絕密★啟用前

8.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x),若f'(x)<6x恒成立，且f(1)=2,則

f(2x)≤12x2-1的解集為

高三數(shù)學考試

B.[1,十∞]D.[一∞,1]

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

注意事項：求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。9.已知復數(shù)z滿足iz=6—3i,則

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂A.z=—3+6i

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在B.|z|=3√5

答題卡上。寫在本試卷上無效。C.z的虛部為—3

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。D.z在復平面內所對應的點在第二象限

彌)4.本試卷主要考試內容：集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導數(shù)、三角函數(shù)、平

10.函

面向量(含解三角形)、復數(shù)、數(shù)列、立體幾何。的部分圖象如圖所示，把f(x)的圖象向

右平移單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象.把f(x)圖象上各點的橫坐標伸長為原來的

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)h(x)的圖象，則

1.“Vx∈R,4x>x?”的否定為

A.3x∈R,4x>x?B.Vx∈R,4x≤x?

B.g(x)=—4sin4x

C.3x?R,4x≤x?D.3x∈R,4x≤x?

C.h(x)在上單調遞增

封)

甲當時，對任意的

…D.m≥2恒成立

t

11.設A,B為任意的兩個非空數(shù)集，定義集合{<x,y>|x∈A且y∈B}為A,B的笛卡爾積，

B記為A×B.A×B的任何子集R都稱為A到B的關系，特別地，當A=B時，R稱為A上

3.在等比數(shù)列{an}中，as—5a?=6a?,則公比q=的關系.在平面上用實心圓點分別標出A,B中元素的點(稱為結點),如果A=B,那么用實

心圓點標出中元素的點即可.若∈則自結點至結點作一條有向邊，箭

A.6B.3C.-1或6D.-2或3A<a;,b;>R,a,b,

4.設a=31,b=3sin1,c=6log,3,則頭指向b?,若<ai,b;>∈R,則結點a;到b;沒有有向邊連接，采用這種方法連接起來的圖

稱為R的關系圖.若R,S均為A到B的關系，則定義RoS={<x,y>|存在z滿足<x,

A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

5.若向量a,b滿足|a|=5,|b|=2,則向量a在向量b上的投影向量可能為z>∈S且<z,y>∈R}.設集合P=(1,2,3),現(xiàn)給出如下5個P上的關系R?,R?,R?,R?,

線A.—2bB.4bRs的關系圖，其中R?={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>),R?={<1,1>,<1,2>},則

C.—3bD.2√3b

6.若a>0且a≠1,函數(shù)R上單調遞增，則a的取值范圍是

A.(2,4)B.(1,2)C.(1,4)D.(2,4)

7.在棱長為3的正方體ABCD-A?B?C?D?中，M是B?C?上靠近點B?的三等分點.設集合QR?R?R?R?Rs

是底面ABCD內(含邊界)所有的點構成的集合，集合H={I∈Q|ID?<MD?),則集合C?HA.R?○R?=R?

所表示的區(qū)域面積為B.P×P共有512個子集

C.(R?○R?)0R?={<1,1>,<1,2>,<3,1>}

A.9—2πB.4+πC.πD.9一π

D.R?OR?={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<2,2>,<3,1>,<3,2>)

【高三數(shù)學第1頁(共4頁】

·JX-C1·【高三數(shù)學第2頁(共4頁)】·JX-C1·

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.18.(17分)

如圖，在四棱錐中，平面⊥平面底面是正方形，與交

12.已知函數(shù)P-ABCDPACPDB,ABCDACBD

于點O,PO與BD不垂直，AB=2,△PCB的面積是△POB面積的2倍.

13.若a,b是函數(shù)f(x)=cos4x-2√3sin2xcos2x的兩個零點，則f(x)的最大值為▲(1)證明：PD⊥AC.

|a-b|的最小值為▲·(2)設PD⊥DC.

14.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對任意m,n∈R,2f(m+2n+100)=f(f(m))+8n+(i)求PD;

300恒成立，且f(0)=100,則f(55)=▲(ii)若點M∈平面PAD,且點M∈平面PBC,求平面DCM與平面ABM夾角余弦值

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.的最小值.

15.(13分)

在銳角三角形ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

彌

(1)求角A的大小；

(2)若b+c=13,a=7,求△ABC的面積.

B

16.(15分)19.(17分)

已知正項等差數(shù)列{an}滿足a?=13,且1,a?,a?成等比數(shù)列.已知函數(shù)f(x)=tx-Inx.

(1)求{an}的通項公式；(1)討論f(x)的單調性；

(2)求{a?}的前n項和Tn;封

(2)若t>0,且對任意的x∈(1,+∞),恒成立，求t的取值范圍；

(3)設數(shù)列{(一1)"an)的前n項和為S,求S?n.

(3)若an=ln(n+1),數(shù)列{a}的前n項和為S,,證明

17.(15分)

已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=24+1.

(1)求f(x)和g(x)的解析式.

(2)設函

(i)求φ(x)的值域；

(ji)若0<k<2,且不等式φ(kx?+4)≥φ((2—k)x2+2)對任意x∈R恒成立，求k的

最小值.

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高三數(shù)學考試參考答案

題序1234567891011121314

答案DACBAADCABACDABD8210

【評分細則】

【1】第1～8題，凡與答案不符的均不得分

【2】第9題，全部選對的得6分，有選錯的不得分，每選對一個得3分；第10,11題，全部選對的

得6分，有選錯的不得分，每選對一個得2分.

【3】第13題第一空寫對得2分，第二空寫對得3分.

【4】第12,14題其他結果均不得分.

1.D【解析】本題考查全稱量詞命題的否定，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.

2.A【解析】本題考查正切的二倍角公式，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

3.C【解析】本題考查等比數(shù)列的基本量，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

由a5—5a?=6a?,得a?(q2-5q—6)=0,因為a?≠0,所以q=-1或6.

4.B【解析】本題考查指數(shù)、對數(shù)的大小比較，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

a=3·1>3,b=3sin1<3,,所以b<c<a.

5.A【解析】本題考查平面向量的投影向量，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

由題意得向量a在向量b上的投影向量當

時，向量a在向量b上的投影向量可能為-2b.

6.A【解析】本題考查分段函數(shù)的單調性，考查直觀想象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

根據(jù)題意可解得2≤a<4.

7.D【解析】本題考查空間中的距離與集合的補集，考查數(shù)學抽象、直觀想象的核心素養(yǎng).

【高三數(shù)學·參考答案第1頁(共9頁)】·JX-C1·

根據(jù)題意可得MD?=√9+4=√13.連接ID(圖略),易得DD?⊥ID,則ID?=√DD?+ID2

=√9+ID2<√13,得ID<2,則點I構成底面ABCD內以點D為圓心，2為半徑的的扇

面(不包括圓弧),所以集合CH所表示的區(qū)域面積為

8.C【解析】本題考查導數(shù)的應用與不等式，考查數(shù)學抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng).

令函數(shù)g(x)=f(x)—3x2+1,則g'(x)=f'(x)—6x<0,g(x)是減函數(shù).因為f(1)=2,所

以g(1)=f(1)-3+1=0,所以g(x)≤0的解集為[1,+∞],又f(2x)≤12x2-1等價于

g(2x)≤0,所以2x≥1,得

9.AB【解析】本題考查復數(shù)的概念與運算，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

因為所以Z=-3+6i,|z|=√9+36=3√5,z的虛

部為—6,z在復平面內所對應的點為(-3,—6),在第三象限.

10.ACD【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質，考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學運算的核

心素養(yǎng).

由圖可知,則,由圖可知A=4,將點的坐標

代入f(x)=4sin(4x+φ),得,則(k∈Z),解得

.因為,所以,所以,A正確.

,B錯誤.由題意得,當

時,所以h(x)在

上單調遞增，C正確.由,得,則

4],因為m≥2,所以,D正確.

11.ABD【解析】本題考查集合的新定義，考查數(shù)學抽象、直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).

P×P={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,

3>}共有9個元素，則P×P共有2?=512個子集，B正確.

R?={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,3>,<3,1>},

R?={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,2>,<1,3>},

R?={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>},

R?={<1,1>,<1,2>},

R?={<1,1>,<2,2>,<3,3>},

【高三數(shù)學·參考答案第2頁(共9頁)】·JX-C1·

則R?○R?={<1,1>,<1,3>,<2,2>,<3,1>,<3,3>},(R?○R?)oR?={<1,1>,

<1,3>,<1,2>},C錯誤.

R?oR?={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,3>,<3,1>},所以R?○R?

=R?,A正確.

R?○R?={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<2,2>,<3,1>,<3,2>},D正確.

12.8【解析】本題考查導數(shù)的概念，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

因為

【解析】本題考查三角恒等變換、三角函數(shù)與零點，考查邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)

,則f(x)max=2.根據(jù)題意可得2|a—b|的最

小值為f(x)的最小正周,則

14.210【解析】本題考查函數(shù)求值，考查數(shù)學抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng).

令m=n=0,得2f(100)=f(f(0))+300,解得f(100)=300.令m+2n=0,則2f(100)=

,即f(f(m))=4m+300,所以2f(m+2n+100)=4m+300

+8n+300,令m+2n+100=t,得2f(t)=4t+200,所以f(t)=2t+100,故f(55)=2×55

+100=210.

15.【解析】本題考查正弦、余弦定理，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

解：(1)由正弦定理可,…………2分

因為sinB≠0,sinC≠0,所以…………4分

因為△ABC為銳角三角形，所以,所以……………6分

(2)因為b+c=13,a=7,

所以由余弦定理可得,……8分

即169—3bc=49,9分

解得bc=40,……………11分

所以△ABC的面積………13分

【評分細則】

【1】第(1)問中，未寫sinB≠0,sinC≠0,不扣分；未寫,扣1分.

【2】第(2)問中，計算出b=5,c=8或b=8,c=5,不扣分.

【高三數(shù)學·參考答案第3頁(共9頁)】·JX-C1·

16.【解析】本題考查等差數(shù)列的求和與不等式的綜合，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

解：(1)設等差數(shù)列{a}的公差為d,則………………2分

解得……………4分

依題意得a>0,則a?=5,d=4,5分

所以a=a?+(n-1)d=4n+1.………7分

(2).……………………11分

(3)因為(-1)2”-1a2n-1+(-1)2"a2n=4×2n+1-4×(2n—1)-1=4,13分

所以S2n=4n15分

【評分細則】

則

第(1)問中，通過(a?-2d)2=a?+3d,求出或,當時，a?=a?—2d<0,

不

d≠,當d=4時，a?=a?—2d=5>0,符合題意，最終得到

扣分.

17.【解析】本題考查函數(shù)的性質與不等式的綜合，考查邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

解：(1)根據(jù)題意可得f(一x)=f(x),g(一分

對于f(x)+g(x)=2x+1①,以—x代替x得，f(一x)+g(一x)=2-4x+1,2分

所以f(x)-g(x)=2-4+1②,3分

由①②得g(x)=2?-2??,4分

f(x)=2+2?45分

(2)(i)由題意得

.…………………6分

設函數(shù),易得h(x)為增函數(shù)，所以…7分

令t=2?-2-4?,則

,因,所以φ(x)的

…………9分

(ii)由(i)可得，當0<k<2時

【高三數(shù)學·參考答案第4頁(共9頁)】·JX-C1·

貝,………………10分

因為h(x)上單調遞增，μ(t)上單調遞增，

由復合函數(shù)單調性可得φ(x)上單調遞增，………………11分

所以φ(kx?+4)≥φ((2—k)x2+2)等價于kx?+4≥(2—k)x2+2,

令m=x2≥0,所以km2—(2—k)m+2≥0對任意的m∈[0,+∞]恒成立，…………12分

因為函數(shù)T(m)=km2—(2—k)m+2圖象的開口向上且對稱軸為直線,所以

△=(2—k)2-8k≤0,………13分

即k2—12k+4≤0,解得6-4√2≤k≤6+4√2,14分

因為0<k<2,所以6-4√2≤k<2,即k的最小值為6-4√2.………15分

【評分細則】

【1】第(1)問中，未寫f(一x)=f(x),g(一x)=-g(x),直接在運算中使用，不扣分.

【2】第(2)(i)問中，說明μ(t)上單調遞增，所

十,從而求出值域，不扣分.

【3】第(2)(ii)問中，未說明,扣1分.從倒數(shù)第四行開始也可

以用下列方法做：

k(m2+m)≥2m-2對任意的m∈[0,十∞]恒成立，即..............................13分

當0≤m≤1時，因為k>0,所以顯然成立，當m>1時，令λ=m-1

>0,則對任意的λ∈(0,十∞)恒成立，

因為,當且僅當λ=√2時，等號成立，...........................................................14分

所以,又因為0<k<2,所以k的最小值為6-4√2.......................15分

18.【解析】本題考查空間中的垂直與角度問題，考查直觀想象、數(shù)學建模與數(shù)學運算的核心

素養(yǎng).

(1)證明：過D作DI⊥PO,交PO于I.1分

因為平面PAC⊥平面PDB,平面PAC∩平面PDB=PO,所以DI⊥平面PAC,因為AC

C平面PAC,所以DI⊥AC.……………2分

【高三數(shù)學·參考答案第5頁(共9頁)】·JX-C1·

因為底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC,3分

DI∩DB=D,所以AC⊥平面PBD,因為PDC平面PBD,所以AC⊥PD4分

(2)解：(i)過O作OH⊥PB交PB于H,連接CH,AH.由(1)知AC⊥平面PBD,則AC

⊥PB,又OH∩AC=O,所以PB⊥平面ACH,則PB⊥CH5分

因為△PCB的面積是△POB面積的2倍，所以CH=2OH.…………6分

易得OH⊥OC,所以OH2+OC2=CH2,即OH2+2=4OH2,解得,………7分

所以,則,則PD=BDtan∠OBH=28分

(ii)因為PD⊥DC,PD⊥AC,DCNAC=C,所以PD⊥平面ABCD,以{DC,DA,DP}為

正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0,0,0),P(0,0,2),C(2,0,0),B(2,2,0),

A(0,2,0).9分

過P作PG//AD,易證平面PAD∩平面PBC=PG,則M∈PG.分

設M(0,b,2),則DM=(0,b,2),CD=(-2,0,0),AM=(0,b一

2,2),AB=(2,0,0).…………………11分

設平面DCM的法向量為n?=(x1,y1,z1),

令y?=2,得n?=(0,2,-b)12分

設平面ABM的法向量為n?=(x?,y2,≈2),

令y?=2,得n?=(0,2,2—b)13分

設平面DCM與平面ABM的夾角為a,則|cosal=|cos(n,n2>|=nn2=

,………………14分

令b=m,2—b=n,則m+n=2,

,…………16分

當且僅當m=n=1時，

故平面DCM與平面ABM夾角余弦值的最小值為

【高三數(shù)學·參考答案第6頁(共9頁)】·JX-C1·

【評分細則】

【1】第(1)問中，未寫平面PACN平面PDB=PO,扣1分.

【2】第(2)(ii)問中，所求的平面的法向量均不唯一，只要求出的法向量是與參考答案給出的

法向量共線的非零向量即可.

【3】第(2)(ii)問中，得到后，還可這樣解答：由f(2

—b)=f(b),得f(b)的圖象關于直線b=1對稱，當b>1時，可以證得f'(b)>0,則f(b)

單調遞增，故,故所求夾角余弦值的最小值為

19.【解析】本題考查導數(shù)、數(shù)列與不等式的綜合，考查邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

(1)解：由題意得f(x)的定義域為(0,十∞),…1分

當t≤0時，f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上單調遞減；…………………2分

當t>0時，由f'(x)<0,得,由f'(x)>0,得,………3分

所以f(x)在上單調遞減，在上單調遞增.

綜上可知，當t≤0時，f(x)在(0,+∞)上單調遞減；當t>0時，f(x)在上單調遞

減，在上單調遞增.……………4分

(2)解：依題意可得當t>0時對任意x∈(1,十∞)恒成立.

令.………5分

①當時，t(x2+1)≥2xt≥x,……………………6分

則t(x2+1)—x≥0,所以h'(x)≥0,

則h(x)在(1,+∞)上單調遞增，則h(x)>h(1)=0,符合題意.………7分

②當時，t(x2+1)—x=0有兩根

因為x?>0,x?>0且x?x?=1,所以0