???三年（2023-2025）中考真題分類匯編

專題14三角形

考點01三角形中的線段

1.（2025?江蘇連云港?中考真題】下列長度（單位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.3,5,8D.4,5,10

【答案】B

【分析】本題考查的是三角形的三邊關系的應用，根據(jù)三角形三邊關系定理，任意兩邊之和必須大于第三

邊.只需驗證每組數(shù)中較小的兩數(shù)之和是否大于最大數(shù)即可.

【詳解】A.1、2、3：1+2=3,不滿足兩邊之和大于第三邊，不符合題意；

B.2、3、4：2+3=5>4,滿足條件，能構成三角形，符合題意；

C.3、5、8：3+5=8,不滿足兩邊之和大于第三邊，不符合題意：

D.4、5、1（）：4+5=9<10,不滿足條件，不符合題意：

故選:B.

2.（2024?青海西寧?中考真題）若長度分別為3,6,。的三條線段能組成一個三角形，則整數(shù)。的值可以

是.（寫出一個即可）

【答案】4（答案不唯一）

【分析】本題主要考查三角形的三邊關系，能根據(jù)三角形的三邊關系求出第三邊。的取值范隹是解答的關

鍵.

根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊進行求解即可.

【詳解】解：由題意知：6-3<a<6+3,即3<。<9,

所以整數(shù)?？扇?、5、6、7、8中的一個.

故答案為：4（答案不唯一）.

3.（2024,江蘇鎮(zhèn)江,中考真題）等腰三角形的兩邊長分別為6和2,則第三邊長為.

【答案】6

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形三邊關系，熟練掌握分類討論思想是解題的關鍵.分兩種

情況討論：當6為一腰長時：當2為一腰長時：分別求出第三條邊長，并根據(jù)三角形三邊關系判斷是否能

構戌三角形，即可得出答案.

【詳解】解：當6為一腰長時，則另一腰氏為6,底邊長為2,

v6+6＞2,

???能構成三角形，

，第三邊長為6：

當2為一腰長時，則另一腰長為2,底邊長為6,

?/2+2＜6,

二?K能構成三角形，舍去；

綜上，第三邊長為6,

故答案為：6.

4.（2023?江蘇南京?中考真題）若一個等腰三角形的腰長為3,則它的周長可能是（）

A.5B.10C.15D.20

【答案】B

【分析】此題考查了三角形的三邊關系，等腰三角形的定義，掌握相關知識是解題的關鍵.根據(jù)等腰三角

形的定義及三角形的三邊關系求解即可.

【詳解】解：???等腰三角形的腰長為3,

.?.3-3〈等腰三角形的底長＜3+3,

即0＜等腰二角形的底長＜6,

.?.6〈等腰三角形的周長＜12，

故選：B.

5.（2024?山東德州?中考真題）如圖，在V/8C中，/O是高，力￡是中線，力。=4,53蛇=12,貝I]4K的

長為（）

A.1.5B.3C.4D.6

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的高線和中線的意義，根據(jù)SM&C=12和4。=4求出BC=6,根據(jù)力E是中線即

可求解.

【詳解】解：???S^8c=；x8Cx/g=12，4)=4,

???BC=6

???,4E是中線，

??.BE=-BC=3

2

故選：B

6.（2024?河北?中考真題）觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段8。一定是\「48。的（）

C.中位線D.中線

【答案】B

【分析】本題考查的是三角形的高的定義，作線段的垂線，根據(jù)作圖痕跡可得8。J.4C,從而可得答案.

【詳解】解：由作圖可得：BDLAC,

???線段8。一定是V48C的高線；

故選B

7.（2025?山東威海?中考真題）如圖，V48c的中線BE,CQ交于點兄連接。E.下列結論錯誤的是（）

B?SgDE=2Spq邊3C￡”

D.S…酸=SNEB

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的中位線定理、三角形中線的性質以及相似三角形的判定和性質等知識;

根據(jù)三角形的中位線定理結介三角形中線的性質可得=；8G。七〃8C,S“兇=；S“*.,S=；S”8c，

乙乙乙

可得△4Q￡s△力8C,再根據(jù)相似三角形的性質進一步判斷即可.

【詳解】解：???V45C的中線CD交于點F,

'?DE=—BC,DE//BC,S“℃=5，S”協(xié)=；S：c?

.MADESAABC,5^=5^=15^,故D選項結論正確；

.DF_EF_￡￡__[

't~CF~~BF~~BC~2,^F~4^C，

=

?**S&DEF=T^ABCF，S^DBF~3sdscF，^J^ADE4S四邊形嵐如，故A、C選項結論正確，B選項結論錯誤；

故選：B.

8.（2024?黑龍江綏化?中考真題）己知：VABC.

（1）乂規(guī)作圖：畫出V48。的重心G.（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）

（2）在（I）的條件下，連接4G,BG.已知力灰?的面積等于5cm2,則V48c的面積是

【答案】（1）見解析

⑵15

【分析】本題考查了三角形重心的性質，尺規(guī)畫垂線；

（1）分別作4C,/IC的中線，交點即為所求：

S2

（2）根據(jù)三角形重心的性質可得產(chǎn)=、，根據(jù)三角形中線的性質可得s”8c=2S“BD=15cm2

ABD'

【詳解】（1）解：如圖所示

作法：①作8C的垂直平分線交BC于點D

②作AC的垂直平分線交AC于點尸

③連接40、8b相交于點G

④標出點G,點G即為所求

（2）解：???G是V48C的重心，

AAG=-AD

3

?S&ABG_2

???/8G的面積等于5cm工

S4ABD=7.5cm2

又???0是8C的中點,

**,S.ABC=2s“BO=15cm2

故答案為：15.

9.（2023?浙江嘉興?中考真題）如圖，點P是V48C的重心，點。是邊力。的中點，PE〃AC交BC十點、E,

DF//BC交EP于點、F,若四邊形CD町的面積為6,則V48c的面積為（）

【答案】C

【分析】連接B。，由點?是V/EC的重心，點。是邊4C的中點，可得點從尸、。在?條直線上，且

145

BP：PD=2:1,S&BCD=5s“8C'返ABEPS&BCD:1f得S^BEP=Q\BCD,從而得到次邊形CEP/）=§Sa8co,通

I141

過ABEPS^DFP，可得8"r=彳5陽,邑邑88,再根據(jù)四邊形CO町的面積為6,可得出小時。，

進而可得出V45C的面積.

【詳解】解?：如圖所示，連接陰兒

A

??,點/）是V48c的重心，點。是邊4c的中點,

:?點B、P、。在一條直線上，且8P:PO=2:1,

?/PE//AC，

:ABEPS/CD,

BP:PD=2:1,

BP:BD=2:3,

?q.c=49

???—sEP-3°A8CD'

S四邊形CEPD=S^BCD~S&BEP=g^^BCD，

VDF//BC,

:HBEPS^DFP,

BP;PD=2:1,

?c?c-4

??°GBEP-0^DFP~f，

1c

?，?S&DFP上88EP3戶egJ.BCD，

5.3_6

=0

*,$四邊形COFES四邊形CEP。+SqFP十,JaBCD-§3A8CD-，

SaBCD=9?

,，LBC=18，

故選：C.

【點睛】本題主要考查了三角形的重心的性質，相似三角形的判定與性質，根據(jù)三角形的中線求面積，熟

練掌握三角形的重心的性質，相似三角形的判定與性質，添加適當?shù)妮o助線，是解題的關鍵.

考點02三角形的內(nèi)、外角

1.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，V48C中，ZBCD=30°,N4C8=80。，CO是邊力B上的高，力石是

/C43的平分線，則的度數(shù)是

C

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和以及外角性質、角平分線的定義.先求出乙〃;。=50。，結合高的定義，

得NO/C=40。，因為角平分線的定義得/C4E=20。，運用三角形的外角性質，即可作答.

【詳解】解：???/8CQ=30。，/力。8=80°,

???^ACD=50°,

?:CD是邊AB上的高，

???ZJZ)C=90°,

???ZDJC=40°,

??FE是/。8的平分線,

???ZC/iE=-ZZ)/fC=20°,

2

/AEB=NCAE+ZACB=200+80°=100°.

故答案為：100。.

2.(2023?遼寧?中考真題)如圖，在三角形紙片”。中，48=4C,N8=20。，點。是邊"C二的動點，將

三角形紙片沿力。對折，使點6落在點"處，當8Z>_L8C時，力。的度數(shù)為.

【分析】分兩種情況考慮，利用對稱的性質及三角形內(nèi)角和等知識即可完成求解.

【詳解】解：由折疊的性質得：Z4DB'=NADB；

：./8。8'=90°；

①當夕在8c下方時，如圖,

???AADB+ZAD8'+NBDB'=360°，

:./ADB=yx(360°-90°)=135°,

/./.BAD=180°-ZA?-Z.ADB=25°；

N/Q4+4ZM'=90。，

???乙404」x90。=45°,

2

故答案為：25?；?15。.

【點睛】本題考查了折疊的性質，三角形內(nèi)角和，注意分類討論.

3.(2025?湖南長沙?中考真題)如圖，在VMC中，AB=AC,NB=72。,以點。為圓心，適當長為半徑作

弧，交。于點〃，交C8于點M再分別以點.M,N為圓心，大于!的長度為半徑作弧，兩弧相交于

2

點P，作射線。交力8于點D.

⑴求N8CQ的度數(shù)；

(2)若〃C=2.5,求力。的長.

【答案】(1)36。

(2)AD=2.5

【分析】本題考查了角平分線、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質等知識點，熟記相關結論即可.

(1)由題意得乙4c8=N8=72。，根據(jù)。。是N4C8的角平分線即可求解：

(2)求出/8。。=180。一/8-/5。。=72。，得到CZ)=C8：求出

ZJ=ABDC-ZACD=72°-36°=36°.ZA=N4CD.推出力。=CO.即可求解：

【詳解】(1)解：?.?43=4C,ZS=72。,

/.Z.ACB=Z5=72°.

由作圖可知，C。是N/CA的角平分線，

（2）解：在△8CQ中，由三角形內(nèi)角和定理得/4。。=180。一/3-/8。。=72。，

/.，BDC=Z.H,

/.CD=CB,

在“C。中，?;NBDC=ZA+ZACD,ZACD=36。,

ZA=/BDC-乙4CD=72°-36°=36。.

ZJ=ZACD.

/.AD=CD.

AD=BC.

BC=2.5,

/.AD=2.5.

4.（2025?古林?中考真題》如圖，正五邊形月6CQ?的邊月6,0c的延長線交丁點尸，則N尸的大小為

度.

CD

【答案】36

【分析】本題主要考查了正多邊形外角和定理.，三角形內(nèi)角和定理，多邊形外角和為360度，據(jù)此可求出

住BC、尸C8的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：五邊形48C0E是正五邊形，

???NFBC=NFCB==72°,

???ZF=180°-/FBC-AFCB=36°,

故答案為：36.

5.（2024?湖南?中考真題）等腰三角形的一個底角為40。，則它的頂角的度數(shù)是.

【答案】100?！?0度

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形內(nèi)角和定理等知識點，掌握等腰三角形兩底角相等是

解題的關鍵.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結合等腰三角形兩底角相等，求出它的頂角度數(shù)即可.

【詳解】解：???等腰三角形的一個底角的度數(shù)為40。，

???它的頂角度數(shù)為：180°-40°x2=100°.

故答案為：100°.

6.（2024?江蘇無錫?中考真題）如圖，在VX8C中，ZB=80°,ZC=65°,將V48C繞點A逆時針旋轉得

到△4TC.當48'落在XC上時，/41C的度數(shù)為（）

A.65°B.70°C.80°D.85°

【答案】B

【分析】本題主要考查了旋轉的性質，三角形內(nèi)角和定理，由旋轉的性質可得NBNC'=NA4C,

由三角形內(nèi)角和定理可得出/6%C'=N￡4C=35c,最后根據(jù)角的和差關系即可得出答案.

【詳解】解：由旋轉的性質可得出N8NC'=4%C,

???Z^C+Z5+ZC=180°,

NBAC=180。一80。-65。=35。，

：./B'AC'=NBAC=35。,

/BAC=NBAC+NB'AC'=70°,

故選：B.

7.（2023?遼寧丹東?中考真題）如圖所示，在V月BC中，CDA.4B,垂足為點。，DE//AC,交BC于點

E.若4=50。，則NCOE的度數(shù)是（）

A

【答案】B

【分析】首先根據(jù)平行線的性質得N5Z）E=N/=50。，再根據(jù)垂直的定義得NCOS=90。，進而根據(jù)

ZCDE=NCDB-ZBDE即可得出答案.

【詳解】解：?;DE/]AC,4=50。，

/.NBDE=ZJ=50°,

???CDLAB,

NCDB=90°,

ZCDE=ZCDB-NBDE=90°-50°=40°,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，垂直的定義，熟練掌握平行線的性質是解答此題的關鍵.

8.12025?遼寧?中考真題）如圖，點C在/力。8的邊。力上，CQ_LO8,垂足為。，DE〃04,若NEDB=40。,

【答案】C

【分析】本題考查平行線的性質，三角形的外角，根據(jù)平行線的性質，得到再根據(jù)三角形的

外角的性質，求出乙4CO的度數(shù)即可.

【詳解】解：?：CDLOB,DE/iOA,NEDB=40°,

：.Z.CDO=90。,NO=Z.EDB=40°,

???^ACD=NCQO+NO=90。+40°=130°；

故選C.

9.12023?遼寧錦州?中考真題）如圖，在V"C中，8C的垂直平分線交8c于點。.交AB于點、E.連接工.若

CE=CA,ZACE=40°,則的度數(shù)為.

【答案】35。/35度

【分析】先在△4CE中利用等邊對等角求出/4EC的度數(shù)，然后根據(jù)垂直平分線的性質可得8￡=CE,再

利用等邊對等角得出4B二/BCE,臺三角形外角的性質即可求解.

【詳解】解：?：CE=CA,ZJC￡=40°,

??.4=4ECJ80°-4CE=7。。,

2

???D￡?是8。的垂直平分線,

???BE=CE,

???/B=Z.BCE,

又乙AEC=4B+/BCE、

:.Z5=35°.

故答案為：35。.

【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，三角形外角的性質等知識，掌握等腰三

角形的等邊對等角是解題的關鍵.

考點03等腰、等邊三角形的判定與性質

1.（2025?四川涼山?中考真題）如圖，4B=AC，AE=AD,點E在BD上,ZEAD=ZBAC/BDC=56。,

則/4的度數(shù)為（）

A

E

BC

A.56°B.60°C.62°D.64°

【答案】C

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形內(nèi)角和定理，等邊對等用，先證明

再利用SAS可證明ABAEWCAD得到4BE=ZACD,利用三角形內(nèi)角和定理可證明ZBAO=ZCDO=56°,

據(jù)此根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理可求出答案.

【詳解】解：?.?NE4）=乙%C,

，4EAD-/CAE=NBAC-NCAE,g|JZBAE=ZCAD,

在力￡和中，

AB=AC

<ZBAE=ZCAD,

AE=AD

???AB/IEg△CIQ(SAS),

???/ABE=ZACD；

如圖所示，設/C,4。交于O,

???￡AOB+ZABO+ZBAO=180°,ZCOD+ZDCO+ZCOD=\^G°,

ZAOB=ZCOD,

???4BAO=/CDO=56°,

VAB=AC,^ABC+ZACB+Z.BAC=180°,

180°—N8/C1800-56°

/ABC=NACB==62°,

2-2

故選：C.

2.（2024,寧夏?中考真題）在平面直角坐標系中，一條直線與兩坐標軸圍成的三角形是等腰三角形，則該

直線的解析式可能為（寫出一個即可）.

【答案】y=x+l（答案不唯一）

【分析】本題考查的是等腰三角形的定義，一次函數(shù)的幾何應用，如圖，直線力8過4（（M）,5（-1,0）,再

求解一次函數(shù)的解析式即可.

【詳解】解：如圖，直線45過4(0,1),4(-1,0),

設直線為丁=米+1,

???-攵+1=0,

解得：k=1,

，直線48為y=x+i,

故答案為：y=x+L(答案不唯一.)

3.(2024?甘肅蘭州?中考真題)如圖，在V力8c中，AB=AC,N8/C=130。，_L4C,則()

A.100°B.115°C.130°D.145°

【答案】B

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形外角的性質.根據(jù)等腰三角形的性質，可得

女J80。：切OR,再由三角形外角的性質，即可求解.

【詳解】解：VAB=AC,ZBAC=130°,

??.“=蟠衛(wèi)”=25。，

2

???DALAC,

???土CAD=90°,

???NADB=ZC+NCAD=115°.

故選：B

4.(2024?四川?中考真題)如圖，在V力3c中，AB=AC,/力=40。，按如下步驟作圖：①以點8為圓心,

適當長為半徑畫弧，分別交84，8c于點。，E；②分別以點Q,E為圓心，大于;OE長為半徑畫弧，兩

弧在N/BC的內(nèi)部相交于點E,作射線臚交/C于點G.則乙小7的大小為度.

【答案】35

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，角平分線的尺規(guī)作法，熟練掌握等腰三角形的性質和角平分線的

尺規(guī)作法是解題的關鍵.根據(jù)ZJ=40°,由等邊對等角，結合三角形內(nèi)角和定理，可得

N/8C=4C8=70。，由尺規(guī)作圖過程可知8G為448C的角立分線，由此可得

NABG=NGBC=-Z.ABC=35°.

2

【詳解】解：=AB=AC,4=40。，

NABC=NACB=70°,

根據(jù)尺規(guī)作圖過程，可知4G為/川的角平分線，

/./ABG=ZGBC=-ZABC=35°,

2

故乙45G=35。,

故答案為：35°.

5.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程、2—|0工+21=0的兩個根，則這個三角形

的周長為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本題考查r解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關系及周長，由方程可得*=3,

e,根據(jù)三角形的三邊關系可得等腰三角形的底邊長為3.腰長為7,進而即可求出三角形的周長，掌

握等腰三角形的定義及三角形的三邊關系是解題的關鍵.

【詳解】解：由方程12-10工+21=0得，$=3,.馬=7,

V3+3<7,

???等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,

???這個三角形的周長為3+7+7=17,

故選：c.

6.(2025?吉林長春?中考真題)圖①、圖②、圖③均是4x3的網(wǎng)格，其中每個小方格都是邊長相等的正方

形，其頂點稱為格點.只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作使V/18C的頂點均

在格點上.

圖①圖②圖③

(1)在圖①中，V44C是面積最大的等腰三角形；

(2)在圖②中，V/18C是面積最大的直角三角形；

(3)在圖③中，V/18C是面積最大的等腰直角三角形.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】本題主要考杳了格點作圖，勾股定理及其逆定理，網(wǎng)格中求三角形面積，熟知相關知識是解題的

關鍵.

(1)根據(jù)面積最大，且V/18C為等腰三角形，頂點均在格點上：

(2)根據(jù)面積最大，且V/I5C為直角三角形，頂點均在格點上：

(3)作個腰長為麗的等腰直角三角形，順次連接力、B、C,則V力8。即為所求.

【詳解】(1)解：如圖所示，即為所求;

圖①

(2)解；如圖所示，V48C即為所求:

BC

圖②

(3)解：如圖所示，VABC即為所求.

圖③

7.(2024?四川自貢,中考真題)如圖，在V/8c中，DE//BC.ZEDF=4C.

(1)求證：NBDF=ZA；

(2)若41=45。，DF平分4BDE,請直接寫出V/8C的形狀.

【答案】(1)見解析

(2)Y48C是等腰直角三角形.

【分析】本題考查了平行線的判定和性質，等腰直角三角形的判定.

(1)由平行證明4EO=NC,由等量代換得到NED尸=利用平行線的判定“內(nèi)錯角相等，兩直線平

行“證明。b〃4C,即可證明NBDF=ZA；

(2)利用平行線的性質結合角平分線的定義求得N3Z)E=90。,￡)5=9()。，據(jù)此即可得到V/8C是等腰直

角三角形.

【詳解】(1)證明：???/)￡〃8C,

???ZJE￡)=ZC,

??,Zf￡>F=ZC,

NEDF=N4ED,

:,DF〃AC,

???/BDF=4；

(2)解：V/fBC是等腰直角三角形.

???ABDF=^A,

???N8O￡=4=45°,

DF平分NBDE,

，乙BDE=2ZBDF=9儼，

???DE//BC,

???Z5=180°-Z5DE=90°,

:.ZC=180°-ZJ-=45°=,

???V48C是等腰直角三角形.

8.（2023?四川綿陽?中考真題）如圖，過原點。的直線與反比例函數(shù)乂=：（4/0）的圖象交于彳（1.2）,“兩

點，一次函數(shù)為="a+'（〃?/0）的圖象過點力與反比例函數(shù)交于另一點。（2，〃）.

⑴求反比例函數(shù)的解析式；當,>為時，根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍；

（2）在歹軸上是否存在點股，使得△COM為等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理

由.

【答案】⑴M=-，0<x<l或%>2

X

（2）點M的坐標為（0,百）或（0,-石）或（0,2）或（0,1）

【分析】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式及等腰三角形，熟知待定系數(shù)法及利用分類討論的數(shù)學

思想是解題的關鍵.

（1）將點力坐標代入反比例函數(shù)解析式即可求出片，利用數(shù)形結合的思想即可求出x的取值范圍.

（2）先求出點C坐標，再根據(jù)分類討論的數(shù)學思想即可解決問題.

【詳解】（1）解：由題知，將力點坐標代入反比例函數(shù)解析式得，

A=1x2=2,

所以反比例函數(shù)的解析式為乂=2.

X

由函數(shù)圖象可知，在直線X=0和X=1之間的部分及直線X=2右側的部分，

反比例函數(shù)必的圖象在一次函數(shù)乃的圖象的上方，即，I.

所以x的取值范圍是：0＜工＜1或不＞2.

（2）將x=2代入反比例函數(shù)解析式得y=l,

所以點C的坐標為(2,1).

則0c=^(2-0)2+(1-0)2=舊.

所以點M坐標為（（0,石）或（0,-石）.

當CM=CO時，點。在OW的垂直平分線上，

又因為點。坐標為（2,1）,

所以點M坐標為（0,2）.

當"O=〃C時，點M在OC的垂直平分線上，

過點。作CN_Ly軸于點N,

令MO=m,則MC=m，MN=，n-l,

在R/ACMN中，

CN2+MN2=MC2

即2—（〃?—1）2=〃/,

解得川q

所以點M的坐標為（0,}.

綜卜.所述：點M的坐標為（0,石）或（0,-石）或（0,2）或（0尚）.

9.（2024?江蘇南通?中考真題）綜合與實踐：九年級某學習小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學習活

動.

【特例探究】

（I）如圖①，②，③是三個等腰三角形（相關條件見圖中標注），列表分析兩腰之和馬兩腰之積.

圖①圖②圖③

等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表

圖角平分線/。的/B/D的度兩腰之兩腰之

腰長

序長數(shù)和積

圖

160°244

①

圖

145°2x/22

②

圖

130°———

③

請補全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想.

已知V月8C的角平分線力。=1,,48=XC,NBAD=a,用含。的等式寫出兩腰之和+與兩腰之積

川B4C之間的數(shù)量關系：.

【變式思考】

（2）已知V/4C的角平分線40=1,?C=60。,用等式寫出兩邊之和44+力。與兩邊之積4之間的

數(shù)量關系，并證明.

【拓展運用】

（3）如圖④，V/8C中，AB=HC=l,點。在邊4c上，BD=BC=AD.以點C為圓心，長為半徑

作弧與線段8。相交于點凡過點E作任意直線與邊48,8。分別交于M,N兩點.請補全圖形，并分析

言+焉的值是否變化？

A

圖④

【答案】（1）見解析；叱+}=2cosa,（2）+=證明見解析；（3）二7+」是

AB-ACRMBN

定值

AD1

【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值分別計算，再填表即小再由＜5="==——可得結論；

cosacosa

（2）如圖，延長力8至E使力E=/C,連接CE,過B作BHLCE于〃,延長力。交CEF尸，證明△力CE

為等邊三角形，AFLCE,ZEAF=ZCAF=30°,設/C=4七=CE=2x,EH=a,利用相似三角形的性

?I、/，,2\/3x'-2x

J貞求他ia=--；=-----,再進?步可得48+/C=648dC；

2V3x-l

（3）根據(jù)題目要求畫圖，設4=a,運用等腰三角形性質和三角形內(nèi)角和定理可求得a=36。，過點上作

EFA.ABfF,EH上BC于H,過點、N作NG1AB于G,利用&&的=S△皿+S△竭v，即可求得答案.

【詳解】解：（1）???/8/1。=/。。=30。，/。是V/出。的角平分線，AD=\,

：.AD1BC,

AD1_273

AB=AC=

cos30°7T~：

2

,\AS+AC=—^AB-AC=^

33

圖角平分線/。的NBAD的度兩腰之兩腰之

腰長

序長數(shù)和積

圖

160°244

①

圖

145°422后2

②

圖

2百4石4

30。

1——

③3

如圖，由（1）可得：ADd.BC,

AD

AB=AC=

cosacosa

AAB+AC=^—,ABAC=—^―

cosacos-a

.AB+AC

=2cosa

"ABAC

（2）猜想：AB+AC=gBAC，理由如下:

如圖，延長48至上使力￡=4C,連接CE,過8作BHICE]H,延長力。交尸，

VABAC=60°,力。平分NA4C,

???△/CE為等邊三角形，AF1CE,AEAF=ACAF=30°,

設,4C=AE=CE=2x,EH=a?

CF=EF=x,AF=>/3x,而AD=1,

:.DF=氐-1,

?：BHICE,AFLCE,

:.BH//AFt

：.￡EBH=NEAF=30°,^CDF^^CBH,

???BE=2a,EH=瓜，

'：ACDFS^CBH,

.DFCFnnV3x-lx

BHCH島2x-a

_2辰-2x

解得:

2x/3x-i

22x

AAB+AC=4x-2a=4x-^f^=±^L.

2V3x-l2V3x-l

4.

ABAC=2x（2x-2a）=4x2-4ax=—,

'72石-1

:?AB+AC=&BAC;

（3）補全圖形如圖所示:

設Z.A=a,

???BD=AD.

Z.ABD=Z.A=a,

/.Z.BDC=Z.ABD+Z.A=la,

?;BD=BC,

￡BCD=2BDC=2a,

???AB=AC,

/ABC=NACB=2a,

Z4+/ABC+ZACB=\80°,

:.a+2a+2a=\80°,

解得：a=36。，

/.ZJ=Z.ABD=Z.CBD=36°,

如圖，過點七作于產(chǎn)，EHJLBC于H,過點N作NG_L/5于G,

A

-BMNG=-BMEF+-BNEH,

222

?：NABD=NCBD,EFLAB,EHIBC.

EF=EH,

在RtABNG中，NG=BN?sinZ.ABC=BNs\n72°,

...BM-BN，sin720=(BM+BN)-EH,

.An720_BM+BN11

,EH-BMBN一麗+麗'

,/----=sinZ.CBD=sin360,

BE

EH=BEsin360,

11二sin72。

嬴'+麗'一〃Esin36。

由V48C是確定的，由作圖可得如為定長，而5抽36。和近1172。為定值,

sin720

為定值,

8Esin36°

即表+焉為定值.

【點睛】本題屬于實際探究題，考查了類比方法的應用，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質,

勾股定理的應用，銳角三角函數(shù)的靈活應用，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.

10.（2025?福建?中考真題）如圖，V川?。是等邊三角形，力是的中點，CE1BC,垂足為C,EF是

由。。沿CE方向平移得到的.已知E/過點力，BE交CD于點G.

F

A

BC

(1)求，。。￡的大??；

(2)求證：ACEG是等邊三角形.

【答案】(1)60。

(2)見解析

【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質、平移的基本性質、線段垂直平分線的判定與性質、平行線的

性質、等腰三角形的判定與性質等基礎知識，考查空間觀念、幾何直觀與推理能力，考查化歸與轉化思想

等，熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵.

(1)等邊三角形的性質推出/OC8=30。，垂直，得到/8CE=90。，角的和差關系求出/QCE的大小即可:

(2)平移得到CD〃小，進而得到/￡4。=/。。=30。，角的和差關系推出NE4C=NEC4.進而得到

AE=CE,ZAEC=120°,根據(jù)力8=。8,推出AE垂直平分/C,進而得到NGEC==60。，推出

2

ZGEC=NGCE=NEGC,進而得到MJEG是等邊三角形即可.

【詳解】(1)解：4。是等邊三角形，

：.ZACB=60°.

是48的中點，

ZDCB=ZDCA=-ZACB=30°.

2

CE1BC,

ZBCE=90°,

ZDCE=/.BCE-Z.DCB=60n.

(2)由平移可知：CD//EF,

NE4C=NOC4=300,

乂G/ECA=NBCE-NACB=300.

/.Z.EAC=Z.ECA,

AAE=CE,ZAEC=\20°,

又?：AB=CB,

BE垂直平分AC,

/.ZGEC=-ZJEC=60°,

2

由（1）知，Z.GCE=60°,

/.ZEGC=60°,

NGEC=NGCE=4EGC,

「.△CEG是等邊三角形.

11.（2025?廣西?中考真題）如圖，點4。在同側，4B=8C=C4=2,8。=。。=后，則4。=

【答案】G-1/-1+百

【分析】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定以及勾股定理，過點。作8c垂線交于點”，先

證明△8。"四△C。"，得到8〃=/。=1,證明4。,〃在同?線上，根據(jù)勾股定理得到力”,短〃，最后通過

線段和和差即可求.

【詳解】解：過點。作8。垂線交于點//,即。〃_L8C

NDHB=NDHC=9。。

BD=CD,DH=DH

:ABDH%CDH（HL）

：.BH="C=、BC=T,即DH是BC的垂直平分線，

2

°：AB=AC,BD=CD,

.?.42”在同一線上，

??.DH=JBD2-BH2=1,AH=7AB?-BH2=石

AD=AH-DH=^-\

故答案為：\/3—1.

A

12.（2024?江蘇南京?中考真題）如圖，在邊長為4的等邊三角形力8c中，4。是中線，將D4繞點。順時

針旋轉60。得到。連接8E,則是加=.

A

【分析】過點E作EH18C交8。延長線于點〃，由等邊三角形的性質得到48=8C=力C=4,繼而由三

線合一得到力O/8C,BD=CD=2,由勾股定理得到力。=26，旋轉得到OE=D4=2jL乙4OE=60°,

則/E0C=3O。，繼而￡7/=!?！?百，即可求解面積.

【詳解】解：過點、E作EHJ.BC交BC延長線于點、H,

???VH4c為等邊三角形

:.AB=BC=AC=4,

二,4。是中線，

AAD1BC,BD=CD=2,

???由勾股定理得：AD=dAB，-BD?=2百，

由旋轉得：DE=DA=26,NJD￡=60。,

，￡EDC=30°,

?；EH1BC,

:.EH=、DE=6

2

???%/）￡=；8Z）X￡7/=；X2XVJ=5

故答案為：上.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，勾股定理，30。角直角三角形的性質，旋轉的性質，正確構造輔助

線是解題的關鍵.

13.（2024?山東濟南?中考真題）如圖1,V/BC是等邊三角形，點。在邊44上，BD=2,動點2以每秒1

個單位長度的速度從點6出發(fā)，沿折線8C-C4勻速運動，到達點A后停止，連接。設點戶的運動時間

為/（s），。尸為V.當動點P沿8C勻速運動到點。時,V與，的函數(shù)圖象如圖2所示.有以下四個結論：

①"=3；

②當f=5時，歹=1；

③當時，l<.y<3；

④動點尸沿8C'-。勻速運動時，兩個時刻。，/IJ）分別對應M和％,若4+4=6,則必>為.其中正

確結論的序號是（）

A.???B.??C.@@D.①②④

【分析】由圖知當動點P沿8c勻速運動到點C時，。尸=7,但DEJ.BC于點、E,利用解直角三角形和勾

股定理，即可得到8C,即可判斷①，當/=5時，證明是等邊三角形，即可判斷②，當4?區(qū)6時,

目.DP_L4c時，。尸最小，求出最小值即可判斷③，利用勾股定理分別表示出必和為進行比較，即可判斷

④.

【詳解】解：由圖知當動點P沿5c勻速運動到點。時，D尸=7,

作DE工BC于點E,

A

o

DE=BDa\n60=>5f=5Dcos60°=1,

:.EP=^DP2-DE1=2>

:.AB=BC=BE+EP=3,

故①正確；

當1=5時，PC=5-3=2,AP=\=AD,

DP=AP=AD=l,

：.y=DP2=\,

故②正確;

當4W6時，且。尸_L4C時，OP?最小,

Z.A=60°,

尸最小為:，即y能取至ij：,

44

故③錯誤；

動點P沿BC-CA勻速運動時，

+q=6,

t<3,/,>3,t2=6-/),

必=D+(G)=42-2)+4；

當DP_L4C時，CP=a，￡>P2=-,

「.Ji=一2,十4一_rj三3_f]>0,

-y>y2；

故④正確：

綜上所述，正確的有①②④，

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，等邊三角形性質，解直角三角形，勾股定理，涉及到動點問題、讀懂

函數(shù)圖象、正確理解題意，利用數(shù)形結合求解是解本題的關鍵.

14.（2024?湖北?中考真題）如圖，由三個全等的三角形"CF,A。。）與中間的小等邊三角形。

拼成一個大等邊三角形力8c.連簽3。并延長交片。于點G,若4E=ED=2,則：

（1）NFO8的度數(shù)是；

（2）OG的長是.

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，解直角三角形等知

識，掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

（1）利用三角形相似及AE=DE可得BF=DF,再利用三珀形的外角性質結合可求得NDBF=30。；

(2)作?！?"G交BG的延長線于點H,利用直角三角形的性質求得CH=1,"=百，證明AADGSKHG,

利用相似三角形的性質列式計算即可求解.

【詳解】解：尸名△CW(己知)，

/.AD=BE=CF,AE=BF=DC,

?/AE=ED=2,

AD=BE=4,

?.?△DEF為等邊三角形,

:.EF=DF=DE=2,NEFD=4EDF=60。,

：.BF=DF=DC=2,

4FDB=Z.FBD=；2EFD=3①,NADB=NEDF+ZFDB=90°,

如圖，過點C作CH_L8G的延長線于點〃，

.-.C/7=CDxsin3(F=2xl=l,

2

D//=CDxcos300=2x—=百，

2

?/ZADG=Z.CHG,ZAGD=ZCGH,

:.AADGSKHG,

.DGAD_4

**HG~~CH~~\"

44l

/.DG=-DH=-y/3.

故答案為：3()。，迪.

5

15.（2023?廣東廣州?中考真題）如圖，在正方形48CQ中，E是邊力。上一動點（不與點4。重合）.邊

8C關于“對稱的線段為跖，連接外.

（1）若48七=15。，求證：△/"廠是等邊三角形:

（2）延長FA,交射線BE于點G:

①A8G產(chǎn)能否為等腰三角形？如果能，求此時/48E的度數(shù)：如果不能，請說明理由;

②若48=追+后，求ABG尸面積的最大值，并求此時4E的長.

【答案】（I）見解析

（2）①產(chǎn)能為等腰三角形，乙姐￡=22.5。；②力E=G

【分析】（1）由軸對稱的性質得到班'=5。，根據(jù)正方形的性質得到45C=90。，求得NCBE=75。，根

據(jù)軸對稱的性質得到NFBE=NCBE=750,根據(jù)等邊三角形的判定定理即可得到結論；

（2）①根據(jù)軸對稱的性質得到8c=斯，根據(jù)正方形的性質得到8c=",得至IJ比1<8E<8G,推出點8

不可能是等腰三角形8G尸的頂點，若點F是等腰三角形8G廠的頂點，則有NFGA=N^BG=NC8G,此時

E與。重合，不合題意，于是得到只剩下G尸=G8J',連接CG交于〃，根據(jù)全等三舛形的性質得到

FG=CG,得到"G/為等腰三角形，根據(jù)平行線的性質得到4HG=/8CG,求得

N6GF=乙BGC=；￡FGH=45。,根據(jù)等腰三角形的性質得到NGBC=/GC8=g（18（r-N8GC）=67.5。,

于是得到ZABE=NABC-4GBe=90°-67.5°=22.5°:

②由①知，ACBG知FBG,要求A8GE面枳的最大值，即求.BGC面積的最大值，在"GC中，底邊8。是

定值，即求高的最大值即可，如圖