專題6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（重難點(diǎn)題型精講）1．分類加法計(jì)數(shù)原理(1)分類加法計(jì)數(shù)原理的概念完成一件事直兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，，在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有N=+++種不同的方法.

(2)分類加法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)

分類加法計(jì)數(shù)原理又稱分類計(jì)數(shù)原理或加法原理，其特點(diǎn)是各類中的每一種方法都可以完成要做的事情，我們可以用第一類有種方法，第二類有???????種方法，，第n類有??????????????種方法，來表示分類加法計(jì)數(shù)原理，即強(qiáng)調(diào)每一類中的任一種方法都可以完成要做的事，因此一共有+++種不同方法可以完成這件事.(3)分類的原則

分類計(jì)數(shù)時(shí)，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)，確定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，然后利用這個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，分類時(shí)要注意兩個(gè)基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應(yīng)的類；二是不同類的任意兩種方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個(gè)基本原則，就可以確保計(jì)數(shù)時(shí)不重不漏.2．分步乘法計(jì)數(shù)原理(1)分步乘法計(jì)數(shù)原理的概念

???????完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=×××種不同的方法.

(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)

分步乘法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)是在所有的各步之中，每一步都要使用一種方法才能完成要做的事，可以利用圖形來表示分步乘法計(jì)數(shù)原理，圖中的“”強(qiáng)調(diào)要依次完成各個(gè)步驟才能完成要做的事情，從而共有×××種不同的方法可以完成這件事.

(3)分步的原則

①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經(jīng)過哪幾步才能完成這件事；

②完成這件事需要分成若干個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件事就不可能完成；不能缺少步驟.

③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這n個(gè)步驟逐步去做，才能完成這件事，各個(gè)步驟既不能重復(fù)也不能遺漏.3．分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的辨析(1)聯(lián)系

分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的都是有關(guān)完成一件事的不同方法的種數(shù)問題.

(2)區(qū)別

分類加法計(jì)數(shù)原理每次得到的都是最后結(jié)果，而分步乘法計(jì)數(shù)原理每步得到的都是中間結(jié)果，具體區(qū)別如下表：(3)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的合理選擇在解決有關(guān)計(jì)數(shù)問題時(shí)，應(yīng)注意合理分類，準(zhǔn)確分步，同時(shí)還要注意列舉法、模型法、間接法和轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用.【題型1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的辨析】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的概念，進(jìn)行判斷，即可得解.【例1】判斷正誤（1）在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事．()（2）在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．()【變式1-1】在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．（判斷對錯(cuò)）【變式1-2】判斷正誤（1）在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事．()（2）在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．()【變式1-3】判斷下列各事件哪些是運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)．（1）一個(gè)三層書架的上層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，中層放有3本不同的語文書，下層放有2本不同的英語書，從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？（2）一個(gè)三層書架的上層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，中層放有3本不同的語文書，下層放，有2本不同的英語書；從書架上任取三本書，其中數(shù)學(xué)書，語文書，英語書各一本，有多少種不同的取法？（3）從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船，假定火車每日1班，汽車每日3班，輪船每日2班，那么一天中從甲地到乙地有多少種不同的走法？【題型2分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路：一、分類：將完成一件事的方法分成若干類；二、分步：求出每一類中的方法數(shù)；三、結(jié)論：將每一類的方法數(shù)相加，得出結(jié)果.【例2】某學(xué)校開設(shè)4門球類運(yùn)動(dòng)課程、5門田徑類運(yùn)動(dòng)課程和2門水上運(yùn)動(dòng)課程供學(xué)生學(xué)習(xí)，某位學(xué)生任選1門課程學(xué)習(xí)，則不同的選法共有（

）A．40種 B．20種 C．15種 D．11種【變式2-1】某日，甲、乙、丙三個(gè)單位被系統(tǒng)隨機(jī)預(yù)約到A，B，C三家醫(yī)院接種疫苗且每個(gè)單位只能被隨機(jī)預(yù)約到一家醫(yī)院，每家醫(yī)院每日至多接待兩個(gè)單位．已知A醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，B醫(yī)院接種的是需要打兩針的滅活疫苗，C醫(yī)院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗，則甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的預(yù)約方案種數(shù)為（

）A．27 B．24 C．18 D．16【變式2-2】如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為a1，a2，…，a12．設(shè)1≤i<j<k≤12，若k?j=3且j?i=4，則稱ai，aj，ak為大三和弦；若k?j=4且j?i=3，則稱ai，aA．5 B．8 C．10 D．15【變式2-3】從數(shù)字1，2，3，4中取出3個(gè)數(shù)字（允許重復(fù)），組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等于6，則這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．7 B．9 C．10 D．13【題型3分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】應(yīng)用分布乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路：一、分步：將完成一件事的過程分成若干步；二、計(jì)數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)；三、結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘，得出結(jié)果.【例3】某省新高考采用“3+1+2”模式：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個(gè)科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學(xué)、生物4個(gè)科目中選擇2個(gè)科目．已知小明同學(xué)必選化學(xué)，那么他可選擇的方案共有（

）A．4種 B．6種 C．8種 D．12種【變式3-1】如圖，要給①、②、③、④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，則不同的涂色方案種數(shù)為（

）．A．180 B．160 C．96 D．60【變式3-2】如圖所示，用不同的五種顏色分別為A，B，C，D，E五部分著色，相鄰部分不能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，也可不使用，則復(fù)合這些要求的不同著色的方法共有（

）ABCDEA．500種 B．520種 C．540種 D．560種【變式3-3】洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，如圖，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點(diǎn)為陰數(shù)（圖中白圈為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)）.現(xiàn)利用陰數(shù)和陽數(shù)構(gòu)成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)則如下：（從左往右數(shù)）第一位數(shù)是陽數(shù)，第二位數(shù)是陰數(shù)，第三位數(shù)和第四位數(shù)一陰一陽和為7，則這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)有（

）A．120 B．90 C．48 D．12【題型4兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】(1)“類中有步”計(jì)數(shù)問題：完成一件事有幾類方案，每一類方案中分若干步，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求出每一類方案中的方法數(shù)，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理把各類方案的方法數(shù)相加，即可得出結(jié)果.(2)“步中有類”計(jì)數(shù)問題：完成一件事的過程分成若干步，完成每一步的方法分成若干類，利用分類加法計(jì)數(shù)原理求出完成每一步中的方法數(shù)，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理把每一步的方法數(shù)相乘，即可得出結(jié)果.【例4】某校高二年級(jí)舉行健康杯籃球賽，共20個(gè)班級(jí)，其中1、3、4班組成聯(lián)盟隊(duì)，2、5、6班組成聯(lián)盟隊(duì)，一共有16支籃球隊(duì)伍，先分成4個(gè)小組進(jìn)行循環(huán)賽，決出8強(qiáng)（每隊(duì)與本組其他隊(duì)賽一場），即每個(gè)組取前兩名（按獲勝場次排名，如果獲勝場次相同的就按凈勝分排名）；然后晉級(jí)的8支隊(duì)伍按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，淘汰賽第一輪先決出4強(qiáng)，晉級(jí)的4支隊(duì)伍要決出冠亞軍和第三、四名，同時(shí)后面的4支隊(duì)伍要決出第五至八名，則總共要進(jìn)行籃球賽的場次為（

）A．32 B．34 C．36 D．38【變式4-1】某城市在中心廣場建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分，如圖所示．現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有（

）．A．80種 B．120種 C．160種 D．240種【變式4-2】已知集合M=1,?2,3，N=?4,5,6,?7，若從這兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，則可得平面直角坐標(biāo)系中第一、二象限內(nèi)不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（A．18 B．16 C．14 D．10【變式4-3】給四面體ABCD的六條棱涂色，每條棱可涂紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色中的任意一種，且任意共頂點(diǎn)的兩條棱顏色都不相同，則不同的涂色方法種數(shù)為（

）A．24 B．72 C．96 D．144專題6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（重難點(diǎn)題型檢測）一．單選題1．“完成一件事需要分成n個(gè)步驟，各個(gè)步驟分別有m1,mA．加法原理 B．減法原理 C．乘法原理 D．除法原理2．甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)報(bào)名參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)中設(shè)立的跳高、鉛球、跳遠(yuǎn)、100米比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，共有多少種不同的報(bào)名方法（

）A．12 B．24 C．64 D．813．若一個(gè)m、n均為非負(fù)整數(shù)的有序數(shù)對m,n，在做m+n的加法時(shí)，各位均不進(jìn)位，則稱m,n為“簡單的有序?qū)崝?shù)對”，m+n稱為有序?qū)崝?shù)對m,n之值，則值為2004的“簡單的有序?qū)崝?shù)對”的個(gè)數(shù)是（

）．A．10 B．15 C．20 D．254．中國古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法，在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造，算籌實(shí)際上是一根根同長短的小木棍．如圖，是利用算籌表示1?9的一種方法．則據(jù)此，3可表示為“”，26可表示為“”，現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用1?9這9數(shù)字表示的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．9 B．12 C．15 D．165．用4種不同顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，不同的涂色方法共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種6．四色定理又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一．它是于1852年由畢業(yè)于倫敦大學(xué)的格斯里提出來的，其內(nèi)容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色”．某校數(shù)學(xué)興趣小組在研究給四棱錐P?ABCD的各個(gè)面涂顏色時(shí)，提出如下的“四色問題”：要求相鄰面（含公共棱的面）不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂法有（

）A．36種 B．72種 C．48種 D．24種7．甲、乙、丙共3人參加三項(xiàng)知識(shí)競賽，每項(xiàng)知識(shí)競賽第一名到第三名的分?jǐn)?shù)依次為10，5，3.競賽全部結(jié)束后，甲獲得其中兩項(xiàng)的第一名及總分第一名，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．第二名、第三名的總分之和為29分或31分B．第二名的總分可能超過18分C．第三名的總分共有3種情形D．第三名不可能獲得其中任何一場比賽的第一名8．幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E,則這九棵樹枝從高到低不同的順序共有（

）A．23 B．24 C．32 D．33二．多選題9．如圖，標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞消息，信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示他們有網(wǎng)線相連，則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的信息量可以為（

）A．18 B．19 C．24 D．2610．已知數(shù)字0,1,2,3,4，由它們組成四位數(shù)，下列說法正確的有（

）A．組成可以有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有500個(gè)B．組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有96個(gè)C．組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有66個(gè)D．組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)有28個(gè)11．現(xiàn)有不同的紅球4個(gè)，黃球5個(gè)，綠球6個(gè)，則下列說法正確的是（

）A．從中選出2個(gè)球，正好一紅一黃，有9種不同的選法B．若每種顏色選出1個(gè)球，有120種不同的選法C．若要選出不同顏色的2個(gè)球，有31種不同的選法D．若要不放回地依次選出2個(gè)球，有210種不同的選法12．甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E，則下列結(jié)論正確的是（

）A．最高處的樹枝為G，I中的一個(gè)B．最低處的樹枝一定是FC．這九根樹枝從高到低不同的順序共有33種D．這九根樹枝從高到低不同的順序共有32種三．填空題13．甲、乙、丙、丁四人準(zhǔn)備到A、B、C、D四座城市旅游，每人只到其中一座城市旅游．若A、B、C三座城市為低風(fēng)險(xiǎn)城市，D為中風(fēng)險(xiǎn)城市，且規(guī)定疫苗接種未成功的人不能到中高風(fēng)險(xiǎn)城市，接種成功的人不受限制，已知這四人中只有丁疫苗接種還未成功，則這四人到這四座城市旅游共有種安排方法．14．如圖所示，玩具計(jì)數(shù)算盤的三檔上各有5個(gè)算珠，現(xiàn)將每檔算珠分為左右兩部分，左側(cè)的每個(gè)算珠表示2，右邊的每個(gè)算珠表示1（允許一側(cè)無珠），記上、中、下三檔的數(shù)字和分別為a,b,c.例如，圖中上檔的數(shù)字和a=7.若a,b,c成等差數(shù)列，則不同的分珠計(jì)數(shù)法個(gè)數(shù)為.15．如圖，用4種不同的顏色對圖中4個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂1種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有種．16．一雜技團(tuán)有8名會(huì)表演魔術(shù)或口技的演員，其中有6人會(huì)表演口技，有5人會(huì)表演魔術(shù)，現(xiàn)從這8人中選出2人上臺(tái)表演，1人表演口技，1人表演魔術(shù)，則不同的安排方法有種．四．解答題17．在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，A，B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，如表：A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)二物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他