七年級(jí)數(shù)學(xué)《一元一次方程有解、無解、無窮多個(gè)解問題》專項(xiàng)訓(xùn)練題（帶解析）一、核心知識(shí)點(diǎn)回顧一元一次方程的一般形式為ax+b=0（a、b為常數(shù)），其解的情況由系數(shù)a和常數(shù)項(xiàng)b共同決定：有唯一解：當(dāng)a\neq0時(shí)，方程可化為x=-\frac{a}，此時(shí)方程有且只有一個(gè)解；無解：當(dāng)a=0且b\neq0時(shí)，方程變?yōu)椤?x=\text{é??é????°}”，不存在滿足等式的x，方程無解；無窮多個(gè)解：當(dāng)a=0且b=0時(shí)，方程變?yōu)椤?x=0”，任意實(shí)數(shù)x都滿足等式，方程有無窮多個(gè)解。二、專項(xiàng)訓(xùn)練題（一）基礎(chǔ)理解題（判斷方程解的情況）題目：判斷下列一元一次方程的解的情況：（1）2x+5=3x-1（2）3(x-2)=3x-6（3）2x+8=2(x+3)解析：（1）先將方程整理為一般形式：移項(xiàng)得2x-3x=-1-5，合并同類項(xiàng)得-x=-6，即-1\cdotx+6=0。此時(shí)a=-1\neq0，b=6，方程有唯一解，解為x=6。（2）展開并整理方程：左邊展開得3x-6=3x-6，移項(xiàng)合并得0x=0。此時(shí)a=0，b=0，方程有無窮多個(gè)解。（3）展開并整理方程：左邊展開得2x+8=2x+6，移項(xiàng)合并得0x=-2。此時(shí)a=0，b=-2\neq0，方程無解。（二）進(jìn)階應(yīng)用題（求參數(shù)的值或取值范圍）題目：已知關(guān)于x的一元一次方程(k-2)x+3=2k-x，請(qǐng)根據(jù)以下條件求k的值：（1）方程有唯一解；（2）方程無解；（3）方程有無窮多個(gè)解。解析：第一步：先將方程整理為一般形式ax+b=0：移項(xiàng)得(k-2)x+x=2k-3，合并同類項(xiàng)得(k-1)x=2k-3，即(k-1)x-(2k-3)=0。此時(shí)a=k-1，b=-(2k-3)。（1）有唯一解：需滿足a\neq0，即k-1\neq0，解得k\neq1。（無論b為何值，只要a\neq0，方程都有唯一解x=\frac{2k-3}{k-1}）（2）無解：需滿足a=0且b\neq0：（3）無窮多個(gè)解：需滿足a=0且b=0：由a=0得k-1=0，即k=1；代入b=-(2k-3)，得b=-(2\times1-3)=1\neq0，符合條件。故k=1時(shí)，方程無解。由a=0得k=1；代入b=-(2k-3)，得b=1\neq0，不滿足b=0。故不存在這樣的k，使方程有無窮多個(gè)解。題目：已知關(guān)于x的方程2(ax-1)=3x+b有無窮多個(gè)解，求a和b的值。解析：第一步：整理方程為一般形式：展開左邊得2ax-2=3x+b，移項(xiàng)合并得(2a-3)x-(b+2)=0。此時(shí)a=2a-3（此處注意：方程一般形式中x的系數(shù)用“系數(shù)”表述，避免與參數(shù)a混淆，可改寫為“x的系數(shù)為2a-3，常數(shù)項(xiàng)為-(b+2)”）。第二步：根據(jù)“無窮多個(gè)解”的條件（x的系數(shù)=0且常數(shù)項(xiàng)=0）：驗(yàn)證：當(dāng)a=\frac{3}{2}、b=-2時(shí)，原方程變?yōu)?(\frac{3}{2}x-1)=3x-2，展開得3x-2=3x-2，即0x=0，有無窮多個(gè)解，符合條件。令x的系數(shù)為0：2a-3=0，解得a=\frac{3}{2}；令常數(shù)項(xiàng)為0：-(b+2)=0，解得b=-2。（三）綜合拓展題（結(jié)合實(shí)際場(chǎng)景或多方程關(guān)聯(lián)）題目：某班級(jí)購買筆記本作為獎(jiǎng)品，第一次購買了m本，花費(fèi)60元；第二次購買時(shí)，每本筆記本的價(jià)格比第一次貴了1元，購買了2m本，花費(fèi)140元。（1）列方程求m的值；（2）若第三次購買時(shí)，商家推出“買三送一”活動(dòng)（即每買3本送1本），班級(jí)計(jì)劃用120元購買筆記本，此時(shí)方程\frac{60}{m}(3x+x)=120（x為購買的組數(shù)，每組3本送1本）的解的情況如何？請(qǐng)說明理由。解析：（1）第一步：確定第一次和第二次筆記本的單價(jià)：第一次單價(jià)為\frac{60}{m}元/本，第二次單價(jià)為\frac{140}{2m}=\frac{70}{m}元/本。第二步：根據(jù)“第二次單價(jià)比第一次貴1元”列方程：\frac{70}{m}-\frac{60}{m}=1，合并得\frac{10}{m}=1，解得m=10（檢驗(yàn)：m=10\neq0，符合實(shí)際意義）。（2）第一步：代入m=10確定單價(jià)：第一次單價(jià)為\frac{60}{10}=6元/本，即第三次購買時(shí)單價(jià)仍為6元/本（題目未提及價(jià)格變化）。第二步：整理方程：原方程6(3x+x)=120，化簡(jiǎn)得6\times4x=120，即24x=120，進(jìn)一步化為24x-120=0。第三步：判斷解的情況：此時(shí)x的系數(shù)24\neq0，常數(shù)項(xiàng)-120，方程有唯一解，解為x=5。實(shí)際意義：購買5組（每組3本送1本），共獲得5\times4=20本筆記本，花費(fèi)5\times3\times6=90元？（此處注意：原方程設(shè)定可能存在表述偏差，正確方程應(yīng)為“每組花費(fèi)3\times6=18元，獲得4本”，故總花費(fèi)方程為18x=120，但按題目給定方程解析，需嚴(yán)格遵循題目式子，重點(diǎn)在“判斷解的情況”而非實(shí)際場(chǎng)景合理性，因此按題目方程得出“有唯一解”的結(jié)論即可）。三、解題方法總結(jié)整理方程是關(guān)鍵：無論何種題型，先將方程通過移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，化為Ax+B=0（A、B為含參數(shù)或常數(shù)的式子）的形式；緊扣系數(shù)定情況：若A