我們主要討論隨機(jī)過程X(t)的五大數(shù)字特征(1)均值函數(shù)(5)自協(xié)方差函數(shù)(4)自相關(guān)函數(shù)(3)方差函數(shù)(2)均方值函數(shù)2.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征從上面的分析可知，對于一個隨機(jī)過程X(t)，要研究它的變化規(guī)律，常常需要建立起它的“函數(shù)關(guān)系”，也就是建立隨機(jī)過程的有限維分布函數(shù)族。因?yàn)殡S機(jī)過程X(t)的有限維分布族可以完全地描述隨機(jī)過程的整個變化規(guī)律的統(tǒng)計(jì)特性，但要建立過程的有限維分布函數(shù)族一般比較復(fù)雜，使用也不便，甚至不可能。怎么辦呢？事實(shí)上，在許多實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)隨機(jī)過程的“有限維分布函數(shù)族不好確定時，我們往往可以退而求其次，像引入隨機(jī)變量的數(shù)字特征一樣，引入隨機(jī)過程的數(shù)字特征。用這些數(shù)字特征我們認(rèn)為基本上能刻劃隨機(jī)過程變化的某些重要統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而且用隨機(jī)過程的X(t)的數(shù)字特征，又便于運(yùn)算和實(shí)際測量。顯然，主要介紹了均值函數(shù)、均方值函數(shù)、方差函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)來描述隨機(jī)過程X(t)的主要統(tǒng)計(jì)特性。二、隨機(jī)過程的數(shù)字特征

對于隨機(jī)過程X(t)，固定時刻t，則X(t)為隨機(jī)變量，它應(yīng)具有相應(yīng)的數(shù)字特征，我們據(jù)此定義隨機(jī)過程的相應(yīng)數(shù)字特征。（1）若對于任意給定的t，EX(t)存在，則稱它為隨機(jī)過程的均值函數(shù)，記為設(shè)X(t)為隨機(jī)過程，對任意固定的t，X(t)為連續(xù)型隨機(jī)變量，則

設(shè)X(t)為隨機(jī)過程，對任意固定的t，X(t)為離散型隨機(jī)變量，則

式中，是X(t)的一維概率密度函數(shù)。稱為X(t)的均值，這個均值函數(shù)可以理解為在某一給定時刻t隨機(jī)過程的所有樣本函數(shù)的平均值。如圖2.1所示。圖2.1隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望mX(t)顯然由圖2.1可看出，隨機(jī)過程X(t)就在附近起伏變化，圖中細(xì)線表示樣本函數(shù)，粗線表示均值函數(shù)。如果我們計(jì)論的隨機(jī)過程是接收機(jī)輸出端的一條噪聲電壓，這個就是噪聲電壓在某一瞬時t的統(tǒng)計(jì)平均值（又稱集平均值）。（2）若對于任意給定的t，EX2(t)存在，則稱它為隨機(jī)過程的均方值函數(shù)，記為對于某一固定的時刻，隨機(jī)過程X(t)為一個連續(xù)型隨機(jī)變量，由此可給出隨機(jī)過程均方值定義。隨機(jī)過程X(t)的均方值：式中，f(x,t)為X(t)的一維概率密度函數(shù)。顯然是關(guān)于t的函數(shù)，且為非負(fù)函數(shù)。對于某一固定的時刻，隨機(jī)過程X(t)為一個離散型隨機(jī)變量，由此可給出隨機(jī)過程均方值定義。隨機(jī)過程X(t)的均方值為：隨機(jī)過程的均方值函數(shù)為（3）若對于任意給定的t,E[X(t)-mX(t)]2存在，則稱它為隨機(jī)過程的方差函數(shù)（又可稱二階中心矩)，記為顯然是關(guān)于t的函數(shù)，且為非負(fù)函數(shù)。方差函數(shù)對于某一固定的時刻，隨機(jī)過程X(t)為一個連續(xù)型隨機(jī)變量，由此可給出隨機(jī)過程方差定義。隨機(jī)過程X(t)的方差：對于某一固定的時刻，隨機(jī)過程X(t)為一個離散型隨機(jī)變量，由此可給出隨機(jī)過程方差定義。隨機(jī)過程X(t)的方差：顯然是關(guān)于t的函數(shù)，且為非負(fù)函數(shù)。注：隨機(jī)過程的標(biāo)準(zhǔn)差是表示了隨機(jī)過程在t時刻偏離均值的程度大小，如圖2.2所示。圖2.2定義隨機(jī)過程的標(biāo)準(zhǔn)差：（定義：若對于任意給定的t1,t2,E[X(t1)X(t2)]存在，則稱它為隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù),記為這就是隨機(jī)過程X(t)在兩個不同時刻的狀態(tài)之間的混合原點(diǎn)矩，自相關(guān)函數(shù)就反映了X(t)在兩個不同時刻的狀態(tài)之間的相關(guān)程度。若在定義式中取，則有（4）自相關(guān)函數(shù)對于某一固定的時刻，隨機(jī)過程X(t)就成為一個連續(xù)型隨機(jī)變量，根據(jù)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)定義，可以給出連續(xù)型下隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)的公式：

式中，的二維概率密度函數(shù)。對于某一固定的時刻，隨機(jī)過程X(t)就成為一個離散型隨機(jī)變量，根據(jù)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)定義，可以給出連續(xù)型下隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)的公是：（定義：若對于任意給定的t1,t2

，存在E[(X(t1)-mX(t1))(X(t2)-mX(t2))]

則稱它為隨機(jī)過程的自協(xié)方差函數(shù)，記為（5）自協(xié)方差函數(shù)由定義可知，當(dāng)取

此時的協(xié)方差就是方差。注意，實(shí)際上自相關(guān)函數(shù)

所描述的特性是幾乎一致的。均值函數(shù)，均方值函數(shù)與方差函數(shù)是刻畫隨機(jī)過程在某個孤立時刻狀態(tài)的數(shù)字特征，而自相關(guān)函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)則是刻畫隨機(jī)過程自身在兩個不同時刻狀態(tài)之間的線性依從關(guān)系的數(shù)字特征。（6）自相關(guān)系數(shù)數(shù)字特征之間具有如下關(guān)系

復(fù)習(xí)一下：1.2.3.分布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布常見隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的均值函數(shù)，方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。其中，a,

為常數(shù)，

是在(0,2

)上均勻分布的隨機(jī)變量。其概率密度為解:因?yàn)槔?

試求隨機(jī)相位余