高中石嘴山市第一中學(xué)2025-2026學(xué)年第一學(xué)期高二年級月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：5*8=401.已知直線的傾斜角為，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.2.已知，則（）A. B. C. D.3.設(shè)直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若，則（）A. B. C.4 D.104.在空間中，若三個非零向量滿足，則的形狀一定是（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.無法判斷5.下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.在六面體中，一定有D.在空間直角坐標(biāo)系中，點與點關(guān)于平面對稱6.不論為何實數(shù)，直線過定點（）A. B. C. D.7.空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點，且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點且一個方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.8.空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則當(dāng)點A到平面BCD距離最小時，直線AE與平直BCD所成角的正弦值為（）A. B. C. D.二、多選題：3*6=18分9.已知直線l：，則下列選項中正確的有（）A.直線l在y軸上截距是2 B.直線l的斜率為C.直線l不經(jīng)過第三象限 D.直線l的一個方向向量為10.下列命題中不正確的是（）.A.若???是空間任意四點，則有B.若，則?的長度相等而方向相同或相反C.是?共線的充分條件D.對空間任意一點與不共線的三點??，若()，則???四點共面11.已知直線與圓相交于兩點，則（）A.是圓的一條對稱軸B.圓的半徑為C.圓心到的距離為D.的面積為三、填空題：3*5=15分12.若直線與互相垂直，則__________.13.已知圓與圓相交于兩點A，B，則AB的直線方程為________．14.已知函數(shù)，若在區(qū)間上的值域為，則的取值范圍是______.四、解答題：72分.15.已知．（1）求的值；（2）求的值．16.圓經(jīng)過三點：，，.（1）求圓的方程.（2）求圓與圓:的公共弦的長.17.一高校承辦了某屆世乒賽志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.（1）求a，b的值；（2）（?。┲苯訉懗鲞@100名候選者面試成績的中位數(shù)所在的分組區(qū)間；（ⅱ）估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（ⅲ）在第四、第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，確定組長人選，求選出的兩人來自不同組的概率.（3）若落在第四組的平均成績是80，方差是20，落在第五組的平均成績?yōu)?0，方差是5，求這兩組成績的總平均數(shù)z和總方差.參考公式：其中為總樣本平均數(shù).18.（1）若函數(shù)有且僅有一個零點，求的值；（2）若關(guān)于不等式在上恒成立，求的取值范圍．19.已知圓：與直線交于M、N兩點，點P為線段中點，為坐標(biāo)原點，直線的斜率為.（1）求的值及的面積；（2）若圓C與x軸交于A、B兩點，點Q是圓C上異于A、B的任意一點，直線、分別交：于R、S兩點.當(dāng)點Q變化時，以為直徑的圓是否過圓C內(nèi)的一定點，若過定點，請求出定點；若不過定點，請說明理由.石嘴山市第一中學(xué)2025-2026學(xué)年第一學(xué)期高二年級月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：5*8=401.已知直線的傾斜角為，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】由題意，.故選：D2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量減法運算即可求解.【詳解】由題意可得．故選：C.3.設(shè)直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若，則（）A. B. C.4 D.10【答案】B【解析】【分析】由題意，即可列方程求解.【詳解】因為，所以，則，解得．故選：B.4.在空間中，若三個非零向量滿足，則的形狀一定是（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.無法判斷【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件推出，得為銳角．同理可得也為銳角．由此可得答案.【詳解】，，,所以，即知銳角．同理可知也銳角．故為銳角三角形．故選：．5.下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.在六面體中，一定有D.在空間直角坐標(biāo)系中，點與點關(guān)于平面對稱【答案】D【解析】【分析】對于A根據(jù)向量的定義即可判斷；對于B根據(jù)向量模的坐標(biāo)運算即可判斷；對于C舉反例正四棱臺即可否定；對于D根據(jù)兩點的坐標(biāo)特征得到兩點關(guān)于平面對稱即可判斷.【詳解】對于A，根據(jù)向量的定義，向量不能比較大小，故A錯誤；對于B，由，所以，故B錯誤；對于C，當(dāng)六面體為平行六面體時，成立，當(dāng)六面體不是平行六面體時，上述結(jié)論不一定成立，比如對于正四棱臺，上述結(jié)論就不成立，故C錯誤；對于D，由點關(guān)于平面的對稱點為，故D正確；故選：D.6.不論為何實數(shù)，直線過定點（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】法一：直線方程可化為，解方程組即可求解；法二：直線方程可化為，解方程組即可求解.【詳解】法一：直線方程可化為，令，解得，即定點坐標(biāo)為.法二：直線方程可化為，則，解得，即定點坐標(biāo)為.故選：B.7.空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點，且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點且一個方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)給出的材料可得平面的法向量和直線的方向向量，利用公式可求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】因為平面的方程為，故其法向量為，因為直線的方程為，故其方向向量為，故直線與平面所成角的正弦值為.故選：B.8.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則當(dāng)點A到平面BCD的距離最小時，直線AE與平直BCD所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量求點面距離及線面夾角即可.【詳解】依題意可得，，.設(shè)是平面BCD的法向量，則，即，令，則得.所以點A到平面BCD的距離，當(dāng)時，d取得最小值，此時，所以直線AE與平面BCD所成角的正弦值為.故選：C二、多選題：3*6=18分9.已知直線l：，則下列選項中正確的有（）A.直線l在y軸上的截距是2 B.直線l的斜率為C.直線l不經(jīng)過第三象限 D.直線l的一個方向向量為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)直線的截距，斜率，方向向量等特征直接判斷.【詳解】對于A，直線方程可變?yōu)?，截距?，故A正確；對于B，斜率，故B錯誤；對于C，由直線方程可知，故直線l不經(jīng)過第三象限，故C正確；對于D，該直線的一個方向向量為，與平行，故D正確；故選：ACD10.下列命題中不正確的是（）.A.若???是空間任意四點，則有B.若，則?的長度相等而方向相同或相反C.是?共線的充分條件D.對空間任意一點與不共線的三點??，若()，則???四點共面【答案】ABD【解析】【分析】本題考查向量的概念與性質(zhì)，需按個選項分析，A選項考察向量加法的意義，B選項考察向量的模的性質(zhì)，C選項可以兩邊平方計算，D選項考察四點共面的性質(zhì).【詳解】A選項，而不是，故A錯，B選項，僅表示與的模相等，與方向無關(guān)，故B錯，C選項，，即，即，與方向相反，故C對，D選項，空間任意一個向量都可以用不共面的三個向量??表示，∴???四點不一定共面，故D錯，故選ABD.11.已知直線與圓相交于兩點，則（）A.是圓的一條對稱軸B.圓的半徑為C.圓心到的距離為D.的面積為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)圓的方程可得圓心和半徑，知A、B正誤；利用點到直線距離公式和垂徑定理可求得C、D正誤.【詳解】對于AB，由圓方程知：圓心，半徑，B正確；直線不過圓心，不是圓的對稱軸，A錯誤；對于C，圓心到直線的距離，C錯誤；對于D，，，D正確.故選：BD.三、填空題：3*5=15分12.若直線與互相垂直，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)垂直關(guān)系列出方程，求解即可.詳解】由題意得，解得.故答案為：13.已知圓與圓相交于兩點A，B，則AB的直線方程為________．【答案】【解析】【分析】兩圓方程相減后可得公共弦的方程.【詳解】由題設(shè)可得的方程為：，整理得：，故答案為：14.已知函數(shù)，若在區(qū)間上的值域為，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】先通過三角恒等變換化簡函數(shù)，然后利用可得，再由三角函數(shù)圖像性質(zhì)可得，解不等式即可求得的取值范圍.【詳解】，因為，可得，顯然當(dāng)時，可得，由值域為，利用三角函數(shù)圖像性質(zhì)可得，解得，即的取值范圍是.故答案為：四、解答題：72分.15.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩角和的正切公式求得.（2）結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、二倍角公式求得正確答案.【小問1詳解】，解得．【小問2詳解】.16.圓經(jīng)過三點：，，.（1）求圓的方程.（2）求圓與圓:的公共弦的長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)圓為：，代入點坐標(biāo)求出，即可求出圓的方程.；（2）聯(lián)立，求出交點坐標(biāo)，即可求出公共弦的長.【詳解】（1）設(shè)圓為：，代入，，，有，∴圓的方程為.（2）聯(lián)立，即，解得：交點為，，故弦長.17.一高校承辦了某屆世乒賽志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.（1）求a，b的值；（2）（?。┲苯訉懗鲞@100名候選者面試成績的中位數(shù)所在的分組區(qū)間；（ⅱ）估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（ⅲ）在第四、第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，確定組長人選，求選出的兩人來自不同組的概率.（3）若落在第四組的平均成績是80，方差是20，落在第五組的平均成績?yōu)?0，方差是5，求這兩組成績的總平均數(shù)z和總方差.參考公式：其中為總樣本平均數(shù).【答案】（1）（2）；；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)第三、四、五組的頻率之和為列方程可解，再根據(jù)第一、二組的頻率之和為列方程可解；（2）（?。└鶕?jù)頻率分布直方圖，得位于區(qū)間的頻率和位于區(qū)間的頻率，即可判斷中位數(shù)所在的分組區(qū)間；（ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖得頻率，再利用加權(quán)平均數(shù)公式計算即可；（ⅲ）根據(jù)頻率確定比例，可得第四組志愿者人數(shù)為4，第五組志愿者人數(shù)為1，利用古典概型計算概率即可；（3）根據(jù)總樣本平均數(shù)和總方差公式即可求解.【小問1詳解】由題意有，所以；【小問2詳解】（ⅰ）因為位于區(qū)間的頻率為，位于區(qū)間的頻率為，所以中位數(shù)所在的分組區(qū)間為；（ⅱ）平均數(shù)為；（ⅲ）在第四、第五兩組志愿者分別有20人，5人，故按照分層抽樣抽得的第四組志愿者人數(shù)為4，分別設(shè)為，第五組志愿者人數(shù)為1，設(shè)為．考慮從這5人中選出2人的試驗，其樣本空間可記為共10種情況；記事件為“選出的兩人來自不同組”，則共4種情況，所以；【小問3詳解】由題意有：第四、第五兩組志愿者分別有20人，5人，所以，.18.（1）若函數(shù)有且僅有一個零點，求的值；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）討論不成立，當(dāng)時令求解即可；（2）根據(jù)恒成立確定最高次項系數(shù)和，解不等式組即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時，無零點；當(dāng)時，有且僅有一個零點，則，即：，解得：或（舍），所以.（2）當(dāng)，恒成立，所以成立；當(dāng)時，，解得：.故.19.已知圓：與直線交于M、N兩點，點P為線段的中點，為坐標(biāo)原點，直線的斜率為.（1）求的值及的面積；（2）若圓C與x軸交于A、B兩點，點Q是圓C上異于A、B的任意一點，直線、分別交：于R、S兩點.當(dāng)點Q變化時，以為直徑的圓是否過圓C內(nèi)的一定點，若過定點，請求出定點；若不過定點，請說明理由.【答案】（1），（2）過定點，【解析】【分析】（1）先確定直線的方程，聯(lián)立直線方程求得點坐標(biāo)，利用垂徑定理及兩直線垂直的斜率關(guān)系計算可得；根據(jù)點到直線的距離公式、弦長公式計算求面積即可；（2）設(shè)直線方程，含參表示直線方程，求出坐標(biāo)，從而求出以為直徑的圓的方程，利用待定系數(shù)法計算即可.【小問1詳解】由題意可知直線的方程為，則聯(lián)立與可求出點坐標(biāo)為，又因點