七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)-難點(diǎn)探究：數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題壓軸題六種模型全攻略(解析版)一、模型總述數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題是七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)的核心難點(diǎn)，常以壓軸題形式出現(xiàn)，核心考點(diǎn)包括：動(dòng)點(diǎn)位置表示、兩點(diǎn)距離計(jì)算、運(yùn)動(dòng)時(shí)間與路程關(guān)系、相遇/追及/距離最值等動(dòng)態(tài)場景分析。解題關(guān)鍵：用含“運(yùn)動(dòng)時(shí)間t”的代數(shù)式表示動(dòng)點(diǎn)位置，結(jié)合數(shù)軸性質(zhì)（兩點(diǎn)距離=右點(diǎn)坐標(biāo)-左點(diǎn)坐標(biāo)，絕對(duì)值表示距離）建立方程或代數(shù)式，求解未知量。二、六種核心模型及壓軸題解析模型一：單動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)距離問題核心特征一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從數(shù)軸上某點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸正/負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)t秒后與某定點(diǎn)的距離（或距離為特定值時(shí)的t）。公式工具若動(dòng)點(diǎn)P從起點(diǎn)x_0出發(fā)，速度為v（正方向v>0，負(fù)方向v<0），則t秒后P的坐標(biāo)為：x_P=x_0+vt；動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)A(x_A)的距離：|x_P-x_A|。壓軸題示例已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為-2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t\geq0）。（1）用含t的代數(shù)式表示動(dòng)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離為5個(gè)單位長度？解析（1）動(dòng)點(diǎn)P從-2出發(fā)，正方向運(yùn)動(dòng)速度為3，故t秒后坐標(biāo)為：x_P=-2+3t；（2）原點(diǎn)O坐標(biāo)為0，P與O的距離為|x_P-0|=|-2+3t|。根據(jù)題意列方程：|3t-2|=5，分兩種情況解絕對(duì)值方程：①當(dāng)3t-2\geq0（即t\geq\frac{2}{3}）時(shí)，3t-2=5，解得t=\frac{7}{3}；②當(dāng)3t-2<0（即t<\frac{2}{3}）時(shí)，2-3t=5，解得t=-1（舍去，因t\geq0）。綜上，t=\frac{7}{3}秒。模型二：雙動(dòng)點(diǎn)相遇問題核心特征兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)從數(shù)軸上不同點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸同向或相向運(yùn)動(dòng)，求相遇時(shí)間（或相遇時(shí)的位置）。關(guān)鍵思路相遇時(shí)，兩動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)相等，據(jù)此列方程求解t。壓軸題示例已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示1，點(diǎn)B表示7，動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度向正方向運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。（1）求t為何值時(shí)，M與N相遇；（2）相遇時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少？解析（1）先表示t秒后兩動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)：M從1出發(fā)正方向運(yùn)動(dòng)：x_M=1+2t；N從7出發(fā)負(fù)方向運(yùn)動(dòng)：x_N=7-1\timest=7-t。相遇時(shí)x_M=x_N，列方程：1+2t=7-t，移項(xiàng)得：3t=6，解得t=2秒；（2）將t=2代入x_M=1+2t，得x_M=1+2\times2=5，故相遇時(shí)M對(duì)應(yīng)數(shù)為5。模型三：雙動(dòng)點(diǎn)追及問題核心特征兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)沿?cái)?shù)軸同向運(yùn)動(dòng)，速度快的動(dòng)點(diǎn)從后方追趕速度慢的動(dòng)點(diǎn)，求追及時(shí)的時(shí)間（或追及點(diǎn)位置）。關(guān)鍵思路追及時(shí)，兩動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)相等；若起點(diǎn)不同，需注意“初始距離”與“速度差”的關(guān)系（追及時(shí)間=初始距離÷速度差）。壓軸題示例已知數(shù)軸上點(diǎn)C表示-5，點(diǎn)D表示3，動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度向正方向運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度向正方向運(yùn)動(dòng)，P比Q晚出發(fā)1秒。（1）求P出發(fā)后經(jīng)過多少秒追上Q；（2）追及時(shí)，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少？解析（1）設(shè)P出發(fā)后運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(t+1)秒（因Q早出發(fā)1秒）。表示兩動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)：x_P=-5+4t（P從-5出發(fā)，速度4）；x_Q=3+2(t+1)=2t+5（Q從3出發(fā)，速度2，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t+1）。追及時(shí)x_P=x_Q，列方程：-5+4t=2t+5，移項(xiàng)得：2t=10，解得t=5秒；（2）追及時(shí)x_P=-5+4\times5=15，x_Q=2\times5+5=15，故兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)均為15。模型四：動(dòng)點(diǎn)與線段中點(diǎn)問題核心特征動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，涉及線段中點(diǎn)的計(jì)算（如“動(dòng)點(diǎn)為某線段中點(diǎn)”“中點(diǎn)坐標(biāo)為定值”），需結(jié)合中點(diǎn)公式分析。公式工具若數(shù)軸上兩點(diǎn)A(x_A)、B(x_B)，則線段AB的中點(diǎn)M坐標(biāo)為：x_M=\frac{x_A+x_B}{2}。壓軸題示例已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示-3，點(diǎn)B表示9，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度向正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。（1）當(dāng)t為何值時(shí)，P是線段AB的中點(diǎn)？（2）若動(dòng)點(diǎn)Q從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)PQ的中點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，求t的值。解析（1）t秒后x_P=-3+3t，線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為\frac{-3+9}{2}=3。若P是中點(diǎn)，則x_P=3，列方程：-3+3t=3，解得t=2秒；（2）兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，t秒后：x_P=-3+3t，x_Q=9-t（Q從9出發(fā)，負(fù)方向速度1）。PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為\frac{x_P+x_Q}{2}，原點(diǎn)坐標(biāo)為0，故列方程：\frac{(-3+3t)+(9-t)}{2}=0，化簡分子：2t+6=0，解得t=-3（舍去，因t\geq0）。結(jié)論：不存在這樣的t（或題目若調(diào)整方向，可重新分析）。模型五：動(dòng)點(diǎn)與距離和/差最值問題核心特征動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，求其到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和最小值或距離差最大值，需結(jié)合數(shù)軸幾何意義分析。規(guī)律總結(jié)距離和最小值：若兩定點(diǎn)為A、B，則動(dòng)點(diǎn)在AB線段上（含端點(diǎn)）時(shí)，距離和最小，最小值為AB的長度；距離差最大值：動(dòng)點(diǎn)在AB線段的延長線上時(shí)，距離差最大，最大值為AB的長度。壓軸題示例已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示2，點(diǎn)B表示8，動(dòng)點(diǎn)P在數(shù)軸上任意移動(dòng)（速度不限，可表示為x_P）。（1）求|x_P-2|+|x_P-8|的最小值及此時(shí)x_P的取值范圍；（2）求|x_P-2|-|x_P-8|的最大值及此時(shí)x_P的取值范圍。解析（1）|x_P-2|表示P到A(2)的距離，|x_P-8|表示P到B(8)的距離。當(dāng)P在A左側(cè)（x_P<2）：距離和為(2-x_P)+(8-x_P)=10-2x_P，隨x_P增大而減小；當(dāng)P在AB之間（2\leqx_P\leq8）：距離和為(x_P-2)+(8-x_P)=6，為定值；當(dāng)P在B右側(cè)（x_P>8）：距離和為(x_P-2)+(x_P-8)=2x_P-10，隨x_P增大而增大。綜上，最小值為6，此時(shí)2\leqx_P\leq8；（2）|x_P-2|-|x_P-8|表示P到A與到B的距離差。當(dāng)x_P<2：差為(2-x_P)-(8-x_P)=-6；當(dāng)2\leqx_P\leq8：差為(x_P-2)-(8-x_P)=2x_P-10，隨x_P增大而增大，最大值為2\times8-10=6；當(dāng)x_P>8：差為(x_P-2)-(x_P-8)=6。綜上，最大值為6，此時(shí)x_P\geq8。模型六：動(dòng)點(diǎn)與多線段長度關(guān)系問題核心特征多個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，涉及三條及以上線段的長度關(guān)系（如“某線段長度是另一線段的2倍”“線段和差為定值”），需用t表示各線段長度，建立等式求解。壓軸題示例已知數(shù)軸上點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A表示-4，點(diǎn)B表示6，動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度向正方向運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N從B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度向正方向運(yùn)動(dòng)，三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t\geq0）。當(dāng)MN=2OP時(shí)，求t的值。解析第一步：用t表示各點(diǎn)坐標(biāo)：x_M=-4+2t（M從-4出發(fā)，速度2）；x_N=6-3t（N從6出發(fā)，速度3）；x_P=0+1\timest=t（P從O出發(fā)，速度1）。第二步：計(jì)算MN和OP的長度：MN=|x_M-x_N|=|(-4+2t)-(6-3t)|=|5t-10|；OP=|x_P-0|=t（因P向正方向運(yùn)動(dòng)，x_P\geq0，絕對(duì)值可去掉）。第三步：根據(jù)MN=2OP列方程：|5t-10|=2t，分兩種情況解絕對(duì)值方程：①當(dāng)5t-10\geq0（即t\geq2）時(shí)，5t-10=2t，解得t=\frac{10}{3}；②當(dāng)5t-10<0（即t<2）時(shí)，10-5t=2t，解得t=\frac{10}{7}。第四步：驗(yàn)證合理性：t=\frac{10}{3}和t=\frac{10}{7}均滿足t\geq0，故均為有效解。三、解題通用步驟與易錯(cuò)點(diǎn)提醒（一）通用步驟定起點(diǎn)：明確各動(dòng)點(diǎn)的初始位置（數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)）；表坐標(biāo)：用含t的代數(shù)式表示t秒后各動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)（注意速度方向：正方向加，負(fù)方向減）；列關(guān)系：根據(jù)題意（距離、相遇、中點(diǎn)等），用坐標(biāo)表示線段長度（絕對(duì)值）或等量關(guān)系，建立方程/代數(shù)式；解方程：求解方程，注意結(jié)合實(shí)際意義（t\geq0、坐標(biāo)合理性）舍去無效解；驗(yàn)結(jié)果：代入驗(yàn)證，確保結(jié)果符合數(shù)軸幾何意義。（二）易錯(cuò)點(diǎn)提醒速度方向：混淆正/負(fù)方向，導(dǎo)致坐標(biāo)表達(dá)式錯(cuò)誤（如負(fù)方向運(yùn)動(dòng)應(yīng)減速度×?xí)r間，而非加）；距離絕對(duì)值：忽略兩點(diǎn)距離需用絕對(duì)值表示（若未明確左右位置，需分情況討論）；運(yùn)動(dòng)時(shí)間：雙動(dòng)點(diǎn)追及問題中，若出發(fā)時(shí)間不同，需統(tǒng)一運(yùn)動(dòng)時(shí)間（如“晚出發(fā)1秒”則時(shí)間為t-1，需注意t>1）；端點(diǎn)情況：距離和/差最值問題中，遺漏線段端點(diǎn)的取值（如中點(diǎn)、相遇點(diǎn)可能在端點(diǎn)處）。四、鞏固練習(xí)（附答案提示）已知數(shù)軸上點(diǎn)