一、知識溯源：為什么要學(xué)集合問題？演講人CONTENTS知識溯源：為什么要學(xué)集合問題？基礎(chǔ)鞏固：從課本例題到核心方法變式突破：從“標(biāo)準(zhǔn)題”到“復(fù)雜情境”綜合應(yīng)用：從“解題”到“用數(shù)學(xué)眼光看世界”總結(jié)與提升：集合問題的核心思想與學(xué)習(xí)建議目錄2025三年級數(shù)學(xué)上冊數(shù)學(xué)廣角集合問題變式練習(xí)課件作為深耕小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)十余年的一線教師，我始終認(rèn)為，數(shù)學(xué)廣角模塊是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的“黃金窗口”。集合問題作為其中的經(jīng)典內(nèi)容，不僅是三年級學(xué)生首次系統(tǒng)接觸“重疊問題”的起點(diǎn)，更是后續(xù)學(xué)習(xí)容斥原理、統(tǒng)計與概率的重要基礎(chǔ)。今天，我將以“變式練習(xí)”為核心，從知識溯源、基礎(chǔ)鞏固、變式突破到綜合應(yīng)用，帶大家構(gòu)建一套完整的集合問題學(xué)習(xí)體系。01知識溯源：為什么要學(xué)集合問題？1課程標(biāo)準(zhǔn)的要求《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“數(shù)量關(guān)系”主題中明確提出，第二學(xué)段（3-4年級）學(xué)生需“能在具體情境中，運(yùn)用集合的思想方法解決簡單的實際問題，體會集合的表示方法”。這一要求指向的不僅是解題技巧，更是“分類與整合”“數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透。2生活中的集合現(xiàn)象STEP1STEP2STEP3STEP4集合問題并非抽象的數(shù)學(xué)游戲，而是真實存在于學(xué)生生活中的“計數(shù)難題”。例如：運(yùn)動會報名時，小明既參加了跑步又參加了跳繩，統(tǒng)計總?cè)藬?shù)時如何避免重復(fù)？班級圖書角中，《格林童話》被3人借閱，《安徒生童話》被4人借閱，其中2人兩本書都借了，實際借書人數(shù)是多少？這些場景中，“重復(fù)元素”的存在會干擾直接相加的常規(guī)思維，而集合思想正是解決這類問題的“鑰匙”。3思維發(fā)展的需求三年級學(xué)生的思維正從“具體形象”向“抽象邏輯”過渡。集合問題中的韋恩圖（VennDiagram）通過直觀的圖形分割，將“重疊部分”可視化，能有效幫助學(xué)生理解“整體與部分”“包含與排除”的關(guān)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)方程、排列組合等內(nèi)容奠定思維基礎(chǔ)。02基礎(chǔ)鞏固：從課本例題到核心方法1課本例題的深度解析（以人教版三上第104頁例1為例）例題：三（1）班參加跳繩比賽的有9人，參加踢毽子比賽的有8人，兩項都參加的有3人。三（1）班參加這兩項比賽的共有多少人？1課本例題的深度解析（以人教版三上第104頁例1為例）1.1常規(guī)解法與誤區(qū)部分學(xué)生可能直接用9+8=17（人），但這忽略了“兩項都參加的3人”被重復(fù)計算了一次。正確的思路是：總?cè)藬?shù)=跳繩人數(shù)+踢毽子人數(shù)-兩項都參加的人數(shù)，即9+8-3=14（人）。1課本例題的深度解析（以人教版三上第104頁例1為例）1.2韋恩圖的直觀呈現(xiàn)左圓（跳繩）：只跳繩的人數(shù)=9-3=6人交集（兩項都參加）：3人用兩個相交的圓分別表示跳繩和踢毽子的學(xué)生：右圓（踢毽子）：只踢毽子的人數(shù)=8-3=5人總?cè)藬?shù)=6+5+3=14人（與公式法結(jié)果一致）。通過圖形，學(xué)生能清晰看到“重復(fù)部分”是如何被“減去”的，這比單純記憶公式更符合兒童的認(rèn)知規(guī)律。0102030405062基礎(chǔ)練習(xí)的設(shè)計要點(diǎn)1為了讓學(xué)生扎實掌握核心方法，基礎(chǔ)練習(xí)需圍繞“三要素”展開：2已知兩部分?jǐn)?shù)量和交集數(shù)量，求總數(shù)（如例題）；3已知總數(shù)和兩部分?jǐn)?shù)量，求交集數(shù)量（變式：總共有14人，跳繩9人，踢毽子8人，兩項都參加的有幾人？）；4已知總數(shù)和其中一部分及交集數(shù)量，求另一部分?jǐn)?shù)量（變式：總共有14人，跳繩9人，兩項都參加的3人，踢毽子的有幾人？）。5通過這三類基礎(chǔ)題，學(xué)生能從不同角度理解“總數(shù)=A+B-交集”的公式本質(zhì)，避免“套公式”的機(jī)械學(xué)習(xí)。03變式突破：從“標(biāo)準(zhǔn)題”到“復(fù)雜情境”1情境變式：從“興趣小組”到“生活場景”例1（飲食場景）：媽媽買了蘋果和香蕉，小明吃了3個蘋果和2根香蕉，其中有1個蘋果和1根香蕉是小明和妹妹一起吃的。小明實際吃了多少個水果？分析：這里的“交集”是“小明和妹妹一起吃的水果”，但需注意“小明吃的水果”中，“單獨(dú)吃的”和“一起吃的”都屬于小明的食用量。正確解法：只吃蘋果的3-1=2個，只吃香蕉的2-1=1根，總數(shù)量=2+1+1=4個（或3+2-1=4個）。設(shè)計意圖：將“興趣小組”換成“吃水果”，貼近學(xué)生生活，同時強(qiáng)調(diào)“交集”的本質(zhì)是“同時屬于兩個集合的元素”，而非“僅屬于交集的元素”。1情境變式：從“興趣小組”到“生活場景”3.2數(shù)據(jù)變式：從“整數(shù)”到“非整數(shù)”的初步滲透（需符合三年級認(rèn)知）例2（圖書借閱）：班級圖書角中，《故事大王》被$\frac{1}{2}$的男生和$\frac{1}{3}$的女生借閱，已知男生有6人，女生有6人，其中1名女生和1名男生同時借閱了這本書。實際借閱《故事大王》的有多少人？分析：這里需先計算各部分?jǐn)?shù)量：男生借閱人數(shù)=6×$\frac{1}{2}$=3人，女生借閱人數(shù)=6×$\frac{1}{3}$=2人，交集1人（注意：交集可以是1人，因為可能有1名男生和1名女生同時借閱，但題目中“1名女生和1名男生”實際是2人？需修正題目表述，避免歧義）。正確解法：3+2-2=3人（假設(shè)交集是2人）。設(shè)計意圖：通過分?jǐn)?shù)計算，提前滲透“部分與整體”的關(guān)系，同時強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)的合理性（如人數(shù)必須是整數(shù)），培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)感”。3圖形變式：從“雙圓韋恩圖”到“多元素組合”例3（文具分類）：書包里有鉛筆、橡皮和尺子，其中帶鉛筆的有7人，帶橡皮的有5人，帶尺子的有4人，同時帶鉛筆和橡皮的有2人，同時帶橡皮和尺子的有1人，同時帶鉛筆和尺子的有0人，三種都帶的有0人。班級共有多少人帶了這三種文具中的至少一種？分析：這是三元集合的初步接觸，但題目中“三種都帶的為0”，可簡化為兩兩交集的計算。總?cè)藬?shù)=7+5+4-2-1-0+0=13人（這里需引入容斥原理的初步公式：總數(shù)=A+B+C-AB-AC-BC+ABC）。設(shè)計意圖：雖然三年級不要求掌握三元集合的完整公式，但通過簡單變式（無三者交集），能讓學(xué)生感知集合思想的擴(kuò)展性，為高年級學(xué)習(xí)埋下伏筆。4逆向變式：從“求總數(shù)”到“求部分?jǐn)?shù)量”例4（運(yùn)動會報名）：三（2）班共有30人，其中20人報名了跑步，15人報名了跳遠(yuǎn)，有5人兩項都沒報名。兩項都報名的有多少人？01分析：這里增加了“都不參加”的元素，需先求出“至少參加一項”的人數(shù)：30-5=25人。再根據(jù)總數(shù)=跑步+跳遠(yuǎn)-交集，得25=20+15-交集，解得交集=10人。01設(shè)計意圖：引入“都不”的元素，是集合問題中常見的變式，能有效訓(xùn)練學(xué)生的“整體-部分”思維，避免只關(guān)注“參加”的部分而忽略“未參加”的部分。0104綜合應(yīng)用：從“解題”到“用數(shù)學(xué)眼光看世界”1跨學(xué)科融合：與科學(xué)課的“分類活動”結(jié)合例5（動植物分類）：科學(xué)課上，學(xué)生觀察到校園里有12種開花植物，8種結(jié)果植物，其中5種植物既開花又結(jié)果。另外，還有3種植物既不開花也不結(jié)果（如蕨類）。校園里共有多少種植物？分析：這是典型的“兩集合+都不”問題，需分兩步計算：至少開花或結(jié)果的植物=12+8-5=15種，總植物數(shù)=15+3=18種。設(shè)計意圖：將集合問題與科學(xué)分類結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的工具性，讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)是其他學(xué)科的語言”。2實踐活動：設(shè)計“班級興趣調(diào)查”活動要求：以小組為單位，調(diào)查班級同學(xué)喜歡的運(yùn)動（籃球、足球）和喜歡的樂器（鋼琴、吉他），用韋恩圖表示結(jié)果，并計算：喜歡籃球或足球的人數(shù)；只喜歡鋼琴的人數(shù)；既不喜歡運(yùn)動也不喜歡樂器的人數(shù)。實施要點(diǎn)：提前發(fā)放調(diào)查表，確保數(shù)據(jù)準(zhǔn)確；小組合作繪制韋恩圖，教師巡視指導(dǎo)交集部分的標(biāo)注；分享環(huán)節(jié)重點(diǎn)討論“重復(fù)數(shù)據(jù)”的處理方法，強(qiáng)化“減去交集”的必要性。設(shè)計意圖：通過實踐活動，讓學(xué)生從“解題者”變?yōu)椤皢栴}研究者”，真正體會集合思想在數(shù)據(jù)整理中的應(yīng)用價值。3思維拓展：“隱藏的交集”問題例6（生日派對）：媽媽買了草莓蛋糕和巧克力蛋糕，參加派對的10個小朋友中，有7人吃了草莓蛋糕，6人吃了巧克力蛋糕，沒有人兩種蛋糕都沒吃。明明說：“一定有至少3個小朋友兩種蛋糕都吃了。”他說得對嗎？分析：根據(jù)總數(shù)=A+B-交集，得交集=A+B-總數(shù)=7+6-10=3人。因此，明明的說法正確。這題的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生理解“交集的最小值”（當(dāng)所有未重疊部分都不重疊時，交集達(dá)到最小值）。設(shè)計意圖：通過“最小值”問題，滲透“極端思維”，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。05總結(jié)與提升：集合問題的核心思想與學(xué)習(xí)建議1核心思想回顧集合問題的本質(zhì)是解決“重復(fù)計數(shù)”問題，其核心方法可概括為：1“整體=部分1+部分2-重疊部分”（兩集合）2或**“整體=部分1+部分2+部分3-兩兩重疊+三者重疊”**（三集合，三年級暫作了解）3這一思想的關(guān)鍵在于通過韋恩圖或公式，將“看不見的重復(fù)”可視化，從而避免“多算”或“漏算”。42學(xué)習(xí)建議畫圖優(yōu)先：遇到集合問題時，先嘗試用韋恩圖表示各部分?jǐn)?shù)量，圖形的直觀性能幫助快速找到重疊部分；01標(biāo)注清晰：在圖中明確標(biāo)注“只屬于A”“只屬于B”“同時屬于A和B”的數(shù)量，避免混淆；02聯(lián)系生活：多觀察生活中的重疊現(xiàn)象（如課程表中的“連堂課”、超市的“買一送一”活動），用集合思想分析解決；03變式訓(xùn)練：通過“求交集”“求部分?jǐn)?shù)量”“含