.3直線的交點坐標與距離公式【考點歸納】【知識梳理】知識點一兩條直線的交點1．兩直線的交點已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.點A(a，b)．(1)若點A在直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，則有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若點A是直線l1與l2的交點，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．兩直線的位置關系方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點的個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1與l2的位置關系相交重合平行知識點二兩點間的距離公式：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特別提醒：(1)此公式與兩點的先后順序無關．(2)原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).知識點三點到直線的距離、兩條平行線間的距離點到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間公垂線段的長圖示公式(或求法)點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【例題詳解】題型一、求相交直線的交點坐標【例1】．（25-26高二上·江蘇連云港）經過兩直線和的交點，且與直線平行的直線的方程為.【變式1】．（24-25高二上·廣東佛山·期中）已知直線過兩條直線和的交點，且與直線垂直，則直線的方程為(結果用一般式表示)．【變式2】．（24-25高二上·天津·階段練習）過兩條直線，的交點，且與直線垂直的直線的方程為.題型二：直線交點參數(shù)問題【例2】．（25-26高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）直線與直線的交點在第四象限，則實數(shù)k的取值范圍為．【變式1】．（22-23高二上·北京·階段練習）已知兩直線，．若直線與，不能構成三角形，求實數(shù)．【變式2】．（24-25高二上·天津南開·期中）若過點的直線與直線的交點位于第一象限，則直線斜率的范圍是.題型三、兩點間的距離問題【例3】．（25-26高二上·河南·階段練習）已知，是直線上的兩點，若，則．【變式1】．（25-26高二上·河南南陽·開學考試）已知是直線上的兩點，若，求.【變式2】．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線與交于點，若點到坐標原點的距離為，則點的坐標為．題型四、兩點間的距離求函數(shù)最值問題【例4】．（24-25高二上·福建泉州·期中）函數(shù)的最小值為．【變式1】．（23-24高二上·廣東揭陽·期中）函數(shù)的最小值是.【變式2】．（23-24高二上·上海浦東新·期中）已知x，y為實數(shù)，代數(shù)式的最小值是．題型五、點到直線的距離或參數(shù)問題【例5】．（25-26高二上·河北邢臺·階段練習）已知點到直線的距離與到軸的距離相等，則（

）A．1或-4 B．-1或4 C．-7或3 D．-3或7【變式1】．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若點，到直線的距離相等，則（

）A．4 B． C．4或 D．或【變式2】．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若點到直線的距離相等，則實數(shù)的值為（

）A． B．C．或 D．或題型六、兩平行線間的距離問題【例6】．（24-25高二上·遼寧·階段練習）直線與之間的距離為（

）A． B． C．2 D．2【變式1】．（23-24高二上·廣東深圳·期末）若直線：與直線：間的距離為，則（

）A．17 B． C．14 D．7【變式2】．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知兩條平行直線與之間的距離為，則的值為（

）A．或8 B．或9 C．或2 D．或2題型七、求點關于直線對稱問題【例7】．（25-26高二上·河北邯鄲·階段練習）在中，頂點，點在直線上，點在軸上，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1】．（25-26高二上·江西·階段練習）一條光線從點射出，與軸交于點，經軸反射，則反射光線所在直線的方程為（

）A． B． C． D．【變式2】．（25-26高二上·河南·階段練習）設點，點是軸上的動點，點是直線上的動點，則周長的最小值是（

）A． B． C． D．題型八、求直線關于直線對稱問題【例8】．（24-25高二上·山東濰坊·期中）已知一條光線從點發(fā)出被直線反射，若反射光線過點，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B． C． D．【變式1】．（24-25高二上·吉林長春·階段練習）已知光線從點射出，經直線反射，且反射光線所在直線過點，則反射光線所在直線的方程是（

）A． B．C． D．【變式2】．（24-25高二上·河南周口·階段練習）已知從點發(fā)出的一束光線，經過直線反射，反射光線恰好過點，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．題型九、直線關于點、直線對稱問題【例9】．（24-25高一上·四川自貢·階段練習）已知直線，求：(1)原點關于的對稱點坐標；(2)直線關于的對稱直線方程；(3)直線關于點的對稱直線方程.【變式1】．（23-24高二下·上海·階段練習）已知直線，試求：(1)點關于直線的對稱點的坐標；(2)直線關于直線對稱的直線方程；(3)直線關于點對稱的直線方程．【變式2】．（25-26高二上·河南南陽·階段練習）已知直線，試求：(1)直線關于直線對稱的直線方程；(2)直線關于對稱的直線方程．題型十、交點與距離的綜合應用問題【例10】．（25-26高二上·江西·階段練習）已知的兩頂點坐標為是邊的中點，是邊上的高.(1)求所在直線的方程；(2)求高所在直線的方程；(3)求過點，且到距離相等的直線的方程.【變式1】．（25-26高二上·遼寧·階段練習）已知直線與x軸交于點A，把繞點A順時針旋轉得直線，與y軸交于點B．(1)求a的值；(2)若點A，B在直線的兩側，求b的取值范圍；(3)若直線，關于直線l對稱，求l的斜率．【變式2】．（25-26高二上·安徽阜陽·階段練習）在直角坐標系中，直線與軸和軸分別交于點，直線與線段交于點，與軸交于點.(1)求與平行且距離為的直線的方程；(2)若與在某種對應方式下相似，求實數(shù)的值；(3)若點滿足為等腰直角三角形，求實數(shù)的值.【高分演練】一、單選題1．（25-26高二上·江西·階段練習）過直線與直線的交點和原點的直線的方程是（

）A． B．C． D．2．（25-26高二上·江蘇·階段練習）兩條直線，之間的距離為（

）A． B． C． D．133．（25-26高二上·北京·階段練習）與直線關于y軸對稱的直線的方程為（

）.A． B．C． D．4．（25-26高二上·山西晉中·階段練習）兩條平行直線與之間的距離為（

）A．6 B．5 C． D．5．（25-26高二上·山西晉中·階段練習）函數(shù)的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．76．（25-26高二上·河南·階段練習）已知點的坐標分別為為動點，且的面積總為10，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C．或 D．或7．（25-26高二上·江蘇·階段練習）若某直線被兩平行線與所截得的線段的長為，則該直線的傾斜角大小為（

）A． B．或 C． D．或8．（25-26高二上·北京·階段練習）如圖，在等腰直角三角形中，點是邊上異于、的一點.光線從點出發(fā)，經過、反射后又回到點.若光線經過的重心，且，則（

）

A． B． C．2 D．9．（25-26高二上·內蒙古呼和浩特·階段練習）已知定點和直線，則點P到直線l的距離d的最大值為（

）A． B． C． D．10．（25-26高二上·河南·階段練習）在平面直角坐標系中，點的坐標分別為，點的坐標為，則的最小值是（

）A． B． C．2 D．3二、多選題11．（25-26高二上·黑龍江大慶·階段練習）已知直線：，：（），則（）A．直線過定點 B．當時，C．當時， D．當時，兩直線，之間的距離為212．（25-26高二上·浙江溫州·階段練習）對于直線，下列說法正確的有（

）A．直線過點 B．直線與直線垂直C．直線的一個方向向量為 D．原點到直線的距離為113．（24-25高二上·遼寧·階段練習）在平面直角坐標系中，直線過定點，直線過定點與交于點，則（

）A．點坐標為 B．C．與的方向向量的數(shù)量積為1 D．面積的最大值為14．（25-26高二上·江蘇無錫·階段練習）已知直線：與：，則下列選項正確的是（）A．當時，B．若，則，間的距離為C．當時，D．原點到的距離的最大值為15．（25-26高二上·江蘇鹽城·階段練習）對于直線，下列選項正確的是（

）A．直線恒過點B．當時，直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1C．若直線不經過第二象限，則D．坐標原點到直線的距離的最大值為三、填空題16．（25-26高二上·江蘇連云港·階段練習）直線關于直線對稱的直線的方程是.17．（25-26高二上·福建廈門·階段練習）一條光線從射出，經y軸后反射，反射光線經過點，則反射光線所在直線方程為.18．（25-26高二上·河南南陽·階段練習）已知點，是直線上的兩點，若，則19．（25-26高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值為．20．（25-26高二上·天津濱海新·階段練習）在平面直角坐標系中，已知點，點，為直線上一動點，則的最小值是，對應點的坐標是．21．（25-26高二上·江蘇·階段練習）若動點，分別在直線：與：上移動，則的中點到原點的距離的最小值為.四、解答題22．（25-26高二上·安徽·階段練習）已知直線：和直線：.(1)求直線恒過的定點，及該定點到直線的距離；(2)若，求兩直線與間的距離.23．（25-26高二上·寧夏·階段練習）根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程.(1)經過直線與直線的交點，且與直線平行的直線的方程；(2)已知點.求線段的垂直平分線的方程；(3)經過點，并且在兩坐標軸上的截距相等.24．（25-26高二上·廣東佛山·階段練習）如圖，在中，BC邊上的高所在的直線方程為的平分線所在的直線方程為，若點B的坐標為，求(1)點A的坐標和直線AC的方程；(2)直線BC的方程和點C的坐標；(3)的值．25．（25-26高二上·天津靜?！るA段練習）已知直線和點.(1)在直線上求一點，使的值最??；(2)直線經過點，且點和點到直線的距離相等，求直線的方程.(3)已知的頂點，