2．3二次根式第1課時二次根式的定義與乘除運算學習目標【知識與技能】1．了解二次根式及最簡二次根式的概念。2．會化簡二次根式。3．會進行簡單的二次根式乘除運算?！具^程與方法】經(jīng)歷觀察、分析、討論、歸納二次根式及最簡二次根式的過程，提高歸納概括能力和語言表達能力。學習重難點【重點】理解并掌握二次根式及最簡二次根式的概念，化簡二次根式?！倦y點】二次根式的乘除運算。學習過程一、創(chuàng)設情境，引入新課1．什么叫作平方根？一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫作a的平方根。2．什么叫作算術平方根？正數(shù)的正的平方根以及零的平方根，統(tǒng)稱算術平方根。3．非負數(shù)a的算術平方根用eq\r(a)(a≥0)表示。一般地，例如eq\r(a)(a≥0)的式子，我們叫作二次根式。二、學習新課1．一般地，形如eq\r(a)(a≥0)的式子，叫作二次根式，a叫作被開方數(shù)。那么二次根式具有什么性質呢？請完成以下填空：eq\r(4×9)＝6，eq\r(4)×eq\r(9)＝6；eq\r(4×25)＝10，eq\r(4)×eq\r(25)＝10；eq\r(100×0.01)＝1，eq\r(100)×eq\r(0.01)＝1；eq\r(\f(9,16))＝eq\f(3,4)，eq\r(9)÷eq\r(16)＝eq\f(3,4)。2．根據(jù)上面的猜想，估計下列式子是否相等，再借助計算器驗證。eq\r(\f(3,2))與eq\r(3)÷eq\r(2)。3．通過探究，我們可以發(fā)現(xiàn)積的算術平方根的性質和商的算術平方根性質。即：(1)積的算術平方根的性質：積的算術平方根等于積中各因式的算術平方根的積(各因式必須是非負數(shù))，即eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)；(2)商的算術平方根的性質：商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根。(被除式必須是非負數(shù)，除式必須是正數(shù))，即eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)。4．二次根式的乘除運算法則。eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)，eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b>0)。即將二次根式的性質等式左右兩邊對換，就得到二次根式的乘法法則和除法法則。三、例題學習【例1】化簡：(1)eq\r(81×64)；(2)eq\r(25×6)；(3)eq\r(\f(5,9))。解：(1)eq\r(81×64)＝eq\r(81)×eq\r(64)＝9×8＝72。(2)eq\r(25×6)＝eq\r(25)×eq\r(6)＝5eq\r(6)。(3)eq\r(\f(5,9))＝eq\f(\r(5),\r(9))＝eq\f(\r(5),3)。例1的化簡結果5eq\r(6)，eq\f(\r(5),3)中，被開方數(shù)中都不含分母，也不含能開得盡方的因數(shù)。一般地，被開方數(shù)不含分母，也不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫作最簡二次根式?；啎r，通常要求最終結果中分母不含有根號，而且各個二次根式是最簡二次根式?！纠?】化簡：(1)eq\r(50)；(2)eq\r(\f(2,7))；(3)eq\f(1,\r(3))。解：(1)eq\r(50)＝eq\r(25×2)＝eq\r(25)×eq\r(2)＝5eq\r(2)。(2)eq\r(\f(2,7))＝eq\f(\r(2),\r(7))＝eq\f(\r(2)×\r(7),\r(7)×\r(7))＝eq\f(\r(14),7)。(3)eq\f(1,\r(3))＝eq\f(1×\r(3),\r(3)×\r(3))＝eq\f(\r(3),3)。小結：判斷最簡二次根式的方法：通常將不含分母的被開方數(shù)分解因數(shù)或因式后，不含能開得盡方的因數(shù)或因式，即為最簡二次根式?！纠?】先化簡，再求出下面算式的近似值(精確到0.01)。(1)eq\r(（－18）·（－24）)；(2)eq\r(1\f(1,49))；(3)eq\r(0.001×0.5)。解：(1)eq\r(（－18）·（－24）)＝eq\r(2×9×3×8)＝eq\r(24×33)＝eq\r(24)·eq\r(33)＝12eq\r(3)≈20.78。(2)eq\r(1\f(1,49))＝eq\r(\f(50,49))＝eq\f(\r(50),\r(49))＝eq\f(5,7)eq\r(2)≈1.01。(3)eq\r(0.001×0.5)＝eq\r(10－3×10－1×5)＝eq\r(（10－2）2×5)＝10－2×eq\r(5)＝0.01×eq\r(5)≈0.02?！纠?】計算：(1)eq\r(1\f(1,3))×eq\r(\f(27,10))；(2)eq\f(2,\r(3))；(3)eq\f(\r(5.2×107),\r(1.3×109))。解：(1)eq\r(1\f(1,3))×eq\r(\f(27,10))＝eq\r(\f(4,3)×\f(27,10))＝eq\r(\f(4×9,10))＝eq\f(3,5)eq\r(10)。(2)eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2×\r(3),\r(3)×\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)。(3)eq\f(\r(5.2×107),\r(1.3×109))＝eq\r(\f(5.2×107,1.3×109))＝eq\r(\f(4,102))＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)。小結：二次根式的乘除運算的一般步驟：(1)運用法則，化歸為根號內的實數(shù)運算；(2)完成根號內乘除運算；(3)化簡二次根式。四、鞏固練習1．計算：(1)eq\r(121×225)；(2)eq\r(42×7)；(3)eq\r(\f(5,9))。解：(1)165。(2)4eq\r(7)。(3)eq\f(\r(5),3)。2．化簡：eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,13)))\s\up12(2))－eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,13)))\s\up12(2))。解：原式＝eq\f(8,13)－eq\f(2,13)＝eq\f(6,13)。3．若b>0，x<0，化簡：－eq\r(\f(b4,（－x）2))。解：原式＝－eq\f(\r(b4),\r(（－x）2))＝－eq\f(|b2|,|－x|)＝－eq\f(b2,－x)＝eq\f(b2,x)。第2課時二次根式的性質與加減運算學習目標【知識與技能】1．了解二次根式的運算法則是由二次根式的性質得到的。2．會進行簡單的二次根式加減運算?！具^程與方法】進一步了解數(shù)學知識之間是相互聯(lián)系的。學習重難點【重點】二次根式的加減運算。【難點】熟練地進行二次根式的加減運算。學習過程一、創(chuàng)設情境，引入新課1．二次根式的性質：(1)(eq\r(a))2＝a(a≥0)；(2)eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)；(3)eq\r(a2)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a<0）；))(4)eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b>0)。2．想一想：你能計算嗎？(1)eq\r(4)×eq\r(9)eq\r(4×9)；(2)eq\r(36)×eq\r(100)eq\r(36×100)。3．提出問題。(1)兩列火車分別運煤2xt和3xt，問這兩列火車共運煤多少噸？(2)兩列火車分別運煤2xt和3yt，問這兩列火車共運煤多少噸？這是以前學過的多項式加減法，同類項可以合并，想一想在計算二次根式加減法的時候能運用此類方法嗎？4．請嘗試計算以下幾題。(1)3eq\r(2)＋4eq\r(2)；(2)eq\r(5)＋eq\r(2)；(3)eq\r(8)＋eq\r(18)＋4eq\r(2)。二、學習新課1．二次根式的加減運算法則。與合并同類項類似，我們可以把相同二次根式的項合并。2．下列計算結果哪些正確，哪些不正確？eq\r(3)＋eq\r(2)＝eq\r(5)；a＋eq\r(b)＝aeq\r(b)；eq\r(a)－eq\r(b)＝eq\r(a－b)；aeq\r(a)＋beq\r(a)＝(a＋b)eq\r(a)；eq\f(1,3)eq\r(3a)－eq\f(1,2)eq\r(2a)＝eq\r(a)－eq\r(a)＝0。三、例題學習【例1】先化簡，再求出近似值(精確到0.01)。eq\r(12)－eq\r(\f(1,3))－eq\r(1\f(1,3))。解：原式＝eq\r(22×3)－eq\r(\f(3,32))－eq\r(\f(4×3,32))＝2eq\r(3)－eq\f(1,3)eq\r(3)－eq\f(2,3)eq\r(3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,3)－\f(2,3)))eq\r(3)＝eq\r(3)≈1.73?！纠?】計算：(1)eq\r(\f(3,2))－eq\r(\f(2,3))；(2)eq\r(18)－eq\r(8)＋eq\r(\f(1,8))；(3)eq\r(\f(25,2))＋eq\r(99)－eq\r(18)。解：(1)eq\r(\f(3,2))－eq\r(\f(2,3))＝eq\r(\f(3×2,2×2))－eq\r(\f(2×3,3×3))＝eq\f(1,2)eq\r(6)－eq\f(1,3)eq\r(6)＝eq\f(1,6)eq\r(6)。(2)eq\r(18)－eq\r(8)＋eq\r(\f(1,8))＝eq\r(9×2)－eq\r(4×2)＋eq\r(\f(2,16))＝3eq\r(2)－2eq\r(2)＋eq\f(1,4)eq\r(2)＝eq\f(5,4)eq\r(2)。(3)eq\r(\f(25,2))＋eq\r(99)－eq\r(18)＝eq\r(\f(25×2,2×2))＋eq\r(99)－eq\r(9×2)＝eq\f(5,2)eq\r(2)＋eq\r(99)－3eq\r(2)＝－eq\f(1,2)eq\r(2)＋3eq\r(11)。第3課時二次根式的混合運算學習目標【知識與技能】1．鞏固對二次根式的四則混合運算的掌握。2．進一步學會應用整式的運算法則進行二次根式的運算。【過程與方法】引導從特殊到一般，用總結歸納的方法以及類比的方法解決數(shù)學問題。學習重難點【重點】進一步應用二次根式的運算法則進行二次根式的四則混合運算?！倦y點】熟練進行二次根式的四則混合運算。學習過程一、創(chuàng)設情景，引入新課1．二次根式的四則混合運算。二次根式既可以進行乘除運算，也可以進行加減運算。以前學習的實數(shù)的運算法則、運算律仍然適用。2．說說下列算式的運算順序，并計算出結果。(1)(eq\r(2)＋eq\r(3))×eq\r(2)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),7)＋\f(\r(5),8)))×56eq\r(2)；(3)eq\r(7)×eq\r(5)＋eq\r(14)×eq\r(3)。二、例題學習【例1】計算。(1)eq\r(27)－3eq\r(6)×eq\r(2)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(3,8))－3\r(3)))×eq\r(6)；(3)(eq\r(48)－eq\r(27))÷eq\r(3)。分析：(1)二次根式混合運算的運算次序：先乘除，后加減；(2)整式運算的運算法則和運算律對二次根式同樣適用；(3)二次根式的運算結果能化簡的必須化簡。解：(1)原式＝3eq\r(3)－6eq\r(3)＝－3eq\r(3)。(2)原式＝eq\r(\f(3,8))×eq\r(6)－3eq\r(3)×eq\r(6)＝eq\r(\f(3,8)×6)－3eq\r(3×6)＝eq\f(3,2)－9eq\r(2)。(3)原式＝eq\r(48)÷eq\r(3)－eq\r(27)÷eq\r(3)＝eq\r(16)－eq\r(9)＝4－3＝1?！纠?】計算：(1)3eq\r(2)×2eq\r(3)；(2)eq\r(12)×eq\r(3)－5；(3)(eq\r(5)＋1)2；(4)(eq\r(13)＋3)(eq\r(13)－3)；(5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(12)－\r(\f(1,3))))×eq\r(3)；(6)eq\f(\r(8)＋\r(18),\r(2))。解：(1)3eq\r(2)×2eq\r(3)＝3×2×eq\r(2×3)＝6eq\r(6)。(2)eq\r(12)×eq\r(3)－5＝eq\r(12×3)－5＝6－5＝1。