∠ADC∴∠DAB∠EAF學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2AC，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板按如圖△ADE放置，使直角三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A、D重合，連接BE、CE，CE與①△ACE≌△DBE；②BE⊥CE；③A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【思路點(diǎn)撥】利用△ADE為等腰直角三角形得到∠EAD=∠EDA=45°，EA=ED，則∠EAC=∠EDB=135°，則可根據(jù)“SAS”判斷△ACE≌△DBE（SAS），從而對(duì)①進(jìn)行判斷；再利用∠AEC=∠DEB證明∠BEC=∠DEA=90°，則可對(duì)②【解題過(guò)程】解：∵AB=2AC，點(diǎn)D∴BD∵△ADE∴∠EAD=∠∵∠EAC=∴∠在△ACE和△EA=∴△ACE≌△DBE（∴∠∴∠∴BE⊥EC∵∠而∠AEC∴∠∵∠而AC=∴∠∴∠∴DE>DF∵△ACE≌△∴S∵BD∴S∴S∴S△DEF故選：C．2．（23-24八年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，在銳角三角形ABC中，AH是BC邊上的高，分別以AB，AC為一邊，向外作正方形ABDE和ACFG（正方形四條邊都相等，四個(gè)角都是直角），連接CE，BG和EG，EG與HA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，下列結(jié)論：①BG=CE；②BG⊥CE；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，在解答時(shí)作輔助線EP⊥HA的延長(zhǎng)線于P，過(guò)點(diǎn)G作GQ⊥AM于Q構(gòu)造出全等三角形是難點(diǎn)，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵，分析題意，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得可求出∠CAE=∠BAG，由“邊角邊”可得△ABG≌△AEC，可判斷①是否正確；設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N，由△ABG≌△AEC可得∠【解題過(guò)程】解：在正方形ABDE和ACFG中，AC=AG，∴∠CAG+∠BAC在△ABG和△AEC中，AB=∴△ABG∴BG=CE設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)∵△ABG∴∠AGB∴∠NCF∴∠CNG∴BG⊥CE過(guò)點(diǎn)G作GQ⊥AM于Q，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥∵AH∴∠ABH∵∠BAE∴∠EAP∴∠EAP在△ABH和△∠ABH=∠EAP∴△ABH∴∠EAM=∠ABC同理可得GQ=∴EP∵在△EPM和△∠P=∠MQG∴△EPM∴EM∴AM是△AEG的中線，故綜上所述，①②③④結(jié)論都正確，共4個(gè)．故選：D．3．（23-24八年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，在△ABC中，∠A=90°，△ABC的外角平分線CD與內(nèi)角平分線BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AD，點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，下列結(jié)論：①∠BDC=45°；②12A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【思路點(diǎn)撥】在直角三角形ABC中，由內(nèi)角平分線和外角平分線可得∠DCF=45°+∠DBC，由此可證∠BDC=45°；根據(jù)三角形BCE的三邊關(guān)系可知12BD+CE=BC錯(cuò)誤；如圖所示（見(jiàn)詳解），過(guò)點(diǎn)D作DH【解題過(guò)程】解：∵BE平分∠ABC，CD平分∠∴∠ABD=∠DBC∵∠ACF∴∠ACD又∵∠DCF是△∴∠DCF∴∠DCF∴∠BDC=45°，故∵點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，∴12在△BCE中，BE∴BE+CE=如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于∵DH⊥∴∠DHE點(diǎn)E是BD中點(diǎn)，∴BE=DE，∴△ABE∴AB=又∵∠DCH=∠DCF，∠∴△DHC∴DH=∴AB=DH=DF，即如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于由結(jié)論④可知，△ABE≌△HDE∴S△ABE=S△在△ABD中，點(diǎn)E是BD∴S△∴S△DCE=綜上所述，正確的有①③④，共3個(gè)故選：B．4．（23-24八年級(jí)上·河北石家莊·期中）已知AB=10，AC=6，BD=8，其中∠CAB=∠DBA=α，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿著C→①若x=1．則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程始終是點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路程的2②當(dāng)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，x=6③若α=90°，t=5，x=1④若△ACP與△BPQ全等，則x=0.8

A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④【思路點(diǎn)撥】此題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是弄清運(yùn)動(dòng)過(guò)程，找出符合條件的點(diǎn)的位置．本題根據(jù)路程等于時(shí)間乘以速度求出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的路程，即可判斷①；首先求出點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)的時(shí)間，然后根據(jù)題意列出算式求解即可判斷②；首先畫(huà)出圖形，根據(jù)題意求出AC=6，AP=10-6=4，BQ=BD-DQ=3，PB=AB-AP=6，然后得到【解題過(guò)程】解：①∵點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程為2t若x=1，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路程為t∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程始終是點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路程的2倍，故①正確；②當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，t=6÷2=3∵P、Q兩點(diǎn)同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)，∴x=10+8÷3=6③如圖所示，

當(dāng)t=5，x點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為2×5=10，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為5×1=5，∵AC=6，DQ∴AP=10-6=4，BQ∵AB=10∴PB=∴AP≠∴△CAP和△PBQ不全等，故④當(dāng)△ACP≌△BPQ時(shí)，則AP∵AC=∴10-2∴t=5∵AP=∴10-6=8-5x∴x=0.8當(dāng)△ACP≌△BQP時(shí)，則AP∵AP=∴2t∴t=∵AC=∴6=8-11∴x=∴若△ACP與△BPQ全等，則x=0.8或4綜上所述，正確的選項(xiàng)為①②④．故選：C．5．（23-24八年級(jí)上·北京海淀·期中）如圖，銳角△ABC中，∠BAC=60°,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD與CE相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論①∠BOC=120°；②連接ED，則EDA．①② B．①③ C．①③④ D．③④【思路點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的常見(jiàn)輔助線-截長(zhǎng)補(bǔ)短等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．①根據(jù)∠BOC=180°-∠OBC+∠OCB即可判斷；②假設(shè)ED∥BC，可推出EB=ED=CD得到AB=AC，即可判斷；③在BC上取一點(diǎn)F，使得BF=BE，證【解題過(guò)程】解：∵∠∴∠∵BD平分∠ABC,∴∠∴∠BOC=180°-∠如圖1所示：∵BD平分∠ABC,∴∠若ED∥則∠∴∠∴EB∵ED∥∴AB=AC，與題目條件不符，故在BC上取一點(diǎn)F，使得BF=BE，如圖∵∠∴△∴∠∴∠∵∠∴∠∵∠ECD=∠∴△∴CD∵BC∴BC=BE+作BG⊥CG,∵BO=AC，∴△∴BG∵BG=CH，∴△∴EB即：∠∴∠設(shè)∠EBG=∠∵∠∴x∵∠∴60°-2解得：x∴∠EBC=60°-2x故選：C6．（23-24八年級(jí)上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF，給出下列結(jié)論：①∠1=∠2；【思路點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，利用全等三角形的判定和性質(zhì)，可以證明△AEB【解題過(guò)程】解：在△AEB和△∠E∴△AEB∴∠EAB∵∠1+∠CAB∴∠1=∠2,BE=CF在△AEM和△∠2=∠1AE∴△AEM∴EM=∵CF=∴CN=MB，故在△ACN和△∠C∴△ACN≌△ABM故答案為：①②③④．7．（23-24八年級(jí)上·廣東中山·期中）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，且DA=BC，EB=AC，F(xiàn)C

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∠BDF=∠BFD【解題過(guò)程】解：連接BD、

∵DA∴∠DAB在△DAB和△DA=∴△∴BD∴∠BDF∵∠DAB∴∠ADB∴∠DBF∴∠BFD同理∠AFE∴∠DFE故答案為：39°．8．（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠

【思路點(diǎn)撥】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，延長(zhǎng)BO交∠BAC的角平分線于點(diǎn)P，連結(jié)CP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角平分線定義求出∠ABC=∠ACB=55°，∠BAP=∠CAP=35°，進(jìn)而得出∠OBC=30°，利用SAS證明△APB≌△ACP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出【解題過(guò)程】解：如圖，延長(zhǎng)BO交∠BAC的角平分線于點(diǎn)P，連接CP

∵AP平分∠BAC，∴∠BAP∵AB=AC∴∠ABC∵∠ABO∴∠OBC在△APB和△AB=∴△APB∴∠ABP=∠ACP∴∠BCP∴∠BPC∴∠APB∴∠APB∵∠OCB∴∠OCP在△APC和△∠ACP∴△APC∴AP∴∠OAP∴∠OAC故答案為：65°．9．（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·期中）如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，下列結(jié)論：①∠BOD=45°；②AD=OE+OF；③若

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)與直角三角形性質(zhì)可以判斷①是否正確；延長(zhǎng)FO交AB于H，通過(guò)證明△AOH≌△AOG，△BOD≌△BOH，利用全等的性質(zhì)來(lái)判斷【解題過(guò)程】解：∵△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)O∴∠ABO=∠CBO∠BOD故①正確；延長(zhǎng)FO交AB于H，如圖所示：

∴∠AOG又∵∠HAO=∠GAO∴△AOH∴AG=AH，∴∠BOH∴∠BOH∴△BOD∴BD=BH，∴AB=∵BD=3，AG∴AB=11故③正確；∵∠BOA=∠BOH∴∠BOA∴△BOA∴AO=∵OH=OD，∴OD=∴AD=又∵∠OGE=90°-∠F∴∠OGE∴OE≠∴AD=故②錯(cuò)誤；∵同高的兩個(gè)三角形面積之比等于底邊長(zhǎng)之比，∴S△故④正確；因此正確的有：①③④．故答案為：①③④．10．（23-24八年級(jí)上·江西贛州·期末）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=14cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B點(diǎn)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn)，點(diǎn)P和Q分別以2cm/s和3cm/s的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，分別過(guò)P和Q作PE⊥l于E【思路點(diǎn)撥】先求出點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)到達(dá)點(diǎn)C和點(diǎn)B所需要的時(shí)間，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)到達(dá)點(diǎn)C和A點(diǎn)所需要的時(shí)間，然后根據(jù)P、Q所在的位置分類討論，分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，找出全等三角形的對(duì)應(yīng)邊并用時(shí)間t表示，然后列出方程即可得出結(jié)論．【解題過(guò)程】解：由題意知，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)到達(dá)點(diǎn)C所需要的時(shí)間為：8÷2=4s；到達(dá)點(diǎn)B共需要的時(shí)間為：點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)到達(dá)點(diǎn)C所需要的時(shí)間為：14÷3=143s；到達(dá)點(diǎn)當(dāng)0≤t≤4，點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在此時(shí)AP∴∵∠∴∠∴∠∵要使以點(diǎn)P，E，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形全等∴∴8-2∴t當(dāng)4<t≤143，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)∵要使以點(diǎn)P，E，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形全等∴P和Q重合，E和F∴∴2∴t當(dāng)143<t≤223，點(diǎn)P在∴∵∠∴∠∴∠∵要使以點(diǎn)P，E，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形全等∴∴2∴t當(dāng)223<t≤11，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)∴∵∠∴∠∴∠∵要使以點(diǎn)P，E，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形全等∴∴2∴t∴要使以點(diǎn)P，E，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形全等，則t=8或t=6故答案為：225或6或11．（23-24八年級(jí)上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·階段練習(xí)）如圖．在△ABC中，∠ABC=60°．AD，CE分別平分∠（1）求∠EOD（2）求證：OD=【思路點(diǎn)撥】本題考查角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)．（1）先由∠ABC=60°得∠BAC+∠ACB（2）在AC上截取CF=CD，連接OF，先證明△COD≌△COF，得OD=OF【解題過(guò)程】（1）解：∵∠ABC∴∠BAC∵AD，CE分別平分∠BAC，∴∠CAD=1∴∠=180°-1∴∠EOD∴∠EOD的度數(shù)是120°（2）在AC上截取CF=CD，連接在△COD和△CD=∴△COD∴OD∵∠AOC=120°，∴∠COF∴∠AOF∴∠AOE在ΔAOE和Δ∠OAE∴△AOE∴OE∴OD12．（23-24七年級(jí)下·重慶南岸·期末）在∠MAN點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D分別作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分別為B，C．且BD=CD，點(diǎn)E（1）如圖1，若∠BED=∠（2）如圖2，若∠BDC=120°，∠EDF=60°，猜想EF，【思路點(diǎn)撥】（1）由DB⊥AM，DC⊥AN，可得∠EBD=∠FCD（2）在BM上取點(diǎn)G，使BG=CF，通過(guò)證明△GBD本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：通過(guò)輔助線構(gòu)造全等三角形．【解題過(guò)程】（1）解：∵DB⊥AM∴∠EBD∵BD=CD∴△BED∴DE（2）解：在BM上取點(diǎn)G，使BG=∵DB⊥AM∴∠GBD∵BD=CD∴△GBD∴DG=DF∵∠BDC=120°，∴∠EDB∴∠EDB+∠GDB∴△GDE∴EF=EG∴EF13．（23-24八年級(jí)上·吉林·期末）（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m．CE⊥直線m（2）如圖2，將（1）中的條件改為在△ABC中，AB=AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，且有∠BDA=∠【思路點(diǎn)撥】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）由直角三角形的性質(zhì)及平角的定義得出∠CAE=∠ABD（2）與（1）類似，可證明△ADB【解題過(guò)程】解：（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線∴∠BDA∴∠BAC∴∠BAD∵∠BAD∴∠CAE在△ADB和△∠∴△ADB∴AE=BD，∴DE=（2）成立．證明如下：∵∠BDA∴∠DBA∴∠CAE在△ADB和△∠∴△ADB∴AE=BD，∴DE=14．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）（1）如圖①，在△ABC中，若AB=6，AC=4，AD為BC（2）如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF【思路點(diǎn)撥】（1）由已知得出AB-BE<AE<（2）延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M，使DM=DF，連接BM，EM，可得△BMD≌△CFD，得出BM（3）延長(zhǎng)AE，DF交于點(diǎn)G，根據(jù)平行和角平分線可證AF=FG，也可證得【解題過(guò)程】解：（1）如圖①，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=∵∠ADC∴△ACD∴BE=在△ABE中，AB∴6-4<AE∴2<AE∴1<AD故答案為：1<AD（2）BE+延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M，使DM=DF，連接BM、同（1）得：△BMD∴BM=∵DE⊥∴EM=在△BMEBE+∴BE+（3）AF+如圖③，延長(zhǎng)AE，DF交于點(diǎn)∵AB∥∴∠BAG在△ABE和△CE=∴△ABE∴CG=∵AE是∠BAF∴∠∴∠FAG∴AF=∵FG+∴AF+CF15．（2023八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D

【思路點(diǎn)撥】本題是三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．（1）延長(zhǎng)EB到G，使BG=DF，連接（2）先證明△ABM≌△ADF(SAS)，由全等三角形的性質(zhì)得出AF=（3）在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．證明△ABG≌△【解題過(guò)程】證明：延長(zhǎng)EB到G，使BG=DF，連接

∵∠ABG∴△ABG∴AG=∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF∴∠GAE又∵AE∴△AEG∴EG=∵EG=∴EF（2）（1）中的結(jié)論EF=∵∠ABC∴∠1=∠D在△ABM與△AB=∴△ABM∴AF∵∠EAF∴∠3+∠4=∠即∠在△AME與△AM∴△AME∴EF即EF=∴EF（3）結(jié)論EF=BE+證明：在BE上截取BG，使BG=DF，

∵∠B∴∠B∵AB∴△ABG∴∠BAG∴∠BAG∴∠GAE∵AE=∴△AEG∴EG=∵EG=∴EF=16．（23-24八年級(jí)上·吉林遼源·期末）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC=45°．MN是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線，BD（1）求證：BD（2）若將MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使MN與BC相交于點(diǎn)G（如圖2)，其他條件不變，求證：BD=（3）在（2）的情況下，若CE的延長(zhǎng)線過(guò)AB的中點(diǎn)F（如圖3)，連接GF，求證：∠1=∠2．【思路點(diǎn)撥】（1）首先證明∠1=∠3，再證明△ADB≌△CEA（2）首先證明∠BAD=∠ACE，再證明△（3）首先證明△ACF≌△ABP，然后再證明△BFG≌△【解題過(guò)程】（1）如圖1，∵BD⊥MN∴∠BDA∵∠BAC∴∠1+∠2=90°，又∵∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3，在△ADB和△∠BDA∴△ADB∴BD（2）如圖2，∵BD⊥MN∴∠BDA∵∠BAD∠ACE∴∠BAD在△ABD和△∠BDA∴△ABD∴BD（3）如圖3，過(guò)B作BP∥AC交MN于∵BP∴∠PBA∵∠BAC∴∠PBA由（2）得：∠BAP∴在△ACF和△∠PBA∴△ACF∴∠1=∠BPA，AF∵BF∴BF∵△ABC∴∠ABC又∵∠PBA∴∠PBG∴∠ABC在△BFG和△BF=∴△BFG∴∠BPG∵∠BPG∴∠1=∠2．17．（23-24八年級(jí)上·廣西南寧·期末）綜合與實(shí)踐：【問(wèn)題情境】在綜合與實(shí)踐課上，老師對(duì)各學(xué)習(xí)小組出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，∠ACB=900，AC=BC，【合作探究】“希望”小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將題目改編如下：如圖2，∠CDF=90°，CD=FD，點(diǎn)A是DF上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，作∠ACB=90°且BC=AC，連接BF交CD于點(diǎn)【拓展提升】“創(chuàng)新”小組在“希望”小組的基礎(chǔ)上繼續(xù)提出問(wèn)題：如圖3，∠CDF=90°，CD=FD，點(diǎn)A是射線DF上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，作∠ACB=90°且BC=AC，連接BF交射線CD于點(diǎn)【思路點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的綜合問(wèn)題，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）利用AAS證得△ACD（2）過(guò)B作BH⊥CD于H，由（1）得△ACD≌△CBH，進(jìn)而可得AD=CH,CD=BH（3）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD于H，由（2）得AD=CH，【解題過(guò)程】解：（1）證明：∵∠ACB∴∠ACD∵BE∴∠B∴∠B在△ACD和△∠ACD∴△ACD∴AD（2）證明：過(guò)B作BH⊥CD于由（1）得：△ACD∴AD∵DF∴DF在△DFG和△∠DGF∴△DFG∵DG∴DG∵CG∴CH=CG∴AD=2，∴A是DF（3）CG=9過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD于由（2）得：AD=CH，CD=∵FD∴AD=CH∴DH∴DG∴CG∴CG18．（23-24八年級(jí)上·遼寧撫順·期末）【材料閱讀】小明在學(xué)習(xí)完全等三角形后，為了進(jìn)一步探究，他嘗試用三種不同方式擺放一副三角板（在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC；△（1）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，將兩個(gè)三角板互不重疊地?cái)[放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)B擺放在線段DF上時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DF，垂足為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥DF，垂足為點(diǎn)N，易證△ABM≌△BCN，若（2）【類比】如圖2，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)B在線段DE上且頂點(diǎn)A在線段EF上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥DE，垂足為點(diǎn)P，猜想AE，PE，（3）【拓展】如圖3，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)A在線段DE上且頂點(diǎn)B在線段EF上時(shí)，若AE=5，BE=1，連接CE，則△ACE【思路點(diǎn)撥】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記相關(guān)定理內(nèi)容進(jìn)行幾何推理是解題關(guān)鍵．（1）由△ABM≌△BCN，利用兩個(gè)三角形全等的性質(zhì)，得到AM=BN（2）根據(jù)兩個(gè)三角形全等的判定定理，得到△ABE≌△BCP，利用兩個(gè)三角形全等的性質(zhì)，得到AE=BP（3）延長(zhǎng)FE，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥FE于P，由兩個(gè)三角形全等的判定定理得到△ABE≌△BCP，從而PC=BE=1，PB=AE=5，則可求得PE，延長(zhǎng)AE【解題過(guò)程】（1）解：∵△ABM≌△BCN，AM∴AM=BN∴MN故答案為：9．（2）解：PE理由：∵∠ABC∴∠ABE∵CP∴∠CPB∴∠∴∠ABE∵∠AEB∴∠AEB∵AB∴△ABE∴AE=∵BE∴PE∴PE（3）解：延長(zhǎng)FE，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥FE于∵∠ABE+∠EBC∴∠EBC∵∠AEB=∠CPB∴△ABE∴PC=BE∴PE延長(zhǎng)AE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE于∵AF⊥PE∴AF∵AF⊥PE∴PE由平行線間的平行線段相等可得CF=S△故答案為：10．19．（23-24七年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期末）【閱讀材料】“截長(zhǎng)法”是幾何題中一種輔助線的添加方法，是指在長(zhǎng)線段中截取一段等于已知線段，常用于解答線段間的數(shù)量關(guān)系，當(dāng)題目中有等腰三角形、角平分線等條件，可用“截長(zhǎng)法”構(gòu)造全等三角形來(lái)進(jìn)行解題．

【問(wèn)題解決】（1）如圖①，在△ABC中，∠ACB=2∠B,∠C=90°,AD為∠BAC【拓展延伸】（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB=2∠B,∠（3）如圖③，在△ABC中，∠ACB=2∠B,∠【思路點(diǎn)撥】（1）在AB上截取AE=AC，連接DE，可證明△EAD≌△CAD，得ED=CD，∠AED=∠C=90°，則∠（2）在AB上截取AF=AC，連接FD，可證明△FAD≌△CAD，得FD=CD，∠AFD=∠ACB，由∠AFD（3）在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使AG=AC，連接DG，可證明△GAD≌△CAD，得GD=CD，∠