第六章計(jì)數(shù)原理全章綜合測試卷（基礎(chǔ)篇）一．單選題1．某校開設(shè)A類選修課4門,B類選修課3門,一同學(xué)從中選1門,則該同學(xué)的不同選法共有（

）A．7種 B．12種 C．4種 D．3種【解題思路】根據(jù)題意求出所有的可能性即可選出結(jié)果.【解答過程】解:由題知某校開設(shè)A類選修課4門,B類選修課3門,共7門,故該同學(xué)的不同選法共有7種.故選:A.2．若3An3?6AA．5 B．8 C．7 D．6【解題思路】直接根據(jù)排列數(shù)公式和組合數(shù)公式列式解方程即可得答案.【解答過程】解：∵3An3?6即3n?1n?2?6n?1=2n+2，求得3．已知n，m為正整數(shù)，且n≥m，則在下列各式中，正確的個(gè)數(shù)是（

）①A63=120；②A127=A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)及排列數(shù)公式計(jì)算可得.【解答過程】解：對于①A63=6×5×4=120，故①正確；對于②因?yàn)镃127=A127A77，所以A1274．在3x?2A．-112 B．112 C．-1120 D．1120【解題思路】求出3x?2x8【解答過程】二項(xiàng)式3x?令8?4r3=0,求得r=2,可得展開式的常數(shù)項(xiàng)為5．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年.在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中（如圖），記第2行的第3個(gè)數(shù)字為a1，第3行的第3個(gè)數(shù)字為a2,?，第n(n≥2)行的第3個(gè)數(shù)字為an?1，則A．165 B．180 C．220 D．236【解題思路】根據(jù)楊輝三角及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)確定a1，…，a【解答過程】由題意得，a1則a1+a6．如圖，湖北省分別與湖南、安徽、陜西、江西四省交界，且湘、皖、陜互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有5種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案數(shù)為（

）A．480 B．600 C．720 D．840【解題思路】利用分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算作答.【解答過程】依題意，按安徽與陜西涂的顏色相同和不同分成兩類：若安徽與陜西涂同色，先涂陜西有5種方法，再涂湖北有4種方法，涂安徽有1種方法，涂江西有3種方法，最后涂湖南有3種方法，由分步計(jì)數(shù)乘法原理得不同的涂色方案5×4×1×3×3=180種，若安徽與陜西不同色，先涂陜西有5種方法，再涂湖北有4種方法，涂安徽有3種方法，涂江西、湖南也各有3種方法，由分步計(jì)數(shù)乘法原理得不同的涂色方案5×4×3×3×3=540種方法，所以，由分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的涂色方案共有180+540=720種.故選：C.7．已知Cn1011=①n=2023，②an=?32023，③其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)求得n，根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式、賦值法、二項(xiàng)式系數(shù)和的知識求得正確答案.【解答過程】n=1011+1012=2023，①對.(2x?3)2023所以an=a2023=C20230?展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22023，④錯(cuò).所以正確的說法有28．2022年8月某市組織應(yīng)急處置山火救援行動，現(xiàn)從組織好的5支志愿團(tuán)隊(duì)中任選1支救援物資接收點(diǎn)服務(wù)，另外4支志愿團(tuán)隊(duì)分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個(gè)不同項(xiàng)目，每支志愿團(tuán)隊(duì)只能分配到1個(gè)項(xiàng)目，且每個(gè)項(xiàng)目至少分配1個(gè)志愿團(tuán)隊(duì)，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．36 B．81 C．120 D．180【解題思路】先從5支志愿團(tuán)隊(duì)中任選1支救援物資接收點(diǎn)服務(wù)，再將4支志愿團(tuán)隊(duì)分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個(gè)不同項(xiàng)目，最后根據(jù)分步乘法原理求解即可.【解答過程】先從5支志愿團(tuán)隊(duì)中任選1支救援物資接收點(diǎn)服務(wù)，有C51=5種不同的選派方案，再將剩下的4支志愿團(tuán)隊(duì)分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個(gè)不同項(xiàng)目，有C42二．多選題9．C9896+2A．C9997 B．C992 C．【解題思路】由組合數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.【解答過程】C98故選：CD．10．現(xiàn)有3名老師，8名男生和5名女生共16人，有一項(xiàng)活動需派人參加，則下列命題中正確的是（

）A．只需1人參加，有16種不同選法B．若需老師、男生、女生各1人參加，則有120種不同選法C．若需1名老師和1名學(xué)生參加，則有39種不同選法D．若需3名老師和1名學(xué)生參加，則有56種不同選法【解題思路】根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理依次討論各選項(xiàng)即可求解.【解答過程】解：選項(xiàng)A，分三類：取老師有3種選法，取男生有8種選法，取女生有5種選法，故共有3+8+5=16種選法，故A正確；選項(xiàng)B，分三步：第一步選老師，第二步選男生，第三步選女生，故共有3×8×5=120種選法，故B正確；選項(xiàng)C，分兩步：第一步選老師，第二步選學(xué)生，第二步，又分為兩類：第一類選男生，第二類選女生，故共有3×8+5選項(xiàng)D，若需3名老師和1名學(xué)生參加，則有13種不同選法，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排．（

）A．若甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種B．若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法有42種C．甲、乙不相鄰的排法有82種D．甲、乙、丙按從左到右的順序排列的排法有20種【解題思路】利用捆綁法可判斷A；分別算出甲在最左端時(shí)以及乙在最左端時(shí)的排法數(shù)，可判斷B;用插空法可判斷C；先從5個(gè)位置中選2個(gè)位置安排丁、戊兩人，再把甲、乙、丙按從左到右的順序排在剩下的3個(gè)位置中，計(jì)算排法數(shù)，可判斷D.【解答過程】對于A，甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊,把甲、乙看作一個(gè)人，兩人只有一種排法，然后與其他人全排列，排法共有A4對于B，甲在最左端時(shí)，排法有A44=24（種），乙在最左端時(shí)，排法有A對于C，先排除甲、乙外的其他三人，再把甲、乙排進(jìn)三人中間及兩端的4個(gè)位置中，排法共有A3對于D，先從5個(gè)位置中選2個(gè)位置安排丁、戊兩人，再把甲、乙、丙按從左到右的順序排在剩下的3個(gè)位置中，排法共有A5故選：ABD．12．若二項(xiàng)式x+2xnA．二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為35 B．二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C．二項(xiàng)展開式中無常數(shù)項(xiàng) D．二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為240【解題思路】由二項(xiàng)式系數(shù)和求得n，令x＝1可求得各項(xiàng)系數(shù)之和即可判斷A，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)即可判斷B，由展開式的通項(xiàng)中x的指數(shù)確定有無常數(shù)項(xiàng)即可判斷C，列不等式組求得系數(shù)最大的項(xiàng)即可判斷D．【解答過程】因?yàn)槎?xiàng)式x+2所以2n=64，得n=6，所以二項(xiàng)式為則二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)Tr+1對于A，令x=1，可得二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為36對于B，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)r=3，則二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T4對于C，令6?32r=0，則r=4對于D，令第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則C6r2因?yàn)閞∈N，所以r=4，則二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T故選：BD．三．填空題13．有四位學(xué)生參加三項(xiàng)競賽，要求每位學(xué)生必須參加其中一項(xiàng)競賽，有81種參賽情況．【解題思路】根據(jù)分步乘法原理求解即可.【解答過程】解：根據(jù)乘法分步原理，每位學(xué)生都有三種選擇方案，故有34故答案為：81.14．1+xx?1x【解題思路】根據(jù)乘法分配律以及二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【解答過程】二項(xiàng)式x?1x4令4?2r=0，解得r=2；令4?2r=?1，則r無自然數(shù)解.所以1+xx?1x4展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15．若x?25=a0+a【解題思路】根據(jù)賦值法即可求解奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和.【解答過程】令x=1得，a0令x=?1得，a故答案為：?122.16．將5名志愿者分配到世界杯的3個(gè)不同體育場進(jìn)行志愿者服務(wù)，每名志愿者分配到1個(gè)體育場，每個(gè)體育場至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有150種．【解題思路】5名志愿者分成三個(gè)小組,有2，2，1和1，1，3兩種分法，分別求出兩種分組方法對應(yīng)的方案數(shù)即可得總的分配方案數(shù).【解答過程】將5名志愿者分成三個(gè)小組，有2，2，1和1，1，3兩種分法，當(dāng)為2，2，1時(shí)，共有C52?故一共有90+60=150種分配方案.故答案為：150.四．解答題17．解下列不等式或方程(1)A(2)1【解題思路】（1）先求出2≤x≤8，解不等式得到7<x<12，從而得到答案；（2）先得到0≤m≤5，解方程得到m=21或2，舍去不合題意的根.【解答過程】（1）由題意得：0≤x≤80≤x?2≤8，解得：2≤x≤8A8x<6A8x?2，即8!8?x（2）1C5m?1C6m故方程的解為：m=2.18．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，如圖所示．將一個(gè)正四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù)．【解題思路】分兩步,先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色,然后再分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù),用乘法原理可求解【解答過程】由題設(shè)，四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S,A,B所染的顏色互不相同,它們共有5×4×3=60種染色方法；當(dāng)S,A,B染好時(shí)，不妨設(shè)所染顏色依次為1,2,3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4,則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法,即當(dāng)S,A,B染好時(shí)，C,D還有7種染法.故不同的染色方法有60×7=420種.19．某電視臺連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中有3個(gè)商業(yè)廣告、2個(gè)宣傳廣告和1個(gè)公益廣告，要求最后播放的不能是商業(yè)廣告，宣傳廣告與公益廣告不能連續(xù)播放，2個(gè)宣傳廣告也不能連續(xù)播放，則有多少種不同的播放方式？【解題思路】結(jié)合分類加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算出正確答案.【解答過程】用1，2，3，4，5，6表示廣告的播放順序，則完成這件事有3類方法．第1類，宣傳廣告與公益廣告的播放順序是2，4，6．分6步完成這件事，共有3×3×2×2×1×1=36種不同的播放方式；第2類，宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1，4，6．分6步完成這件事，共有3×3×2×2×1×1=36種不同的播放方式；第3類，宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1，3，6．同樣分6步完成這件事，共有3×3×2×2×1×1=36種不同的播放方式，由分類加法計(jì)數(shù)原理，得6個(gè)廣告不同的播放方式共有36+36+36=108種．20．已知對任意給定的實(shí)數(shù)x，都有(1?2x)100(1)a0(2)a1【解題思路】（1）利用賦值法求解，令x=0可得結(jié)果；（2）利用賦值法求解，令x=?2可得結(jié)果；【解答過程】（1）因?yàn)?1?2x)100令x=0，則a0（2）令x=?2，則a0由（1）知a0+a21．已知二項(xiàng)式x?3x(1)求x?(2)求x?【解題思路】（1）首先根據(jù)組合數(shù)公式求n，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求第5項(xiàng)；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可知，C6【解答過程】（1）由Cn2=15，得nn?12=15，即x?3x當(dāng)r=4時(shí)，T5=?34C（2）因?yàn)镃63是T4=?33C22．從集合A=1,3,5,7中取一個(gè)數(shù)字和集合B={0,2,4,6,8}中取兩個(gè)數(shù)字，問：(1)可組成多少個(gè)三位數(shù)?(2)可組成可重復(fù)一個(gè)數(shù)字的四位數(shù)多少個(gè)?【解題思路】（1）先從集合A中任取一個(gè)數(shù)，有C41種取法，再從集合（2）先從集合A中任取一個(gè)數(shù)，有C41=4【解答過程】（1）解：從集合A中任取一個(gè)數(shù)，