專題1.5二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"13"\h\u【題型1不含參一元二次不等式的求解】 3【題型2含參一元二次不等式的求解】 3【題型3由一元二次不等式的解確定參數(shù)】 4【題型4分式、高次、絕對值不等式的求解】 4【題型5一元二次不等式根的分布問題】 5【題型6二次函數(shù)的單調(diào)性、最值及圖象問題】 5【題型7一元二次不等式恒成立問題】 6【題型8一元二次不等式有解問題】 7【題型9一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用】 71、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計考情分析(1)會從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式(2)掌握三個“二次”的關(guān)系，會解一元二次不等式(3)了解分式、高次、絕對值不等式的解法2023年新高考I卷：第1題，5分2025年全國二卷：第4題，5分2025年天津卷：第15題，5分2025年上海卷：第2題，4分一元二次不等式是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.從近幾年高考情況來看，解不等式、三個“二次”的關(guān)系是常考內(nèi)容，高考中主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，難度不大；此外，“含參不等式恒成立與能成立問題”也是常考的熱點(diǎn)內(nèi)容，其以覆蓋知識點(diǎn)多、綜合性強(qiáng)、解法靈活等特點(diǎn)備受高考命題者的青睞.知識點(diǎn)一元二次不等式1．一元二次不等式的解法(1)解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①通過對不等式變形，使二次項(xiàng)系數(shù)大于零；②計算對應(yīng)方程的判別式；③求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實(shí)根；④根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集．(2)解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項(xiàng)系數(shù)大于0、等于0與小于0進(jìn)行討論；②若求對應(yīng)一元二次方程的根需用公式，則應(yīng)對判別式Δ進(jìn)行討論；③若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對兩根的大小進(jìn)行討論．2．分式、高次、絕對值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步驟：①對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．②對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項(xiàng)再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步驟：高次不等式的解法：如果將分式不等式轉(zhuǎn)化為正式不等式后，未知數(shù)的次數(shù)大于2，一般采用“穿針引線法”，步驟如下：①標(biāo)準(zhǔn)化；②分解因式；③求根；④穿線；⑤得解集.(3)解絕對值不等式的一般步驟：對于絕對值不等式，可以分類討論然后去括號求解；還可以借助數(shù)軸來求解.3．一元二次不等式恒成立、存在性問題【方法技巧與總結(jié)】【題型1不含參一元二次不等式的求解】【例1】（2025·天津·模擬預(yù)測）已知p:x2+2x?3<0，q:x2+x?2<0，則p是A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【變式11】（2324高一上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）不等式x?23?2x≥0的解集為（A．xx>32C．xx≤32【變式12】（2025·江西上饒·一模）已知集合M=xx2?6x?7<0，N=x2x>a，若A．?∞,14 B．?∞,14 C．【變式13】（2025·河北·模擬預(yù)測）已知集合A=xx2<1，B=x2a<x<2a+1，若“t∈B”是“A．?12,0 B．?12,0【題型2含參一元二次不等式的求解】【例2】（2025高一上·河北保定·專題練習(xí)）若0<t<1，則關(guān)于x的不等式(x?t)(x?1t)<0A．{x|1t<x<t}C．{x|x<1t或【變式21】（2425高一上·上海金山·期末）當(dāng)0<a<1時，關(guān)于x的不等式x?31?ax+a?3A．?∞,a?3C．3,a?3a?1 【變式22】（2425高一上·廣東汕頭·期末）對于給定實(shí)數(shù)a，關(guān)于x的一元二次不等式ax?1x+1<0的解集可能是（A．x?1<x<1a B．xx≠1 C．【變式23】（2425高一上·陜西渭南·階段練習(xí)）關(guān)于x的不等式ax2+2a?1x?2>0A．?∞,?2 C．?∞,?2∪【題型3由一元二次不等式的解確定參數(shù)】【例3】（2425高二下·江蘇無錫·階段練習(xí)）不等式x2?ax?b<0的解集是x|1<x<3，則bxA．x|?3<x<?1 B．x|?1<x<?C．xx<?3或x>?1 D．xx<?1【變式31】（2026高三·全國·專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式x2?m+3x+3m<0的解集中恰有3個整數(shù)，則實(shí)數(shù)A．(6,7] B．[?1,0) C．?1,0∪6,7 【變式32】（2425高一上·云南昭通·期中）已知不等式ax2+bx+c<0的解集為{x∣x<?1或x>3}A．a(chǎn)>0B．c<0C．a(chǎn)+b+c>0D．cx2【變式33】（2025·福建南平·二模）關(guān)于t的實(shí)系數(shù)二次不等式t2+b?1t+a<0的解集為?2,?1，若ax?bA．12 B．2 C．2 D．【題型4分式、高次、絕對值不等式的求解】【例4】（2025·全國二卷·高考真題）不等式x?4x?1≥2的解集是（A．{x∣?2≤x≤1} B．{x∣x≤?2}C．{x∣?2≤x<1} D．{x∣x>1}【變式41】（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知集合A=x∈Z?2≤x≤4，B=x6x+1A．x?1≤x≤4 B．?1,0,1,2,3,4 C．0,1,2,3,4 D．【變式42】（2025·上?！じ呖颊骖}）不等式x?1x?3<0的解集為【變式43】（2025·上海崇明·二模）不等式|x?1|<2的解為．【題型5一元二次不等式根的分布問題】【例5】（2425高一上·浙江·期中）關(guān)于x的方程x2+a?2x+5?a=0有兩根，其中一根小于2，另一根大于3，則實(shí)數(shù)A．{a|a<?5或a>?4} B．a(chǎn)C．a(chǎn)a<?5 D．【變式51】（2425高一上·安徽合肥·期中）已知關(guān)于x的方程x2+m?2A．{m?5<m≤?4或m≥4} B．C．m?5<m≤?4 D．{m?5<m<?4【變式52】（2425高三上·四川·階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程x2?2ax+a+2=0在區(qū)間?2,1上有兩個不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（A．?65,?1C．?∞,?6【變式53】（2425高一上·遼寧大連·期中）關(guān)于x的方程ax2+4x+1=0A．0<a≤4 B．a(chǎn)≤0 C．a(chǎn)<4 D．a(chǎn)≤4【題型6二次函數(shù)的單調(diào)性、最值及圖象問題】【例6】（2425高一下·云南迪慶·期末）拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)A．a(chǎn)bc>0 B．b=2aC．3a+c<0 D．b【變式61】（2425高一上·陜西西安·期末）若函數(shù)fx=ax2?2x+4在區(qū)間1,3A．13,1 B．?1,?13 C．【變式62】（2425高一上·北京·開學(xué)考試）已知二次函數(shù)y=mx2?2mx（m為常數(shù)），當(dāng)?1≤x≤2時，函數(shù)值y的最小值為?2A．?2 B．1 C．2或?23 【變式63】（2025·陜西漢中·三模）在特定條件下，籃球賽中進(jìn)攻球員投球后，籃球的運(yùn)行軌跡是開口向下的拋物線的一部分.“蓋帽”是一種常見的防守手段，防守隊員在籃球上升階段將球攔截即為“蓋帽”，而防守隊員在籃球下降階段將球攔截則屬“違規(guī)”.對于某次投籃而言，如果忽略其他因素的影響，籃球處于上升階段的水平距離越長，則被“蓋帽”的可能性越大.收集幾次籃球比賽的數(shù)據(jù)之后，某球員投籃可以簡化為下述數(shù)學(xué)模型：如圖所示，該球員的投籃出手點(diǎn)為P，籃框中心點(diǎn)為Q，他可以選擇讓籃球在運(yùn)行途中經(jīng)過A，B，C，D四個點(diǎn)中的某一點(diǎn)并命中Q，忽略其他因素的影響，那么被“蓋帽”的可能性最小的線路是（

）A．P→A→Q B．P→B→Q C．P→C→Q D．P→D→Q【題型7一元二次不等式恒成立問題】【例7】（2025·浙江·模擬預(yù)測）若不等式kx2+k?6x+2>0A．2≤k≤18 B．?18<k<?2C．2<k<18 D．0<k<2【變式71】（2425高一下·貴州·期中）若不等式mx2+mx?4<2x2+2x對任意實(shí)數(shù)A．?2,2 B．?14,2 C．?∞,?2∪【變式72】（2425高三上·山西·階段練習(xí)）若命題p:?x∈?2,2，使得x2?2x?m2A．?∞,1∪C．?∞,?4∪【變式73】（2425高三上·河南許昌·期中）?x∈?2,+∞，x2+4?aA．3 B．3 C．23 【題型8一元二次不等式有解問題】【例8】（2425高一上·北京·期中）已知存在x∈0,1，使得x2?4x≥m2A．0,1 B．1,3 C．0,4 D．0,+【變式81】（2425高一下·湖北黃岡·階段練習(xí)）關(guān)于x的不等式x2?(a+2)x+2a<0有解是“a>2”的（A．充要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充分不必要條件【變式82】（2025·河南·模擬預(yù)測）已知命題“?x0∈?1,1，?xA．?∞,?2 B．?∞,4 C．【變式83】（2025·陜西寶雞·模擬預(yù)測）若存在實(shí)數(shù)x，使得mx2?m?2x+m<0A．?∞,2 C．?∞,2【題型9一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用】【例9】（2425高一上·廣東肇慶·階段練習(xí)）某網(wǎng)店銷售一批新款削筆器，每個削筆器的最低售價為15元.若按最低售價銷售，每天能賣出30個，若一個削筆器的售價每提高1元，日銷售量將減少2個.為了使這批削筆器每天獲得400元以上的銷售收入，這批削筆器的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（

）A．10,20 B．15,20 C．16,20 D．15,25【變式91】（2025高二下·湖北·學(xué)業(yè)考試）若不計空氣阻力，豎直上拋的物體距離拋出點(diǎn)的高度?（單位：m）與時間t（單位：s）滿足關(guān)系式?=v0t?12gt2，其中A．1.8s B．2.8s C．3.8s D．4.8s【變式92】（2425高一上·云南·期末）在物理學(xué)中，若不計空氣阻力，則豎直上拋的物體距離拋出點(diǎn)的高度?與時間t滿足關(guān)系?=v0t?12gt2，其中A．1.6s B．1.7s C．1.8s【變式93】（2425高一下·河南·開學(xué)考試）河南是華夏文明的主要發(fā)祥地之一，眾多的文物古跡和著名的黃河等自然風(fēng)光構(gòu)成了河南豐富的旅游資源，在旅游業(yè)蓬勃發(fā)展的帶動下，餐飲、酒店、工藝品等行業(yè)持續(xù)發(fā)展．某連鎖酒店共有500間客房，若每間客房每天的定價是200元，則均可被租出；若每間客房每天的定價在200元的基礎(chǔ)上提高10x元（1≤x≤10，x∈Z），則被租出的客房會減少15x套．若要使該連鎖酒店每天租賃客房的收入超過元，則該連鎖酒店每間客房每天的定價應(yīng)為（

）A．250元 B．260元 C．270元 D．280元一、單選題1．（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測）使不等式x2+3≤4x成立的一個充分不必要條件為（A．1≤x≤3 B．0≤x≤3 C．x>3 D．1<x<32．（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式ax2+bx?2>0的解集是1a,?2A．?∞,?1C．?12,03．（2025·重慶·一模）已知a∈R，則“x2+2x+a>0的解集為R”是“a>0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）不等式x2?3x<2?2xA．?1,12 B．?12,15．（2025·陜西渭南·二模）若關(guān)于x的不等式2ax2?4x<ax?2有且只有一個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)aA．1,2 B．[1,2) C．0,2 D．0,26．（2024·山西·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的不等式ax+b>0的解集為(?4,+∞)，則關(guān)于x的不等式bxA．?14,0C．0,14 7．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=xA．fx的圖象恒過點(diǎn)0,0 B．fx的圖象必與C．fx的最小值可能為?2 D．fx8．（2024·北京朝陽·模擬預(yù)測）定義區(qū)間m,n(m<n)的長度為n?m，設(shè)k>0，若對于任意a≠b，不等式1x?a+A．1 B．12 C．2 二、多選題9．（2425高一上·廣東廣州·期末）使不等式2kx2+kx?38A．k=0 B．k=1 C．k=?1 D．?3<k<010．（2425高一上·吉林通化·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為xx<?2或x>3，則下列說法正確的是A．a(chǎn)<0B．a(chǎn)x+c>0的解集為{x|x>6}C．8a+4b+3c<0D．cx211．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（

）A．不等式4x2B．不等式2x2C．若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，則D．若關(guān)于x的不等式2x2+px?3<0的解集是q,1，則三、填空題12．（2025·上海·三模）不等式xx?2≤0的解集為13．（2024·遼寧·三模）若“?x∈0,+∞，使x2?ax+4<0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為14．（2025·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）若不等式mx2+2mx?4<2x2+4x對任意x∈R都成立，則實(shí)數(shù)四、解答題15．（2024·山東·二模）已知fx是二次函數(shù)，且f(1)求fx(2)若x∈?1,5，求函數(shù)f16．（2025高一·全國·專題練習(xí)）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2(1)x1(2)x117．（2024·廣東中山·模擬預(yù)測）某企業(yè)為響應(yīng)國家節(jié)水號召，決定對污水進(jìn)行凈化再利用，以降低自來水的使用量.經(jīng)測算，企業(yè)擬安裝一種使用壽命為4年的污水凈化設(shè)備.這種凈水設(shè)備的購置費(fèi)（單位：萬元）與設(shè)備的占地面