專題2.1銳角的三角比（舉一反三講義） 【滬教版】TOC\o"13"\h\u【題型1正弦、余弦、正切、余切的概念辨析】 2【題型2直角三角形中求正弦、余弦、正切、余切的值】 4【題型3由正弦、余弦、正切、余切的值求邊長(zhǎng)】 6【題型4由正弦、余弦、正切、余切的值求坐標(biāo)】 9【題型5與特殊角的三角比有關(guān)的混合運(yùn)算】 13【題型6由正弦、余弦、正切、余切的值判斷三角形的形狀】 14【題型7由正弦、余弦、正切、余切的的值求角度】 16【題型8同角（互余）兩角的三角比的關(guān)系】 18【題型9銳角的三角比的增減性】 21【題型10求特殊角的三角比的值】 24知識(shí)點(diǎn)1銳角的三角比1.正弦、余弦、正切、余切的定義如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sin把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即把銳角A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A的余切，記作tanA，即2.銳角A的正切、余切、正弦、余弦都是銳角A的三角比．3.由于直角三角形的斜邊大于任意一條直角邊，所以有0<sinA<1且知識(shí)點(diǎn)2特殊角的三角比的值1.根據(jù)銳角的三角比的定義和直角三角形的性質(zhì)可得下表：α三角比α三角比30°45°60°sin123cos321tan313cot313知識(shí)點(diǎn)3銳角的三角比間的關(guān)系在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為（1）同角三角比間的關(guān)系：sin2（2）tanA與sinA，cos【題型1正弦、余弦、正切、余切的概念辨析】【例1】（2425九年級(jí)上·山東淄博·期中）在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，若a2+b2=A．c?sinA=a B．c?cosB=b C．【答案】B【分析】本題考查了銳角三角比的定義和勾股定理的逆定理，掌握銳角三角比的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，且∠C=90°，根據(jù)銳角三角比的定義表示出sinA、cosB、tanA【詳解】解：∵a2∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，由銳角三角比的定義可知sinA=cosB=ac∴c?sinA=a，c?cosB=a，∴選項(xiàng)B的結(jié)論不正確，符合題意．故選：B．【變式11】（2425九年級(jí)上·湖南常德·期末）將Rt△ABC的斜邊和直角邊都擴(kuò)大到原來(lái)的n倍，那么銳角A的三角比值（

A．都擴(kuò)大到原來(lái)的n倍 B．都縮小到原來(lái)的1C．沒(méi)有變化 D．只有tanA【答案】C【分析】本題主要考查了銳角三角形函數(shù)值的知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵理解銳角三角比的概念．根據(jù)銳角三角比的概念：銳角A的各個(gè)三角比值等于銳角A所在直角三角形的邊的比值，求解即可．【詳解】解：∵銳角A的各個(gè)三角比值等于銳角A所在直角三角形的邊的比值，∴Rt△ABC的斜邊和直角邊都擴(kuò)大到原來(lái)的n倍，銳角A的三角比故選：C．【變式12】（2024·天津紅橋·一模）如圖，在RtΔABC中，∠ABC=90°，D為邊AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，則下列結(jié)論中正確的是（A．sinA=BCAB B．cosA=AEAD【答案】B【分析】本題考查解直角三角形，關(guān)鍵是掌握銳角三角比定義．由銳角的三角比定義，即可判斷．【詳解】解：∵DE⊥AC，∴∠AED=∠ABC=90°，A、sinA=BCACB、結(jié)論正確，故B符合題意；C、tanA=CBABD、tanA=BCAB故選：B．【變式13】（2425九年級(jí)上·安徽安慶·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A為∠α邊上的任意一點(diǎn)，作AC⊥BC于點(diǎn)C，CD⊥AB于點(diǎn)D，下列用線段比表示sinαA．CDBC B．ACAB C．ADAC【答案】D【分析】本題考查銳角三角比的定義．根據(jù)在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，可得答案．【詳解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB=∠BDC=∠ADC=90°，∴∠α=∠ABC=∠ACD，A、在Rt△BCD中sinB、在Rt△ABC中sinC、在Rt△ACD中sinD、在Rt△BCD中cos故選：D【題型2直角三角形中求正弦、余弦、正切、余切的值】【例2】（2324九年級(jí)上·上海松江·期中）在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，則∠A的余切值為．【答案】2【分析】本題考查的是銳角三角比的定義，直接根據(jù)銳角三角比的定義解答即可，熟記銳角三角比的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，∴∠A的余切值A(chǔ)CBC故答案為：23【變式21】（2425九年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，tanA的值為（A．12 B．55 C．2【答案】D【分析】本題考查了銳角三角比，熟練掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．在直角三角形中，正切值定義為對(duì)邊與鄰邊的比值，根據(jù)題意，確定角A的對(duì)邊和鄰邊，代入計(jì)算即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∴tan故選：D．【變式22】（2025·上海黃浦·一模）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)P3,1，那么OP與x軸正半軸夾角的余弦值是【答案】31010【分析】本題考查了解直角三角形、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．作PM⊥x軸于點(diǎn)M，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)三角比的定義求解．【詳解】解：如圖，作PM⊥x軸于點(diǎn)M，P3,1根據(jù)勾股定理可得OP=O∴cosα=故答案為：310【變式23】（2425九年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，則sin∠BAC的值是（

A．1 B．34 C．43 【答案】D【分析】本題考查了勾股定理、正弦，熟練掌握正弦的定義是解題關(guān)鍵．先根據(jù)網(wǎng)格和勾股定理可得AD=4,BD=3,AD⊥BD，AB=5，再根據(jù)正弦的定義求解即可得．【詳解】解：如圖，由網(wǎng)格可知，AD=4,BD=3,AD⊥BD，∴AB=A∴sin∠BAC=故選：D．【題型3由正弦、余弦、正切、余切的值求邊長(zhǎng)】【例3】（2223九年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）在Rt△ABC中，若∠C=90°，cosA=1213，AC=24，則【答案】26【分析】根據(jù)余弦的定義可得cosA=ACAB=12【詳解】解：如圖，在Rt△ABC∵cos∵AC=24，∴AB=24×13故答案為：26．【點(diǎn)睛】本題考查了已知余弦求邊長(zhǎng)，掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵，在Rt△ABC中，cos【變式31】（2024·浙江溫州·二模）如圖，一根3m長(zhǎng)的竹竿AB斜靠在豎直的墻上，沿著墻下滑，點(diǎn)A下滑至點(diǎn)A′，點(diǎn)B移至點(diǎn)B′，設(shè)∠ABC=α，∠A′BA．3sinα?3sinC．(3tanα【答案】A【分析】本題主要考查了正弦函數(shù)，掌握正弦的定義成為解題的關(guān)鍵.先根據(jù)正弦的定義表示出AC,A【詳解】解：在Rt△ABC中，AB=3,則sinα=AC同理：A′∴AA故選A.【變式32】（2023·上海楊浦·三模）如果一個(gè)矩形的面積是40，兩條對(duì)角線夾角的余切值是34，那么它的一條對(duì)角線長(zhǎng)是【答案】10【分析】作BH⊥AC于H．由四邊形ABCD是矩形，推出OA=OC=OD=OB，設(shè)OA=OC=OD=OB=5a，由余切函數(shù)，可得BH=4a，OH=3a，由題意：2×12×10a×4a=40【詳解】解：如圖，作BH⊥AC于H．

∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC=OD=OB，設(shè)OA=OC=OD=OB=5a，則AC=10a．∵根據(jù)題意得：cot∠BOH=∴BH=4a，OH=3a，由題意：2×1∴a=1，∴AC=10．故答案為10．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．【變式33】（2025九年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，D為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，且tan∠ABD=12，則【答案】24511【分析】本題考查了解直角三角形．作DE⊥AB于點(diǎn)E，設(shè)DE長(zhǎng)為x，則tanA=DEEA=BC【詳解】解：如圖，作DE⊥AB于點(diǎn)E，設(shè)DE長(zhǎng)為x，則tanA=∴EA=3∵tan∴BE=2x，∴AB=EA+BE=3∴x=24∴BD=B故答案為：245【題型4由正弦、余弦、正切、余切的值求坐標(biāo)】【例4】（2023·黑龍江牡丹江·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，將△AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，若點(diǎn)B落在y軸上，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′

【答案】1,3或?1,?【分析】根據(jù)題意畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，添加輔助線，再利用特殊三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】如圖，根據(jù)題意，要使點(diǎn)B落在y軸上，則需將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1OB1或?qū)ⅰ鰽OB繞點(diǎn)O

過(guò)A1作A1C1⊥y軸于點(diǎn)C1，過(guò)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：OA=OA∴OC1=O∴點(diǎn)A1同理可得：點(diǎn)A2故填：(1,3)或(?1,?【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化一旋轉(zhuǎn)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．【變式41】（2425七年級(jí)下·貴州黔南·期末）如圖1，在直角三角形ABC中，∠C=90°．定義∠A的對(duì)邊與斜邊的比叫作∠A的正弦，記作sinA，即sinA=BCAB;定義∠A的鄰邊與斜邊的比叫作∠A的余弦，記作cosA，即cosA=ACAB．如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O為圓心，1為半徑作圓，A為圓O上的一點(diǎn)，且位于第一象限，連接A．（sinα，cosα） B．（cosα，sin【答案】B【分析】此題考查了新定義．根據(jù)新定義得到cosα=【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，根據(jù)定義可知，cosα=∵以點(diǎn)O為圓心，1為半徑作圓，A為圓O上的一點(diǎn)，且位于第一象限，∴OH=∴A故選：B【變式42】（2324九年級(jí)上·湖南衡陽(yáng)·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=54，邊AC在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為?2,0，矩形CDEF的頂點(diǎn)F與點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)D在邊BC上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為2,1，將矩形CDEF沿x軸向左平移，當(dāng)點(diǎn)D落在【答案】?【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，銳角三角比，一次函數(shù)的性質(zhì)．利用待定系數(shù)法可求直線AB的解析式，即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?2,0)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1)，∴AO=2，CD=1，OC=2，∴AC=4，∵tan∴BC=5，∴點(diǎn)B(2,5)，設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，由題意可得：5=2k+b0=?2k+b解得：k=5∴直線AB解析式為y=5當(dāng)y=1時(shí)，x=?6∴平移后點(diǎn)D坐標(biāo)為?6∴平移后點(diǎn)E坐標(biāo)為?16故答案為：?16【變式43】（2023·四川·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B(0,?3)，點(diǎn)C在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)A右方，連接AB，BC，若tan∠ABC=13，則點(diǎn)C

【答案】9【分析】根據(jù)已知條件得出∠ABO=∠ABC，根據(jù)等面積法得出ACOA=CBOB，設(shè)【詳解】解：∵點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B(0,?3)，∴OA=1,OB=3，tan∠OBA=∵tan∠ABC=∴∠ABO=∠ABC，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，

∵AO⊥BO,AD⊥BC，AB是∠OBC的角平分線，∴AO=AD=1∵S∴AC設(shè)Cm,0，則AC=m?1，∴m?1解得：m=94或∴C9故答案為：94【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．【題型5與特殊角的三角比有關(guān)的混合運(yùn)算】【例5】（2425九年級(jí)下·甘肅平?jīng)觥て谥校┯?jì)算?1+tan60°+2sinA．2 B．2 C．1 D．3【答案】C【分析】本題主要考查特殊角的三角比值及零指數(shù)冪的運(yùn)算，需逐一計(jì)算各部分后合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：?1+=?1+=?1+=1，故選：C．【變式51】（2425九年級(jí)上·山東聊城·期中）計(jì)算3tan60°?【答案】5【分析】本題考查特殊角的三角比混合運(yùn)算，把特殊角的三角比值代入計(jì)算即可．【詳解】解：3==3?=5故答案為：52【變式52】（2425九年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）計(jì)算：tan30°×【答案】1【分析】先計(jì)算特殊角的三角比值，再分別計(jì)算二次根式乘法與減法運(yùn)算、去絕對(duì)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算，最后根據(jù)分?jǐn)?shù)的減法運(yùn)算求解即可得到答案．【詳解】解：tan===1【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，涉及特殊角的三角比值、二次根式混合運(yùn)算、去絕對(duì)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算等知識(shí)．熟記特殊角的三角比值，熟練掌握實(shí)數(shù)混合運(yùn)算法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式53】（2425九年級(jí)上·山東聊城·期中）定義一種運(yùn)算：sinα+β=sinαcosβ+cosαsin【答案】6【分析】本題考查三角比的混合運(yùn)算，根據(jù)sin15°=sin60°?45°【詳解】解：sin====6故答案為：6?【題型6由正弦、余弦、正切、余切的值判斷三角形的形狀】【例6】（2425九年級(jí)上·湖南岳陽(yáng)·期末）△ABC中，sinA?12+32?A．銳角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】C【分析】本題主要考查了絕對(duì)值與偶次方的非負(fù)性，特殊三角比值，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，解決此題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)．由非負(fù)性及特殊三角比值易得∠A=30°，∠B=30°，即可得到答案．【詳解】解：sinA?∴sin∴sin∴∠A=30°∴△ABC是等腰三角形；故選項(xiàng)A，B，D錯(cuò)誤，不符合題意；選項(xiàng)C正確，符合題意．故選：C．【變式61】（2025九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）在△ABC中，tanA=1，cosB=2A．一定是銳角三角形 B．—定是直角三角形C．一定是鈍角三角形 D．無(wú)法確定【答案】B【分析】本題考查了特殊角的三角比值，根據(jù)tanA=1，cosB=22求出【詳解】解：∵△ABC中，tanA=1，cos∴∠A=45°,∠B=45°，∴∠C=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．故選：B．【變式62】在△ABC中，若sinA?32+1【答案】等邊【分析】本題主要考查了特殊角的三角比值，等邊三角形的判定，根據(jù)絕對(duì)值和完全平方數(shù)非負(fù)性可得sinA?32=0,1【詳解】∵sinA?∴sinA?∴sinA=解得∠A=60°，∴△ABC是等邊三角形．故答案為：等邊．【變式63】在△ABC中，2cosA?22+1?A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】結(jié)合題意，根據(jù)乘方和絕對(duì)值的性質(zhì)，得2cosA?23=0，1?tanB=0，從而得cosA=【詳解】解：∵2∴2cosA?∴2cosA?∴cosA=2∴∠A=45°，∠B=45°∴∠C=180°?∠A?∠B=90°，BC=AC∴△ABC一定是等腰直角三角形故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值、三角比、三角形內(nèi)角和、等腰三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值、三角比的性質(zhì)，從而完成求解．【題型7由正弦、余弦、正切、余切的的值求角度】【例7】（2425九年級(jí)上·山東菏澤·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，3tanA=1，則∠BA．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】本題考查了特殊角的三角比值，熟練掌握特殊角的三角比值是解題關(guān)鍵．由3tanA=1得tanA=33【詳解】解：∵3tan∴tanA=∴∠A=30°，∵∠C=90°，∴∠B=90°?30°=60°．故選C．【變式71】（2024·安徽亳州·模擬預(yù)測(cè)）若tanα+20°=1，則銳角α的度數(shù)應(yīng)是（A．40° B．30° C．25° D．10°【答案】C【分析】本題考查了特殊角的三角比值，由可得α+20°=45°，據(jù)此即可求解，熟記特殊角的三角比值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵tanα+20°∴α+20°=45°，∴α=25，故選：C．【變式72】（2425九年級(jí)上·上海靜安·期中）如果α是銳角，sinα=12，那么【答案】1【分析】此題考查了特殊角的三角比值，先求出α=30°，再代入即可求出答案．【詳解】解：∵α是銳角，sinα=∴α=30°，∴cos90°?α故答案為：1【變式73】（2425九年級(jí)上·山東東營(yíng)·期中）在銳角△ABC中，若tanA?32+sin【答案】12【分析】本題考查的是特殊角的三角比值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟記各特殊角的三角比值是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出tanA?3=0，sinC?32=0，由特殊角的三角比【詳解】解：∵(∴tanA?3∴tanA=3∵∠A，∠C為銳角，∴∠A=60°，∠C=60°，∴∠B=180°?∠A?∠C=180°?60°?60°=60°，∴∠B的余弦值是12故答案為：12【題型8同角（互余）兩角的三角比的關(guān)系】【例8】（2425九年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°(1)求證：sin2(2)若sinB+cosB=【答案】(1)見(jiàn)解析(2)12【分析】本題考查銳角三角形函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握正弦，余弦的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，利用完全平方公式，對(duì)式子進(jìn)行變形，進(jìn)行解答，即可．（1）根據(jù)正弦，余弦，勾股定理，可得sinB=ACAB，cosB=BCAB，（2）根據(jù)題意，sinB+cosB=75，變形可得(【詳解】（1）解：證明如下：∵Rt△ABC中，∠C=90°∴sinB=ACAB，cos∴sin2B=A∴sin2（2）解：∵sinB+∴(sin∴sin2∵sin2∴1+2sin∴sinB?【變式81】若sin70°?α=cos50°，則A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】B【分析】根據(jù)互余兩角三角比關(guān)系：sinα=cos(90°α)求解即可．【詳解】∵sinα=cos(90°α)，∴sin70°?α=cos(90°?70°+α)=cos(20∵sin70°?α∴α=50o20o=30o，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了互余兩角三角比關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握sinα=cos(90°α)．【變式82】（2425九年級(jí)上·山東泰安·期中）若a為銳角．(1)求證：①sinα=cos90(2)試求：sin2【答案】(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析(2)44【分析】本題主要考查正弦、余弦的計(jì)算，理解并掌握正弦、余弦的計(jì)算方法，圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)正弦、余弦的計(jì)算方法求解即可；②根據(jù)正弦、余弦、勾股定理計(jì)算即可；（2）由（1）的計(jì)算可得sin89°=cos1【詳解】（1）解：若α為銳角，建立如上圖所示的直角△ABC，∠C=90°，①sinα=BCAB∴sin②∴BC2+AC2∴sin（2）解：由（1）可得：sin89°=cos1∴==1×44+=441【變式83】（2025九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）在如圖的直角三角形中，我們知道sinα=ac，cos∴sin2(1)請(qǐng)你根據(jù)上面的探索過(guò)程，探究sinα，cosα與(2)請(qǐng)你利用上面探究的結(jié)論解答下面問(wèn)題：已知α為銳角，且tanα=12【答案】(1)tan(2)?【分析】（1）利用sinα=ac，cosα=b（2）利用（1）中結(jié)論，將sinα?2cosα2sin本題考查了三角比的定義，三角比之間的關(guān)系，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵sinα=ac，cos∴sinα∴tanα=（2）解：∵sinα?2cosα∴sinα?2【題型9銳角的三角比的增減性】【例9】（2324九年級(jí)上·山東德州·開學(xué)考試）如圖，△ABC中，BC=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，AD=4，CD=3，則關(guān)于∠FBD、∠FCD、∠FCE的大小關(guān)系（）A．∠FBD>∠FCD B．∠FBD<∠FCD C．∠FCE>【答案】A【分析】由勾股定理，依次得到AC=AD2+CD2=5，BC=AC=5，BD=BC?CD=5?3=2，由tan由AD⊥BC，BE⊥AC，得到FC⊥AB（三角形的三條高相交于同一點(diǎn)），結(jié)合BC=AC，得到∠FCE=∠FCD，即可求解，本題考查了，勾股定理，銳角三角比，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握通過(guò)三角比比較角的大?。驹斀狻拷猓骸逜D⊥BC，AD=4，CD=3，∴AC=A∴BC=AC=5，BD=BC?CD=5?3=2，∵tan∠FBD=FD2∴tan∠FBD∴∠FBD>∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴FC⊥AB（三角形的三條高相交于同一點(diǎn)），又∵BC=AC，∴∠FCE=∠FCD，故選：A．【變式91】若銳角∠A滿足sin20°<cosA<cos25°【答案】25°<∠A<70°【分析】首先根據(jù)sin20°=cos70°【詳解】解：∵sin20°=∴cos70°<∴25°<∠A<70°．故答案為：25°<∠A<70°．【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角比的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握同角三角比的關(guān)系及銳角三角比的增減性．【變式92】（2025九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）比較大?。ㄓ?lt;連接），sin47°，cos53°，tan45°【答案】cos【分析】本題考查三角比的比較大小，掌握正弦值隨著銳角角度的增大而增大，但正弦值不大于1是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意，cos53°=∵37°<47°<60°，∴cos53°<∵tan45°=1∴cos53°<故答案為：cos53°<【變式93】（2223九年級(jí)上·河北邯鄲·期中）若30°<α<β<90°，則cosβ?cos【答案】1?【分析】根據(jù)銳角三角比的增減性判斷出cosβ與cosα的大小、cosβ與32【詳解】解：∵30°<α<β<90°，∴cosβ<∴cos==?=1?3故答案為：1?3【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角比的增減性，銳角三角比的混合運(yùn)算，根據(jù)銳角三角比的增減性判斷出cosβ與cosα的大小、cosβ與32【題型10求特殊角的三角比的值】【例10】（2425九年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）比較sin75°，cos75°，tan75°A．cos75°<tan75°<C．tan75°<cos75°<【答案】B【分析】本題考查了比較三角比值的大小，構(gòu)造含75°的直角三角形，分別求得sin75°，cos75°，【詳解】解：如圖，在Rt△ABD中，∠BAD=75°，∠BAC=60°，∴∠CAD=∠D=15°設(shè)AB=1∴AC=CD=2，BC=∴BD=3AD=∴sincostan∴cos75°<故選：B．【變式101】（2024·四川瀘州·二模）在計(jì)算tan15°的值時(shí)，可以借用“數(shù)形結(jié)合”思想構(gòu)建