3.3冪函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一：冪函數(shù)的概念(1)冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y=xα叫作冪函數(shù)，其中x是自變量，(2)冪函數(shù)的特征①xα的系數(shù)為1;②xα的底數(shù)是自變量;③知識(shí)點(diǎn)二：常見(jiàn)幾種冪函數(shù)的圖像性質(zhì)冪函數(shù)y=y=y=y=y=定義域RRR0,+∞x值域R0,+∞R0,+∞y單調(diào)性在Rx∈x∈在R在0,+∞)x∈x∈定點(diǎn)010101011知識(shí)點(diǎn)三：一般冪函數(shù)圖像性質(zhì)（1）所有的冪函數(shù)在區(qū)間0+∞上都有定義，并且圖像都通過(guò)定點(diǎn)11。無(wú)論（2）若冪指數(shù)α>0，則y=xα的圖像通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間0+∞上是增函數(shù)；若α<0，則y=x知識(shí)點(diǎn)四：y=xα，題型練習(xí)【夯實(shí)基礎(chǔ)】A． B．3 C．6 D．92．（2526高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下面的函數(shù)中是冪函數(shù)的有（

）A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤A．B．C． D．A．2 B． C．1 D．1或6．（2025高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，①②③④對(duì)應(yīng)四個(gè)冪函數(shù)的圖象，則①對(duì)應(yīng)的冪函數(shù)可以是（

）

A． B． C．2 D．2或10．（2526高二上·吉林白城·開(kāi)學(xué)考試）（多選）下列命題中，正確的是（

）A．冪函數(shù)y=x-1是奇函數(shù) B．冪函數(shù)C．冪函數(shù)y=x既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．冪函數(shù)y=x11．（2526高三上·安徽·階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)fx=mA．f1=1C．m2-2m=-1 D．12．（2526高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）（多選）下列函數(shù)中，不滿足既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（A．y=x3 B．y=|x| C．y=-13．（2526高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）冪函數(shù)的特征：(1)以冪的底為自變量，指數(shù)為;(2)的系數(shù)為，且只有一項(xiàng).14．（2425高一上·河北·期末）已知冪函數(shù)fx(1)求m的值；(2)若函數(shù)gx=fx-a-115．（2425高一上·山東日照·期末）已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象過(guò)點(diǎn)(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若不等式t≤f(x)+2x對(duì)任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【能力提升題】A．0 B．2 C．3 D．2或3A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無(wú)法判斷4．（2526高一上·海南·階段練習(xí)）（多選）下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)y=x3是奇函數(shù)且在B．函數(shù)f(x)=4-x2x+3C．若0<a<b且c>0，則b+cD．若f2x-1=25．（2425高一上·云南·期末）（多選）已知函數(shù)fx=xa的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．fx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,12B．fC．fx在定義域上為減函數(shù)D．當(dāng)x<0時(shí)，f8．（2425高一上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)fx=xα圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4,2，若fa+1>f3-2a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1)求實(shí)數(shù)的值；(1)求的值；13．（2425高一上·廣東梅州·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2x(1)若函數(shù)fx滿足f52+x=f52(2)在（1）的條件下，記hx=-fx,x≤1gx(3)當(dāng)a=1時(shí)，若函數(shù)fx的值域和函數(shù)fgx參考答案夯實(shí)基礎(chǔ)題答案1．D2．C3．C4．C5．B6．C7．C8．C9．B10．ABD11．ABD12．ACD13．常數(shù)114．(1)2；(2)-15．(1)f(x)=x2能力提升題答案1．C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義以及奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.2．C3．B4．ABD【詳解】對(duì)于A，如下圖所示，由函數(shù)y=x函數(shù)y=x3的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在所以函數(shù)y=x3是奇函數(shù)且在對(duì)于B，要使函數(shù)f(x)=4-x須滿足2x+3≠04-x2x+3≥0，即2x+3≠0所以函數(shù)f(x)=4-x2x+3的定義域?yàn)閷?duì)于C，因?yàn)閎+ca+c且0<a<b，c>0，所以a-b<0,ca-b<0，所以ca-baa+c對(duì)于D，設(shè)2x-1=t，則x=t+1所以f(t)=2t+1即fx故選：ABD5．BC【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx=xa經(jīng)過(guò)13當(dāng)x=2時(shí)，f2=12，所以函數(shù)fxfx在-∞,0當(dāng)x<0時(shí)，fx故fx故選：BC6．－2－1【分析】利用或命題的真假，結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論即可.8．23,【分析】由條件先求α，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及定義域解不等式求a，根據(jù)基本不等式判斷fx1+f【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx=x所以4α所以α=12，故函數(shù)fx=x12的定義域?yàn)?,+所以fa+1>f3-2a所以23<a≤32，即因?yàn)閒x=x所以x所以fx所以fx即fx故答案為：23,3【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義列方程，解出的值，再根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性檢驗(yàn)，即可得到答案；（2）分離變量，再結(jié)合基本不等式可得的范圍；【分析】（1）由冪函數(shù)定義求解；（2）取值做差變形判斷符號(hào)結(jié)論；13．(1)a=-10，b=8(2)11+(3)-【分析】（1）利用二次函數(shù)對(duì)稱性及給定的函數(shù)值列式求出a,b值.（2）把a(bǔ)=-10,b=8代入，求出函數(shù)h(x)，探討函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)應(yīng)函數(shù)值集合，求出h(x)=-2,h(x)=7（3）把a(bǔ)=1代入，求出函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸，按b>0,b<0,b=0探討函數(shù)g(x)的取值集合即可列式求解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)fx滿足f52即函數(shù)f(x)=2x2+ax+b的圖象關(guān)于x=得8+2a+b=-4-a4=5（2）由（1）知f(x)=2x依題意，h(x)=-2當(dāng)x≤1時(shí)，h(x)=-2x2+10x-8=-2(x-52)當(dāng)x>1時(shí)，h(x)=2x+8x-10，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知，h(x)在(1,2]在[2,+∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)的值域?yàn)橐驗(yàn)楫?dāng)x∈m,n時(shí)，-2≤由h(x)=7，得2x+8x-10=7由h(x)=-2，則-2x2+10x-8=-2或2x+8x所以(n-m)max（3）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)=2x2+x+b定義域?yàn)镽，其圖象對(duì)稱軸x=-當(dāng)b>0時(shí)，（?。┊?dāng)x>0時(shí)，2x+bx+1≥2（ⅱ）x<0時(shí)，2x+bx+1≤-2于是2x+b由函