【提升版】北師大版數(shù)學(xué)九上1.2矩形的性質(zhì)與判定同步練習(xí)

一、選擇題

1.如圖，點E,F,G,H分別為四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點.下列三種說法:

①.四邊形EFGH一定是平行四邊形；

②.若AC=BD,則四邊形EFGH是菱形;

③.若ACJ_BD,則四邊形EFGH是矩形.

其中正確的是（）

A.①B.①②C.①③D.①②③

2.如圖，已知四邊形A8C。是平行四邊形,下列結(jié)論中不正確的是（）

B.當(dāng)力CJ.80時，它是菱形

D.當(dāng)乙48c=90。時，它是矩形

3.依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，下列四邊形不一定為矩形的是（）

4.如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C處，BC交AD于E,AD=8,AB=4,

則DE的長為（）

c,

BC

A.3B.4C.5D.6

5.如圖，已知團A8C0的四個內(nèi)角的平分線分別交于點E、F、G、H,則四邊形的形狀是

（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

6.如圖，在RSABC中，ZACB=90°,點E,點尸分別是AC,8c的中點，。是斜邊AB上一點,

添加下列條件可以使四邊形DECT7成為矩形的是（）

C

AA^\B

ADb

A.AD=BDB./ACD=/BCD

C.CDA.ABD.CD=AC

7.如圖，在△ABC中，AB=3,ACM,BC=5,P為邊BC上一動點,.PE1.AB于E,PF_LAC于

F,M為EF中點，則AM的最小值為（）

BpC

A.*B.|C.|D.|

8.如圖，矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點O,AD=2V5,ZCOB=60°,BF1AC,交AC

于點M,交CD于點F,延長FO交AB于點E,則下列結(jié)論：①FO=FC；②四邊形EBFD是菱

形；@AOBE^ACBF；④MB=3.其中結(jié)論正確的序號是（:)

A.②③④B.①②③C.①④D.①②③④

二、填空題

9.將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，得到菱形AECF.若AB=6,則BC的長

10.如圖，矩形ABCD中，AB=6.BC=8.E是BC邊上的一定點，P是CD邊卜的一動點（不與點

C、D重合），M,N分別是AE、PE的中點，記MN的長度為a,在點P運動過程中，a不斷變化,

則a的取值范圍是

11.如圖，在矩形4BC0中，4/）=8,AB=6,對角線AC、BO相交于點石，將△/WE沿著0E翻折到

△FDE,連接CF,則CF的長為.

12.如圖，小劉同學(xué)在折疊矩形A8CO中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)七是4。邊的中點時候，將AABE沿6E折疊后得

到AG8E,延長8G,交CD于點F.若連接ER則△EGE絲△EORCF=7,DF=9,請你幫她算

8c的長

D

F

C

13.如圖，在矩形48。。中，AB=1,BC=2,將其折疊，使力B邊落在對角線4c上，得到折痕4E,

則點E到點B的距離為.

三、解答題

14.如圖，過菱形48C0的頂點A作AEJ.8C于點￡延長BC至點F,使CT=8E,連接OF.

(1)求證：四邊形4EF0是矩形；

(2)若8尸=16,。尸=8,求CO的長.

15.如圖，矩形AEBO的對角線.48,0E交于點F,延長4。到點C,使0C=。4,延長8。到點。，使

00=0B,連接A。，DC,BC.

(1)求證：四邊形4BCD是菱形；

(2)若OE=10,乙BCD=60°,求菱形48C。的面積.

16.如圖，已知矩形ABCD,AD=4,CD=10,P是AB上一動點，M、N、E分別是PD、PC、CD

的中點.

pB

(1)求證：四邊形PMEN是平行四邊形；

(2)請直接寫出當(dāng)AP為何值時，四邊形PMEN是菱形；

(3)四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若有可能，求出AP的長；若不可能，請說明理由.

17.如圖，將矩形ABCD繞點B旋轉(zhuǎn)得到矩形BEFG,點E在AD上，延長DA交GF于點H.

(1)求證：△ABE^AFEH：

(2)連接BH,若NEBC=30。，求NABH的度數(shù).

四、實踐探究題

18.綜合與實踐

問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動，請你解

答各小組活動中產(chǎn)生的問題.如圖所示，在矩形48CD中，AB=4cm,40=8cm,將矩形紙片進行

折疊:

圖2

(1)問題解決:如圖1,奮斗小組將該矩形沿對角線AC折疊,點8的對應(yīng)點為點8',則DE=

cmL2\

皿S?AEC=.

(2)實踐探究：如圖2,希望小組將矩形ABC。沿著EF(點、E,產(chǎn)分別在邊40，邊BC上)所在的

有線折疊，點B的對應(yīng)點為點D,連接BE,

①試判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由;

②求折痕EF的長.

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：???點E,F,G,H分別為四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點，

111

：?EH||BD,GF||BD,EF||AC^EH甘BD,GF=.BD,EF^AC,

乙乙乙

???EH||GF,EH=GF,

，四邊形EHGF是平行四邊形，故①符合題意；

若AC=BD,則EF=EH,

???平行四邊形EHGF是菱形，故②符合題意；

若ACJ_BD,則EF_LEH,

???平行四邊形EHGF是矩形，故③符合題意；

故答案為：D.

【分析】由題意可得GH為△ACD的中位線，EF為△ABC的中位線，EH為△ABD的中位線，GF

為ABCD的中位線，則EH〃GF〃BD,HG〃EF〃AC,EH=GF=1BD,HG=EF=|AC,然后根據(jù)有

一組對邊平行旦相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形EFGH一定是平行四邊形；根據(jù)有一組鄰邊

相等的平行四邊形是菱形；有一個角是直角的平行四邊形是矩形，據(jù)此即可一一判斷得出答案.

2.【答案】C

【廨析】【解答】解：A、??,四邊形ABCD為平行四邊形，，當(dāng)AB二BC時，平行四邊形ABCD為菱

形，A選項正確；

B、??,四邊形ABCD為平行四邊形，，當(dāng)AC_LBD時，平行四邊形ABCD為菱形，B選項正確；

C、??,四邊形ABCD為平行四邊形，，當(dāng)AC=BD時，平行四邊形ABCD為矩形，C選項錯誤；

D、???四邊形ABCD為平行四邊形，，當(dāng)NABC=90。時，平行四邊形ABCD為矩形，D選項正確：

故答案為：C.

【分析】根據(jù)題意，山平行四邊形的性質(zhì)、菱形和矩形的判定定理判斷得到答案即可。

3.【答案】A

【釋析】【解答】解：A、???4O=BC=4,AB=CD=3,

，四邊形48CD是平行四邊形，

但不能說明四邊形48co為矩形，故該選項符合題意；

B、有三個角是直角的四邊形是矩形，故該選項不符合題意；

C、VZ71+ZF=90°+90°=180°,

A.4D||BC,又4。=BC=4,

???四邊形力BCD是平行四邊形，

?:乙B=90°,

???四邊形4BCD是矩形，故該選項不符合題意；

D、;AD=BC=4,AB=CD=3,

???四邊形48CD是平行四邊形，

V32+42=52，

???△ABC是直角三角形，且乙8二90。，

???四邊形4BCD是矩形，故該選項不符合題意；

故答案為：A.

【分析】根據(jù)矩形的判定方法“有三個角是直角的四邊形是矩形；有一個角是直角的平行四邊形是矩

形”即可求解.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：???四邊形ABCD是矩形，

AAB=CD,ZC=ZA=90°

由折疊的性質(zhì)可得：C'D=CD=AB；ZC'=ZC=ZA

在AABE^AC'ED中

(CD=AB

乙CEO=AAEB

(乙C=Z71

/.△ABE絲ZXC'ED(AAS)

???DE二BE

設(shè)DE二BE二x,則AE=8-x,ABM,在直角三角形ABE中，

x2=(8-X)2+16

解得x=5

故答案為：C.

【分析】由矩形性質(zhì)得AB=CD,ZC=ZA=90°,利用折疊的性質(zhì)得CD=CD=AB,ZC'=ZC=ZA：

再利用AAS證明△ABE且/XCED,利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，可證得DE=BE,設(shè)DE=BE二x,

可表示出AE的長，然后利用勾股定理建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形

???AB〃CD

：,LABC+^BCD=180°

???BH平分/ABC,CF平分/BCD

:?乙CBG=，乙48C,乙BCG=建BCD

乙乙

J.LFGH=180°-QCBG+乙BCG)

1

=180°-5{/.ABC+乙BCD)=90°

乙

同理可得：乙EFG=乙FEH=乙EHG=90°

???四邊形EFGH是矩形

故答案為：B

【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得乙48。+乙8。。=180。，再根據(jù)角平分線性質(zhì)可得乙CRG=

上4BC,乙BCG=g^BCD,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得“GH=180。-QC8G+/8CG)=90。,

乙乙

同理可得4EFG=乙FEH=乙EKG=90°,即可求出答案.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：A.添加AD=BD,

,?,點E,點F分別是AC、BC的中點，AD=BD,

AED//BC,DF//AC,

???四邊形DECF是平行四邊形，

VZACB=90°,

???四邊形DECF是矩形，

，選項A符合題意；

B.由/ACD=/BCD無法判斷四邊形DECF是矩形，

???該選項不符合題意；

C.由CD_LAB無法判斷四邊形DECF是矩形，

???該選項不符合題意；

D：由CD二AC無法判斷四邊形DECF是矩形，

J該選項不符合題意；

故答案為：A.

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定方法對每個選項逐一判斷即可。

7.【答案】D

【解析】【解答】解:,?,在4ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,

AAB2+AC2=BC2,

即NBAG90。.

又???PE_LAB于E,PF_LAC于F,

???四邊形AEPF是矩形，

AEF=AP.

是EF的中點，

AAM=1EF=1AP.

因為AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即等于半,

AAM的最小值是|.

故選D.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可以證明NBAO90。；根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半，則AM=4EF,要求AM的最小值，即求EF的最小值；根據(jù)三個角都是直角的四邊形是矩

形，得四邊形AEPF是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等，得EF二AP,則EF的最小值即為AP的最小

值，根據(jù)垂線段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜邊上的高.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：???四邊形ABCD是矩形，

AAC=BD,

.\OA=OC=OD=OB,

■:乙COB=60°,

???△OBC是等邊三角形，

：?OB=BC=OC/OBC=60°,

*：BFLAC,

：?OM=MC,

???FM是OC的垂直平分線，

AFt?=FC,故①正確；

'：0B=CB,FO=FC,FB=FB,

，AOBF=ACBF(SSS),

"FOB=Z-FCB=90。，

9：LOBC=60°,

乙ABO=30°,

乙OBM=乙CBM=30°,

Z-ABO=Z-OBF,

||CD,

：.LOCF=Z-OAE,

'：OA=OC/AOE=乙FOC,

：.(\AOE=^COF(ASA\

OE=OF,

?：OB1EF,

???四邊形EBFD是菱形，故②正確；

,：LOBE=^OBF=^CBF,

，③正確；

,:BC=AD=2百，F(xiàn)M1OC,LCBM=30°

：.BM=3

故答案為：D.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定得出^OBC是等邊三角形，進而判斷①正確；根據(jù)

ASA證明△AOE與ACOF全等，進而判斷②正確：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷③④正確即可.

9.【答案】2V3

【解析】【解答】解：???四邊形AECF是菱形,

AOA=OC,

,??折疊,

ABC=OC=OA,

???四邊形ABCD是矩形，

AZABC=90°,

在RtZkABC中，BC=0C,

AZBAC=30°,

??BC—遮，

VAB=6,

ABC=2\[3.

故答案為：2g.

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和折疊得BC=OC=3A,從而在RtAABC中，BC=，C,得NBAC=3（尸,

乙

根據(jù)含30。角的直角三角形的三邊關(guān)系即可求解.

10.【答案】4<a<5

【解析】【解答】解：???矩形ABCD中，AB=6,BC=8,

???對角線AC=,62+82=1。，

???P是CD邊上的一動點（不與點C、D重合），

???3VAPV10,

連接AP,

VM,N分別是AE、PE的中點，

???\11\1是4AEP的中位線，

AMNAP

=乙1,

A4<a<5.

故答案為：4<a<5.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)求出AC,然后求出AP的取值范圍，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊

并且等于第三邊的一半可得MN=1AP.

11.【答案】卷

【解析】【解答】解：連接AF,AF交BD于點G,

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，BD垂直平分AF,

???四邊形ABCD為矩形，

AAC=BD,AE=CE,

AEG為△ACF的中位線，

ACF=2EG,

在直角三角形ABD中，由勾股定理得，BD=10,

AAE=BE=5,

設(shè)EG為m,則BG為5-m,

/.62-(5-m)2=52-m2,

?,?m3_7

/.CF=2EG=2m=^；

故答案為:,

【分析】連接AF,由折疊的性質(zhì)即可證明EG為4ACF的中位線，結(jié)合勾股定理列出方程求解即

可。

12.【答案】24

【辭析】【解答】???四邊形ABCD是矩形，點E是AD的中點，CF=7,DF=9,

.-.AD=BC,AB=CD,ZA=ZC=ZD=90°,

11

AAE=DE==《BC,

由折疊的性質(zhì)可得BG=AB=CD=7+9=16,GE=AE,ZBGE=ZA=90°,

??.GE=DE,ZEGF=ZD=90°,

??.RsECF^RtAEDF(HL),

...GF=DF=9,

...BF=16+9=25,

BC=JBF?-"2=,252-72=24,

【分析】先利用矩形的性質(zhì)求得AD=BC,AB=CD,ZA=ZC=ZD=90°,進一步得到4E=0E=

//ID=/BC,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BG=AB=CD=16,GE=AE,ZBGE=ZA=90°,進一步可得

GE=DE,ZEGF=ZD=90°,從而證明Rt/kECFMRSEDF(HL),利用全等三角形的性質(zhì)以及勾股定

理即可求解.

13.【答案】與1

【解析】【解答】解：如圖，由折疊知:AF=AB=1,EF=BE,ZAFE=ZB=90°,

.'.ZEFC=90°,

在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,

?*.AC=V12+22=V5，

ACF=AC-AF=V5-1,CE=BC-BE=2-EF,

在RsEFC中，EF2+CF2=CE2,即EF?+(V5-1)2=(2-FE)2,

解得：EF=與1,

ABE=EF=iIzl

2

故答案為：與1.

【分析】由折疊知AF=AB=I,EF=BE./AFE=/B=90°,利用勾股定理求出AC=VI,從而得出

CF=AC-AF=V5-I,CE=BC-BE=2-EF,在RtAEFC中利用勾股定理建立關(guān)于EF的方程并解之即可.

14.【答案】(1)證明：???菱形4BCD,

：.AD=BC.AD||BC,

：.AD||EF,

VCF=BE,

???EF=BC=AD,

???四邊形AEFD是平行四邊形，

V.4E1BC,

：.LAEF=90°,

，平行四邊形4"。為矩形；

(2)解：???菱形4BCD,

:,BC=CD,

???矩形力E/7。，

：.LF=90°,

設(shè)BC=CD=x,則：CF=BF-BC=16-x,

222

在RMCDF中，CD=CF+DFt

???/=(16-x)2+82,

解得：x=10,

：-CD=10.

【解析】【分析】（1）首先根據(jù)AOIIEF,可證得四邊形4EFD是平行四邊形，再根據(jù)4E18C,

即可得出平行四邊形AEFD為矩形；

（2）設(shè)BC=CO=x,貝ij：CF=BF-BC=16-%,在RtACD/中，^CD2=CF2+DF2,即

可得出*2=（16-乃2+82,解方程求解，即可得出CD的長。

15.【答案】（1）證明：:。。=40,DO=B0,

???四邊形/BCD是平行四邊形，

???四邊形/￡8。是矩形，

：.LAOB=90°,

：.BDLAC,

???四邊形力BCD是菱形.

（2）解：???四邊形力BCD是菱形，

：.CD=CB=AB

?:乙BCD=60°

；?ABCD為等邊三角形

：.CD=CB=BD=AB

???四邊形AE80是矩形，

.*.AB=OE=10?

:.BD=CB=10

???四邊形4BCD是菱形，

:?0B=。0=5,乙BOC=90%

在RtZiBOC中，由勾股定理得：0C=5V3

A.4C=10V3

:,S其形ABCD=.BD=x10x10V3=50V3.

【解析】【分析】（1）根據(jù)對角線互相平分證四邊形48co是平行四邊形，根據(jù)四邊形力EB。是矩形可

得BO14C,根據(jù)對角線互相垂宜的四邊形是菱形求證即可:

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)證為等邊三角形，由四邊形4EB。是矩形，再運用勾股定理求出AC的

氏度，最后根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半求解即可.

16.【答案】（1）解：:M、N、E分別是PD、PC、CD的中點，/.ME是PC的中位線，NE是PD

的中位線，???ME〃PC,EN/7PD,???四邊形PMEN是平行四邊形

（AP=BP

（2）解：當(dāng)AP=5時，在PAD和RsPBC中，乙4=,，△PADg△PBC,

AD=BC

PD=PC,M、N、E分別是PD、PC、CD的中點，/.NE=PM=1PD,ME=PN=1PC,Z.

PM=ME=EN=PN,四邊形PMEN是菱形

（3）解：四邊形PMEN可能是矩形.若四邊形PMEN是矩形，則/DPC=90°.設(shè)PA=x,PB=10-

22222222

x,DP=,16+7,CP=j16+（10-x）-DP+CP=DC16+x+16+（l（）-x）=10x

-10x+l6=0x=2或x=8.故當(dāng)AP=2或AP=8時，四邊形PMEN是矩形.

【解析】【分析】（l）根據(jù)已知易證ME是aPDC的中位線，NE是^PDC的中位線，就可證得

ME〃PC,EN〃PD,再根據(jù)前組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，即可證得結(jié)論。

（2）當(dāng)AP=5時，易證AP=BP,利用全等三角形的判定定理，可證得△PAD/Z\PBC,就可得出

PD=PC,再中點的定義及三角形中位線定理，就可證得PM=ME=EN二PN,然后利用四邊相等的四邊

形是菱形，即可得證。

（3）根據(jù)題意可知四邊形PMEN可能是矩形，因此可得出NDPC=90。，設(shè)PA=x,可用含x的代數(shù)

式表示出PR,利用勾股定理求出DP、CP,建立關(guān)于x的方程，求出x的值，就可得出結(jié)果。

17.【答案】（1）證明：???四邊形ABCD是矩形，

???AB=DC,ZBAE=ZD=90°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得：FE=DC,ZEFH=ZD=90°,

，AB=FE,ZBAE=ZEFH,

在矩形BEFG中，GF〃BE,

/.ZAEB-ZFHE,

在AABEfllAFEH中,

/-AEB=乙FHE

/BAE=4EFH,

AB=FE

ABE^AFEH(AAS),

H

BC

（2）解：???四邊形是矩形，

，AD〃BC,

/.ZHEB=ZEBC=30°,

ABE=AFEH,

ABE=EH,

.\ZEHB=ZEBH=1（180°-30°）=75°,

乙

VZBAH=90°,

AZABH=90°-ZEHB=15°,即NABH的度數(shù)為15°.

【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB=DC,ZBAE=ZD=90°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

FE=DC,ZEFH=ZD=90°,則AB=FE,ZBAE=ZEFH,根據(jù)直線平行性質(zhì)可得/AEB=

ZFHE,再根據(jù)全等三角形判定定理即可求出答案.

（2）根據(jù)直線平行性質(zhì)可得NHEB=NEBC=30。，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得BE=EH,則NEHB

=ZEBH=1（180°-30°）=75。，再根據(jù)NABH=90。-NEHB