一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1)了解和掌握分離變量法和有限差分法。(2)掌握MATLAB軟件的基本使用。(3)能夠仿真展示出接地矩形金屬槽內(nèi)部電位分布二、預(yù)習(xí)要求(1)了解拉普拉斯方程、分離變量法和有限差分法。(2)掌握MATLAB軟件的基本使用三、實(shí)驗(yàn)原理1.問(wèn)題提出一些特殊對(duì)稱邊界的靜態(tài)場(chǎng)域問(wèn)題，可以用分離變量法或鏡像法求出其解析解(精確解)。有時(shí)由于場(chǎng)域的邊界復(fù)雜，不易用解析方法得到，常采用數(shù)值計(jì)算方法求解；其中最常用的數(shù)值計(jì)算方法是有限差分法。如圖2.7-1所示,尺寸為a×b的矩形導(dǎo)體槽三面接地，上方是一塊密實(shí)的與之絕緣的金屬蓋板，其電位為φ=U0=100V，求槽內(nèi)電位的分布情況。圖2.7-1接地矩形導(dǎo)體箱這是二維靜態(tài)場(chǎng)域的邊值問(wèn)題,在直角坐標(biāo)系中,接地導(dǎo)體矩形槽中的電位函數(shù)φ滿足拉普拉斯方程

其邊界條件滿足第一類邊界條件(Dirichlet邊界條件)問(wèn)題：

2.導(dǎo)體槽內(nèi)電位的理論求解與數(shù)值計(jì)算1)用分離變量法求解析解為求出矩形導(dǎo)體槽內(nèi)電位分布的解析解，可用分離變量法來(lái)計(jì)算。根據(jù)數(shù)學(xué)物理方法，導(dǎo)體槽內(nèi)電位函數(shù)的通解為其系數(shù)An由y=b的邊界條件來(lái)確定，即兩邊同乘以

，

并從0～a進(jìn)行積分,可得式(2.7-5)中，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，An=0，故應(yīng)取奇數(shù)，得這樣就可得到接地矩形導(dǎo)體槽電位分布的解析解為2)用有限差分法數(shù)值計(jì)算處理二維場(chǎng)域的拉普拉斯方程可以用有限差分法進(jìn)行近似計(jì)算。首先把求解的區(qū)域劃分成網(wǎng)格,把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)的場(chǎng)分布用求網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的離散的數(shù)值解代替。網(wǎng)格必須劃分得充分細(xì)，才能達(dá)到足夠的精度，這里采用正方形網(wǎng)格劃分，如圖2.7-2所示。其次，以各網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的電位作為未知數(shù)的差分方程式來(lái)代換拉普拉斯方程，如圖2.7-3所示。圖2.7-2有限差分的正方形網(wǎng)格點(diǎn)

圖2.7-3迭代法所用網(wǎng)格的劃分設(shè)正方形每個(gè)網(wǎng)格邊長(zhǎng)為h

（稱為步長(zhǎng)）,網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)(i，j)的電位為φi,j，其上下左右4個(gè)節(jié)點(diǎn)的電位分別為

。在h充分小的情況下,可以將為基點(diǎn)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開：把以上4個(gè)式子相加，得顯然，在4個(gè)式子相加的過(guò)程中，h的所有奇次方項(xiàng)都抵消了，所以式(2.7-7)是略去h4及其以上的項(xiàng)所得，其精度為h的二次項(xiàng)。場(chǎng)中任何點(diǎn)(i，j)都滿足泊松方程

。其中，F(xiàn)(x，y)為場(chǎng)源,則式(2.7-7)變?yōu)閷?duì)于無(wú)源場(chǎng),F(x,y)=0，則二維拉普拉斯方程的有限差分形式為這樣，二階偏微分方程就可以用差分代數(shù)方程來(lái)近似替代。只要任意設(shè)定網(wǎng)格點(diǎn)電位的初值，則用迭代法不斷更新各網(wǎng)格點(diǎn)的電位值，直到滿足所要求的精度為止(利用計(jì)算機(jī)來(lái)進(jìn)行迭代計(jì)算時(shí)，為了簡(jiǎn)化程序，初值電位一般取零值)。為減少迭代次數(shù)，加快收斂速度，通常采用松弛法迭代法,節(jié)點(diǎn)(i,j)經(jīng)過(guò)n+1次迭代后,其迭代公式為式中,ω為松弛因子。四、實(shí)驗(yàn)儀器計(jì)算機(jī)： 1臺(tái)MATLAB軟件： 1套五、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容根據(jù)相關(guān)公式，取步長(zhǎng)h=1,x、y方向的網(wǎng)格數(shù)為hx=41，hy=21，共有41×21=861個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，迭代精度為10-6,并用MATLAB軟件編寫計(jì)算程序。首先用有限差分法計(jì)算所有網(wǎng)格點(diǎn)的電位值U(i，j)，然后設(shè)定一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)A(x,y)。由給定的參數(shù)求出A點(diǎn)電位的解析解,最后將同一點(diǎn)的差分解的結(jié)果和解析解的結(jié)果進(jìn)行比較,算出相對(duì)誤差。六、注意事項(xiàng)(1)確保采用的MATLAB函數(shù)使用正確。(2)確保MATLAB程序編寫正確無(wú)誤。七、