專題03求數(shù)列的前n項和一、考情分析二、考點梳理與題型分析考點一、公式法例1、等比數(shù)列中，，，成公差不為0的等差數(shù)列，，則數(shù)列的前9項和（）A． B．387 C． D．297【答案】B【分析】先設(shè)等比數(shù)列的公比為，結(jié)合條件可知，由等差數(shù)列的中項可知，利用等比數(shù)列的通項公式進(jìn)行化簡求出，最后利用分組求和法，以及等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式，即可求出數(shù)列的前9項和.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，成公差不為0的等差數(shù)列，則，，都不相等，，且，，，，即，解得：或（舍去），，所以數(shù)列的前9項和：.故選：B.【變式訓(xùn)練1-1】數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項和為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用等差數(shù)列的前n項和公式得到，進(jìn)而得到，利用裂項相消法求和.【詳解】依題意得：，，，故選：D．例2、已知公差不為0的等差數(shù)列，，．記，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.7]=0，[1.9]=1．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列前101項和．【答案】(1)(2)192【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式基本量計算出首項和公差，求出通項公式；（2）解不等式得到，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，從而求出前101項和.(1)設(shè)公差為d，，又，故，即，所以，解得：或0（舍去），求得：，數(shù)列的通項公式為；(2)，令得：，令，解得：，令，解得：，當(dāng)時，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，設(shè)的前n項和為，所以.【變式訓(xùn)練2-1】已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)．記數(shù)列的前n項和為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求得的首項和公差，由此求得的通項公式.（2）利用并項求和法，結(jié)合三角函數(shù)的知識求得.(1)設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則，結(jié)合可解得，所以.(2)，，，，，，，……以此類推，的最小正周期，，所以.考點二、并項求和（分組求和）例3、在等差數(shù)列中，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列條件列方程，即可求通項公式；（2）先由等比數(shù)列通項公式求出，解得，分組求和即可.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，∴，由，∴，∴數(shù)列的通項公式為.(2)∵數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴，即，∴，∴.【變式訓(xùn)練3-1】已知等差數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求數(shù)列的前n項和Sn，【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由已知條件結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求出，從而可求出數(shù)列的通項公式；（2）結(jié)合等比數(shù)列的通項公式和（1），可求得，然后利用分組求和法求解即可(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d．由，可得，即，解得．所以(2)若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，則．由（1）可得，．考點三、裂項相消法例4、已知正項等比數(shù)列的前n項和為，，.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知，設(shè)出數(shù)列公比，根據(jù)條件列出方程組，通過解方程即可求解出和，然后利用等比數(shù)列通項公式即可求解；（2）由第（1）問求解出的通項公式，帶入到中化簡并進(jìn)行裂項，然后求解其前n項和.(1)由已知可得，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以或（舍去），可得，，解得，所以，故的通項公式為(2)由第（1）問可知，，所以,，所以，所以，數(shù)列的前n項和為.【變式訓(xùn)練4-1】已知等差數(shù)列的前項和為，，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用裂項法可求得，即可證得原不等式成立.(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，因此，.(2)證明：，因此，.故原不等式得證.考點四、錯位相減法例5、已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)遞推公式，利用等比數(shù)列的定義即可得出結(jié)論；（2）利用分組求和法和錯位相減法計算即可得出答案.(1)證明：由，得，又，所以，故，故是以為首項，以為公比的等比數(shù)列；(2)解：由（1）得，得，所以，設(shè)的前n項和為，則，①，②由①-②，得，則，故.【變式訓(xùn)練5-1】在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答.設(shè)數(shù)列的前項和為，且__________.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)答案不唯一，具體見解析(2)答案不唯一，具體見解析【分析】（1）若選①：根據(jù)，利用數(shù)列通項與前n項和的關(guān)系求解；若選②：構(gòu)造利用等比數(shù)列的定義求解；（2）根據(jù)（1）得到，再利用錯位相減法求解.(1)解:若選①：，當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足上式，故若選②：易得于是數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，(2)若選①：由（1）得，從而，，作差得于是若選②由（1）得，從而，，作差得，于是專題03求數(shù)列的前n項和A組基礎(chǔ)鞏固1．已知數(shù)列的前項和為，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用裂項相消法求數(shù)列的和即可.【詳解】解：，所以.故選：C.2．已知等差數(shù)列，，，則數(shù)列的前100項和（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的通項，再利用裂項相消法可求前100項和.【詳解】因為為等差數(shù)列且，，故，故，故數(shù)列的前100項和為，故選：A.3．?dāng)?shù)列中，，其前項和是，則=（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用裂項求和即可求解.【詳解】因為，所以，故選：D.4．已知在前n項和為的數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用并項求和法即可求解.【詳解】由，有，則．故選：C5．已知數(shù)列的通項公式，則數(shù)列的前5項和等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，以及分組求和的方法，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以則數(shù)列的前5項和.故選：C6．若數(shù)列的通項公式是，則（）A．45 B．65 C．69 D．【答案】B【解析】由題意可得，從而可得，進(jìn)而可得答案【詳解】因為，所以，則，故選：B．7．若數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項和為（）A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋n－2 D．2n＋1＋n2－2【答案】D【解析】根據(jù)數(shù)列{an}的通項公式是等差+等比的形式，采用分組求和的方法，以及等差、等比的前n項和公式，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為所以即所以故故選：D8．?dāng)?shù)列的前項和，則等于()A．171 B．21 C．10 D．161【答案】D【詳解】由題意得．選D．9．在數(shù)列中，，，則（）A．224 B．226 C．482 D．508【答案】B【分析】先根據(jù)，利用累加法求得，再利用分組求和法求解.【詳解】因為數(shù)列，滿足，，所以，所以，故選：B10．“垛積術(shù)”是由北宋科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學(xué)家楊輝、元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有茭草垛、方垛、芻童垛、三角垛等．某倉庫中部分貨物堆放成如圖所示的“茭草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層是n件．已知第一層貨物單價1萬元，從第二層起，貨物的單價是上一層單價的．若這堆貨物總價是萬元，則n的值為（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】先依次求出各層貨物總價，再利用裂項抵消法進(jìn)行求解.【詳解】由題意，得第一層貨物總價為1萬元，第二層貨物總價為萬元，第三層貨物總價為萬元，，第層貨物總價為萬元.設(shè)這堆貨物總價為萬元，則，兩式相減，得，即，則，令，得.故選：B.11．在數(shù)列{an}中，Sn為它前n項和，已知a2＝1，a3＝6，且數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列，則Sn＝__________．【答案】【分析】根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的基本量求得，利用分組求和法即可求得結(jié)果.【詳解】令，由題可知：，又為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，故，，故，解得；則.故答案為：.12．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的前2021項和為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意求出，代入中，再利用裂項相消即可求出答案.【詳解】由是等差數(shù)列且，可知：，故.，數(shù)列的前2021項和為.故答案為：.13．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前n項和______．【答案】【分析】先求出，利用裂項相消法求和.【詳解】因為數(shù)列滿足，，所以數(shù)列為公差d=2的等差數(shù)列，所以，所以所以.故答案為：.14．已知數(shù)列的通項公式，則其前項和___________.【答案】，【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式，求和時采用分組求和法，利用等比數(shù)列的前n項和公式，求得答案.【詳解】因為，所以，故答案為：，15．已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a5＝14，且a1，a3，a11成等比數(shù)列，設(shè)bn＝(－1)n＋1an，數(shù)列{bn}的前n項的和為Sn，則S2021＝________.【答案】3032【分析】根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而求得，利用分組求和法求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由于a1，a3，a11成等比數(shù)列，∴，即(a5－2d)2＝(a5－4d)·(a5＋6d).∴14d2＝3a5d.又d≠0，a5＝14，知d＝3，因此an＝a5＋(n－5)×3＝3n－1，bn＝(－1)n＋1(3n－1).∴S2021＝b1＋b2＋b3＋…＋b2021＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(b2020＋b2021).故答案為：16．學(xué)數(shù)學(xué)的人重推理愛質(zhì)疑，比如唐代詩人盧綸《塞下曲》：“月黑雁飛高，單于夜遁逃.欲將輕騎逐，大雪滿弓刀.”這是一首邊塞詩的名篇，講述了一次邊塞的夜間戰(zhàn)斗，既刻畫出邊塞征戰(zhàn)的艱苦，也透露出將士們的勝利豪情.這首詩歷代傳誦，而無人提出疑問，當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家華羅庚以數(shù)學(xué)家特有的敏感和嚴(yán)密的邏輯思維，發(fā)現(xiàn)了此詩的一些疑點，并寫詩質(zhì)疑，詩云：“北方大雪時，群雁早南歸.月黑天高處，怎得見雁飛？”但是，數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯誤，如法國數(shù)學(xué)家費馬于1640年提出了以下猜想是質(zhì)數(shù)，直到1732年才被善于計算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出不是質(zhì)數(shù).現(xiàn)設(shè)記，則數(shù)列的前項和___________.【答案】【分析】根據(jù)題意，化簡數(shù)列通項公式，利用分組求和的方法求解即可.【詳解】依題意有代入得，所以則有故答案為：

B組能力提升17．（多選）在數(shù)列中，，前n項的和為Sn，則（）A．的最大值為1 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．【答案】ABD【分析】對于A：當(dāng)n=2時，有，對分正負(fù)進(jìn)行討論，利用基本不等式求出的最大值；對于B、C：利用等差數(shù)列的定義進(jìn)行判斷；對于D：利用分組求和法直接求出，即可判斷.【詳解】對于A：當(dāng)n=2時，有，若時，由基本不等式可得：（時取等號），所以；若中有一個為0或負(fù)值時，；若時，不可能成立；故的最大值為1.故A正確；對于B：數(shù)列中，，當(dāng)n為奇數(shù)時，有，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；對于C：當(dāng)n為偶數(shù)時，有，只有時，數(shù)列是等差數(shù)列，否則數(shù)列不是等差數(shù)列，故C不正確；對于D：.故D正確.故選：ABD18．（多選）已知數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列；是以為首項，為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，則下列結(jié)論正確的為（）A． B．C． D．若，則的最大值為【答案】ACD【分析】求出數(shù)列、的通項公式，可求得的表達(dá)式，可判斷A選項；利用分組求和法可判斷B選項；設(shè)，利用數(shù)列的單調(diào)性求出數(shù)列的最大項的值，可判斷C選項；計算出、的值，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可判斷D選項.【詳解】由已知可得，，對于A選項，，A對；對于B選項，，B錯；對于C選項，由題意可知，，令，則.當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，即數(shù)列從第二項開始單調(diào)遞減，所以，，即，故，C對；對于D選項，，故數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，因為，，即，D對.故選：ACD.19．（多選）設(shè)和分別為數(shù)列和的前n項和．已知，，則（）A．是等比數(shù)列 B．是遞減數(shù)列C． D．【答案】ABD【分析】利用及求得的遞推關(guān)系式，確定數(shù)列性質(zhì)得出通項公式，求出后，可得其單調(diào)性，計算，由錯位相減求得后，利用的正負(fù)可得.，從而判斷各選項．【詳解】因為，所以當(dāng)時，，即，又，所以，即，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以．因為，所以，是遞減數(shù)列．因為，所以．①，②，①－②得，所以，所以，所以．故選：ABD．20．（多選）已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A．為等比數(shù)列B．的通項公式為C．為遞增數(shù)列D．的前n項和【答案】AB【分析】將給定的遞推公式兩邊取倒數(shù)，構(gòu)造等比數(shù)列，求出通項并逐項判斷作答.【詳解】因數(shù)列滿足，顯然，，兩邊取倒數(shù)得：，即有，而，因此，數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，A正確；于是得，整理得，數(shù)列的通項公式為，B正確；因，即數(shù)列是遞減數(shù)列，C不正確；因，則，D不正確.故選：AB21．（多選）在1261年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中提出了如圖所示的三角形數(shù)表，這就是著名的“楊輝三角”，它是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．從第1行開始，第n行從左至右的數(shù)字之和記為，如：的前n項和記為，依次去掉每一行中所有的1構(gòu)成的新數(shù)列，記為，的前n項和記為，則下列說法正確的是（）第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051……A． B．的前n項和為 C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求數(shù)列的通項公式，再利用等比數(shù)列的前n項和公式求，再利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和，再根據(jù)楊輝三角的特點確定在楊輝三角中的位置，通過與的關(guān)系求，由此確定正確選項.【詳解】從第一行開始，每一行的數(shù)依次對應(yīng)的二項式系數(shù)，為一個等比數(shù)列，，所以，故A錯誤；的前n項和為，故B正確；去掉每一行中的1以后，每一行剩下的項數(shù)分別為構(gòu)成一個等差數(shù)列，項數(shù)之和為的最大整數(shù)為11，楊輝三角中取滿了第11行，第12行首位為1被去掉，取的就是第12行中的第三項，，故C正確；，這11行中共去掉了22個1，，故D正確，故選：BCD．22．（多選）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．若，則數(shù)列的前2020項和為4040 B．?dāng)?shù)列是公比為8的等比數(shù)列C． D．若，則數(shù)列的前2020項和為【答案】AD【分析】由分組求和可判斷A;由等比數(shù)列的定義可判斷B；由等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷C；由裂項相消可判斷D【詳解】等差數(shù)列的前項和為，若，，設(shè)的公差為，則有，解得，，故，若，則的前2020項，故A正確；由，得，令，則當(dāng)時，，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故B錯誤；由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，故C錯誤；若，則的前2020項和，故D正確，故選：AD.23．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2Sn＝3an﹣3．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)，，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用來求得.（2）利用裂項求和法求得.(1)依題意①，當(dāng)時，.當(dāng)時，②，①-②得，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，當(dāng)時，上式也符合，所以.(2)，.所以.24．已知數(shù)列{}的前n項和滿足：．(1)求數(shù)列{}的前3項；(2)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(3)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【分析】(1)根據(jù)，令n＝1，2，3即可求出前三項；(2)利用與的關(guān)系得到{}的遞推公式，從而可以證明，其中k為常數(shù)；(3)根據(jù)(2)求出，從而求出，根據(jù)通項公式的特征，分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行求和，求和時采用分組求和法與錯誤相減法.(1)當(dāng)時，有：；當(dāng)時，有：；當(dāng)時，有：；綜上可知；(2)由已知得：時，，化簡得：上式可化為：故數(shù)列{}是以為首項，公比為2的等比數(shù)列.(3)由（2）知，∴，∴當(dāng)n為偶數(shù)時，=令，①②則①②得，∴，=，所以.當(dāng)n為奇數(shù)時，，，所以.綜上，.25．已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列出方程求出公比可得；（2）根據(jù)錯位相減法及分組求和即可得解.(1)設(shè)數(shù)列的公比為，，則.由得，由得，所以，解得或（舍去），所以.所以數(shù)列的通項公式為.(2)由條件知，設(shè)，則，將以上兩式相減得，所以.設(shè)，則.26．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）項和轉(zhuǎn)換可得，驗證，分析即得解；（2）項和轉(zhuǎn)換可得，轉(zhuǎn)化，裂項相消法求和即得解(1)當(dāng)時，由得，兩式相減可得．因為，符合上式所以，