計(jì)算機(jī)2025年計(jì)算機(jī)圖形學(xué)實(shí)踐題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、編寫一個(gè)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)二維空間中點(diǎn)的仿射變換。變換矩陣為：```|abtx||cdty||001|```其中`a,b,c,d,tx,ty`為實(shí)數(shù)。函數(shù)接收點(diǎn)的二維坐標(biāo)`(x,y)`以及變換矩陣的六個(gè)參數(shù)，返回變換后點(diǎn)的坐標(biāo)`(x',y')`。請使用C++或Python語言實(shí)現(xiàn)該函數(shù)。二、簡述光柵化線段算法的Bresenham算法的基本思想。在Bresenham算法中，如何通過判斷一個(gè)變量`p`的符號(hào)來確定下一個(gè)像素點(diǎn)的選擇？請解釋`p`的更新公式`p=p+2dy-2dx`中的各項(xiàng)`dx`,`dy`及其含義。三、假設(shè)使用Phong光照模型計(jì)算一個(gè)點(diǎn)的顏色。已知光源位置`L`，視點(diǎn)位置`E`，該點(diǎn)位置`P`，點(diǎn)的表面法向量`N`。請寫出Phong光照模型中，計(jì)算該點(diǎn)漫反射顏色`I_diffuse`和鏡面反射顏色`I_specular`的公式。你需要明確公式中各個(gè)項(xiàng)的含義（例如光源顏色`I_light`，材質(zhì)屬性`Kd`,`Ks`,`alpha`等）以及最終合并顏色`I`的方法。四、編寫一個(gè)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)二維紋理映射。函數(shù)接收頂點(diǎn)的二維坐標(biāo)`(x,y)`，頂點(diǎn)的三維法向量（用于簡單的紋理坐標(biāo)偏移，例如基于法向量的平面映射），以及紋理圖像的寬`width`和高`height`。請返回該頂點(diǎn)對應(yīng)的紋理坐標(biāo)`(u,v)`。假設(shè)紋理坐標(biāo)的原點(diǎn)在圖像的左上角，u向量為水平方向，v向量為垂直方向。請簡述你的設(shè)計(jì)思路，并給出計(jì)算`u`和`v`的公式或算法描述。五、簡述Z-buffer（深度緩沖）算法的基本原理。在應(yīng)用Z-buffer算法進(jìn)行隱藏面消除時(shí)，當(dāng)一個(gè)新的像素點(diǎn)需要被寫入緩沖區(qū)時(shí)，需要進(jìn)行哪三個(gè)主要步驟？請解釋Z-buffer算法如何判斷一個(gè)新像素點(diǎn)對應(yīng)的物體表面是否可見。六、假設(shè)你要使用OpenGL（或類似圖形庫）實(shí)現(xiàn)一個(gè)簡單的三維場景，包含一個(gè)旋轉(zhuǎn)的立方體和一個(gè)點(diǎn)光源。請簡述實(shí)現(xiàn)該場景的主要步驟。你需要明確：1.如何定義立方體的頂點(diǎn)和索引數(shù)據(jù)？2.如何設(shè)置立方體的位置和旋轉(zhuǎn)動(dòng)畫（例如繞Y軸旋轉(zhuǎn)）？3.如何定義點(diǎn)光源的位置和屬性？4.如何啟用光照并設(shè)置立方體的材質(zhì)屬性？七、編寫一個(gè)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)將三維齊次坐標(biāo)點(diǎn)`(x,y,z,w)`轉(zhuǎn)換為三維笛卡爾坐標(biāo)點(diǎn)`(x',y',z')`。請給出轉(zhuǎn)換公式，并解釋該轉(zhuǎn)換的幾何意義。八、比較并說明掃描線填充算法和種子填充算法在填充多邊形時(shí)的主要區(qū)別。掃描線填充算法通常需要哪些輔助數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)？請簡要說明這些數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的作用。試卷答案一、```cpp//C++示例#include<vector>structVector2{floatx,y;};Vector2affineTransform(constVector2&point,floata,floatb,floatc,floatd,floattx,floatty){Vector2result;result.x=a*point.x+b*point.y+tx;result.y=c*point.x+d*point.y+ty;returnresult;}//Python示例defaffine_transform(point,a,b,c,d,tx,ty):x,y=pointx_prime=a*x+b*y+txy_prime=c*x+d*y+tyreturn(x_prime,y_prime)```解析：仿射變換是線性變換加上平移。變換矩陣乘以點(diǎn)的齊次坐標(biāo)向量`[x,y,1]^T`。將輸入點(diǎn)的坐標(biāo)`(x,y)`視為齊次坐標(biāo)`[x,y,1]^T`，按矩陣乘法規(guī)則計(jì)算輸出點(diǎn)的齊次坐標(biāo)`[x',y',w']^T`。然后進(jìn)行齊次坐標(biāo)歸一化`x'=x'/w'`,`y'=y'/w'`（因?yàn)轭}目要求返回二維坐標(biāo)，隱含了w'=1或進(jìn)行了歸一化）。但根據(jù)題目要求直接返回`(x',y')`，即計(jì)算`ax+by+tx`和`cx+dy+ty`。選擇C++或Python實(shí)現(xiàn)即可。二、解析：Bresenham算法是一種用于光柵化直線（特別是斜率在0到1之間的線段）的算法，它通過僅使用整數(shù)運(yùn)算和避免浮點(diǎn)運(yùn)算來高效地確定像素位置。其基本思想是基于誤差項(xiàng)`p`來決定下一個(gè)像素點(diǎn)的選擇。算法從一個(gè)像素點(diǎn)開始，假設(shè)下一個(gè)像素點(diǎn)在上方右側(cè)（x+1,y）。由于像素是離散的，直線方程`y=mx+b`在`(x+1,y)`處的值為`y=mx+b`，而實(shí)際像素中心在`(x+0.5,y+0.5)`處的值為`mx+b+0.5`。算法需要決定是選擇`(x+1,y)`還是`(x+1,y+1)`。通過比較`mx+b+0.5`與0.5的大小關(guān)系（或比較`mx+b`與0的大小關(guān)系，乘以2得到`2mx+2b`與1的大小關(guān)系）來判斷。Bresenham算法使用一個(gè)整數(shù)變量`p`作為這個(gè)誤差的累計(jì)值。初始時(shí)`p=0`。每步迭代，如果`p>=0`，則選擇`(x+1,y+1)`，否則選擇`(x+1,y)`。選擇后，需要更新`p`的值以準(zhǔn)備下一步。對于從`(x,y)`到`(x+1,y)`的步進(jìn)，如果選擇`(x+1,y+1)`，則`p`的新值是`p+2dy-2dx`；如果選擇`(x+1,y)`，則`p`的新值是`p+2dy`。由于`2dy`是常數(shù)，而`-2dx`是`-2`的倍數(shù)，所以更新公式為`p=p+2dy-2dx`。其中`dx=x2-x1`是x方向的增量，`dy=y2-y1`是y方向的增量。`p`的值會(huì)被限制在一個(gè)較小的范圍內(nèi)（例如`-1`到`1`），以保持為整數(shù)或小范圍整數(shù)，從而避免浮點(diǎn)運(yùn)算。三、解析：Phong光照模型是一種局部光照模型，用于計(jì)算物體表面的光照效果。它主要由三個(gè)部分組成：環(huán)境光、漫反射光和鏡面反射光。*漫反射顏色`I_diffuse`：描述光線均勻地散射到各個(gè)方向的表面部分。計(jì)算公式為：`I_diffuse=I_light*Kd*max(0,dot(N,L))`其中：*`I_light`是光源的顏色（RGB三分量）。*`Kd`是表面的漫反射材質(zhì)屬性（RGB三分量）。*`N`是點(diǎn)的表面法向量。*`L`是從點(diǎn)`P`指向光源`L`的向量，通常需要先計(jì)算`L=normalize(L-P)`。*`dot(N,L)`是法向量`N`和向量`L`的點(diǎn)積。`max(0,dot(N,L))`確保只有當(dāng)光源在法向量的半空間內(nèi)時(shí)才計(jì)算漫反射光。*鏡面反射顏色`I_specular`：描述光線直接反射到觀察者眼睛的表面部分，形成高光。計(jì)算公式為：`I_specular=I_light*Ks*max(0,dot(R,E))^alpha`其中：*`I_light`是光源的顏色。*`Ks`是表面的鏡面反射材質(zhì)屬性（RGB三分量）。*`R`是反射向量，計(jì)算方法為`R=normalize(2*dot(N,L)*N-L)`（`E`是視點(diǎn)位置向量，`normalize`是歸一化函數(shù)）。*`E`是視點(diǎn)位置向量，即觀察者位置。*`alpha`是鏡面反射的高光exponent，控制高光的范圍大小。*`max(0,dot(R,E))`確保只有當(dāng)反射光線朝向觀察者時(shí)才計(jì)算鏡面反射光。`^alpha`是為了模擬高光區(qū)域的光強(qiáng)衰減。*合并顏色`I`：最終的顏色是環(huán)境光、漫反射光和鏡面反射光的顏色相加：`I=I_env+I_diffuse+I_specular`通常環(huán)境光`I_env`可以是`I_light*Ke`，其中`Ke`是環(huán)境反射系數(shù)。四、解析：二維紋理映射是將二維紋理圖像映射到三維模型表面的過程?；舅悸肥歉鶕?jù)三維模型的頂點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算每個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)的紋理坐標(biāo)`(u,v)`。一種簡單的方法是基于頂點(diǎn)的法向量進(jìn)行偏移：1.假設(shè)頂點(diǎn)`P`的三維坐標(biāo)為`(x,y,z)`，法向量為`N=(nx,ny,nz)`。2.將法向量的z分量`nz`（或x,y，取決于模型如何定向）作為紋理坐標(biāo)`v`的偏移或縮放因子。例如，`v=z`或`v=z+offset`。3.將法向量的x分量`nx`（或y）作為紋理坐標(biāo)`u`的偏移或縮放因子。例如，`u=nx`或`u=nx+offset`。4.為了將`(u,v)`映射到紋理圖像的`[0,width-1]`x`[0,height-1]`范圍內(nèi)，需要?dú)w一化。通常將`u`和`v`歸一化到`[-1,1]`范圍（對于右手坐標(biāo)系）或`[0,1]`范圍。*歸一化到`[-1,1]`：`u_normalized=2*(u/max(abs(nx),abs(ny),abs(nz)))-1``v_normalized=2*(v/max(abs(nx),abs(ny),abs(nz)))-1`*歸一化到`[0,1]`：`u_normalized=(u/max(abs(nx),abs(ny),abs(nz)))``v_normalized=(v/max(abs(nx),abs(ny),abs(nz)))`*更簡單的方法是直接將`u`和`v`乘以一個(gè)縮放因子，然后加上偏移量，確保它們落在`[0,width-1]`x`[0,height-1]`內(nèi)。例如：`u=floor(u*scale+offset_u)``v=floor(v*scale+offset_v)`其中`scale`和`offset_u`,`offset_v`需要根據(jù)模型大小和紋理進(jìn)行調(diào)節(jié)。返回`(u_normalized,v_normalized)`或計(jì)算后的`(u,v)`作為紋理坐標(biāo)。五、解析：Z-buffer（深度緩沖）算法是解決隱藏面消除問題的一種常用方法。其基本原理是在屏幕空間維護(hù)一個(gè)深度緩沖區(qū)（一個(gè)與屏幕像素一一對應(yīng)的數(shù)組），用于存儲(chǔ)每個(gè)像素對應(yīng)的物體點(diǎn)的最近距離（深度值Z）。算法步驟如下：1.初始化：在渲染開始前，將Z-buffer初始化為一個(gè)足夠大的值（例如`far`或`INFINITY`），表示所有像素初始時(shí)都不可見。2.光柵化/掃描轉(zhuǎn)換：對場景中的每個(gè)物體（或其投影到的屏幕像素）進(jìn)行光柵化，生成一系列屏幕像素（稱為掃描線段或片段）。3.測試與寫入：對于光柵化生成的每個(gè)像素片段`(x,y)`：a.計(jì)算該片段對應(yīng)的物體點(diǎn)的深度值`Z_new`。b.比較：將計(jì)算出的`Z_new`與Z-buffer中當(dāng)前存儲(chǔ)在`(x,y)`位置的深度值`Z_buffer[x,y]`進(jìn)行比較。c.寫入：如果`Z_new`小于`Z_buffer[x,y]`（即該物體點(diǎn)比緩沖區(qū)中記錄的點(diǎn)更靠近觀察者），則說明這個(gè)像素是可見的。此時(shí)：*更新Z-buffer：將`Z_buffer[x,y]`設(shè)置為`Z_new`。*將該像素片段的顏色（計(jì)算出的最終顏色）寫入到幀緩沖區(qū)（FrameBuffer）中對應(yīng)的位置`(x,y)`。d.如果`Z_new`大于或等于`Z_buffer[x,y]`，則說明該像素被更遠(yuǎn)的物體遮擋，當(dāng)前片段不可見，跳過寫入操作。4.完成：對所有像素片段重復(fù)步驟3，直到所有物體渲染完成。最終幀緩沖區(qū)中存儲(chǔ)的顏色就是場景的可見結(jié)果。六、解析：使用OpenGL實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)立方體和點(diǎn)光源場景的主要步驟如下：1.定義立方體：使用頂點(diǎn)和索引數(shù)據(jù)定義立方體的幾何形狀。頂點(diǎn)坐標(biāo)通常是立方體的八個(gè)角點(diǎn)。索引數(shù)據(jù)定義了構(gòu)成立方體各個(gè)面的頂點(diǎn)順序。例如，對于一個(gè)單位立方體（中心在原點(diǎn)，邊長為2），可以定義8個(gè)頂點(diǎn)`(-1,-1,-1),(1,-1,-1),(1,1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1),(1,-1,1),(1,1,1),(-1,1,1)`，然后定義6個(gè)面的索引（例如使用三角形扇或三角形strips）。2.設(shè)置立方體位置和旋轉(zhuǎn)：*位置：使用模型視圖矩陣（Model-viewMatrix）來平移立方體到期望的位置。例如，調(diào)用`glTranslatef(x_pos,y_pos,z_pos)`。*旋轉(zhuǎn)：使用模型視圖矩陣來旋轉(zhuǎn)立方體。首先需要設(shè)置旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角度。例如，繞Y軸旋轉(zhuǎn)`theta`度，調(diào)用`glRotatef(theta,0,1,0)`。為了使立方體持續(xù)旋轉(zhuǎn)，通常在動(dòng)畫循環(huán)中不斷更新旋轉(zhuǎn)角度`theta`并應(yīng)用`glRotatef`。可能需要使用`glPushMatrix()`和`glPopMatrix()`來保存和恢復(fù)當(dāng)前矩陣狀態(tài)。3.定義點(diǎn)光源：*位置：啟用光照后，設(shè)置光源的位置。使用`glLightfv(GL_LIGHT0,GL_POSITION,light_position)`，其中`light_position`是一個(gè)四維向量`[x,y,z,w]`。`w=1`表示光源在視圖空間，`w=0`表示光源在世界空間。需要根據(jù)視點(diǎn)和期望的光照效果設(shè)置光源的坐標(biāo)。*屬性：設(shè)置光源的顏色（`GL_DIFFUSE`,`GL_SPECULAR`）和強(qiáng)度（`GL_AMBIENT`通常設(shè)為光源顏色的較小值或黑色）。4.設(shè)置立方體材質(zhì)：*啟用光照(`glEnable(GL_LIGHTING)`)。*設(shè)置立方體的材質(zhì)屬性。使用`glMaterialfv`函數(shù)，例如`glMaterialfv(GL_FRONT,GL_AMBIENT,material_ambient)`，`glMaterialfv(GL_FRONT,GL_DIFFUSE,material_diffuse)`，`glMaterialfv(GL_FRONT,GL_SPECULAR,material_specular)`，`glMaterialf(GL_FRONT,GL_SHININESS,shininess)`。需要為立方體的前后表面分別設(shè)置或使用GL_FRONT_AND_BACK。5.配置光照環(huán)境：設(shè)置環(huán)境光強(qiáng)度`glLightModelfv(GL_LIGHT_MODEL_AMBIENT,ambient_light)`。可能還需要設(shè)置光源模型參數(shù)，如`glLightModeli(GL_LIGHT_MODEL_TWO_SIDE,0)`（默認(rèn)單面光照）。6.渲染：繪制立方體。確保在調(diào)用上述設(shè)置函數(shù)之后調(diào)用`glDrawElements`或`glDrawArrays`等函數(shù)繪制立方體。7.清除屏幕：在每次繪制后，調(diào)用`glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT|GL_DEPTH_BUFFER_BIT)`清除顏色緩沖區(qū)和深度緩沖區(qū)，準(zhǔn)備下一幀。七、解析：三維齊次坐標(biāo)點(diǎn)`(x,y,z,w)`可以轉(zhuǎn)換為三維笛卡爾坐標(biāo)點(diǎn)`(x',y',z')`的過程稱為齊次坐標(biāo)的透視除法。轉(zhuǎn)換公式為：`x'=x/w``y'=y/w``z'=z/w`幾何意義：齊次坐標(biāo)`(x,y,z,w)`實(shí)際上代表一個(gè)三維空間中的點(diǎn)`(x/w,y/w,z/w)`，其中`w`是標(biāo)度因子。當(dāng)`w`不等于0時(shí)，`(x,y,z,w)`和`(x/w,y/w,z/w,1)`表示空間中同一點(diǎn)的不同表示。透視除法`x'=x/w`等價(jià)于將齊次坐標(biāo)向量`[x,y,z,w]^T`左乘以一個(gè)`4x4`的歸一化矩陣`M_inv`（`w`不為0時(shí)）：```|1/w000||01/w00||001/w0||0001|```或者更一般地，如果原始齊次坐標(biāo)來自一個(gè)完整的模型視圖投影矩陣`M`，那么其逆矩陣`M_inv`的前3x3子矩陣包含了透視除法。這個(gè)轉(zhuǎn)換將無窮遠(yuǎn)點(diǎn)映射回有限點(diǎn)（當(dāng)`w`接近0時(shí)，`x'`,`y'`,`z'`接近無窮大），實(shí)現(xiàn)了透視投影的效果。如果`w=0`，則表示一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)或射線起點(diǎn)，其對應(yīng)的笛卡爾坐標(biāo)沒有直接的有限值表示，但在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中通常被特殊處理。八、解析：掃描線填充算法和種子填充算法都是用于填充多邊形（通常是凸多邊形或簡單多邊形）內(nèi)部像素點(diǎn)的算法，但它們的工作原理和適用性有所不同。*掃描線填充算法：*思想：按照從上到下（或從下到上）的順序遍歷多邊形的掃描線。當(dāng)掃描線進(jìn)入多邊形時(shí)，找到該掃描線與多邊形邊界的交點(diǎn)，并將這些交點(diǎn)按照x坐標(biāo)排序。排序后的交點(diǎn)將多邊形的掃描線投影為一條或幾段連續(xù)的線段。然后，對這些線段之間的像素進(jìn)行填充（通常是設(shè)置顏色或紋理）。當(dāng)掃描線離開多邊形時(shí)，停止填充。算法的核心是高效地跟蹤掃描線與多邊形的交點(diǎn)和邊界。*輔助數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：*邊表(EdgeTable,ET):存儲(chǔ)多邊形所有邊的起始掃描線`y_start`