代數(shù)余子式階行列式

行列式

如果有兩個向量vai,a2>和vbi,b2>,那么這兩個向量組成的行列式是：

院m--哂

看起來只是表示一個簡單的計算，僅僅計算了一個數(shù)值，但是別忘了，

行列式是由向量組成的，它一定會表示向量間的某種關(guān)系。

在《線性代數(shù)筆記4——向量3（叉積）》中我們看到，二階行列式表

示了二維平面中以兩個向量為臨邊的平行四邊形的面積；三階行列式表示

在三維空間中以三個向量為臨邊的平行六面體的體積；推廣到n維空間，n

階行列式表示在n維空間中圖形的n維體積。實際上我們無法有效表示出

三維以上的空間。對于物理世界中更多維的空間，絕大多數(shù)人都無法想象，

但是數(shù)學卻可以給出明確的定義。

對于n維空間的行列式，可以表示為：

Dn=|Anxn|

其中A是一個nxn的矩陣。

行列式是由向量引巴的，解釋的也是向量的性質(zhì)，在看到行列式時一

定要在頭腦中映射出向量，實際上線性代數(shù)的本質(zhì)就是對向量的研究。

行列式的性質(zhì)

性質(zhì)0,單位矩陣的行列式為1

這個不解釋。

性質(zhì)1,如果Dn=|A沖某行的元素全為0,那么Dn=0

這個性質(zhì)較為明顯，在多維空間中，行列式表示的是體積，如果其中

一個維度的模為0,那么體積也是0。

性質(zhì)2,如果Dn=|A|中某兩行元素對應成比例，那么Dn=0

很多時候我們都喜歡用實例推導性質(zhì)，像下邊這樣：

12

=1X4—2X2=0

24

或者用代數(shù)形式:

但是性質(zhì)應當由定義推導，然后用計算去驗證，而不是用計算去推導。

現(xiàn)在我們嘗試用行列式的定義去推導。行列式表示的是向量間的關(guān)系，以

二維空間為例，如果某兩行元素對應成比例，那么說明一種一個向量是另

一個向量的延伸，它們的夾角是0?；?80。，即二者平行，兩個平行的向量

圍成的面積是0：

性質(zhì)3,如果Dn=|A沖某兩行元素互換，那么互換后的行列式變號,

即|A|=?|A|

兩個向量的模長是a和b,與x軸的夾角分別是。和（3,如下圖所示:

平行四邊形的面積:

S=basin^a—0)

如果兩個向量互換:

Sf=absin{p-a)=basing一夕)=-S

在代數(shù)學中，角度、面積、體積可以是負的。用計算去驗證：

—。2瓦=一血。2—。2%)=—T2

性質(zhì)4,倍乘性質(zhì)

Dn=\A\=&ai2…ainthen

???

??????

k%ai2…aln=k%kai2…kain

??????

實際上是將外部的k乘到其中的一行，把平行四邊形的一條邊擴大k

倍，則面積也擴大了k倍，如下圖所示：

需要注意的是行列式與矩陣的區(qū)別，矩陣擴大k倍是將矩陣中的全部

元素都乘以k（矩陣中的每個元素都對應了一個向量的分量，這在下文關(guān)于

矩陣的介紹中會有所說明），這將有下面的關(guān)系：

n

伙4nxnl=feMnxn

性質(zhì)5,倍加性質(zhì)

ala2_Iala2

瓦⑦-1瓦+

對于更高階的行列式乜一樣。下圖平行四邊形的斜邊展示了一個向量加

上另一個向量的k倍：

兩個平行四邊形的面積是相同的，所以倍加公式成立。

性質(zhì)6,單行可拆（加）性

**

％…+憶憶…憶

??

*

=Qj+%+瓦？

ai2+bi2…ain

*

其中*號表元素完全相同，從左到右叫加，從右到左叫拆。以二階行列

式為例：

aia2ala2|_Iala2

為與+Ci=lq+瓦

c2\c2+b2

為了簡單，將vbi,b2＞和vai,a2＞分別設(shè)置在兩個坐標軸上，如下圖示:

vai,a2>vbi,b2>所圍平行四邊形面積是a2b2,<ai,a2>vci,C2>所圍平行

四邊形面積是a2c2,<ai,a2><bi+ci,b2+C2>所圍平行四邊形面積是

a2（b2+C2）,由此可見性質(zhì)6成立。

性質(zhì)7,以上所有作用于行的性質(zhì)也可以作用于列上，即|A|=|A"

性質(zhì)8,兩個矩陣相乘的行列式，等于這個兩個矩陣的行列式相乘，|AB|=|A||B|

當兩個矩陣相等時，矩陣平方的行列式等于矩陣行列式的平方：

\A2\=\A\2

可以借助性質(zhì)8計算A-1的行列式：

\A^A\=\A^\\A\=\I\=1

如果1/|A|有意義,則|A|￥0,A有逆矩陣；反之，如果|A|=0,A是奇

異矩陣。這就是性質(zhì)9。

性質(zhì)9,如果|A|=0,A是奇異矩陣。

行列式的意義

行列式是由向量組成的，當Dn=|A|HO時，意味著組成|A|的向量全

部獨立。所謂獨立，就是向量圍成的n維空間中圖形的n維體積不為0。這

似乎沒有太大價值，但是如果把行列式轉(zhuǎn)換為方程組就意義重大了，以二

階行列式為例：

，+2X

1工。2=0

X

3一3xx+42=0

12，x+2X=0

=012

24、2XI+4X2=0

可以看到，對于全部獨立的向量，方程組有唯一解，否則方程組無解

或有無數(shù)解。當|A|#0時，說明至少有一個向量是“多余”的，正是這個多余

的向量使得n維體積為0。以階行列式為例，當體積為。時，說明三個向量

在同一平面內(nèi)，這意味著，一定可以通過倍乘和倍加性質(zhì)用另外兩個向量

表示第三個向量，從而完全消除第三個向量。N元一次方程組需要N個完

全不同的等式，現(xiàn)在少了一個等式，所以無法得到唯一解。

線性代數(shù)研究的是向量之間的關(guān)系，向量間最重要的關(guān)系就是獨立或

不獨立，行列式是否等于0正是這種關(guān)系的有效描述。

行列式的計算

上三角矩陣的行列式等十主對角兀索的乘積:

4

0d2■■■

u=00d3■■

*

■?：?：?.??：

.0000dn.

|U|=d]d2d3...d=dl

n

ft=l

對于更多階的行列式，一種有效的計算方法是先將其消元，轉(zhuǎn)換為上

三角行列式，然后在計算這個上三角行列式的值。以二階行列式為例，我

們已經(jīng)知道它的結(jié)果：

h-Qb

4-rQd=

，dd

-etcC=act-cb

利用消元法將A轉(zhuǎn)換為上三角矩陣:

現(xiàn)在可以直接利用主對角線的元素相乘:

det(A)=Q(d-1b)-bX0=ad—cb

行列式的公式

行列式的性質(zhì)也可以用于計算行列式的值，以二階行列式為例:

b\a0||0b\|a0Q0||0b0b

d\=jZed[=+0_^l+口

Ml=0d

單行由折性廠"~Y~

在反復利用行列式的單行可拆性后，A分解成4項，每一行只有一個非

零元素。二階行列式計計算的是圖形的面積，對于。來說，由于構(gòu)成行列

式的兩個向量＜a,0＞和＜c,0＞是在同一個維度上的直線，所以二者圍成的面

積是0;同理，b也一樣。

B是上三角矩陣，它的值是主對角線的乘積adoY可以使用行列式的

行互換性質(zhì)形成一個新的上三角矩陣：

Y=Col=-1o=—be

最終可以得到|A|的值:

|4|=a+0+y+6=Qd—be

這種方法對于更高階的行列式也同樣適用，三階行列式按照每一行只

有一個非零元素的原則全部展開后將長達33項，這將占用長長的篇幅，可

以考慮一個能夠縮減展開式的辦法。根據(jù)行列式的幾何意義，行列式計算

的是n維圖形在n維空間中的n維體積，3階行列式計算的自然是三維空間

的體積，如此一來，只有三個向量分別指向三個不同維度時，才能保證體

積不等于0,因此三階行列式可以展開成：

alla12a1300?1100

同=。22。23=0。220+00a23

。31。32a3300a330a320

000a12000Q1300a13

aa

+?2100+0023+21004-0a220

00^31000^320n3100

現(xiàn)在只剩下3!=6項，每一項都可以通過行列式的行交換性質(zhì)變成上

三角行列式（或者本身就是上三角行列式），這樣就可以得到行列式的最

終值：

|川=22a33—alla23a32~2a21a33+2a23a31+Q]3a21a32一3a22a31

現(xiàn)在可以歸納出n階行列式的公式:

Ml

下標的數(shù)字項表示行號，希臘字母表示列號（實際數(shù)量可能遠超過希

臘字母的數(shù)量，暫且用希臘字母代替）。這相當于是列號的排列，在每一

項中，n個列標都各用一次。負號的目的是為了應對行交換的情況。

根據(jù)公式，對于n階單位矩陣來說，只有主對角線的一項不是0,所以

單位矩陣的行列式的值是1。

示例計算A的行列式：

0011

川=0110

11100

1001

通過消兀法計算是止確的選擇，通常也應該這么做，實際上小難看出

這個A是一個奇異矩陣，所以它的行列式等于0,現(xiàn)在用行列式的公式來驗

證這個結(jié)論。根據(jù)公式，|A|的大多數(shù)展開項都等0,沒有被淘汰的只有兩

項，二者相加等于0：

00100001

01000010

=—1,=1

10000100

00011000

第一個行列式是負值,因為它需要用1、3行進行一次行交換來變成上

三角矩陣:

00101000

01000100

=-1

10000010

00010001

代數(shù)余子式

代數(shù)余子式是從行列式的公式中提取出來的，它的作用是把n階行列

式化簡為n-1階行列式，我們以三階行列式為例，看看代數(shù)余子式是什么。

根據(jù)行列式的公式，3階行列式展開，將得到：

aaa

⑷=22a33—a23a32)—a12(a21a33—a23a31)+%332132—2231)

這實際上式選定第一行的一列，然后考慮各種可能的排列，為了突出

重點，寫成下面這樣：

⑷=011(……)+。12(……)+。13(?)

括號中由剩余因子”成的表達式就是代數(shù)余子式(第二項把符號移到

了括號中，下節(jié)會說明原因)，比如a22a23-a23a32是aw的代數(shù)余子式。

可以用更直觀的方式表達aw(a22a23—a23a32)：

。11(。22a33—Q23a32)=Q11

代數(shù)余子式的符號

-ai2(a22a23-a23a32)可以表示成:

a23\

一。12（。21a33—Q23a3i）=-a12|a^=

a33l

注意到上式有一個負號，我們一般不需要-ai2的代數(shù)余子式，所以擠2

的代數(shù)余子式需要把符號移到括號中：

一。12（。21@33—。23a31）=。12（一。21a33+Q23a31）

代數(shù)余子式本身就是行列式，只是它的正負號需要單獨判斷，判斷方

法是根據(jù)選定元素行號和列號之利的奇偶性。用，表示a”的代數(shù)余子式，

當i+j是偶數(shù)時，行列式取正號，是奇數(shù)則取符號。