2025年下學期高三數(shù)學重點難點攻關之“數(shù)列的遞推與放縮”一、數(shù)列遞推公式求通項的核心方法與題型解析（一）基礎型遞推模型的破解策略累加法與累乘法對于形如(a_{n+1}=a_n+f(n))的遞推式（其中(f(n))可求和），可通過累加法轉(zhuǎn)化為(a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k))。例如：已知(a_1=1)，(a_{n+1}=a_n+2n-1)，則(a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}(2k-1)=n^2)。對于形如(a_{n+1}=a_n\cdotf(n))的遞推式（其中(f(n))可求積），采用累乘法：(a_n=a_1\cdot\prod_{k=1}^{n-1}f(k))。如(a_1=2)，(a_{n+1}=\frac{n+1}{n}a_n)，則(a_n=2n)。(S_n)與(a_n)關系的轉(zhuǎn)化已知(S_n=f(a_n))時，利用(a_n=S_n-S_{n-1}(n\geq2))構建遞推關系。例如：(S_n=2a_n-1)，則(n\geq2)時，(a_n=S_n-S_{n-1}=2a_n-2a_{n-1})，即(a_n=2a_{n-1})，結(jié)合(a_1=1)得(a_n=2^{n-1})。（二）高階遞推模型的構造技巧一階線性遞推：待定系數(shù)法對(a_{n+1}=Aa_n+B(A\neq1))，設(a_{n+1}+\lambda=A(a_n+\lambda))，解得(\lambda=\frac{B}{A-1})，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列({a_n+\lambda})。例如(a_{n+1}=3a_n+4)，則(\lambda=2)，(a_n+2=3^{n-1}(a_1+2))。二階線性遞推：特征方程法對(a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n)，特征方程(x^2=px+q)的根(x_1,x_2)決定通項：若(x_1\neqx_2)，則(a_n=Ax_1^{n-1}+Bx_2^{n-1})；若(x_1=x_2)，則(a_n=(A+Bn)x_1^{n-1})。如(a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n)（參考2025年題型歸納題2），特征根(x=2,3)，通項(a_n=A\cdot2^{n-1}+B\cdot3^{n-1})，結(jié)合(a_1=1,a_2=2)得(a_n=3^{n-1}-2^{n-1})。非線性遞推的轉(zhuǎn)化策略倒數(shù)法：對(a_{n+1}=\frac{Aa_n}{Ba_n+C})，取倒數(shù)得(\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{C}{A}\cdot\frac{1}{a_n}+\frac{B}{A})，轉(zhuǎn)化為線性遞推。對數(shù)法：對(a_{n+1}=a_n^k\cdotC)（(a_n>0)），取對數(shù)得(\lna_{n+1}=k\lna_n+\lnC)，構造等比數(shù)列。（三）2025年高考熱點題型突破例1（分奇偶項遞推）：已知(a_1=3)，(a_{n+1}=2a_n+(-1)^n)（參考2025年題型歸納題1）。解析：當(n)為奇數(shù)時，設(n=2k-1)，則(a_{2k}=2a_{2k-1}-1)；當(n)為偶數(shù)時，(a_{2k+1}=2a_{2k}+1)。消去(a_{2k})得(a_{2k+1}=4a_{2k-1}-1)，構造等比數(shù)列(a_{2k-1}-\frac{1}{3}=4(a_{2k-3}-\frac{1}{3}))，解得(a_{2k-1}=\frac{8}{3}\cdot4^{k-1}+\frac{1}{3})，故(a_{2025}=3\cdot2^{2024}-1)（選項C）。例2（周期數(shù)列求和）：(b_{n+2}=5b_{n+1}-6b_n)，(b_1=1,b_2=2)，求(\sum_{k=1}^{2025}b_k)的末位數(shù)字（參考2025年題型歸納題2）。解析：由特征根法得(b_n=3^{n-1}-2^{n-1})，計算前4項和：1+2+5+11=19，第5-8項和為（26+65+155+369）=615，發(fā)現(xiàn)末位數(shù)字以“9,5”循環(huán)，2025=4×506+1，末位數(shù)字為9+5×506的末位數(shù)字1。二、數(shù)列放縮法的核心技巧與高考應用（一）放縮法的底層邏輯與常見策略裂項放縮（高頻考點）分式裂項：(\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}(k\geq2))；根式裂項：(\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k})。例：求證(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}<2)。證明：(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}<1+\sum_{k=2}^n(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k})=2-\frac{1}{n}<2)。分式放縮與基本不等式真分數(shù)性質(zhì)：(\frac{a}<\frac{a+m}{b+m}(b>a>0,m>0))；均值不等式放縮：(k(k+1)<(k+\frac{1}{2})^2)，取倒數(shù)得(\frac{1}{k(k+1)}>\frac{4}{(2k+1)^2})。例：求證(\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}<\frac{1}{2})。證明：(\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}))，求和得(\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})<\frac{1}{2})。等比數(shù)列放縮對遞推式(a_{n+1}\leqqa_n(q<1))，可放縮為等比數(shù)列求和。例如(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+1)，則(a_{n+1}-2=\frac{1}{2}(a_n-2))，即(a_n=2-(\frac{1}{2})^{n-1})，故(\sum_{k=1}^na_k<2n-2)。（二）高考壓軸題中的放縮技巧進階分段放縮與精度控制對前幾項保留原式，從第(m)項開始放縮。例如證明(\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}<2\sqrt{n}-1)，可保留第一項，從第二項起放縮：(\frac{1}{\sqrt{k}}<2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}))。函數(shù)輔助放縮構造函數(shù)(f(x)=\lnx-x+1)，利用(f(x)\leq0)得(\lnx\leqx-1)，取(x=\frac{k+1}{k})得(\ln(k+1)-\lnk<\frac{1}{k})，疊加得(\ln(n+1)<\sum_{k=1}^n\frac{1}{k})。2025年命題趨勢下的綜合應用例（結(jié)合遞推與放縮）：已知(a_1=1)，(a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n})，求證(a_n<\sqrt{2n})。證明：(a_{n+1}^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2}<a_n^2+2+1=a_n^2+3)（當(n\geq1)時，(a_n\geq1)），但需更精確放縮：(a_{n+1}^2-a_n^2=2+\frac{1}{a_n^2}\leq2+1=3)（不滿足），調(diào)整為(a_{n+1}^2-a_n^2=2+\frac{1}{a_n^2}<2+\frac{1}{a_{n-1}^2+2})，數(shù)學歸納法證(a_n^2<2n)：(n=1)時(1<2)成立；假設(a_k^2<2k)，則(a_{k+1}^2=a_k^2+2+\frac{1}{a_k^2}<2k+2+\frac{1}{2k}<2(k+1))（(k\geq1)時(\frac{1}{2k}<1)）。三、跨模塊綜合題的解題策略（一）遞推與不等式的結(jié)合例：已知(a_n=3^{n-1})，求證(\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{(a_k+1)(a_{k+1}+1)}<\frac{1}{2})。解析：(\frac{a_k}{(a_k+1)(a_{k+1}+1)}=\frac{3^{k-1}}{(3^{k-1}+1)(3^k+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{3^{k-1}+1}-\frac{1}{3^k+1}))，求和得(\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{3^n+1})<\frac{1}{4}<\frac{1}{2})。（二）實際應用中的遞推建模例（2025年命題預測·應用性）：某細菌培養(yǎng)，初始100個，每天數(shù)量是前一天的2倍但不超過10000，求第幾天數(shù)量達到最大值。解析：設(a_n)為第(n)天數(shù)量，則(a_n=\min{2a_{n-1},10000})，(a_1=100)，計算得(a_7=6400)，(a_8=12800)（超過10000），故(a_8=10000)，第8天起穩(wěn)定，最大值為10000。四、易錯點警示與優(yōu)化建議遞推公式轉(zhuǎn)化時忽略(n)的范圍：如(S_n=2a_n-1)中，需單獨驗證(n=1)時(a_1=1)是否滿足通項。放縮過度或不足：證明(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}<\frac{5}{3})時，若從第一項放縮(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\sum_{k=3}^n(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k})=1+\frac{1}{4}+1-\frac{1}{n}=\frac{9}{4}-\frac{1}{n}>\frac{5}{3})，需調(diào)整為保留前兩項：(1+\frac{1}{4}+\sum_{k=3}^n(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k})=\frac{5}{4}+1-\frac{1}{n}<\frac{9}{4}<\frac{5}{3})（仍過度），進一步改為(\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k^2-\frac{1}{4}}=\frac{1}{k-\frac{1}{2}}-\frac{1}{k+\frac{1}{2}})，求和得