專題7.4二項分布與超幾何分布（重難點題型精講）1．伯努利試驗(1)伯努利試驗的概念

把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗.

(2)n重伯努利試驗的兩個特征

①同一個伯努利試驗重復(fù)做n次；

②各次試驗的結(jié)果相互獨立.2．二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作XB(n，p).3．二項分布的期望與方差一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).4．超幾何分布(1)定義

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.

若隨機變量X服從超幾何分布，則其均值E(X)==np.

(2)求超幾何分布的分布列

①判斷隨機變量是不是服從超幾何分布；

②套用超幾何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意義.5．超幾何分布與二項分布的關(guān)系(1)超幾何分布與二項分布都是隨機變量取非負(fù)整數(shù)值的離散分布，表面上看，兩種分布的概率求解有截然不同的表達(dá)式，但看它們的概率分布列，會發(fā)現(xiàn)其相似點.超幾何分布與二項分布是兩個非常重要的概率模型，許多實際問題都可以利用這兩個概率模型來求解.在實際應(yīng)用中，理解并辨別這兩個概率模型是至關(guān)重要的.

(2)事實上，在次品件數(shù)為確定數(shù)M的足夠多的產(chǎn)品中，任意抽取n件(由于產(chǎn)品件數(shù)N無限多，無放回與有放回?zé)o區(qū)別，故可看作n重伯努利試驗)，其中含有次品的件數(shù)服從二項分布.【題型1二項分布的概率計算】【方法點撥】對于二項分布的概率計算問題，根據(jù)二項分布的定義及二項分布的分布列，進(jìn)行求解即可.【例1】已知隨機變量X服從二項分布X～B6,13，則PA．1316 B．4243 C．13243【解題思路】由二項分布的概率公式計算．【解答過程】P(X=2)=C【變式1-1】已知隨機變量X~B2,p，Y服從兩點分布，若PX≥1=0.64，PA．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【解題思路】利用二項分布的概率公式可求p,然后利用兩點分布概率公式計算可得結(jié)果.【解答過程】隨機變量X~B2，p解得p=0.4（p=1.6舍去，注意：0<p<1），PY=0故選:C．【變式1-2】設(shè)隨機變量X~B(2,p)，若P(X≥1)=59，則p的值為（A．13 B．23 C．53【解題思路】利用二項分布求解即可【解答過程】∵X~B(2,p)，∴P(X=0)=1?p2，解得p=13【變式1-3】設(shè)隨機變量ξ~B2,???p，η~B4,???p，若A．8081 B．6581 C．5581【解題思路】先建立方程C20p0(1?p)【解答過程】解：因為隨機變量ξ~B2,???p，Pξ≥1=因為Pξ=0=C20p0Pη≥1【題型2二項分布的期望與方差】【方法點撥】根據(jù)題目條件，結(jié)合二項分布的期望與方差公式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例2】已知隨機變量X服從二項分布B12,p，若E2X?3=5，則DA．83 B．8 C．12 【解題思路】根據(jù)二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差公式，再結(jié)合數(shù)學(xué)期望和方差性質(zhì)求解即可.【解答過程】隨機變量X服從二項分布B12,p，E因為E2X?3=2EX?3=24p?3=5，所以所以D3X【變式2-1】德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨是世界上第一個提出二進(jìn)制記數(shù)法的人.二進(jìn)制數(shù)被廣泛應(yīng)用于電子電路?計算機等領(lǐng)域.某電子電路每運行一次都隨機出現(xiàn)一個四位二進(jìn)制數(shù)A=a1a2a3a4，其中aii=1,2,3,4出現(xiàn)0的概率為13A．43 B．2 C．83【解題思路】根據(jù)二項分布求期望.【解答過程】由題意，X=0,1,2,3,4,PX=k=C故選:C.【變式2-2】已知隨機變量ξ+η=8，若ξ～B(10,0.3)，則E(η),D(η)分別是（

）A．4和2.4 B．5和2.1 C．2和2.4 D．4和5.6【解題思路】由ξ～B(10,0.3)求得E(ξ),D(ξ)，根據(jù)ξ+η=8，結(jié)合均值和方差的性質(zhì)，即可求得答案.【解答過程】由題意知，ξ～B(10,0.3)，故E(ξ)=10×0.3=3,D(ξ)=10×0.3×(1?0.3)=2.1，由于ξ+η=8，故η=8?ξ，所以E(η)=8?E(ξ)=8?3=5,D(η)=(?1)【變式2-3】某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立，設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，D(X)=2.4，且P(X=4)<P(X=6)，則E(X)=（

）A．6 B．5 C．4 D．3【解題思路】由二項分布的方差公式可求出p=0.4或p=0.6，又因為P(X=4)<P(X=6)可得p>0.5，所以可求出p=0.6，再由二項分布的期望即可求出答案.【解答過程】解：由二項分布的方差公式有D(X)=np(1?p)=2.4，解得:p=0.4或p=0.6.而PX=4<PX=6，即C10從而E(X)=np=6.故選:A.【題型3二項分布中的最大值問題】【方法點撥】對于二項分布中的最值問題，結(jié)合P(X=k)的單調(diào)性確定P(X=k)的最大值和對應(yīng)的k的值，進(jìn)行求解即可.【例3】某人在11次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，若X~B11,0.8，若PX=k最大，則k＝（A．7 B．8 C．9 D．10【解題思路】若PX=k最大，則PX=k≥P【解答過程】因為PX=k=CPX=k≥PX=k+1PX=k代入已知數(shù)值得：8.6≤k≤9.6，所以k=9時PX=k【變式3-1】若X～B10,12，則P(X=k)取得最大值時，k=A．4 B．5 C．6 D．5或6【解題思路】求得P(X=k)的表達(dá)式，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【解答過程】因為X~B10,12，所以PX=k=C10【變式3-2】已知X～Bn,p，若4PX=2=3PX=3，則A．56 B．45 C．34【解題思路】根據(jù)4PX=2=3PX=3可得到方程，求得p=【解答過程】由題意可知n≥3，因為4PX=2=3PX=3，所以4即p=4n+2，又n∈N*，且【變式3-3】經(jīng)檢測有一批產(chǎn)品合格率為34，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取5件，設(shè)取得合格產(chǎn)品的件數(shù)為ξ，則P(ξ=k)取得最大值時k的值為（

A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】隨機變量ξ~B(5,34)，P(ξ=k)=C5k?(3【解答過程】由題意，隨機變量ξ~B(5,34)若P(ξ=k)取得最大值時，則:

P(ξ=k)?P(ξ=k+1)P(ξ=k)?P(ξ=k?1)則15?k×14≥1k+1【題型4超幾何分布的判斷】【方法點撥】對于所給的隨機變量X，根據(jù)超幾何分布的定義來進(jìn)行判斷即可.【例4】下列隨機事件中的隨機變量X服從超幾何分布的是（

）A．將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為XB．從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機選出5名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為XC．某射手的射擊命中率為0.8，現(xiàn)對目標(biāo)射擊1次，記命中的次數(shù)為XD．盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數(shù)為X【解題思路】根據(jù)超幾何分布的定義可判斷得選項.【解答過程】解：由超幾何分布的定義可判斷，只有B中的隨機變量X服從超幾何分布.故選：B.【變式4-1】一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，還有4個同樣大小的白球，編號為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個球，有如下幾種變量：①X表示取出的最大號碼；②X表示取出的最小號碼；③取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，X表示取出的4個球的總得分；④X表示取出的黑球個數(shù)．這四種變量中服從超幾何分布的是()A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④【解題思路】根據(jù)超幾何分布的定義逐項判斷后可得正確的選項.【解答過程】對于①，當(dāng)X表示最大號碼，比如X=6表示從黑球編號為1,2,3,4,5中取3個黑球，而X=8表示從6個黑球和編號為7的白球共7個球中取3個球，故該隨機變量不服從超幾何分布，同理②中的隨機變量不服從超幾何分布.對于③，X的可能取值為4,5,6,7,8，X=4表示取出4個白球；X=5表示取出3個白球1個黑球；X=6表示取出2個白球2個黑球；X=7表示取出1個白球3個黑球；X=8表示取出4個黑球；因此X服從超幾何分布.由超幾何分布的概念知④符合，故選：B.【變式4-2】在15個村莊中，有7個村莊交通不方便，若用隨機變量X表示任選10個村莊中交通不方便的村莊的個數(shù)，則X服從超幾何分布，其參數(shù)為（

）A．N＝15，M＝7，n＝10B．N＝15，M＝10，n＝7C．N＝22，M＝10，n＝7D．N＝22，M＝7，n＝10【解題思路】根據(jù)超幾何分布概率模型可得選項.【解答過程】根據(jù)超幾何分布概率模型得N＝15，M＝7，n＝10，故選：A.【變式4-3】一個袋子中100個大小相同的球，其中有40個黃球，60個白球，從中不放回地隨機摸出20個球作為樣本，用隨機變量X表示樣本中黃球的個數(shù)，則X服從（

）A．二項分布，且EX=8 C．超幾何分布，且EX=8 【解題思路】利用超幾何分布的定義判斷，再利用超幾何分布的期望公式求解.【解答過程】解：由于是不放回地隨機摸出20個球作為樣本，所以由超幾何分布得定義得X服從超幾何分布，所以EX=【題型5二項分布的實際應(yīng)用】【方法點撥】利用二項分布模型解決實際問題的一般步驟：(1)根據(jù)題意設(shè)出隨機變量；(2)分析隨機變量是否服從二項分布；(3)若服從二項分布，則求出參數(shù)n和p的值；(4)根據(jù)需要列出相關(guān)式子并解決問題.【例5】為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳的成活與否是相互獨立的，成活率為p，設(shè)X為成活沙柳的株數(shù)，期望EX=3，方差(1)求n和p的值，并寫出X的分布列.；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種，求需要補種沙柳的概率．【解題思路】（1）根據(jù)二項分布的知識列方程組，求得n,p，并求得X的分布列.（2）結(jié)合（1）的分布列求得正確答案.【解答過程】（1）由題意知，隨機變量X服從二項分布Bn,pPX=k=Cnkpk1?pn?k所以X～B6,12，X的可能取值為0,1,2,3,4,5,6PX=2=CPX=6=CX0123456P131551531（2）記事件A表示“需要補種沙柳”，則PA得PA=1【變式5-1】某公園種植了4棵棕櫚樹，各棵棕櫚樹成活與否是相互獨立的，且成活率均為23，設(shè)ξ(1)求ξ的分布列；(2)若有2棵或2棵以上的棕櫚樹未成活，則需要補種，求需要補種棕櫚樹的概率.【解題思路】（1）根據(jù)題意成活棕櫚樹的棵數(shù)服從二項分布，再求出分布列即可；（2）由題意計算Pξ≤2【解答過程】（1）易知ξ所有可能的取值為0，1，2，3，4，且Pξ=0=CPξ=2=CPξ=4=Cξ01234P1883216（2）記“需要補種棕櫚樹”為事件A，由（1）得，PA所以需要補種棕櫚樹的概率為1127【變式5-2】新疆棉以絨長、品質(zhì)好、產(chǎn)量高著稱于世．現(xiàn)有兩類以新疆長絨棉為主要原材料的均碼服裝，A類服裝為純棉服飾，成本價為120元/件，總量中有30%將按照原價200元/件的價格銷售給非會員顧客，有50%將按照8.5折的價格銷售給會員顧客．B類服裝為全棉服飾，成本價為160元/件，總量中有20%將按照原價300元/件的價格銷售給非會員顧客，有40%將按照8.5折的價格銷售給會員顧客．這兩類服裝剩余部分將會在換季促銷時按照原價6折的價格銷售給顧客，并能全部售完．(1)設(shè)A類服裝單件銷售價格為ξ元，B類服裝單件銷售價格為η元，分別寫出兩類服裝單件銷售價格的分布列，并通過計算比較這兩類服裝單件收益的期望（收益=售價-成本）的大小；(2)某服裝專賣店店慶當(dāng)天，全場A，B兩類服裝均以會員價銷售，假設(shè)每位來店購買A，B兩類服裝的顧客只選其中一類購買，每位顧客限購1件，且購買了服裝的顧客中購買A類服裝的概率均為13．已知該店店慶當(dāng)天這兩類服裝共售出5件，設(shè)X為該店當(dāng)天所售服裝中B類服裝的件數(shù)，若P(X≤n)≤0.5(n∈N)【解題思路】（1）根據(jù)給定的信息，求出ξ，η的可能值及對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望作答.（2）求出購買了服裝的顧客中購買B類服裝的概率，借助二項分布求出n的各個值對應(yīng)的概率，再比較判斷作答.【解答過程】（1）依題意，ξ的可能值為200，170，120，P(ξ=200)=0.3,P(ξ=170)=0.5,P(ξ=120)=0.2，ξ的分布列為：ξ200170120P0.30.50.2ξ的期望E(ξ)=200×0.3+170×0.5+120×0.2=169，η的可能值為300，255，180，P(η=300)=0.2,P(η=255)=0.4,P(η=180)=0.4，η的分布列為：η300255180P0.20.40.4η的期望E(η)=300×0.2+255×0.4+180×0.4=234，設(shè)A類服裝、B類服裝的單件收益分別為X1元，X2元，則X1EX1=E(ξ)?120=49（元），E所以B類服裝單件收益的期望大.（2）依題意，X的可能值為0，1，2，3，4，5，顯然X~B5,P(X=0)=135=1P(X=3)=C5323因為P(X≤2)=1+10+40243=所以當(dāng)P(X≤n)≤0.5(n∈N)時，【變式5-3】2022年冬奧會剛剛結(jié)束，比賽涉及到的各項運動讓人們津津樂道．高山滑雪（A1pineSkiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖為主要用具，從山上向山下，沿著旗門設(shè)定的賽道滑下的雪上競速運動項目．冬季奧運會高山滑雪設(shè)男子項目、女子項目、混合項日．其中，男子項目設(shè)滑降、回轉(zhuǎn)、大回轉(zhuǎn)、超級大回轉(zhuǎn)、全能5個小項，其中回轉(zhuǎn)和大回轉(zhuǎn)屬技術(shù)項目．現(xiàn)有90名運動員參加該項目的比賽，組委會根據(jù)報名人數(shù)制定如下比賽規(guī)則：根據(jù)第一輪比賽的成績，排名在前30位的運動員進(jìn)入勝者組，直接進(jìn)入第二輪比賽，排名在后60位的運動員進(jìn)入敗者組進(jìn)行一場加賽，加賽排名在前10位的運動員從敗者組復(fù)活，進(jìn)入第二輪比賽．現(xiàn)已知每位參賽運動員水平相當(dāng)．(1)求每位運動員進(jìn)入勝者組的概率，及每位敗者組運動員復(fù)活的概率；(2)從所有參賽的運動員中隨機抽取5人，設(shè)這5人中進(jìn)入勝者組的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)從敗者組中選取10人，其中最有可能有多少人能復(fù)活？試用你所學(xué)過的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)理論進(jìn)行分析．【解題思路】（1）利用古典概型的概率公式求解即可；（2）由已知可得X～B(5,13)（3）由已知可得復(fù)活的人數(shù)k～B(10,1【解答過程】(1)每位運動員進(jìn)入勝者組的概率為3090=1(2)由已知條件得進(jìn)入勝者組的人數(shù)為X～B(5,1所以P(X=n)=C5n所以P(X=0)=C50P(X=2)=C52P(X=4)=C5413X012345P32808040101數(shù)學(xué)期望EX(3)設(shè)從敗者組選取的10人中有kk∈N?人復(fù)活，則k～B(10,當(dāng)P(k)最大時，用滿足P(k)≥P(k-即C10k1又因為k∈N?，所以【題型6超幾何分布的實際應(yīng)用】【方法點撥】利用超幾何分布模型解決實際問題的一般步驟：(1)根據(jù)題意設(shè)出隨機變量；(2)分析隨機變量是否服從超幾何分布；(3)若服從超幾何分布，則求出隨機變量的概率及分布列；(4)根據(jù)需要列出相關(guān)式子并解決問題.【例6】北京時間2月20日，北京2022年冬奧會閉幕式在國家體育場舉行.北京2022年冬奧會的舉行激發(fā)了人們的冰雪興趣，帶火了冬季旅游，某旅游平臺計劃在注冊會員中調(diào)查對冰雪運動的愛好情況，其中男會員有1000名，女會員有800名，用分層抽樣的方法隨機抽取36名會員進(jìn)行詳細(xì)調(diào)查，調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)抽取的這36名會員中喜歡冰雪運動的男會員有8人，女會員有4人.(1)在1800名會員中喜歡冰雪運動的估計有多少人？(2)在抽取的喜歡冰雪運動的會員中任選3人，記選出的3人中男會員有X人，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解題思路】(1)根據(jù)分層抽樣的定義求出男女會員中喜歡冰雪運動的比例，進(jìn)而求解；(2)根據(jù)超幾何分布計算概率.【解答過程】（1）用分層抽樣的方法隨機抽取36名會員，其中男會員有10001800所以在1800名會員中喜歡冰雪運動的估計有820（2）X可能的取值有0,1,2,3，PPX=2=C8X0123P1122814所以X的期望EX【變式6-1】為提高天津市的整體旅游服務(wù)質(zhì)量，市旅游局舉辦了天津市旅游知識競賽，參賽單位為本市內(nèi)各旅游協(xié)會，參賽選手為持證導(dǎo)游.現(xiàn)有來自甲旅游協(xié)會的導(dǎo)游4名，其中高級導(dǎo)游2名；乙旅游協(xié)會的導(dǎo)游5名，其中高級導(dǎo)游3名.從這9名導(dǎo)游中隨機選擇4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名高級導(dǎo)游，且這2名高級導(dǎo)游來自同一個旅游協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)ξ為選出的4人中高級導(dǎo)游的人數(shù)，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解題思路】（1）根據(jù)組合數(shù)的計算以及古典概型概率問題的計算公式求得事件A發(fā)生的概率.（2）根據(jù)超幾何分布的知識求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【解答過程】（1）由已知條件知，當(dāng)兩名高級導(dǎo)游來自甲旅游協(xié)會時，有C2當(dāng)兩名高級導(dǎo)游來自乙旅游協(xié)會時，有C32所以事件A發(fā)生的概率為421（2）隨機變量ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4.Pξ=0=CPξ=2=C52C4ξ01234P11010205所以，隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×【變式6-2】近年來，某市為促進(jìn)生活垃圾分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾桶．為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾桶中的生活垃圾，總計400噸，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表（單位：噸）．廚余垃圾桶可回收物桶其他垃圾桶廚余垃圾602020可回收物104010其他垃圾3040170(1)試估計廚余垃圾投放正確的概率P；(2)某社區(qū)成立了垃圾分類宣傳志愿者小組，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，現(xiàn)從這10名志愿者中隨機選取3名，利用節(jié)假日到街道進(jìn)行垃圾分類宣傳活動（每名志愿者被選到的可能性相同）．設(shè)X為選出的3名志愿者中男性志愿者的個數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解題思路】（1）有表格可得總的廚余垃圾總量,以及投入正確的垃圾投放量,即可求解.（2）根據(jù)超幾何分布,即可得分布列和期望.【解答過程】（1）由題表可得廚余垃圾共有60+20+20=100噸，其中投入廚余垃圾桶的有60噸，所以廚余垃圾投放正確的概率P=60（2）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3PX=0=C3所以X的分布列為X0123P72171所以E所以選出的3名志愿者中男性志愿者個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為910【變式6-3】為了解昆山震川高級中學(xué)中學(xué)高二年級學(xué)生身視力情況，對高二年級（1）班—（8）班進(jìn)行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨機各抽10名學(xué)生進(jìn)行視力監(jiān)測．經(jīng)統(tǒng)計，每班10名學(xué)生中視力監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)統(tǒng)計如下：班號12345678人數(shù)86947598(1)若用散點圖預(yù)測高二年級學(xué)生視力情況，從高二年級學(xué)生中任意抽測1人，求該生視力監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)若從以上統(tǒng)計的高二（2）班的10名學(xué)生中按分層抽樣抽出5人，再從5人中任取2人，設(shè)X表示2人中視力監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)每個班學(xué)生視力優(yōu)秀的概率與該班隨機抽到的10名學(xué)生的視力優(yōu)秀率相等．現(xiàn)在從每班中分別隨機抽取1名同學(xué)，用“ξk=1”表示第k班抽到的這名同學(xué)視力優(yōu)秀，“ξk=0”表示第k班抽到的這名同學(xué)視力不是優(yōu)秀（k=1，2，，8）．寫出方差Dξ1，【解題思路】（1）根據(jù)散點圖可求得抽取的80人中，視力監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，由古典概型概率公式可得結(jié)果；（2）首先可確定X所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可求得每個取值對應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計算公式可求得期望；（3）由兩點分布方差計算公式可求得Dξ【解答過程】(1)抽取的80人中，視力監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀有8+6+9+4+7+5+9+8=56人，∴從高二年級學(xué)生中任意抽測1人，該生視力監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率p=56(2)由散點圖可知：高二（2）班的10名學(xué)生中，視力監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)為6人，按分層抽樣，所抽5人，有3人視力監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀，2人視力監(jiān)測成績沒有達(dá)到優(yōu)秀，記從5人任抽2人，設(shè)X表示2人中視力監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，則X中能值為0，1，2.∴X所有可能的取值為0,1,2，∴PX=0=CX012P133E(X)=0×1(3)由散點圖知：Pξ1=1=8Pξ2=1=6Pξ3=1=9Pξ4=1=4∴Dξ2專題7.4二項分布與超幾何分布（重難點題型檢測）一．單選題1．下列隨機事件中的隨機變量X服從超幾何分布的是（

）A．將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為XB．從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機選出5名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為XC．某射手的射擊命中率為0.8，現(xiàn)對目標(biāo)射擊1次，記命中的次數(shù)為XD．盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數(shù)為X【解題思路】根據(jù)超幾何分布的定義可判斷得選項.【解答過程】解：由超幾何分布的定義可判斷，只有B中的隨機變量X服從超幾何分布.故選：B.2．已知隨機變量X～B(n,p)，若E(X)=1,D(X)=45，則P(X=3)=（A．643125 B．128625 C．125【解題思路】根據(jù)二項分布的期望和方差公式，結(jié)合二項分布的定義即可求解.【解答過程】由E(X)=1,D(X)=45，得np=1,np(1?p)=所以P(X=3)=C3．設(shè)隨機變量X，Y滿足：Y=3X?1，X～B2,p，若PX≥1=59A．3 B．13 C．4 D．【解題思路】由X~B(2,p)，P(X?1)=59，求出p值，利用二項分布的方差公式求出【解答過程】由于隨機變量X滿足：X~B(2,p)，P(X?1)=59，∴解得：p=13，即X~B(2,13)，∴D(X)=np(1?p)=2×13×2∴D(Y)=34．若X～B(6,12)，則使P(X＝k)最大的kA．2 B．3 C．2或3 D．4【解題思路】求使P(X=k)取最大值的k的值可通過比較P(X=k)和P(X=k+1)的大小得到．可利用做商法比較大小，從而可得出答案.【解答過程】解：PX=k=C6k所以當(dāng)k=2時，P(X=2)=1564，當(dāng)k=3時，P(X=3)=2064，從而故選：B．5．在一個袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個小球，設(shè)取的4個小球中白球的個數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（

）A．P(X=1)=25 B．隨機變量C．隨機變量X服從幾何分布 D．E【解題思路】由題意知隨機變量X服從超幾何分布，利用超幾何分布的性質(zhì)直接判斷各選項即可．【解答過程】解：由題意知隨機變量X服從超幾何分布，故B錯誤，C正確；X的取值分別為0，1，2，3，4，則P(X=0)=C64P(X=2)=C42C6∴E(X)=0×16．已知隨機變量ξiξ012P1?2p其中i=1，2，若12<pA．Eξ1<Eξ2，DC．Eξ1>Eξ2，D【解題思路】由題知ξi【解答過程】解：由表中數(shù)據(jù)可知ξi～B2,pi，又∵12∴Eξ1<E∴Dξ1>D7．為了保障我國民眾的身體健康，產(chǎn)品在進(jìn)入市場前必須進(jìn)行兩輪檢測，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷售，否則不能銷售，已知某產(chǎn)品第一輪檢測不合格的概率為19，第二輪檢測不合格的概率為110，兩輪檢測是否合格相互之間沒有影響，若產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品獲利40元，若產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元，已知一輪中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利X元，則PX≥?80A．96625 B．256625 C．608625【解題思路】根據(jù)題意可求得該產(chǎn)品能銷售的概率，寫出X的取值，設(shè)ξ表示一箱產(chǎn)品中可以銷售的件數(shù)，則ξ服從二項分布，分別求出X的取值對于得概率，從而可得答案.【解答過程】由題意得該產(chǎn)品能銷售的概率為1?191?110=45，易知所以Pξ=k=C4kPX=40=Pξ=3故PX≥?808．有甲、乙兩個盒子，甲盒子里有1個紅球，乙盒子里有3個紅球和3個黑球，現(xiàn)從乙盒子里隨機取出n1≤n≤6,n∈N?個球放入甲盒子后，再從甲盒子里隨機取一球，記取到的紅球個數(shù)為ξ個，則隨著nA．Eξ增加，Dξ增加 B．Eξ增加，Dξ減小C．Eξ減小，Dξ增加 D．Eξ減小，Dξ減小【解題思路】由題意可知，從乙盒子里隨機取出n個球，含有紅球個數(shù)X服從超幾何分布，即X～H6,3,n，可得出EX=n2，再從甲盒子里隨機取一球，則ξ服從兩點分布，所以Eξ=Pξ=1=12【解答過程】由題意可知，從乙盒子里隨機取出n個球，含有紅球個數(shù)X服從超幾何分布，即X～H6,3,n，其中PX=k=C3kC3n?k故從甲盒中取球，相當(dāng)于從含有n2+1個紅球的n+1個球中取一球，取到紅球個數(shù)為故Pξ=1=n2+1n+1=12+12n+2，隨機變量ξ服從兩點分布，所以二．多選題9．某工廠進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量抽測，兩位員工隨機從生產(chǎn)線上各抽取數(shù)量相同的一批產(chǎn)品，已知在兩人抽取的一批產(chǎn)品中均有5件次品，員工A從這一批產(chǎn)品中有放回地隨機抽取3件產(chǎn)品，員工B從這一批產(chǎn)品中無放回地隨機抽取3件產(chǎn)品．設(shè)員工A抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為X，員工B抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為Y，k=0，1，2，3．則下列判斷正確的是（

）A．隨機變量X服從二項分布 B．隨機變量Y服從超幾何分布C．P(X=k)<P(Y=k) D．E(X)=E(Y)【解題思路】對于A，B選項，由超幾何分布和二項分布的概念可知“有放回”是二項分布，“無放回”是超幾何分布，故兩個選項均正確；C，D選項，可進(jìn)行計算判斷.【解答過程】對于A，B選項，由超幾何分布和二項分布的概念可知兩個選項均正確；對于D選項，該批產(chǎn)品有M件，則E(X)=3?5M=15M，E(Y)=故選：ABD.10．某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個n位二進(jìn)制數(shù)A=a1a2a3a4?an，其中A．PX=0=1C．X的數(shù)學(xué)期望EX=n2 【解題思路】確定X～Bn【解答過程】由二進(jìn)制數(shù)A的特點知每一個數(shù)位上的數(shù)字只能填0，1，每位數(shù)出現(xiàn)0，1是獨立的，所以X～Bn,1PX=k因為X～Bn,1故選：ABC.11．已知10件產(chǎn)品中存在次品，從中抽取2件，記次品數(shù)為ξ，Pξ=1=1645，A．這10件產(chǎn)品的次品率為20% B．次品數(shù)為8件C．Eξ=0.4 【解題思路】假設(shè)次品為n件，由Pξ=1=1645求得次品n及次品率，再分別求的【解答過程】假設(shè)10件產(chǎn)品中存在次品為n件，從中抽取2件，Pξ=1這10件產(chǎn)品的次品率為21010件產(chǎn)品中存在2件次品，從中抽取2件，記次品數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為0，1，2，Pξ=0則EξDξ12．學(xué)校食坣每天中都會提供A,B兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種），經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇A套餐的概率為23，選擇B套餐的概率為13.而前一天選擇了A套餐的學(xué)生第二天詵擇A套餐的概率為14，選擇B套餐的概率為34；前一天選擇B套餐的學(xué)生第一天選擇A套餐的概率為12，選擇B套餐的概率也是12，如此往復(fù).記某同學(xué)第n天選擇A套餐的概率為An，選擇B套餐的概率為Bn.一個月（30天）后，記甲?乙A．An+BnC．PX=1≈0.288 【解題思路】對于A選項，由于每人每次只能選擇A,B兩種套餐中的一種，則An+Bn=1，所以A正確；對于B選項，依題意An+1=An所以X～B3,35【解答過程】由于每人每次只能選擇A,B兩種套餐中的一種，所以An依題意，An+1=A又n=1時，A1?25=23所以An?25=所以X～B3,35故選：ABC.三．填空題13．已知隨機變量ξ～B5,p，且Eξ=109，則【解題思路】根據(jù)二項分布的期望和方差公式計算即可.【解答過程】解：因為隨機變量ξ～B5,p，所以Eξ=5p=所以Dξ=5×214．設(shè)隨機變量ξ~B(2,p),η~B(3,p)，若P(ξ≥1)=59，則P(η≥2)=7【解題思路】由題意可得P(ξ≥1)=1?P(ξ=0)=59,由此解出p值,根據(jù)η~B(3,p),代入所求的概率的值,根據(jù)【解答過程】∵隨機變量ξ~B(2,p),且P(ξ≥1)=59，解得p=13,∴η~B(3,13)15．袋中裝有10個除顏色外完全一樣的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是79．現(xiàn)從該袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X，則E(X)=32【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合古典概型求得m=5，進(jìn)而求X的分布列和期望.【解答過程】設(shè)袋中有m個黑球，則白球有10?m，由題意可得：Cm2C102=mm?190PX=0可得X的分布列為：X0123P1551故EX=0×116．在一次新兵射擊能力檢測中，每人都可打5槍，只要擊中靶標(biāo)就停止射擊，合格通過；5次全不中，則不合格．新兵A參加射擊能力檢測，假設(shè)他每次射擊相互獨立，且擊中靶標(biāo)的概率均為p(0<p<1)，若當(dāng)p=p0時，他至少射擊4次合格通過的概率最大，則p0=【解題思路】由題設(shè)至少射擊4次合格通過，即第4或5槍擊中靶標(biāo)，可得f(p)=(1?p)3(2p?p2【解答過程】至少射擊4次合格通過的概率為f(p)=(1?p)所以f'(p)=(1?p)2(5故f(p)在(0,1?155)當(dāng)p=1?155時f(p)得最大值，故p0四．解答題17．寫出下列離散型隨機變量的分布列，并指出其中服從二項分布的是哪些？服從超幾何分布的是哪些？（1）X1表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)．（2）X2表示連續(xù)拋擲2枚骰子，所得的2個骰子的點數(shù)之和．（3）有一批產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n>N)，抽出的次品件數(shù)為X3．（4）有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽n件，出現(xiàn)次品的件數(shù)為X4(N－M>n>0)．【解題思路】（1）由條件可知X1～Bn,13，寫出二項分布列；（2）根據(jù)古典概型求概率；（3）因為是有放回，所以每此抽取，抽出次品的概率是MN【解答過程】【解】（1）X1的分布列為X1012…nPCnCC…CX1服從二項分布，即X1～Bn,（2）X2的分布列為X223456789101112P136236345654321（3）X3的分布列為X3012…nP1?MCC…MNX3服從二項分布，即X3～Bn,(4)X4的分布列為X401…k…nPCN?MC…C…CX4服從超幾何分布．18．2022年10月1日，某超市舉行“迎國慶促銷抽獎活動”，所有購物的顧客，以收銀臺機打發(fā)票為準(zhǔn)，尾數(shù)為偶數(shù)（尾數(shù)中的奇偶數(shù)隨機出現(xiàn)）的顧客，可以獲得三次抽獎，三次抽獎獲得獎品的概率分別為12，13，(1)求顧客獲得兩個獎品的概率；(2)若3位購物的顧客，沒有獲獎的人數(shù)記為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解題思路】（1）根據(jù)相互獨立事件概率計算公式求得正確答案.（2）根據(jù)二項分布的知識求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【解答過程】（1）顧客獲得兩個獎品的概率為：12（2）1個顧客沒有獲獎的概率為12×12×23PX=0=CPX=2=C所以X的分布列為：X0123P27135225125所以EX19．某校舉辦傳統(tǒng)文化知識競賽，從該校參賽學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生，競賽成績的頻率分布表如下：競賽成績50,6060,7070,8080,9090,100頻率0.080.240.360.200.12(1)估計該校學(xué)生成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)已知樣本中競賽成績在50,60的男生有2人，從樣本中競賽成績在50,60的學(xué)生中隨機抽取3人進(jìn)行調(diào)查，記抽取的男生人數(shù)為X，求X的分布列及期望.【解題思路】（1）利用每組區(qū)間的中點值乘以該組的概率，加總和即可得到平均數(shù)的估計值；（2）根據(jù)頻率分布表可求得樣本中競賽成績在50,60的總?cè)藬?shù)，進(jìn)而確定X所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可求得每個取值對應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可計算求得期望值.【解答過程】（1）平均數(shù)為55×0.08+65×0.24+75×0.36+85×0.20+95×0.12=75.4.（2）由題意知：樣本中競賽成績在50,60的共有100×0.08=8人，其中有男生2人，則X所有可能的取值為0,1,2，∴PX=0=C63∴X的分布列為X012P5153∴數(shù)學(xué)期望EX20．高中生的數(shù)學(xué)閱讀水平與其數(shù)學(xué)閱讀認(rèn)知、閱讀習(xí)慣和方法等密切相關(guān)．為了解高中生的數(shù)學(xué)閱讀現(xiàn)狀，調(diào)查者在某校隨機抽取100名學(xué)生發(fā)放調(diào)查問卷，在問卷中對于學(xué)生每周數(shù)學(xué)閱讀時間統(tǒng)計如下：時間（x小時/周）00<x≤0.50.5<x≤1x>1人數(shù)20403010(1)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀時間偏少的原因，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣從這100名學(xué)生中隨機抽取10名學(xué)生，再從這10人中隨機抽取2名進(jìn)行詳細(xì)調(diào)查，求這2名學(xué)生中恰有一人每周數(shù)學(xué)閱讀時間大于0.5小時的概率；(2)用頻率估計概率，從該校所有學(xué)生中隨機抽取10名學(xué)生，用PX=k表示這10名學(xué)生中恰有kk∈N,0≤k≤10名學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀時間在0,0.5小時的概率，求PX=k【解題思路】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，即可知10人有4人閱讀時間大于0.5，由組合即可求解概率；(2)將頻率視為概率則k~B10,25，利用二項分布概率公式及不等式法求P(X=k)【解答過程】（1）抽取的10人中，周閱讀時間大于0.5小時的有4人，小于等于0.5小時的有6人，故恰有一人每周數(shù)學(xué)閱讀時間大于0.5小時的概率為C（2）周閱讀時間在0,0.5小時的頻率為25，故概率為2則k~B10,